7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.1. Zasada zesztywnienia
Rzeczywiste belki są zbudowane z prętów, które pod wpływem obciążenia zmieniają
swój kształt oraz wymiary.
Jednak badania tych konstrukcji udowodniły, że zmiany te są małe w porównaniu
z wymiarami belek.
Spostrzeżenie to pozwala nam wprowadzić zasadę zesztywnienia. Mówi ona, że
reakcje na podporach oraz siły przekrojowe w belkach obliczamy dla belki
nieodkształconej. Pozwala to znacznie uprościć obliczenia.
Dr inż. Janusz Dębiński 1
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.2. Obciążenia belek
Typowa belka jest obciążona następującymi rodzajami obciążenia:
1. siłami czynnymi i reakcjami
2. momentem obrotowym
3. obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym prostopadłym do osi pręta.
M0
q
P
HA
VA
VB
Dr inż. Janusz Dębiński 2
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.3. Reakcje na podporach belek
Podstawowa procedura wyznaczania wartości i zwrotów reakcji podporowych belki
prostej składa się z następujących kroków:
1. sprawdzenie warunku koniecznego i dostatecznych geometrycznej niezmienności
2. założenie zwrotów wszystkich trzech reakcji
3. zapisanie trzech równań równowagi (równania te powinny być tak zapisane aby
z każdego dało się wyznaczyć po jednej reakcji)
4. sprawdzenie obliczeń przez zastosowanie dodatkowego równania równowagi.
Dr inż. Janusz Dębiński 3
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.3. Reakcje na podporach belek
Podstawowa procedura wyznaczania wartości i zwrotów reakcji podporowych belki
zbudowanej z t prętów składa się z następujących kroków:
1. sprawdzenie warunku koniecznego i dostatecznych geometrycznej niezmienności
2. rozdzielenie belki złożonej na belki proste (podziału dokonujemy w przegubach)
3. założenie zwrotów wszystkich reakcji
4. zapisanie po trzy równania równowagi dla każdej belki prostej (równania te
powinny być tak zapisane aby z każdego dało się wyznaczyć po jednej reakcji)
5. sprawdzenie obliczeń przez zastosowanie dodatkowych równań równowagi.
Dr inż. Janusz Dębiński 4
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.3. Reakcje na podporach belek
Belka swobodnie podparta.
HA A
Y B
X
VA
VB
�ą X =0 �ą M =0 �ą M =0
B A
Równanie równowagi dla sprawdzenia obliczeń
�ą Y =0
Dr inż. Janusz Dębiński 5
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.3. Reakcje na podporach belek
Belka wspornikowa
MA
HA
Y
B
X A
VA
�ą X =0 �ą M =0 �ą M =0
A B
Równanie równowagi dla sprawdzenia obliczeń
�ą Y =0
Dr inż. Janusz Dębiński 6
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.3. Reakcje na podporach belek
Belka złożona
śą II źą
�ą X =0
śą II źą
�ą M =0
D
A B C D
śą II źą
�ą M =0
C
Sprawdzenie
śą II źą
�ą Y =0
HC(II) C
II
D
HC(I) C HC(II)
śąC źą
Y
�ą X =0
VC(II)
X
śąC źą
VC(I)
�ą Y =0
VD
VC(II)
śą I źą
�ą X =0
VC(I)
HA A
I
B
śą I źą
�ą M =0
B
HC(I)
C
śą I źą
�ą M =0
A
VA
VB
Sprawdzenie
śą I źą
�ą Y =0
Dr inż. Janusz Dębiński 7
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.3. Reakcje na podporach belek
Belka złożona
śą II źą
�ą X =0
śą II źą
�ą M =0
A B C
C
śą II źą
�ą M =0
B
Sprawdzenie
HB(II) B
II
C
śą II źą
HB(I) B HB(II)
�ą Y =0
Y
VB(II)
X śą Bźą
VB(I)
�ą X =0
VC
VB(II)
śą Bźą
�ą Y =0
MA
VB(I)
HA
I śą I źą
A
�ą X =0
HB(I) Sprawdzenie
B
śą I źą
�ą M =0
A
śą I źą
�ą Y =0
śą I źą
VA
�ą M =0
B
Dr inż. Janusz Dębiński 8
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.3. Reakcje na podporach belek
Belka złożona
śą II źą
�ą X =0
śą Bźą
�ą X =0
A B C D
śą I źą
�ą X =0
śą I źą
�ą M =0
B
HB(II) B śą I źą
II
C D
�ą M =0
A
HB(I) B HB(II)
Y
VB(II)
Sprawdzenie
X
VB(I)
śą I źą
VC VD
VB(II)
�ą Y =0
śą Bźą
VB(I)
�ą Y =0
HA A
I
śą II źą
�ą M =0
D
HB(I)
B Sprawdzenie
śą II źą
�ą M =0
śą II źą
C
�ą Y =0
VA
Dr inż. Janusz Dębiński 9
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.3. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych metodą ogólną
Aby wyznaczyć wykresy sił przekrojowych w belce metodą ogólną musimy
wykonać następujące kroki:
1. sprawdzić warunki konieczny i dostateczne geometrycznej niezmienności belki
prostej lub złożonej
2. wyznaczyć wartości i zwroty reakcji podporowych i sprawdzić je
3. podzielić belkę na przedziały
4. przeciąć belkę w dowolnym punkcie przedziału i wyznaczyć funkcje sił
przekrojowych rozpatrując równowagę jej odciętej części
5. w każdym przedziale sprawdzić równania różniczkowe równowagi
6. narysować wykresy sił przekrojowych.
Dr inż. Janusz Dębiński 10
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.3. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych metodą ogólną
Aby wyznaczyć wykresy sił przekrojowych w belce metodą ogólną musimy
zastosować następujące równania równowagi:
1. sumę rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na kierunek siły
normalnej
2. sumę rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na kierunek siły
poprzecznej
3. sumę momentów wszystkich sił działających na odciętą część belki względem
punktu, w którym ją przecinamy.
Dr inż. Janusz Dębiński 11
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.3. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych metodą ogólną
Miejscami podziału belki prostej lub złożonej na poszczególne przedziały są punkty,
w których:
1. znajdują się podpory belek (w tym także przeguby)
2. przyłożone są siły czynne
3. przyłożone są momenty obrotowe
4. zaczyna i kończy się obciążenie ciągłe.
Dr inż. Janusz Dębiński 12
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.3. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych metodą ogólną
Podział belki prostej na przedziały
A F
B C D E
Dr inż. Janusz Dębiński 13
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.3. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych metodą ogólną
Podział belki prostej na przedziały
A E
B C D
Dr inż. Janusz Dębiński 14
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.3. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych metodą ogólną
Podział belki złożonej na przedziały
B C D
A
E
Dr inż. Janusz Dębiński 15
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.3. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych metodą ogólną
Podział belki złożonej na przedziały
B F
A
G
C D E
Dr inż. Janusz Dębiński 16
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.4. Zadanie 1
Narysować wykresy sił przekrojowych dla belki wspornikowej przedstawionej na
poniższym rysunku.
P
A
B
L
Dr inż. Janusz Dębiński 17
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.4. Zadanie 1
Analiza kinematyczna belki wspornikowej.
I
1
2 3
t = 1
p = 3
3"1 = 3
Kierunki trzech prętów podporowych nie przecinają się w jednym punkcie.
Belka wspornikowa - geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna.
Dr inż. Janusz Dębiński 18
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.4. Zadanie 1
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych.
MA
P
Y
A
HA
B
VA
X
L
�ą X =0 �ą M =0 �ą M =0 �ą Y =V -P=P-P=0
A B A
H =0
M �ąP�"L=0 V �"L�ąM =0
A
A A A
M =-P�"L V �"L-P�"L=0
A A
V =P
A
Dr inż. Janusz Dębiński 19
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.4. Zadanie 1
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych.
P
P"L
A
B
P
L
Dr inż. Janusz Dębiński 20
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.4. Zadanie 1
Siły przekrojowe w przedziale AB
P"L
M(x)
A
X
N(x)
T(x)
P
x
�ą N =N śą xźą=0 �ą M =-M śąxźą�ąP�"x-P�"L=0
N śą xźą=0 M śąxźą=P�"x-P�"L
�ą T =T śą xźą-P=0
d M śąxźą=P=T śą xźą M śą0źą=-P�"L
T śą xźą=P
dx
M śąLźą=0
Dr inż. Janusz Dębiński 21
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.4. Zadanie 1
P
P"L
A
B
Wykresy sił przekrojowych
w belce wspornikowej
P
L
P
T(x)
P"L
M(x)
0
Dr inż. Janusz Dębiński 22
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.5. Zadanie 2
Narysować wykresy sił przekrojowych dla belki wspornikowej przedstawionej na
poniższym rysunku.
q
A
B
L
Dr inż. Janusz Dębiński 23
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.5. Zadanie 2
Analiza kinematyczna belki wspornikowej.
I
1
2 3
t = 1
p = 3
3"1 = 3
Kierunki trzech prętów podporowych nie przecinają się w jednym punkcie.
Belka wspornikowa - geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna.
Dr inż. Janusz Dębiński 24
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.5. Zadanie 2
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych.
L L
2 2
q"L
q
Y
MA
HA
A
B
X
VA
L
Dr inż. Janusz Dębiński 25
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.5. Zadanie 2
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych.
q
Y
MA
HA
A
B
X
�ą Y =V -q�"L=q�"L-q�"L=0
A
VA
L
�ą X =0
�ą M =M �ąq�"L�"L =0 �ą M =V �"L�ąM -q�"L�"L=0
A A B A A
H =0
2 2
A
q�"L2 q�"L2 -q�"L�"L =0
M =- V �"L-
A A
2 2 2
V =q�"L
A
Dr inż. Janusz Dębiński 26
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.5. Zadanie 2
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych.
q
q�"L2
2
A
B
q"L
L
Dr inż. Janusz Dębiński 27
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.5. Zadanie 2
Siły przekrojowe w przedziale AB
L L
2 2
q"x
q
q�"L2
M(x)
2
A
X
N(x)
T(x)
q"L
x
Dr inż. Janusz Dębiński 28
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.5. Zadanie 2
Siły przekrojowe w przedziale AB
q
q�"L2
2
A
X
N(x)
T(x)
q"L
x
�ą N =N śą xźą=0 �ą T =T śą xźą- q�"L�ąq�"x=0
N śą xźą=0 T śą xźą=-q�"x�ąq�"L
d T śą xźą=-q=-qśą xźą T śą0źą=q�"L
dx
T śą Lźą=-q�"L�ąq�"L=0
Dr inż. Janusz Dębiński 29
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.5. Zadanie 2
Siły przekrojowe w przedziale AB
q
q�"L2
M(x)
2
A
X
N(x)
T(x)
q"L
x
q�"L2 -q�"x=0
�ą M =-M śąxźą�ą q�"L�"x�ą
2
q�"x2 �ąq�"L�"x- q�"L2
M śąxźą=-
2 2
Dr inż. Janusz Dębiński 30
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.5. Zadanie 2
Siły przekrojowe w przedziale AB
q
q�"L2
M(x)
2
A
X
N(x)
T(x)
q"L
x
q�"x2 �ąq�"L�"x- q�"L2
M śąxźą=-
T śą xźą=-q�"x�ąq�"L
2 2
d M śąxźą=-q�"x�ąq�"L=T śą xźą
dx
Dr inż. Janusz Dębiński 31
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.5. Zadanie 2
Siły przekrojowe w przedziale AB
q
q�"L2
M(x)
2
A
X
N(x)
T(x)
q"L
q�"L2
x
M śą0źą=-
2
2
L q�" L q�"L2 =- q�"L2
M =- �ąq�"L�"L -
śą źą śą źą
q�"x2 �ąq�"L�"x- q�"L2
2 2 2 2 2 8
M śąxźą=-
2 2
q�"L2 �ąq�"L�"L- q�"L2 =0
M śąLźą=-
2 2
Dr inż. Janusz Dębiński 32
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.5. Zadanie 2
q�"L2
2
q
A
B
Wykresy sił przekrojowych
w belce wspornikowej
q"L
L
q"L
T(x)
L 0
2
q�"L2
2
0
M(x)
q�"L2/8
Dr inż. Janusz Dębiński 33
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.6. Zadanie 3
Narysować wykresy sił przekrojowych dla belki swobodnie podpartej
przedstawionej na poniższym rysunku.
P
A C
B
L L
2 2
L
Dr inż. Janusz Dębiński 34
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.6. Zadanie 3
Analiza kinematyczna belki swobodnie podpartej
I
1
3
2
t = 1
p = 3
3"1 = 3
Kierunki trzech prętów podporowych nie przecinają się w jednym punkcie.
Belka swobodnie podparta - geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna.
Dr inż. Janusz Dębiński 35
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.6. Zadanie 3
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych.
P
Y
HA A
C
B
VA
VC
L L
2 2
X
L
�ą X =0
�ą M =V �"L-P�"L =0 �ą M =-V �"L�ąP�"L =0
C A A C
H =0 2 2
A
P P
V = V =
A C
2 2
P P
�ą Y =V �ąV -P= �ą -P=0
A C
2 2
Dr inż. Janusz Dębiński 36
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.6. Zadanie 3
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych.
P
A C
B
P P
L L
2 2
2 2
L
Dr inż. Janusz Dębiński 37
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.6. Zadanie 3
Siły przekrojowe w przedziale AB
N(x)
A X
T(x)
M(x)
P
2
x
P�"x=0
�ą N =N śą xźą=0
�ą M =-M śąxźą�ą
2
N śą xźą=0
M śą0źą=0
P�"x
M śą xźą=
P
2
L P�"L= P�"L
�ą T =T śą xźą- =0
M =
2
d M śąxźą= =T śą xźą śą źą
P
2 2 2 4
P
dx 2
T śą xźą=
2
Dr inż. Janusz Dębiński 38
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.6. Zadanie 3
Siły przekrojowe w przedziale BC
N(x)
X C
T(x)
M(x)
P
2
x
P�"x=0
�ą N =N śą xźą=0
�ą M =M śą xźą-
2
N śą xźą=0
M śą0źą=0
P�"x
M śą xźą=
2
L P�"L= P�"L
P
M =
�ą T =T śą xźą�ą =0
śą źą
2 2 2 4
2
d M śąxźą= =-T śąxźą
P
P
dx 2
T śą xźą=-
2
Dr inż. Janusz Dębiński 39
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.6. Zadanie 3
P
Wykresy sił przekrojowych
A C
w belce swobodnie
B
podpartej
P P
L L
2 2
2 2
L
P
2
T(x)
P
P�"L
P�"L
0 0
2
4
4
M(x)
Dr inż. Janusz Dębiński 40
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.7. Zadanie 4
Narysować wykresy sił przekrojowych dla belki swobodnie podpartej
przedstawionej na poniższym rysunku.
q
A B
L
Dr inż. Janusz Dębiński 41
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.7. Zadanie 4
Analiza kinematyczna belki swobodnie podpartej
I
1
3
2
t = 1
p = 3
3"1 = 3
Kierunki trzech prętów podporowych nie przecinają się w jednym punkcie.
Belka swobodnie podparta - geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna.
Dr inż. Janusz Dębiński 42
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.7. Zadanie 4
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych.
L L
2 2
q"L
Y
q
A
HA
B
VA
X
VB
L
�ą X =0
�ą M =V �"L-q�"L�"L=0 �ą M =-V �"L�ąq�"L�"L =0
B A A B
H =0
2 2
A
q�"L q�"L
V = V =
A B
q�"L q�"L 2 2
�ą Y =V �ąV -q�"L= �ą -q�"L=0
A B
2 2
Dr inż. Janusz Dębiński 43
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.7. Zadanie 4
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych.
q
A B
q�"L
q�"L
2
2
L
Dr inż. Janusz Dębiński 44
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.7. Zadanie 4
Siły przekrojowe w przedziale AB
x x
Miejsce zerowe funkcji
siły poprzecznej
2 2
q�"L=0
-q�"x0�ą
q"x
2
q L
x0=
2
N(x)
X
A
T(x)
q�"L
2
x
q�"L q�"L
�ą N =N śą xźą=0
�ą T =T śą xźą- �ąq x=0 T śą0źą=
2 2
N śą xźą=0
q�"L
T śąxźą=-q�"x�ą
q�"L=- q�"L
T śą Lźą=-q�"L�ą
2
d T śą xźą=-q=-q śą xźą
2 2
dx
Dr inż. Janusz Dębiński 45
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.7. Zadanie 4
Siły przekrojowe w przedziale AB
x x
2 2
q"x
q
N(x)
X
A
T(x)
q�"L M(x)
2
x
q�"L�"x-q�"x�"x
�ą M =-M śąxźą�ą =0
2 2
q�"x2 �ą q�"L�"x
M śą xźą=-
2 2
Dr inż. Janusz Dębiński 46
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.7. Zadanie 4
Siły przekrojowe w przedziale AB
q
N(x)
X
A
T(x)
q�"L M(x)
2
x
M śą0źą=0
q�"x2 �ą q�"L�"x
M śąxźą=-
2 2
2
L q�" L q�"L�"L q�"L2
M =- �ą =
q�"L
śą źą śą źą
2 2 2 2 2 8
T śą xźą=-q�"x�ą
2
q�"L2 �ą q�"L�"L=0
d M śąxźą=- M śąLźą=-
q�"2�"x�ą q�"L q�"L=T xźą
=-q�"x�ą śą
2 2
dx 2 2 2
Dr inż. Janusz Dębiński 47
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.7. Zadanie 4
q
Wykresy sił przekrojowych
A B
w belce swobodnie
podpartej
q�"L
q�"L
2
2
L
q�"L
2
T(x)
q�"L
L L
2
2 2
0 0
M(x)
q�"L2
8
Dr inż. Janusz Dębiński 48
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.8. Zapisywanie funkcji siły normalnej, poprzecznej oraz momentu
zginającego
x x
2 2
q"x
q
N(x)
X
A
T(x)
q�"L M(x)
2
x
q�"L q�"x2 �ą q�"L�"x
T śą xźą=-q�"x�ą M śąxźą=-
2 2 2
Dr inż. Janusz Dębiński 49
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.8. Zapisywanie funkcji siły normalnej, poprzecznej oraz momentu
zginającego
Jeżeli siła czynna, reakcja lub siła wypadkowa z obciążenia ciągłego ma ten sam
zwrot co dodatnia siła normalna lub poprzeczna, to zapisujemy ją z minusem.
Jeżeli siła czynna, reakcja lub siła wypadkowa z obciążenia ciągłego ma zwrot
przeciwny do dodatniej siły normalnej lub poprzecznej, to zapisujemy ją z plusem.
Jeżeli siła czynna, reakcja, siła wypadkowa z obciążenia ciągłego lub moment
obrotowy kręci względem punktu przecięcia w tę samą stronę co dodatni
moment zginający, to zapisujemy ją z minusem.
Jeżeli siła czynna, reakcja, siła wypadkowa z obciążenia ciągłego lub moment
obrotowy kręci względem punktu przecięcia w przeciwną stronę co dodatni
moment zginający, to zapisujemy ją z plusem.
Dr inż. Janusz Dębiński 50
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.9. Zadanie 5
Narysować wykresy sił przekrojowych dla belki swobodnie podpartej
przedstawionej na poniższym rysunku.
31,2 kN/m
46,8 kN
C
A
B D
[m]
2,0 4,0 2,0
Dr inż. Janusz Dębiński 51
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.9. Zadanie 5
Analiza kinematyczna belki swobodnie podpartej
I
1
2
3
t = 1
p = 3
3"1 = 3
Kierunki trzech prętów podporowych nie przecinają się w jednym punkcie.
Belka swobodnie podparta - geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna.
Dr inż. Janusz Dębiński 52
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.9. Zadanie 5
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych
31,2 kN/m
46,8 kN
Y
HA A
C
B D
[m]
VA
VC
X
2,0 4,0 2,0
�ą X =0
�ą M =V �"6,0-31,2�"4,0�"4,0�ą46,8�"2,0=0
C A
H =0
2
A
V =26,0 kN
A
4,0
�ą M =-V �"6,0�ą31,2�"4,0�" 2,0�ą �ą46,8�"8,0=0
A C
śą źą
2
V =145,6kN
C
Dr inż. Janusz Dębiński 53
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.9. Zadanie 5
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych
31,2 kN/m
46,8 kN
Y
HA A
C
B D
[m]
VA
VC
X
2,0 4,0 2,0
�ą Y =V �ąV -31,2�"4,0-46,8=26,0�ą145,6-31,2�"4,0-46,8=0
A C
Dr inż. Janusz Dębiński 54
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.9. Zadanie 5
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych
31,2 kN/m
46,8 kN
C
A
B D
[m]
26,0 kN
145,6 kN
2,0 4,0 2,0
Dr inż. Janusz Dębiński 55
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.9. Zadanie 5
Siły przekrojowe w przedziale AB
M(x)
X
A
N(x)
T(x)
26,0 kN
x
N śą xźą=0 T śą xźą=26,0 kN M śąxźą=26,0�"x
M śą0,0źą=0,0 kN�"m
d M śąxźą=26,0 kN=T śą xźą
dx
M śą2,0źą=26,0�"2,0=52,0 kN�"m
Dr inż. Janusz Dębiński 56
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.9. Zadanie 5
Siły przekrojowe w przedziale BC
31,2 kN/m
N(x)
X
A
B
T(x)
26,0 kN
[m]
2,0 x
N śą xźą=0 T śą xźą=-31,2�"x�ą26,0 T śą0,0źą=26,0 kN
T śą4,0źą=-31,2�"4,0�ą26,0=-98,8 kN
d T śą xźą=-31,2 =-q śą xźą
kN kN
qśą xźą=31,2
m dx m
-31,2�"x0�ą26,0=0
x0=0,8333m
Dr inż. Janusz Dębiński 57
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.9. Zadanie 5
Siły przekrojowe w przedziale BC
31,2 kN/m
N(x)
X
A
B
T(x) M(x)
T śą xźą=-31,2�"x�ą26,0
26,0 kN
[m]
2,0 x
M śąxźą=-31,2�"x�"x �ą26,0�"śą x�ą2,0źą=
2
=-15,6�"x2�ą26,0�"x�ą52,0
d M śąxźą=-31,2�"x�ą26,0=T śą xźą
dx
Dr inż. Janusz Dębiński 58
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.9. Zadanie 5
Siły przekrojowe w przedziale BC
31,2 kN/m
N(x)
X
A
B
T(x) M(x)
26,0 kN
[m]
2,0 x
M śą0,0źą=52,0 kN�"m
śą źą
M x =-15,6�"x2�ą26,0�"x�ą52,0
M śą0,8333źą=-15,6�"0,83332�ą26,0�"0,8333�ą52,0=62,83 kN�"m
M śą4,0źą=-15,6�"4,02�ą26,0�"4,0�ą52,0=-93,6 kN�"m
Dr inż. Janusz Dębiński 59
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.9. Zadanie 5
Siły przekrojowe w przedziale CD
46,8 kN
T(x)
N(x)
X
D
M(x) x
N śą xźą=0 T śą xźą=46,8 kN M śąxźą=-46,8�"x
M śą0,0źą=0,0 kN�"m
d M śąxźą=-46,8 kN=-T śą xźą
dx
M śą2,0źą=-46,8�"2,0=-93,6 kN�"m
Dr inż. Janusz Dębiński 60
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
31,2 kN/m
7.9. Zadanie 5
46,8 kN
A C
Wykresy sił przekrojowych
B D
w belce swobodnie
podpartej
[m]
145,6 kN
26,0 kN
2,0 4,0 2,0
46,8
26,0
T(x) [kN]
0,8333 3,167
M(x) [kN"m]
Dr inż. Janusz Dębiński 61
98,8
52,0
52,0
62,83
0,0
0,0
93,6
93,6
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.10. Zadanie 6
Narysować wykresy sił przekrojowych dla belki swobodnie podpartej
przedstawionej na poniższym rysunku.
40,0 kN
32,0 kN/m
12,0 kN
C
A
D
B
[m]
2,0 6,0 2,0
Dr inż. Janusz Dębiński 62
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.10. Zadanie 6
Analiza kinematyczna belki swobodnie podpartej
I
1
2
3
t = 1
p = 3
3"1 = 3
Kierunki trzech prętów podporowych nie przecinają się w jednym punkcie.
Belka swobodnie podparta - geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalna.
Dr inż. Janusz Dębiński 63
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.10. Zadanie 6
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych
40,0 kN
32,0 kN/m
12,0 kN
HA A
C
Y
B
D
X
VA
[m]
VC
2,0 6,0 2,0
�ą X =0
�ą M =V �"8,0-40,0�"6,0-32,0�"8,0�"8,0 �ą12,0�"2,0=0
C A
H =0
2
A
V =155,0 kN
A
�ą M =-V �"8,0�ą40,0�"2,0�ą32,0�"8,0�"8,0 �ą12,0�"10,0=0
A C
2
V =153,0 kN
C
Dr inż. Janusz Dębiński 64
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.10. Zadanie 6
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych
40,0 kN
32,0 kN/m
12,0 kN
HA A
C
Y
B
D
X
VA
[m]
VC
2,0 6,0 2,0
H =0,0 kN V =155,0 kN V =153,0 kN
A A C
�ą Y =V �ąV -40,0-32,0�"8,0-8,0=155,0�ą153,0-40,0-32,0�"8,0-12,0=0
A C
Dr inż. Janusz Dębiński 65
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.10. Zadanie 6
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych
40,0 kN
32,0 kN/m
12,0 kN
A
C
B
D
155,0 kN [m]
153,0 kN
2,0 6,0 2,0
Dr inż. Janusz Dębiński 66
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.10. Zadanie 6
Siły przekrojowe w przedziale AB
32,0 kN/m
N(x)
X
A
T(x)
155,0 kN
x
N śą xźą=0
d T śą xźą=-32,0 =-qśą xźą
kN
T śą0,0źą=155,0 kN
kN
dx m
qśą xźą=32,0
m
T śą2,0źą=-32,0�"2,0�ą155,0=91,0 kN
T śą xźą=-32,0�"x�ą155,0
Dr inż. Janusz Dębiński 67
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.10. Zadanie 6
Siły przekrojowe w przedziale AB
32,0 kN/m
N(x)
X
A
T(x)
M(x)
155,0 kN
x
T śą xźą=-32,0�"x�ą155,0
M śą0,0źą=0,0 kN�"m
M śąxźą=-32,0�"x�"x �ą155,0�"x=
2
śą źą
M 1,0 =-16,0�"1,02�ą155,0�"1,0=139,0 kN�"m
=-16,0�"x2�ą155,0�"x
śą źą
M 2,0 =-16,0�"2,02�ą155,0�"2,0=246,0 kN�"m
d M śąxźą=-32,0�"x�ą155,0=T śąxźą
dx
Dr inż. Janusz Dębiński 68
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.10. Zadanie 6
Siły przekrojowe w przedziale BC
40,0 kN
32,0 kN/m
N(x)
X
A
B
T(x)
155,0 kN
[m]
2,0 x
N śą xźą=0
T śą0,0źą=51,0 kN
d T śą xźą=-32,0 =-q śą xźą
kN
kN
qśą xźą=32,0
dx m
m
T śą6,0źą=-32,0�"6,0�ą51,0=-141,0 kN
T śą xźą=155,0-40,0-32,0�"śąx�ą2,0źą=
-32,0�"x0�ą51,0=0
=-32,0�"x�ą51,0
x0=1,594 m
Dr inż. Janusz Dębiński 69
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.10. Zadanie 6
Siły przekrojowe w przedziale BC
40,0 kN
32,0 kN/m
N(x)
X
A
B
T(x)
M(x)
155,0 kN
[m]
2,0 x
T śą xźą=-32,0�"x�ą51,0
d M śąxźą=-32,0�"x�ą51,0=T śą xźą
dx
M śąxźą=155,0�"śąx�ą2,0źą-40,0�"x-32,0�"śą x�ą2,0źą�"x�ą2,0 =
2
=-16,0�"x2�ą51,0�"x�ą246,0
Dr inż. Janusz Dębiński 70
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.10. Zadanie 6
Siły przekrojowe w przedziale BC
40,0 kN
32,0 kN/m
N(x)
X
A
B
T(x)
M(x)
155,0 kN
[m]
2,0 x
M śą0,0źą=246,0 kN�"m
śą źą
M x =-16,0�"x2�ą51,0�"x�ą246,0
śą źą
M 1,594 =-16,0�"1,5942�ą51,0�"1,594�ą246,0=286,6 kN�"m
śą źą
M 6,0 =-16,0�"6,02�ą51,0�"6,0�ą246,0=-24,0 kN�"m
Dr inż. Janusz Dębiński 71
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.10. Zadanie 6
Siły przekrojowe w przedziale CD
12,0 kN
T(x)
N(x)
X
D
M(x)
x
N śą xźą=0 T śą xźą=12,0 kN M śąxźą=-12,0�"x
d M śąxźą=-12,0 kN=-T śą xźą
dx
M śą0,0źą=0,0 kN�"m
M śą2,0źą=-12,0�"2,0=-24,0 kN�"m
Dr inż. Janusz Dębiński 72
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.10. Zadanie 6
40,0 kN
32,0 kN/m
12,0 kN
Wykresy sił
C
przekrojowych
A
D
w belce
B
swobodnie
155,0 kN 153,0 kN
[m]
podpartej
2,0 6,0 2,0
1,594 4,406
12,0
T(x) [kN]
M(x) [kN"m]
1,0
Dr inż. Janusz Dębiński 73
155,0
91,0
51,0
141,0
286,6
286,6
0,0
246,0
246,0
139,0
0,0
24,0
24,0
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.11. Zadanie 7
Narysować wykresy sił przekrojowych dla belki złożonej przedstawionej na
poniższym rysunku.
22,0 kN
9,0 kN/m 23,0 kN/m
D
B
E
A
C
[m]
1,0 3,0 2,0 5,0
Dr inż. Janusz Dębiński 74
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.11. Zadanie 7
Analiza kinematyczna belki złożonej
B C D E
A
C
I II
B
4
"
2
1
3
t = 2
D
p = 4+2=6
3"2 = 6
Tarcze sztywne numer I i II tworzą układ trójprzegubowy, w którym przeguby nie
leżą na jednej prostej.
Belka złożona - geometrycznie niezmienna.
Dr inż. Janusz Dębiński 75
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.11. Zadanie 7
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych
22,0 kN
9,0 kN/m
HC(CE)
HC(AC) C
HC(AC)
C
B
A
HB
23,0 kN/m
HC(CE) C
Y
D
E
X
[m]
1,0 3,0 2,0 5,0
śąCEźą śąC źą śą AC źą
�ą X =0 �ą X =0 �ą X =0
śąCEźą
H =0
H =0 Hśą ACźą=0
B
C C
Dr inż. Janusz Dębiński 76
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.11. Zadanie 7
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych
22,0 kN
9,0 kN/m
HC(CE)
HC(AC) C
HC(AC)
C
B
A
HB VB
23,0 kN/m
HC(CE) C
Y
D
E
X
[m]
1,0 3,0 2,0 5,0
śą AC źą
�ą M =V �"3,0-9,0�"3,0�"1�"3,0-22,0�"4,0=0
C B
2
V =42,83 kN
B
Dr inż. Janusz Dębiński 77
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.11. Zadanie 7
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych
22,0 kN
9,0 kN/m
HC(CE)
HC(AC) C
HC(AC)
C
B
A
HB VB
VC(AC)
23,0 kN/m
HC(CE) C
Y
D
E
X
[m]
1,0 3,0 2,0 5,0
śą AC źą śą AC źą
�ą M =-V �"3,0�ą9,0�"3,0�"1�"3,0-22,0�"1,0=0
B C
2
śą AC źą
V =6,167 kN
C
Dr inż. Janusz Dębiński 78
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.11. Zadanie 7
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych
22,0 kN
9,0 kN/m
HC(CE)
HC(AC) C
HC(AC)
C
B
A
VC(AC) VC(CE)
HB VB
VC(AC)
23,0 kN/m
HC(CE) C
Y
D
E
X
VC(CE)
[m]
1,0 3,0 2,0 5,0
śąCźą
śą AC źą śą AC źą
�ą Y =V �ąV -9,0�"3,0-22,0= �ą Y =0
B C
śąCEźą
V =6,167 kN
=42,83�ą6,167-49,0=-0,003 kNH"0
C
Dr inż. Janusz Dębiński 79
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.11. Zadanie 7
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych
23,0 kN/m
HC(CE) C
Y
D
E
X
VC(CE)
VD
[m]
1,0 3,0 2,0 5,0
śąCE źą śąCE źą
�ą M =V �"5,0-23,0�"5,0�"1�"5,0-V �"7,0=0
E D C
2
V �"5,0-23,0�"5,0�"1�"5,0-6,167�"7,0=0
D
2
V =66,13kN
D
Dr inż. Janusz Dębiński 80
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.11. Zadanie 7
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych
23,0 kN/m
HC(CE) C
Y
D
E
X
VC(CE)
VE [m]
VD
1,0 3,0 2,0 5,0
śąCE źą śąCE źą
�ą M =-V �"5,0�ą23,0�"5,0�"1�"5,0-V �"2,0=0
D E C
2
-V �"5,0�ą23,0�"5,0�"1�"5,0-6,167�"2,0=0
E
2
V =55,03 kN
E
śąCE źą śąCE źą
�ą Y =-V �ąV �ąV -23,0�"5,0=-6,167�ą66,13�ą55,03-115,0=-0,007 kNH"0
C D E
Dr inż. Janusz Dębiński 81
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.11. Zadanie 7
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych
22,0 kN
9,0 kN/m
C
C
B
6,167 kN
A
6,167 kN
6,167 kN
42,83 kN
23,0 kN/m
C
D
E
6,167 kN
[m]
66,13 kN
55,03 kN
1,0 3,0 2,0 5,0
Dr inż. Janusz Dębiński 82
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.11. Zadanie 7
Siły przekrojowe w przedziale AB
22,0 kN
M(x)
T(x)
X
A
N(x)
x
N śą xźą=0 T śą xźą=-22,0 kN M śąxźą=-22,0�"x
dM śą xźą=-22,0 kN=T śą xźą
dx
M śą0,0źą=0,0 kN�"m
M śą1,0źą=-22,0�"1,0=-22,0 kN�"m
Dr inż. Janusz Dębiński 83
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.11. Zadanie 7
Siły przekrojowe w przedziale BC
9,0 kN/m
X
C
N(x)
6,167 kN
T(x)
x
N śą xźą=0
T śą0,0źą=-6,167 kN
kN
qśą xźą=9,0
m
T śą3,0źą=-6,167�ą9,0�"3,0=20,83 kN
T śą xźą=-6,167�ą9,0�"x
-6,167�ą9,0�"x0=0
dT śą xźą=9,0 =q śą xźą
kN
x0=0,6852 m
dx m
Dr inż. Janusz Dębiński 84
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.11. Zadanie 7
Siły przekrojowe w przedziale BC
9,0 kN/m
M(x)
X
C
N(x)
6,167 kN
T(x)
x
T śą xźą=-6,167�ą9,0�"x
M śą0,0źą=0,0 kN�"m
M śąxźą=6,167�"x-9,0�"x�"x =-4,5�"x2�ą6,167�"x
śą źą
M 0,6852 =-4,5�"0,68522�ą
2
�ą6,167�"0,6852=2,113 kN�"m
dM śą xźą=6,167-9,0�"x=-T śą xźą
dx
śą źą
M 3,0 =-4,5�"3,02�ą6,167�"3,0=-22,0 kN�"m
Dr inż. Janusz Dębiński 85
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.11. Zadanie 7
Siły przekrojowe w przedziale CD
M(x)
X
C
N(x)
6,167 kN
T(x)
x
N śą xźą=0 T śą xźą=-6,167 kN M śąxźą=-6,167�"x
dM śą xźą=-6,167 kN=T śą xźą
dx
M śą0,0źą=0,0 kN�"m
M śą2,0źą=-6,167�"2,0=-12,33 kN�"m
Dr inż. Janusz Dębiński 86
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.11. Zadanie 7
Siły przekrojowe w przedziale DE
23,0 kN/m
N(x)
E
X
T(x)
55,03 kN
x
N śą xźą=0
T śą0,0źą=-55,03kN
kN
qśą xźą=23,0
T śą5,0źą=-55,03�ą23,0�"5,0=59,97 kN
m
T śą xźą=-55,03�ą23,0�"x
-55,03�ą23,0�"x0=0
x0=2,393 m
dT śą xźą=23,0 =qśąxźą
kN
dx m
Dr inż. Janusz Dębiński 87
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.11. Zadanie 7
Siły przekrojowe w przedziale DE
23,0 kN/m
M(x)
N(x)
E
X
T(x)
55,03 kN
x
T śą xźą=-55,03�ą23,0�"x
M śą0,0źą=0,0 kN�"m
M śąxźą=55,03�"x-23,0�"x�"x =
2
śą źą
M 2,393 =-11,5�"2,3932�ą
=-11,5�"x2�ą55,03�"x
�ą55,03�"2,393=65,83 kN�"m
dM śą xźą=55,03-23,0�"x=-T śąxźą
śą źą
M 5,0 =-11,5�"5,02�ą
dx
�ą55,03�"5,0=-12,35 kN�"m
Dr inż. Janusz Dębiński 88
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
22,0 kN 7.11. Zadanie 7
9,0 kN/m 23,0 kN/m
D
B
E
A
C
[m]
42,83 kN
66,13 kN 55,03 kN
1,0 3,0 2,0 5,0
Wykresy sił
przekrojowych
w belce
0,6852
złożonej
6,167
T(x) [kN]
22,0
2,607 2,393
Dr inż. Janusz Dębiński 89
59,97
20,83
55,03
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.11. Zadanie 7
22,0 kN
9,0 kN/m 23,0 kN/m
D
B
E
A
C
[m]
42,83 kN
66,13 kN 55,03 kN
1,0 3,0 2,0 5,0
M(x)
[kN"m]
0,6852
Wykresy sił
przekrojowych
w belce
złożonej
2,607 2,393
Dr inż. Janusz Dębiński 90
65,83
2,113
0,0
0,0
0,0
0,0
22,0
22,0
12,33
12,33
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.12. Metoda punktów charakterystycznych
Metoda ta opiera się na wykorzystaniu właściwości funkcji sił przekrojowych
wynikających z równań różniczkowych równowagi.
Metoda ta opiera się na wykorzystaniu właściwości funkcji sił przekrojowych
wynikających z równań różniczkowych równowagi.
Pozwala jednak zmniejszyć ilość obliczeń w celu uzyskania wykresów sił
przekrojowych.
Dr inż. Janusz Dębiński 91
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.12. Metoda punktów charakterystycznych
Aby wyznaczyć wykresy sił przekrojowych w belce metodą punktów
charakterystycznych musimy wykonać następujące kroki:
1. sprawdzić warunki konieczny i dostateczne geometrycznej niezmienności belki
prostej lub złożonej
2. wyznaczyć wartości i zwroty reakcji podporowych i sprawdzić je
3. podzielić belkę na przedziały
4. ustalić w każdym przedziale postacie funkcji sił przekrojowych (stała, liniowa,
kwadratowa)
5. wyznaczyć wartości funkcji sił przekrojowych w punktach charakterystycznych
6. narysować wykresy sił przekrojowych.
Dr inż. Janusz Dębiński 92
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.12. Metoda punktów charakterystycznych
Punkt charakterystyczny jest to punkt, który jest konieczny do jednoznacznego
narysowania wykresów sił przekrojowych.
Ich liczba oraz położenie są uzależnione od postaci funkcji i wynoszą
dla funkcji stałej - jeden - w dowolnym punkcie przedziału
dla funkcji liniowej - dwa - na obu końcach przedziału
dla funkcji kwadratowej - trzy - na obu końcach oraz w dowolnym punkcie przedziału
Dr inż. Janusz Dębiński 93
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.12. Metoda punktów charakterystycznych
dT śą xźą=T ' śą xźą=-qśą xźą dM śą xźą=M ' śą xźą=T śą xźą
dx dx
Postacie funkcji siły poprzecznej T(x) i momentu zginającego M(x) w zależności od
funkcji obciążenia ciągłego q(x)
q(x) 0 0 stała
T(x) 0 stała liniowa
M(x) stała liniowa kwadratowa
Dr inż. Janusz Dębiński 94
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.12. Metoda punktów charakterystycznych
Rysowanie wykresu siły poprzecznej rozpoczynamy od wartości zero na lewym końcu
belki. Następnie poruszając się w prawo korzystamy z następujących zasad:
Jeżeli w danym punkcie belki działa siła pionowa w dół, to siła poprzeczna zmniejsza
się o wartość tej siły (skok w dół)
P
P
T(x)
Dr inż. Janusz Dębiński 95
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.12. Metoda punktów charakterystycznych
Jeżeli w danym punkcie belki działa siła pionowa do góry, to siła poprzeczna zwiększa
się o wartość tej siły (skok do góry)
P
T(x)
P
Dr inż. Janusz Dębiński 96
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.12. Metoda punktów charakterystycznych
Jeżeli w danym przedziale działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone q w dół,
to wykres siły poprzecznej liniowo maleje o wartość siły wypadkowej
z tego obciążenia
q
L
T(x)
Dr inż. Janusz Dębiński 97
q
"
L
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.12. Metoda punktów charakterystycznych
Jeżeli w danym przedziale działa obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone q do góry,
to wykres siły poprzecznej liniowo rośnie o wartość siły wypadkowej
z tego obciążenia
q
L
T(x)
Dr inż. Janusz Dębiński 98
q
"
L
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.12. Metoda punktów charakterystycznych
Dochodząc do prawego końca belki, wykres powinien nam się  zamknąć .
Oznacza to, że skok w tym punkcie powinien mieć wartość
i zwrot zgodnie z działającą tam pionową siłą czynną lub reakcją.
P
P
P
T(x)
T(x)
P
Dr inż. Janusz Dębiński 99
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.12. Metoda punktów charakterystycznych
Jeżeli liniowy wykres siły poprzecznej posiada na obu końcach przedziału wartości
przeciwnych znaków, to w przedziale tym ma on miejsce zerowe.
q q
L L
TP
TL
T(x) T(x)
TL
TP
xL xP xL xP
#"T #" #"T #"
L P
x = xP=
L
#"q#" #"q#"
Dr inż. Janusz Dębiński 100
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.12. Metoda punktów charakterystycznych
Aby narysować wykres momentu zginającego musimy wyznaczyć jego wartości
w punktach charakterystycznych.
W tym celu belkę przecinamy w punkcie charakterystycznym, i z równania
sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą część belki względem
punktu charakterystycznego wyznaczymy potrzebną wartość.
Wykres momentu zginającego w belce posiada następujące właściwości:
1. w przegubie jego wartość jest zawsze równa zero
2. jeżeli siła poprzeczna jest dodatnia, to jest on malejący
3. jeżeli siła poprzeczna jest ujemna, to jest on rosnący
4. pod dowolnym obciążeniem ciągłym  brzuszek paraboli jest zawsze skierowany
w tę samą stronę co to obciążenie ciągłe
5. paraboliczny wykres momentu zginającego posiada ekstremum w punkcie,
w którym wykres siły poprzecznej ma miejsce zerowe.
Dr inż. Janusz Dębiński 101
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.12. Metoda punktów charakterystycznych
Przykładowe wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego
q=0 q=0
T(x)
T(x)
M(x)
M(x)
Dr inż. Janusz Dębiński 102
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.12. Metoda punktów charakterystycznych
Przykładowe wykresy siły poprzecznej oraz momentu zginającego
q
q
T(x)
T(x)
M(x)
M(x)
Dr inż. Janusz Dębiński 103
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.13. Zadanie 8
Metodą punktów charakterystycznych narysować wykresy sił przekrojowych
w belce złożonej
7,0 kN"m
22,0 kN/m 19,0 kN/m
12,0 kN
B D
A
E
C
[m]
4,0 2,0 3,0 1,0
Dr inż. Janusz Dębiński 104
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.13. Zadanie 8
Analiza kinematyczna belki złożonej
1
I
II
A
2
3 4
t = 2
p = 4+2 = 6
3"2 = 6
Belka złożona - geometrycznie niezmienna
Tarcza sztywna numer I połączona z tarczą podporową za pomocą trzech prętów
podporowych, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Jest więc
ona geometrycznie niezmienna.
Tarcza sztywna numer II połączona z tarczą podporową za pomocą przegubu A oraz
pręta podporowego numer 4, przegub nie leży na kierunku pręta podporowego.
Jest więc ona geometrycznie niezmienna.
Dr inż. Janusz Dębiński 105
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.13. Zadanie 8
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych
12,0 kN
19,0 kN/m
C
D
E
HC(CE)
VC(CE)
VD
7,0 kN"m
22,0 kN/m
HC(AC) C HC(CE)
A
HA
B
C
HC(AC)
VC(AC) VC(CE)
VC(AC)
VA
VB
[m]
4,0 2,0 3,0 1,0
Dr inż. Janusz Dębiński 106
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.13. Zadanie 8
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych
śąCE źą śąCE źą
�ą Y =V �ąV -19,0�"3,0-12,0=
C D
12,0 kN
19,0 kN/m
=24,50�ą44,50-69,0=0
C
D
Y
E
HC(CE)
VC(CE)
X
[m]
VD
3,0 1,0
śąCE źą śąCE źą
�ą X =H =0 śąCE źą śąCE źą
C C
�ą M =V �"3,0-19,0�"3,0�"1�"3,0�ą12,0�"1,0=0
D C
śąCE źą
2
H =0,0 kN
C
śąCE źą
V =24,50 kN
C
śąCE źą
�ą M =-V �"3,0�ą19,0�"3,0�"1�"3,0�ą12,0�"4,0=0
C D
2
V =44,50 kN
D
Dr inż. Janusz Dębiński 107
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.13. Zadanie 8
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych
HC(CE)
HC(AC) C
Y
X
VC(AC) VC(CE)
śąCE źą śą AC źą śąCE źą śą AC źą
H =0,0 kN H =0,0 kN V =24,50 kN V =24,50 kN
C C C C
Dr inż. Janusz Dębiński 108
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.13. Zadanie 8
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych
7,0 kN"m
22,0 kN/m
HA
A
B
Y
C
HC(AC)
X
VC(AC) [m]
VA
4,0 2,0
śą AC źą
H =0,0 kN śą AC źą śą AC źą
C
�ą M =V �"4,0�ą7,0-22,0�"4,0�"1�"4,0�ąV �"2,0=0
B A C
2
śą AC źą śą AC źą
�ą X =H -H =0
A C
V �"4,0�ą7,0-22,0�"4,0�"1�"4,0�ą24,50�"2,0=0
A
H =0,0 kN
2
A
V =30,0 kN
A
śą AC źą
V =24,50 kN
C
Dr inż. Janusz Dębiński 109
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.13. Zadanie 8
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych
śą AC źą śą AC źą
�ą Y =V �ąV -V -22,0�"4,0=
A B C
7,0 kN"m
22,0 kN/m
=30,0�ą82,5-24,50-88,0=0
HA
A
B
Y
C
HC(AC)
X
VC(AC) [m]
VA
VB
4,0 2,0
śą AC źą śą AC źą
�ą M =-V �"4,0�ą7,0�ą22,0�"4,0�"1�"4,0�ąV �"6,0=0
A B C
2
-V �"4,0�ą7,0�ą22,0�"4,0�"1�"4,0�ą24,50�"6,0=0
B
2
V =82,5 kN
B
Dr inż. Janusz Dębiński 110
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.13. Zadanie 8
Wyznaczenie wartości i zwrotów reakcji podporowych
12,0 kN
19,0 kN/m
C
24,50 kN D
C E
24,50 kN
7,0 kN"m
24,50 kN
22,0 kN/m
44,50 kN
A
B
C
[m]
24,50 kN
30,0 kN
82,5 kN
4,0 2,0 3,0 1,0
Dr inż. Janusz Dębiński 111
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.13. Zadanie 8
Postacie funkcji siły poprzecznej oraz momentu zginającego
7,0 kN"m
22,0 kN/m 19,0 kN/m
12,0 kN
B D
A
E
C
AB BC CD DE
q(x) stała 0 stała 0
T(x) liniowa 0 stała liniowa 0 stała
M(x) kwadratowa stała liniowa kwadratowa stała liniowa
Dr inż. Janusz Dębiński 112
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.13. Zadanie 8
Wykres siły poprzecznej
7,0 kN"m
12,0 kN
22,0 kN/m 19,0 kN/m
B
D
A
E
C
[m]
30,0 kN
44,50 kN
82,50 kN
4,0 2,0 3,0 1,0
śąP źą
T =30,0 kN 24,50
T =-58,0�ą82,5=24,50 kN
A
B
xL= =1,289 m
19,0
śą Lźą
śąLźą
T =T =24,50 kN
32,50
T =30,0-22,0�"4,0=-58,0 kN
BC C
B
xP= =1,711m
19,0
śąP źą
30,0
T =24,50 kN
C śąP źą
x = =1,364 m
L
T =-32,50�ą44,50=12,0 kN
D
22,0
śąLźą
T =24,50-19,0�"3,0=-32,50 kN
58,0
D
T =T =12,0 kN
xP= =2,636 m
DE E
22,0
Dr inż. Janusz Dębiński 113
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.13. Zadanie 8
Wykres siły poprzecznej
7,0 kN"m
12,0 kN
22,0 kN/m 19,0 kN/m
B
D
A
E
C
[m]
30,0 kN
44,50 kN
82,50 kN
4,0 2,0 3,0 1,0
24,50
12,0
T(x)
[kN]
1,289 1,711
1,364 2,636
Dr inż. Janusz Dębiński 114
30,0
32,50
58,0
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.13. Zadanie 8
Wykres momentu zginającego
7,0 kN"m 7,0 kN"m
22,0 kN/m
MA MB(L)
A
A
30,0 kN
30,0 kN
[m]
4,0
śą Lźą
M =7,0 kN�"m
M =30,0�"4,0�ą7,0-22,0�"4,0�"1�"4,0=-49,0 kN�"m
A
B
2
Dr inż. Janusz Dębiński 115
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.13. Zadanie 8
Wykres momentu zginającego
7,0 kN"m
22,0 kN/m
22,0 kN/m
C
B
A
M1 M1
24,50 kN
30,0 kN
82,50 kN
[m]
[m]
1,364
2,636 2,0
M =30,0�"1,364�ą7,0-22,0�"1,364�"1�"1,364=27,45 kN�"m
1
2
M =82,50�"2,636-24,50�"śą2,0�ą2,636źą-22,0�"2,636�"1�"2,636=27,45 kN�"m
1
2
Dr inż. Janusz Dębiński 116
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.13. Zadanie 8
Wykres momentu zginającego
MB(P) MC(L)
C C
24,50 kN
24,50 kN
2,0
[m]
śą Pźą śą Lźą
M =-24,50�"2,0=-49,0 kN�"m M =0,0 kN�"m
B C
Dr inż. Janusz Dębiński 117
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.13. Zadanie 8
Wykres momentu zginającego
19,0 kN/m
MC(P) MD(L)
C C
24,50 kN
24,50 kN
3,0
[m]
śą Pźą śą Lźą
M =0,0 kN�"m M =24,50�"3,0-19,0�"3,0�"1�"3,0=-12,0 kN�"m
C D
2
Dr inż. Janusz Dębiński 118
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.13. Zadanie 8
Wykres momentu zginającego
12,0 kN
19,0 kN/m 19,0 kN/m
M2
D
C E
M2
24,50 kN
44,50 kN
[m]
1,289
[m]
1,711 1,0
M =24,50�"1,289-19,0�"1,289�"1�"1,289=15,80 kN�"m
2
2
M =44,50�"1,711-12,0�"śą1,0�ą1,711źą-19,0�"1,711�"1�"1,711=15,80 kN�"m
2
2
Dr inż. Janusz Dębiński 119
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.13. Zadanie 8
Wykres momentu zginającego
12,0 kN
12,0 kN
MD(P)
E E
ME
[m]
1,0
śą Pźą
M =0,0 kN�"m
M =-12,0�"1,0=-12,0 kN�"m
E
D
Dr inż. Janusz Dębiński 120
7. Wyznaczanie wykresów sił przekrojowych w belkach
7.13. Zadanie 8
Wykres momentu zginającego
7,0 kN"m
12,0 kN
22,0 kN/m 19,0 kN/m
B
D
A
E
C
[m]
30,0 kN
44,50 kN
82,50 kN
4,0 2,0 3,0 1,0
M(x)
[kN"m]
1,289 1,711
1,364 2,636
Dr inż. Janusz Dębiński 121
27,45
0,0
0,0
15,80
7,0
0,0
49,0
49,0
12,0
12,0