Andrzej BANACHOWICZ
Katedra Metod Sztucznej Inteligencji i Matematyki Stosowanej
ANALIZA SYSTEMOWA
Szczecin 2012
1
MODELE SYSTEMÓW CI
GA
YCH
·ð Postać normalna równania ukÅ‚adu dynamicznego.
·ð Linearyzacja równaÅ„ systemów nieliniowych.
2
W przypadku układów fizycznych, wykorzystując metodę
Lagrange a  Maxwella, otrzymamy następujące równania
opisujące układ dynamiczny:
= fð1ð(ðq1, & , qs; , & , ; f1(t), & , fm(t)),
& .& & & & & & & & & & & & & & & , (1)
= fðs(ðq1, & , qs; , & , ; f1(t), & , fm(t)),
gdzie: q1, & , qs  współrzędne uogólnione układu dynamicznego
w przestrzeni konfiguracyjnej, s  stopień swobody układu
dynamicznego (wymiar przestrzeni konfiguracyjnej).
3
Zazwyczaj układ (1) sprowadzamy do postaci normalnej, w
przestrzeni stanu (fazowej), w której każde równanie jest
rozwiązane względem pierwszej pochodnej, tj.
= yð1ð(ðy1, & , yn; f1(t), & , fm(t)),
& & & & & & & & & & & & & , (2)
= yðn(ðy1, & , yn; f1(t), & , fm(t)),
gdzie: q1 = y1, & , qs = ys, = ys+1, & , = yn.
4
Przykład 1.
Układ dynamiczny opisany jest równaniem różniczkowym
drugiego rzędu:
q + aq + bq = u. (3)
Oznaczmy:
q = y1, = = y2, q = .
StÄ…d otrzymamy:
= y2,
=  by1  ay2 + u.
5
Wprowadz
my dalsze oznaczenia:
= [ ]T,
y = [y1, y2]T.
StÄ…d
= · + u.
OznaczajÄ…c
A = oraz B = ,
6
otrzymamy
= Ay + Bu. (4)
W analogiczny sposób sprowadzamy równania różniczkowe
wyższych rzędów do postaci normalnej w przestrzeni stanu.
Rozpatrzmy następujące równanie:
y(n) + a1 y(n-1) + & + an-1 + an y = bu. (5)
7
WprowadzajÄ…c oznaczenia
y = x1,
= x2,
& & ,
y(n-1) = xn,
y(n) = ,
równanie (5) można zapisać w postaci:
= Ax + Bu, (6)
8
gdzie:
= [ , & , ]T,
x = [x1, & , xn]T,
0 1 0 ... 0 0
éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð
0 0 1 ... 0 0
0
éð Å‚ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ðMðÅ›ð
Ä™ð Å›ð
... ... ... ... ... ...
A =ð
Ä™ð Å›ð,B =ð Ä™ð Å›ð
0 0 0 ... 1 0
Ä™ð0Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ðbÅ›ð
Ä™ð Å›ð
0 0 0 ... 0 1
ëð ûð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
ëð-ð an -ð an-ð1 -ð an-ð2 ... -ð a2 -ð a1ûð
9
Analizę układów dynamicznych bardzo często wykonuje się w
przestrzeni stanów. Dotyczy to zarówno układów liniowych, jak i
nieliniowych. Przy czym układy nieliniowe sprowadzamy do
postaci liniowej dokonując linearyzacji poprzez rozwinięcie w
szereg Taylora.
Rozpatrzmy nieliniowy układ dynamiczny opisany
następującym równaniem:
(7)
gdzie: z  wymuszenie zewnętrzne.
10
Przyjmijmy pewien ustalony punkt przestrzeni stanu
w którym
(8)
Dokonajmy rozwinięcia w szereg Taylora funkcji (7) w otoczeniu
tego punktu.
11
Wówczas będziemy mieli:
(9)
12
gdzie:  reszta szeregu Taylora (zazwyczaj nieskończonego).
W założeniu x, , oraz u są to wielkości małe, z otoczenia
ustalonego punktu. Zgodnie z warunkiem (8) oraz po pominięciu
reszty (również wielkości małej), otrzymamy
(10)
A przy oznaczeniach
13
będziemy mieli następującą postać liniową funkcji (7):
14
Ogólniej, niech będzie dany nieliniowy wielowymiarowy układ
dynamiczny, o postaci
(11)
Odpowiada on następującemu układowi równań:
& & & & & & & & & & & & & .. & , (12)
15
Ustalony punkt pracy układu (rozwinięcia funkcji), to
. (13)
Wprowadz
my oznaczenia:
to
(14)
16
Po rozwinięciu w szereg Taylora otrzymamy
(15)
Ponieważ oraz pomijając (zawierające wyrazy
nieliniowe) i przyjmujÄ…c oznaczenia
, ,
17
będziemy mieli
(16)
gdzie:
,
18
Przykład 2.
Rozpatrzmy następujący układ równań różniczkowych (układ
dynamiczny wielowymiarowy):
 
(17)
 
z ustalonym punktem pracy (rozwinięcia funkcji w szereg)
(18)
19
Wtedy po uwzględnieniu (18) będziemy mieli
 
(19)
 
Z pierwszego równania mamy , z trzeciego: , a
z drugiego Stąd wektor warunków początkowych jest
następujący:
20
Oznaczmy
  .
 
Mamy ogólną postać równania
Punkt rozwinięcia funkcji
21
Zaś jej rozwinięcie
Ostatecznie, po opuszczeniu wyrazów zerowych
oraz reszty szeregu Taylora, będziemy mieli:
22
Odpowiednie macierze to:
,
.
23
Zaś po uwzględnieniu warunków początkowych
, .
24
Przykład nawigacyjny.
W zadaniu filtracji pomiarów nawigacyjnych proces nawigacji
opisujemy układem dwóch równań (z czasem dyskretnym lub
ciągłym). Jest więc to pewien model układu dynamicznego. Układ
ten opisują dwa równania:
·ð równanie stanu (model stanu)
xi+1 = Ai+1,i xi + wi, (20)
·ð równanie pomiarów (model pomiarów, pomiarowy)
zi+1 = Ci+1xi+1 + vi+1, (21)
25
gdzie:
x - n-wymiarowy wektor stanu,
w - r-wymiarowy wektor zakłóceń stanu,
z - m-wymiarowy wektor pomiarów,
v - p-wymiarowy wektor zakłóceń pomiarów (szum
pomiarowy),
A - n´ðn-wymiarowa macierz przejÅ›cia (ukÅ‚adu, tranzytywna),
C - m´ðn-wymiarowa macierz pomiarów (odpowiedzi,
wyjścia).
Ponadto dla zakłóceń w i v zakładamy, że są to szumy
gaussowskie (o rozkładzie normalnym), o zerowej wartości
średniej i nieskorelowane.
26
Poszczególne wektory i macierze mają następującą postać:
·ð wektor stanu
T
x =ð jð, lð,VN ,VE , DðKDd, DðVd ,
[ð ]ð
(22)
·ð wektor pomiarów
T
z =ð jðDGPS ,lðDGPS ,jðAD-ð2,lðAD-ð2,KDd,Vd ,
[ð ]ð
(23)
·ð macierz przejÅ›cia
27
1 0 kjð (ti+ð1 -ð ti ) 0 0 0
éð Å‚ð
Ä™ð0 1
0 klð (ti+ð1 -ð ti ) 0 0Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
0 0 1+ð DðVN 0 0 0
Ai+ð1,i =ð ,
Ä™ð0 0
0 1+ð DðVE 0 0Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð0 0 (24)
0 0 1 0Å›ð
Ä™ð Å›ð
0 0 0 1ûð
ëð0 0
w przypadku, gdy ti+1  ti = 1 sekunda, macierz przejścia będzie
macierzą stałą postaci:
28
1 0 kjð 0 0 0
éð Å‚ð
Ä™ð0 1
0 klð 0 0Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
0 0 1+ð DðVN 0 0 0
A =ð ,
Ä™ð0 0
0 1+ð DðVE 0 0Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð0 0
0 0 1 0Å›ð
Ä™ð Å›ð
0 0 0 1ûð
ëð0 0
29
·ð macierz pomiarów
Å›ðjðDGPS Å›ðjðDGPS Å›ðjðDGPS Å›ðjðDGPS Å›ðjðDGPS Å›ðjðDGPS
éð Å‚ð
Ä™ð
Å›ðjð Å›ðlð Å›ðVjð Å›ðVlð Å›ðDðKDd Å›ðDðVd Å›ð
Ä™ð Å›ð
Å›ðlðDGPS Å›ðlðDGPS Å›ðlðDGPS Å›ðlðDGPS Å›ðlðDGPS Å›ðlðDGPS Å›ð
Ä™ð
Ä™ð
Å›ðjð Å›ðlð Å›ðVjð Å›ðVlð Å›ðDðKDd Å›ðDðVd Å›ð
Ä™ðÅ›ðjð
Å›ðjðAD-ð2 Å›ðjðAD-ð2 Å›ðjðAD-ð2 Å›ðjðAD-ð2 Å›ðjðAD-ð2 Å›ð
AD-ð2
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ðjð Å›ðlð Å›ðVjð Å›ðVlð Å›ðDðKDd Å›ðDðVd Å›ð
C =ð
Ä™ð
Å›ðlðAD-ð2 Å›ðlðAD-ð2 Å›ðlðAD-ð2 Å›ðlðAD-ð2 Å›ðlðAD-ð2 Å›ðlðAD-ð2 Å›ð,
Ä™ð Å›ð
Å›ðjð Å›ðlð Å›ðVjð Å›ðVlð Å›ðDðKDd Å›ðDðVd Å›ð
Ä™ð
(25)
Ä™ð Å›ð
Å›ðKDd Å›ðKDd Å›ðKDd Å›ðKDd Å›ðKDd Å›ðKDd
Ä™ð
Å›ðjð Å›ðlð Å›ðVjð Å›ðVlð Å›ðDðKDd Å›ðDðVd Å›ð
Ä™ð Å›ð
Å›ðVd Å›ðVd Å›ðVd Å›ðVd Å›ðVd Å›ðVd
Ä™ð Å›ð
Ä™ð
Å›ðjð Å›ðlð Å›ðVjð Å›ðVlð Å›ðDðKDd Å›ðDðVd Å›ð
ëð ûð
biorąc pod uwagę konkretną postać poszczególnych pochodnych
cząstkowych, otrzymamy następującą postać macierzy C:
30
1 0 0 0 0 0
éð Å‚ð
Ä™ð0 1 Å›ð
0 0 0 0
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
1 0 0 0 0 0
Ä™ð0 1 Å›ð,
C =ð
0 0 0 0
Ä™ð Å›ð
Ä™ð0 0 KDdÅ›r KDdÅ›r -ð1 0 Å›ð
Ä™ð Å›ð
2 ×ðVN 2 ×ðVE
Ä™ð0 0 E1
E2 E3 -ð1Å›ð
ëð ûð
VE VE
E1 =ð cos KDd +ð VN sin KDd -ð VE cos KDd,
2 2 2 2
VN +ðVE VN +ðVE
VN VN
E2 =ð sin KDd +ð VE cos KDd -ð VN sin KDd,
2 2 2 2
VN +ðVE VN +ðVE
E3 =ð VN sin KDd -ðVE cos KDd,
31
W innym przypadku konfiguracji urządzeń pomiarowych,
wyszczególnione wektory i macierze mają następującą postać:
·ð wektor stanu
T
' '
x =ð[ðjð,lð,VN ,VE , aN , aE , aN , aE]ð ,
·ð wektor pomiarów
T
z =ð[ðjðDGPS ,lðDGPS ,VN ,VE , aN , aE ]ð ,
32
·ð macierz przejÅ›cia
2 3
éð Å‚ð
1 0 kjð dt 0 kjð dt / 2 0 kjð dt / 6 0
Ä™ð Å›ð
2 3
0 klð dt / 2 0 klð dt / 6Å›ð
Ä™ð0 1 0 klð dt
2
Ä™ð0 0 1 Å›ð
0 kjð dt 0 kjð dt / 2 0
Ä™ð Å›ð
2
1 0 klð dt 0 klð dt / 2Å›ð
Ä™ð0 0 0
Ai+ð1,i =ð
Ä™ð0 0 0 Å›ð,
0 1 0 kjð dt 0
Ä™ð Å›ð
0 0 1 0 klð dt
Ä™ð0 0 0 Å›ð
Ä™ð0 0 0 Å›ð
0 0 0 1 0
Ä™ð Å›ð
Ä™ð 0 0 0 0 1 Å›ð
ëð0 0 0 ûð
33
·ð macierz pomiarów
Å›ðjð Å›ðjð Å›ðjð Å›ðjð Å›ðjð Å›ðjð Å›ðjð Å›ðjð
éð Å‚ð
DGPS DGPS DGPS DGPS DGPS DGPS DGPS DGPS
Ä™ð ' /
Å›ðjð Å›ðlð Å›ðVN Å›ðVE Å›ðaN Å›ðaE Å›ðaN Å›ðaE Å›ð
Ä™ð Å›ð
Å›ðlð Å›ðlð Å›ðlð Å›ðlð Å›ðlð Å›ðlð Å›ðlð
Ä™ðÅ›ðlð DGPS DGPS DGPS DGPS DGPS DGPS DGPS DGPS Å›ð
' /
Ä™ð
Å›ðjð Å›ðlð Å›ðVN Å›ðVE Å›ðaN Å›ðaE
Å›ðaN Å›ðaE Å›ð
Ä™ð
Å›ðVN Å›ðVN Å›ðVN Å›ðVN Å›ðVN Å›ðVN Å›ðVN Å›ðVN Å›ð
Ä™ð Å›ð
' /
Ä™ð Å›ðjð Å›ðlð Å›ðVN Å›ðVE Å›ðaN Å›ðaE Å›ð
Å›ðaN Å›ðaE
C =ð
Ä™ð
Å›ðVE Å›ðVE Å›ðVE Å›ðVE Å›ðVE Å›ðVE Å›ðVE Å›ðVE Å›ð,
Ä™ð Å›ð
' /
Å›ðjð Å›ðlð Å›ðVN Å›ðVE Å›ðaN Å›ðaE Å›ðaN Å›ðaE Å›ð
Ä™ð
Ä™ð Å›ð
Å›ðaN Å›ðaN Å›ðaN Å›ðaN Å›ðaN Å›ðaN Å›ðaN Å›ðaN
Ä™ð
' /
Å›ðjð Å›ðlð Å›ðVN Å›ðVE Å›ðaN Å›ðaE Å›ðaN Å›ðaE Å›ð
Ä™ð Å›ð
Å›ðaE Å›ðaE Å›ðaE Å›ðaE Å›ðaE Å›ðaE Å›ðaE Å›ðaE Å›ð
Ä™ð
' /
Ä™ð
Å›ðjð Å›ðlð Å›ðVN Å›ðVE Å›ðaN Å›ðaE Å›ðaN Å›ðaE Å›ð
ëð ûð
34
biorąc pod uwagę konkretną postać poszczególnych pochodnych
cząstkowych, otrzymamy następującą postać macierzy C:
1 0 0 0 0 0 0 0
éð Å‚ð
Ä™ð0 1 0 0 0 0 0 0Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
0 0 1 0 0 0 0 0
C =ð
Ä™ð Å›ð,
Ä™ð0 0 0 1 0 0 0 0Å›ð
Ä™ð0 0 0 0 1 0 0 0Å›ð
Ä™ð Å›ð
Ä™ð Å›ð
ëð0 0 0 0 0 1 0 0ûð
35