Andrzej BANACHOWICZ
Katedra Metod Sztucznej Inteligencji i Matematyki Stosowanej
ANALIZA SYSTEMOWA
Szczecin 201
1
NUMERYCZNE METODY ROZWI
ZYWANIA
RÓWNAC
RÓŻNICZKOWYCH
Istnienie i jednoznaczność rozwiązań.
Typowe zagadnienie poczÄ…tkowe (zagadnienie
Cauchy ego) wyraża się następującymi zależnościami:
(1)
2
Nie każde zagadnienie początkowe (1) ma rozwiązanie.
Jednakże może być spełnione dla pewnej klasy funkcji
Twierdzenie.
Jeśli dla pewnych funkcja jest ciągła w
prostokÄ…cie
,
to zagadnienie (1) ma rozwiÄ…zanie dla
, gdzie .
3
 Jeśli funkcja jest ciągła, to zagadnienie początkowe
może mieć wiele rozwiązań.
Na przykład zagadnienie ma
rozwiązanie trywialne , ale także postaci .
Jednoznaczność rozwiązania wymaga nałożenia
dodatkowych warunków na funkcje.
4
Twierdzenie.
Jeśli funkcje oraz są ciągłe w prostokącie
,
to dla zagadnienie poczÄ…tkowe ma
jednoznaczne rozwiÄ…zanie.
Inne, tego typu twierdzenie, jest oparte na nierówności
Lipschitza.
5
Twierdzenie.
Jeśli funkcja jest ciągła dla , i
jeśli istnieje stała taka, że zachodzi nierówność
to zagadnienie poczÄ…tkowe ma w
przedziale jednoznaczne rozwiÄ…zanie.
6
Powyższa nierówność nosi nazwę warunku Lipschitza
(względem drugiej zmiennej  ).
Dla funkcji jednej zmiennej , warunek
pociąga za sobą ciągłość tej funkcji. I może być również
spełniony, gdy jej pochodna nie wszędzie istnieje.
7
Jeśli pochodna istnieje i jeśli to na
mocy twierdzenia o wartości średniej spełniony jest warunek
Lipschitza.
Przykład.
Wykazać, że następujące zagadnienie początkowe ma
rozwiÄ…zanie: dla
8
Mamy
ale , to
dla oraz
9
 Zastosowanie wzoru Taylora.
Rozwiązując numerycznie równanie różniczkowe, na ogół
otrzymujemy tablicę przybliżeń wartości dokładnego
rozwiązania dla argumentów Na podstawie tej tablicy
budujemy funkcję przybliżającą to rozwiązanie.
Przykład.
Korzystając ze wzoru Taylora zakładamy istnienie
odpowiednich pochodnych funkcji f. Rozpatrzmy następujący
zadanie.
10
Dane jest zagadnienie Cauchy ego:
Ze wzoru Taylora mamy
w którym odrzucono pochodne począwszy od piątej.
11
Wyrażenie na pierwszą pochodną mamy dane w
zagadnieniu początkowym. Wyższe pochodne otrzymamy
różniczkując to wyrażenie.
Mamy więc
,
,
.
12
Stąd, ze wzoru Taylora otrzymamy następujący ciąg
rekurencyjny:
i wykorzystując obliczone pochodne powyżej pochodne,
przyjmujÄ…c , otrzymamy
13
14
Oraz uwzględniając warunek , będziemy mieli:
& & & & & & & & & & & & & & & & & &
15
t x x' x - obliczone numerycznie Różnice
0 -0,5000 1,0000 -0,5000 0,0000
0,1 -0,3900 1,1987 -0,3900 0,0000
0,2 -0,2605 1,3894 -0,2605 0,0000
0,3 -0,1127 1,5646 -0,1127 0,0000
0,4 0,0516 1,7174 0,0516 0,0000
0,5 0,2298 1,8415 0,2298 0,0000
0,6 0,4188 1,9320 0,4188 0,0000
0,7 0,6150 1,9854 0,6150 0,0000
0,8 0,8146 1,9996 0,8146 0,0000
0,9 1,0136 1,9738 1,0136 0,0000
1 1,2081 1,9093 1,2081 0,0000
1,1 1,3943 1,8085 1,3942 0,0000
1,2 1,5687 1,6755 1,5687 0,0000
1,3 1,7284 1,5155 1,7284 0,0000
1,4 1,8711 1,3350 1,8711 0,0000
1,5 1,9950 1,1411 1,9950 0,0000
1,6 2,0991 0,9416 2,0991 0,0000
1,7 2,1834 0,7445 2,1834 0,0000
1,8 2,2484 0,5575 2,2484 0,0000
1,9 2,2955 0,3881 2,2955 0,0000
2 2,3268 0,2432 2,3268 0,0000
2,1 2,3451 0,1284 2,3451 0,0000
2,3 2,3561 0,0063 2,3537 0,0024
2,4 2,3563 0,0038 2,3538 0,0024
2,5 2,3582 0,0411 2,3558 0,0024
2,6 2,3657 0,1165 2,3633 0,0024
2,7 2,3827 0,2272 2,3802 0,0024
2,8 2,4122 0,3687 2,4098 0,0024
2,9 2,4572 0,5354 2,4548 0,0024
16
Numeryczne rozwiązanie równanie różniczkowego  wzór Taylora.
17
Wady i zalety:
Wady  Jeśli rząd metody (stopień wykorzystywanej
pochodnej) jest większy od 1, to zachodzi konieczność
wielokrotnego różniczkowania funkcji . Jej odpowiednie
pochodne muszą istnieć w obszarze, przez które przechodzi
poszukiwane rozwiÄ…zanie. Jest to warunek znacznie
mocniejszy niż ten, który zapewnia istnienie i jednoznaczność
rozwiązania. Ewentualna pomyłka popełniona podczas
analitycznego różniczkowania funkcji nie będzie wykryta
podczas obliczeń numerycznych.
18
Zalety  Zaletą jest prostota metody oraz fakt, że na niej
opiera siÄ™ wiele innych metod rozwiÄ…zywania numerycznego
równań różniczkowych zwyczajnych. Zapewnia też ona dużą
dokładność, gdy uwzględni się pochodne wyższych stopni.
19
Błędy.
W metodzie wykorzystującej wzór Taylora uwzględniamy
składniki aż do zawierającego Odrzucona reszta jest
równa
Jest to błąd lokalny metody.
20
Nie znamy  szej pochodnej, ale jej proste
przybliżenie określa wzór
21
Ogólnie, błędy występujące w każdej metodzie
rozwiązywania numerycznego równań różniczkowych
zwyczajnych zaliczamy do następujących grup:
a) błąd lokalny metody,
b) błąd lokalny zaokrąglenia,
c) błąd globalny metody,
d) błąd globalny zaokrąglenia,
e) błąd całkowity.
22
Błąd lokalny metody, podobnie jak w powyższym
przykładzie, jest skutkiem obcięcia procesu (wyrażenia)
nieskończonego do postaci skończonej. Bywa też nazywany
błędem obcięcia.
Błąd lokalny przenosi się na wartości obliczane w
następnych krokach. Skutki wszystkich błędów lokalnych
metody kumulują się i dają błąd globalny metody (wartości
końcowej).
23
Błędy lokalne rzędu dają błąd globalny nie
mniejszy niż , gdyż liczba kroków niezbędna dla
przejścia od do dowolnego wynosi
BÅ‚Ä…d zaokrÄ…glenia spowodowany jest ograniczonÄ…
precyzją obliczeń, a jego wielkość zależy od typu liczb, na
których operuje komputer. Również ten błąd lokalny przenosi
się na błąd globalny zaokrąglenia (końcowej wartości).
Błąd całkowity jest sumą błędów globalnych metody i
zaokrÄ…glenia.
24
 Metoda Eulera.
Metodą rzędu pierwszego, opartą na wzorze Taylora, jest
metoda Eulera. Przedstawia ją następujący wzór:
Zaletą tej metody jest jej prostota oraz to, że nie musimy
różniczkować funkcji Wadą jest konieczność wyboru
bardzo małego (ze względu na dokładność).
25
Metoda ta ma także ważne znaczenie teoretyczne, bowiem
na metodzie Eulera oparty jest jeden z dowodów istnienia
rozwiÄ…zania zagadnienia Cauchy ego.
Przykład.
Ruch obiektu na płaszczyz
nie (statku, samolotu) opisuje
następujące równanie
gdzie:  wektor położenia (współrzędnych),  wektor
prędkości, który znamy tylko z pomiarów.
26
 RozwiÄ…zaniem jest:
·ð DR  (metoda Eulera)
·ð INS 
27
Rys. Nawigacja zliczeniowa.
28
Równanie z opóz
nionym argumentem.
W niektórych zastosowaniach występują równania
różniczkowe z opóz
nionym argumentem; na przykład w
biologicznych modelach zmienności populacji.
Wówczas wartość zależy od wartości funkcji dla
wcześniejszych wartości argumentu Przykładem jest
równanie
29
Aby rozwiązać takie równanie zaczynając od momentu
, musimy znać historię funkcji w przedziale
SÄ… to warunki poczÄ…tkowe tego zagadnienia.
Przykład.
Rozpatrzmy zagadnienie
StÄ…d, dla mamy
30
Dokładne rozwiązanie będzie następujące:
Następnie dla będziemy mieli
i dokładne rozwiązanie
itd.
31
 W przypadku bardziej złożonych równań różniczkowych
rozwiązujemy je numerycznie, np. wykorzystując wzór
Taylora.
32
 Metody Rungego  Kutty.
Wykorzystując wzór Taylora do rozwiązania zagadnienia
początkowego w metodzie  tego rzędu musimy znalez
ć
wyrażenia dla pochodnych funkcji względem , aż do  tej
pochodnej włącznie.
Metody Rungego  Kutty pozwalają na pominięcie tego
procesu. Zamiast pochodnych będziemy obliczali, dobrane w
pewien sposób, kombinacje wartości funkcji
33
 Metoda Rungego  Kutty rzędu drugiego.
Wykorzystamy związek pomiędzy i występujący w
zagadnieniu poczÄ…tkowym. Mamy
to
oraz
itd.
34
Uwaga: Występują tutaj funkcje złożone i pochodne
czÄ…stkowe.
Obliczone w ten sposób pochodne wstawiamy do wzoru
Taylora:
35
Pochodne cząstkowe można wyeliminować wykorzystując
wzór Taylora dla funkcji dwóch zmiennych. Mamy
czyli
36
Stąd przybliżone wyrażenie dla będzie
następujące:
gdzie
Jest to szczególny przypadek metody Rungego  Kutty rzędu
drugiego, zwany metodÄ… Heuna.
37
 Metoda Rungego  Kutty rzędu czwartego.
Konstrukcja metod Rungego  Kutty wyższych rzędów
jest dosyć uciążliwa i przedstawimy tylko metodę czwartego
rzędu.
Klasyczną postać metody Rungego  Kutty rzędu
czwartego przedstawia następujący wzór:
gdzie
38
39
Rząd tej metody jest równy 4, ponieważ błąd wzoru
przybliżonego wynosi ; wyrażenie składnika błędu z
jest znane.
Przykład.
Zastosować metodę Rungego  Kutty czwartego rzędu do
zagadnienia poczÄ…tkowego
40
Mamy następujący ciąg:
dalej odpowiednio, podstawiajÄ…c
41
Rozwiązanie analityczne jest następujące:
42
BÅ‚Ä…d lokalny metody Rungego  Kutty
czwartego rzędu.
W pierwszym kroku obliczeń otrzymujemy przybliżone
rozwiązanie Błąd lokalny wynosi więc
Z badań nad tą metodą wynika, że dla małych błąd ten
zachowuje się jak czynnik gdzie jest nieznane i zależy
od oraz rozwiązania (lecz nie zależy od ).
43
Załóżmy, że jest lokalnie stałe. Niech będzie
przybliżonym rozwiązaniem otrzymanym z z
wykorzystaniem dwóch kroków metody, z w miejsce
StÄ…d mamy
oraz
44
Uwzględniając powyższe, po odpowiednich
przekształceniach, otrzymamy lokalny błąd równy
Na tej podstawie możemy sterować tak programem
obliczeń, aby utrzymywać założony błąd metody,
zmniejszając lub zwiększając
45
Adaptacyjna metoda Rungego  Kutty  Fehlberga.
Wykazano, że jeśli liczba wartości funkcji obliczanych
w jednym kroku metody Rungego  Kutty jest ustalona, to jej
rząd nie przekracza pewnej wielkości:
Liczba wartości funkcji 1 2 3 4 5 6 7 8
Maksymalny rzÄ…d metody R.  K. 1 2 3 4 4 5 6 6
46