2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
Dr inż. Janusz Dębiński
Wytrzymałość materiałów
Wykład 2
Charakterystyki geometryczne przekroju
pręta
Poznań
Dr inż. Janusz Dębiński 1
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.1. Definicje charakterystyk geometrycznych przekroju pręta
2.1.1. Układ współrzędnych związany z przekrojem pręta
B
A
X
sc
Y=Y0
Z=Z0
Dr inż. Janusz Dębiński 2
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.1. Definicje charakterystyk geometrycznych przekroju pręta
2.1.2. Pole powierzchni przekroju pręta
Y
A= dA
+"
A
Jednostką pola powierzchni jest [m2].
W naszym kursie najczęściej
będziemy używać [cm2].
dA
Pole powierzchni jest zawsze większe od
zera.
Z
Dr inż. Janusz Dębiński 3
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.1. Definicje charakterystyk geometrycznych przekroju pręta
2.1.3. Momenty statyczne przekroju pręta
Y
Moment statyczny względem osi Y
SY= z�"dA
+"
A
Moment statyczny względem osi Z
dA
SZ= y�"dA
+"
y
A
Jednostką momentu statycznego jest [m3].
Z
W naszym kursie najczęściej będziemy
używać [cm3].
Dr inż. Janusz Dębiński 4
Dr inż. Janusz Dębiński
z
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.1. Definicje charakterystyk geometrycznych przekroju pręta
2.1.4. Osiowe momenty bezwładności
Y
Moment bezwładności względem osi Y
J = z2�"dA
+"
Y
A
Moment bezwładności względem osi Z
dA
J = y2�"dA
+"
Z
y
A
Jednostką osiowego momentu
Z
Osiowe momenty bezwładności
bezwładności jest [m4].
są zawsze większe od zera.
W naszym kursie najczęściej
będziemy używać [cm4].
Dr inż. Janusz Dębiński 5
Dr inż. Janusz Dębiński
z
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.1. Definicje charakterystyk geometrycznych przekroju pręta
2.1.5. Dewiacyjny moment bezwładności
Y
J = y�"z�"dA
+"
YZ
A
Jednostką dewiacyjnego momentu
bezwładności jest [m4].
W naszym kursie najczęściej
dA będziemy używać [cm4].
y
Z
Dr inż. Janusz Dębiński 6
Dr inż. Janusz Dębiński
z
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.1. Definicje charakterystyk geometrycznych przekroju pręta
2.1.5. Dewiacyjny moment bezwładności
Y
Dewiacyjny moment bezwładności
przekroju symetrycznego.
J =0
y -y
YZ
dA dA
Dewiacyjny moment bezwładności
przekroju w układzie, w którym choć
jedna z osi jest osią symetrii
przekroju, wynosi zero.
Z
Dr inż. Janusz Dębiński 7
Dr inż. Janusz Dębiński
z
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.2. Środek ciężkości przekroju pręta
2.2.1. Definicja środka ciężkości przekroju
Osią środkową nazywamy taką oś, względem której moment statyczny
wynosi zero.
Środkiem ciężkości nazywamy punkt przecięcia się dwóch osi środkowych.
Dr inż. Janusz Dębiński 8
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.2. Środek ciężkości przekroju pręta
2.2.2. Wyznaczanie położenia środka ciężkości
YPZP - początkowy układ
YP
współrzędnych.
Y0
sc
S SYP
ZP
yC= zC=
A A
Y0Z0 - układ osi środkowych.
yC
Z0
ZP
Dr inż. Janusz Dębiński 9
Dr inż. Janusz Dębiński
C
z
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.2. Środek ciężkości przekroju pręta
2.2.2. Wyznaczanie położenia środka ciężkości
Praktyczne wzory służące do wyznaczania położenia środka ciężkości.
i=n
yi, zi - współrzędne środka ciężkości
Ai
�"yi
"
S
i-tej figury w układzie YPZP.
ZP i=1
yC= =
i=n
A
Ai
"
Ai - pole powierzchni i-tej figury.
i=1
i=n
Ai�"zi
"
SYP i=1
zC= =
i=n
A
Ai
"
i=1
Dr inż. Janusz Dębiński 10
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.2. Środek ciężkości przekroju pręta
2.2.2. Wyznaczanie położenia środka ciężkości
YP
ZP
Dr inż. Janusz Dębiński 11
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.2. Środek ciężkości przekroju pręta
2.2.2. Wyznaczanie położenia środka ciężkości
YP
S A1�"y1+A2�"y2
ZP
yC= =
A A1+A2
sc1
SZP A1�"z1+A2�"z2
y1
zC= =
A A1+A2
sc2
y2
ZP
Dr inż. Janusz Dębiński 12
Dr inż. Janusz Dębiński
1
z
2
z
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.2. Środek ciężkości przekroju pręta
2.2.2. Wyznaczanie położenia środka ciężkości
YP
S A1�"y1-A2�"y2
ZP
yC= =
A A1-A2
y1
SZP A1�"z1-A2�"z2
zC= =
A A1-A2
sc1
sc2
y2
ZP
Dr inż. Janusz Dębiński 13
Dr inż. Janusz Dębiński
1
z
2
z
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.2. Środek ciężkości przekroju pręta
2.2.3. Właściwości środka ciężkości
W przekroju z jedną osią symetrii środek ciężkości znajduje się na tej osi.
W przekroju z dwiema osiami symetrii środek ciężkości znajduje się w punkcie
przecięcia obu tych osi.
W przekroju z ponad dwoma osiami symetrii wszystkie te osie przecinają się
jednym punkcie, którym jest środek ciężkości.
Środek ciężkości może się znajdować w punkcie nie leżącym w przekroju.
Dr inż. Janusz Dębiński 14
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.2. Środek ciężkości przekroju pręta
2.2.3. Właściwości środka ciężkości
Jeżeli dodajemy do siebie dwie figury, to środek ciężkości znajduje się na odcinku
łączącym środki ciężkości obu figur bliżej figury o większym polu powierzchni.
sc1
sc
sc2
Dr inż. Janusz Dębiński 15
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.2. Środek ciężkości przekroju pręta
2.2.3. Właściwości środka ciężkości
Jeżeli dodajemy do siebie trzy figury, to środek ciężkości znajduje się wewnątrz
trójkąta, którego wierzchołkami są środki ciężkości poszczególnych figur.
sc1
sc
sc2 sc3
Dr inż. Janusz Dębiński 16
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.3. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju
2.3.1. Twierdzenie Steinera
Dane są momenty bezwładności
Y
w układzie osi środkowych
JY0, JZ0 oraz JY0Z0
Y0
sc
Szukamy momentów bezwładności
w dowolnym układzie
współrzędnych JY, JZ oraz JYZ
yC
2
J =J +zC�"A
Y Y0
Z0
Z
J =J + y2�"A
Z Z0 C
J =J + yC�"zC�"A
YZ Y0Z0
Dr inż. Janusz Dębiński 17
Dr inż. Janusz Dębiński
C
z
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.3. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju
2.3.2. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju pręta w układzie osi
środkowych
i=n
JY0i, JZ0i, JY0iZ0i - momenty bezwładności
J = J +z2 i�"Ai
"( )
Y0 Y0 i 0
względem osi środkowych i-tej figury.
i=1
i=n
y0i, z0i - współrzędne środka ciężkości
J = J + y2 i�"Ai
"( )
Z0 Z0 i 0
i=1 i-tej figury w układzie Y0Z0.
i=n
Ai - pole powierzchni i-tej figury.
J = J + y0i�"z0 i�"Ai
"( )
Y0Z0 Y0 i Z0i
i=1
Dr inż. Janusz Dębiński 18
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.3. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju
2.3.2. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju pręta w układzie osi
środkowych
Szukamy momentów bezwładności
przekroju JY0, JZ0 oraz JY0Z0
Y0
sc
Z0
Dr inż. Janusz Dębiński 19
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.3. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju
2.3.2. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju pręta w układzie osi
środkowych
y01
J =J +z2 �"A1+J +z2 �"A2
Y0 Y01 01 Y02 02
Y01
sc1
J =J + y2 �"A1+J + y2 �"A2
Z0 Z01 01 Z02 02
sc
Y0
J =J + y01�"z01�"A1+J +
Y0Z0 Y01Z01 Y02Z02
+ y02�"z02�"A2
Y02
sc2
Z01
y02
Z02
Z0
Dr inż. Janusz Dębiński 20
Dr inż. Janusz Dębiński
01
z
02
z
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.3. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju
2.3.2. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju pręta w układzie osi
środkowych
J =J +z2 �"A1- J +z2 �"A2
( )
Y0 Y01 01 Y02 02
y01
J =J + y2 �"A1- J + y2 �"A2
( )
Z0 Z01 01 Z02 02
Y0
sc
sc1
Y01
J =J + y01�"z01�"A1- +
(J
Y0Z0 Y01Z01 Y02Z02
Y02
sc2
+ y02�"z02�"A2
)
y02
Z0 Z01 Z02
Dr inż. Janusz Dębiński 21
Dr inż. Janusz Dębiński
01
z
02
z
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.3. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju
2.3.3. Transformacja układu współrzędnych
Transformacja jest to obrót układu współrzędnych względem jego początku.
Dodatni kąt ą kręci od osi Y do osi Z.
ą<0
Y0
sc sc
Y0
ą>0
Z0
Z0
Dr inż. Janusz Dębiński 22
Dr inż. Janusz Dębiński
Y
0
'
'
Z
'
0
Y
0
Z
0
'
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.3. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju
2.3.3. Transformacja układu współrzędnych
Momenty bezwładności w układzie transformowanym
J +J J -J
Y0 Z0 Y0 Z0
J = + �"cos(2�"ą)-J �"sin(2�"ą)
Y0 ' Y0Z0
2 2
J +J J -J
Y0 Z0 Y0 Z0
J = - �"cos(2�"ą)+J �"sin(2�"ą)
Z0 ' Y0Z0
2 2
J -J
Y0 Z0
J = �"sin(2�"ą)+J �"cos(2�"ą)
Y0 ' Z0' Y0Z0
2
Dr inż. Janusz Dębiński 23
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.3. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju
2.3.4. Główne momenty bezwładności
Istnieje taki układ współrzędnych, którym osiowe momenty bezwładności osiągają
wartości ekstremalne.
Ponadto w układzie tym dewiacyjny moment bezwładności równa się zero.
Układ ten nazywamy układem osi głównych, osiowe momenty bezwładności
- głównymi momentami bezwładności.
Dr inż. Janusz Dębiński 24
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.3. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju
2.3.4. Główne momenty bezwładności
Główne momenty bezwładności
J +J J -J
Y0 Z0 Y0 Z0
J = + �"cos 2�"ągl -J �"sin 2�"ągl
( ) ( )
Ygl Y0Z0
2 2
J +J J -J
Y0 Z0 Y0 Z0
J = - �"cos 2�"ągl +J �"sin 2�"ągl
( ) ( )
Zgl Y0Z0
2 2
Kąt nachylenia układu współrzędnych, w którym występują główne momenty
bezwładności nazywamy kierunkiem głównym
-2�"J
Y0Z0
tg 2�"ągl =
( )
J -J
Y0 Z0
Dr inż. Janusz Dębiński 25
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.3. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju
2.3.4. Główne momenty bezwładności
Główne momenty bezwładności możemy także wyznaczyć ze wzoru
2
J +J J -J
2
Y0 Z0 Y0 Z0
J = ą + J
( )
1/2 Y0Z0
( )
2 2
"
J J
Ygl Ygl
J =max J =min
1 2
{ {
J J
Zgl Zgl
Główne momenty bezwładności są zawsze większe od zera.
Dr inż. Janusz Dębiński 26
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.3. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju
2.3.4. Główne momenty bezwładności
Jeżeli jedna z osi układu jest osią symetrii przekroju pręta, to dewiacyjny moment
bezwładności w takim układzie wynosi zero.
W układzie osi głównych dewiacyjny moment bezwładności wynosi zero.
Jeżeli przynajmniej jedna z osi środkowych jest osią symetrii przekroju pręta,
to układ ten jest układem osi głównych.
Dr inż. Janusz Dębiński 27
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.3. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju
2.3.5. Niezmienniki
Niezmiennikiem nazywamy wielkość fizyczną, która nie zmienia swojej wartości przy
transformacji układu współrzędnych.
Pierwszy niezmiennik ma wartość
I1=J +J =J +J =J +J
Y0 Z0 Y0' Z0' Ygl Zgl
Drugi niezmiennik ma wartość
2 2
I =J �"J -J =J �"J -J =J �"J
2 Y0 Z0 Y0Z0 Y0' Z0 ' Y0' Z0 ' Ygl Zgl
Dr inż. Janusz Dębiński 28
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.4. Charakterystyki geometryczne podstawowych przekrojów
2.4.1. Prostokąt
A=b�"h
b b
Główne momenty bezwładności
2 2
Y0=Ygl
wymiar%"doosi �" wymiar Ą" doosi
sc śą źą śą źą3
J =
oś
12
b�"h3 h�"b3
J =J = J =J =
Y0 Ygl Z0 Zgl
12 12
Z0=Zgl
J =0
Y0Z0
b
Dr inż. Janusz Dębiński 29
Dr inż. Janusz Dębiński
2
h
h
2
h
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.4. Charakterystyki geometryczne podstawowych przekrojów
2.4.2. Trójkąt prostokątny
1�"b�"h
A=
2
Osiowe momenty bezwładności
Y0
sc
wymiar%"doosi �"śąwymiar Ą"do osi źą3
śą źą
J =
oś
36
b�"h3
J =
Y0
Z0
36
2�"b
b
3
3
h�"b3
J =
Z0
b 36
Dr inż. Janusz Dębiński 30
Dr inż. Janusz Dębiński
�"
h
2
3
h
h
3
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.4. Charakterystyki geometryczne podstawowych przekrojów
2.4.2. Trójkąt prostokątny
Dewiacyjny moment bezwładności Ćwiartki dodatnie - y0"z0>0
Ćwiartki ujemne - y0"z0<0
#"J #"= b2�"h2
Y0Z0
72
ujemna
dodatnia
Y0
sc
dodatnia ujemna
Z0
Dr inż. Janusz Dębiński 31
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.4. Charakterystyki geometryczne podstawowych przekrojów
2.4.2. Trójkąt prostokątny
W przypadku trójkąta prostokątnego o znaku dewiacyjnego momentu bezwładności
decyduje położenie większej części przekroju w układzie współrzędnych.
Y0
sc
Y0
sc
Z0 Z0
b2�"h2 b2�"h2
J = J =-
Y0Z0 Y0Z0
72 72
Dr inż. Janusz Dębiński 32
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.5. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta - zadanie 1
2.5.1. Zadanie 1
Wyznaczyć charakterystyki geometryczne
przekroju skrzynkowego przedstawionego
na poniższym rysunku.
1,0 15,0 1,0
17,0 [cm]
Dr inż. Janusz Dębiński 33
Dr inż. Janusz Dębiński
2,0
19,0
23,0
2,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.5. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta - zadanie 1
2.5.2. Położenie środka ciężkości
przekroju skrzynkowego
Y0=Ygl
sc
Z0=Zgl
8,50 8,50
1,0 15,0 1,0
[cm]
17,0
Dr inż. Janusz Dębiński 34
Dr inż. Janusz Dębiński
2,0
11,50
19,0
23,0
11,50
2,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.5. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta - zadanie 1
2.5.3. Pole powierzchni przekroju skrzynkowego
A=17,0�"23,0-15,0�"19,0=106,0 cm2
1,0 15,0 1,0
17,0 [cm]
Dr inż. Janusz Dębiński 35
Dr inż. Janusz Dębiński
2,0
19,0
23,0
2,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.5. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta - zadanie 1
2.5.4. Główne momenty bezwładności
przekroju skrzynkowego
z01=0,0 cm z02=0,0 cm
Y0=Ygl
3
sc
J =J =17,0�"23,0 +0,02�"17,0�"23,0
Y0 Ygl
sc1=sc2
Y01=Y02 12
15,0�"19,03
- +0,02�"15,0�"19,0 =
( )
12
17,0�"23,03 15,0�"19,03
= - =8663 cm4
12 12
Z01=Z02 Z0=Zgl
1,0 15,0 1,0
[cm]
17,0
Dr inż. Janusz Dębiński 36
Dr inż. Janusz Dębiński
2,0
19,0
23,0
2,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.5. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta - zadanie 1
2.5.4. Główne momenty bezwładności
przekroju skrzynkowego
y01=0,0 cm y02=0,0 cm
Y0=Ygl
sc
23,0�"17,03+0,0 �"23,0�"17,0-
2
J =J =
Z0 Zgl
sc1=sc2
Y01=Y02 12
19,0�"15,03
- +0,02�"19,0�"15,0 =
( )
12
23,0�"17,03 19,0�"15,03
= - =4073cm4
12 12
Z01=Z02 Z0=Zgl
1,0 15,0 1,0
[cm]
17,0
Dr inż. Janusz Dębiński 37
Dr inż. Janusz Dębiński
2,0
19,0
23,0
2,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.6. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta - zadanie 2
2.6.1. Zadanie 2
Wyznaczyć charakterystyki geometryczne
przekroju dwuteowego przedstawionego
na poniższym rysunku.
0,7
10,0
[cm]
Dr inż. Janusz Dębiński 38
Dr inż. Janusz Dębiński
1,4
20,0
1,4
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.6. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta - zadanie 2
2.6.2. Nazwy poszczególnych elementów przekroju dwuteowego
półka
środnik
półka
Dr inż. Janusz Dębiński 39
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.6. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta - zadanie 2
2.6.3. Położenie środka ciężkości
przekroju dwuteowego
0,7
Y0=Ygl
sc
Z0=Zgl
5,0 5,0
[cm]
10,0
Dr inż. Janusz Dębiński 40
Dr inż. Janusz Dębiński
1,4
11,40
20,0
11,40
1,4
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.6. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta - zadanie 2
2.6.4. Pole powierzchni przekroju dwuteowego
A=2�"10,0�"1,4�ą20,0�"0,7=42,0cm2
0,7
10,0
[cm]
Dr inż. Janusz Dębiński 41
Dr inż. Janusz Dębiński
1,4
20,0
1,4
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.6. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta - zadanie 2
2.6.5. Główne momenty bezwładności
sc1
Y01
przekroju dwuteowego
Z01
20,0 1,4
z01=- �ą =-10,70cm
śą źą
2 2
Y0=Ygl Y02
sc
z02=0,0 cm
Z02 sc2
20,0 1,4
sc3
z03= �ą =10,70 cm
Y03
2 2
Z0=Zgl Z03
[cm]
10,0
Dr inż. Janusz Dębiński 42
Dr inż. Janusz Dębiński
1,4
10,70
20,0
10,70
1,4
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.6. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta - zadanie 2
2.6.5. Główne momenty bezwładności
sc1
Y01
przekroju dwuteowego
Z01
z01=-10,70cm z02=0,0 cm
Y0=Ygl Y02
sc z03=10,70 cm
Z02 sc2
3
0,7
J =J =10,0�"1,4 +
(-10,70 �"10,0�"1,4+
)2
Y0 Ygl
12
sc3
Y03
0,7�"20,03
+ +0,02�"0,7�"20,0+
12
Z0=Zgl Z03
10,0�"1,43
+ +10,702�"10,0�"1,4=
12
[cm]
10,0
=3677 cm4
Dr inż. Janusz Dębiński 43
Dr inż. Janusz Dębiński
1,4
10,70
20,0
10,70
1,4
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.6. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta - zadanie 2
2.6.5. Główne momenty bezwładności
sc1
Y01
przekroju dwuteowego
Z01
y01=0,0 cm y02=0,0 cm
Y0=Ygl Y02
sc y03=0,0 cm
Z02 sc2
3
0,7
J =J =1,4�"10,0 +0,02�"10,0�"1,4+
Z0 Zgl
12
sc3
Y03
20,0�"0,73
+ +0,02�"0,7�"20,0+
12
Z0=Zgl Z03
1,4�"10,03
+ +0,02�"10,0�"1,4=
12
[cm]
10,0
=233,9 cm4
Dr inż. Janusz Dębiński 44
Dr inż. Janusz Dębiński
1,4
10,70
20,0
10,70
1,4
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.6. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta - zadanie 2
4,65 4,65
2.6.5. Główne momenty bezwładności
przekroju dwuteowego
0,7
z01=0,0 cm z02=0,0 cm
Y0=Ygl
sc z03=0,0 cm
sc2 sc1 sc3
3
J =J =10,0�"22,8 + 0,0 �"10,0�"22,8-
( )2
Y0 Ygl
12
Z02 Z03
4,65�"20,03
- +0,02�"4,65�"20,0 -
( )
12
Z0=Zgl Z01
4,65�"20,03
- +0,02�"4,65�"20,0 =
[cm]
10,0
( )
12
=3677 cm4
Dr inż. Janusz Dębiński 45
Dr inż. Janusz Dębiński
1,4
20,0
03
02
01
Y =Y = Y
1,4
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.6. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta - zadanie 2
2.6.5. Główne momenty bezwładności przekroju dwuteowego
3
J =J =10,0�"22,8 + 0,0 �"10,0�"22,8-
( )2
Y0 Ygl
12
4,65�"20,03
- +0,02�"4,65�"20,0 -
( )
12
4,65�"20,03
- +0,02�"4,65�"20,0 =
( )
12
=3677 cm4
3
2�"4,65�"20,03=3677cm
4
J =J =10,0�"22,8 -
Y0 Ygl
12 12
Dr inż. Janusz Dębiński 46
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.6. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta - zadanie 2
2.6.5. Główne momenty bezwładności przekroju dwuteowego
(s-g)�"h3
s�"h3
S
J =J = -
Y0 Ygl
12 12
g
Y0=Ygl
sc
Z0=Zgl
s
Dr inż. Janusz Dębiński 47
Dr inż. Janusz Dębiński
t
s
h
h
t
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.7. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta - zadanie 3
2.7.1. Zadanie 3
16,0
Wyznaczyć charakterystyki geometryczne
przekroju teowego przedstawionego na
poniższym rysunku.
1,0
[cm]
Dr inż. Janusz Dębiński 48
Dr inż. Janusz Dębiński
1,0
24,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.7. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta - zadanie 3
2.7.2. Pole powierzchni przekroju teowego
16,0
A=16,0�"1,0�ą24,0�"1,0=40,0cm2
1,0
[cm]
Dr inż. Janusz Dębiński 49
Dr inż. Janusz Dębiński
1,0
24,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.7. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta - zadanie 3
16,0
2.7.3. Położenie środka ciężkości
przekroju teowego
8,0 8,0
sc1
1,0
z1= =0,50 cm
2
YP
24,0
z2=1,0�ą =13,0cm
sc
2
16,0�"1,0�"0,50�ą24,0�"1,0�"13,0
sc2
zC= =8,0 cm
16,0�"1,0�ą24,0�"1,0
1,0
[cm]
ZP
Dr inż. Janusz Dębiński 50
Dr inż. Janusz Dębiński
1,0
0,50
8,0
13,0
24,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.7. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta - zadanie 3
16,0
2.7.4. Główne momenty bezwładności
przekroju teowego
sc1
Y01
z01=0,50-8,0=-7,50 cm z02=13,0-8,0=5,0cm
Z01
Y0=Ygl
16,0�"1,0�"(-7,50)+24,0�"1,0�"5,0
sc
z(gl )= =0cm
C
16,0�"1,0+24,0�"1,0
Y02
sc2
Położenie środka ciężkości jest wyznaczone
Z02
prawidłowo
1,0
3
J =J =16,0�"1,0 +
(-7,50 �"16,0�"1,0+
)2
Y0 Ygl
12
[cm]
1,0�"24,03
Z0=Zgl
+ +5,02�"1,0�"24,0=
12
=2653cm4
Dr inż. Janusz Dębiński 51
Dr inż. Janusz Dębiński
1,0
8,0
7,50
5,0
24,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.7. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta - zadanie 3
16,0
2.7.4. Główne momenty bezwładności
sc1 przekroju teowego
Y01
y01=0,0 cm
Z01
Y0=Ygl
y02=0,0 cm
sc
Y02
3
sc2
J =J =1,0�"16,0 +0,02�"16,0�"1,0+
Z0 Zgl
12
Z02
24,0�"1,03
+ +0,02�"1,0�"24,0=
12
1,0
=343,3 cm4
[cm]
Z0=Zgl
Dr inż. Janusz Dębiński 52
Dr inż. Janusz Dębiński
1,0
24,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.8. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta - zadanie 5
Y2
2.8.1. Zadanie 5
Z2 Dany jest przekrój prostokątny
o polu powierzchni równym
75,0 cm2 oraz moment bezwład-
A = 75,0 cm2
ności tego przekroju względem
Y0
sc osi Y1 równy 4375 cm4. Wyznaczyć
wartość momentu bezwładności
względem osi Y2.
J =4375cm4
Y1
Z0
[cm]
Y1
J =4375+12,02�"75,0=15175cm4
Y2
Z1
Dr inż. Janusz Dębiński 53
Dr inż. Janusz Dębiński
4,5
7,5
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.8. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta - zadanie 5
Y2
2.8.1. Zadanie 5
J =4375cm4
Z2
Y1
A = 75,0 cm2
J =J +z2 �"A
Y1 Y0 C1
Y0
sc
4375=J +7,52�"75,0
Y0
J =4375-7,52�"75,0=156,3cm4
Y0
Z0
J =J +z2 �"A
Y2 Y0 C2
[cm]
Y1
J =156,3+4,52�"75,0=1675 cm4
Y2
Z1
Dr inż. Janusz Dębiński 54
Dr inż. Janusz Dębiński
4,5
7,5
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.9. Kształtowniki walcowane
2.9.1. Ogólna charakterystyka kształtowników walcowanych
Kształtowniki walcowane są podstawowym asortymentem wyrobów stalowych.
Walcowanie polega na przepuszczeniu elementu wyjściowego pomiędzy
dwoma walcami obracającymi się w przeciwnych kierunkach.
Odstęp pomiędzy walcami jest regulowany. Na łożyska jednego z walców wywierany
jest nacisk. Jest on potrzebny aby w walcowanym elemencie wywołać
odpowiedni zgniot.
Dr inż. Janusz Dębiński 55
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.9. Kształtowniki walcowane
2.9.1. Ogólna charakterystyka kształtowników walcowanych
Budowa walcarki typu duo.
Dr inż. Janusz Dębiński 56
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.9. Kształtowniki walcowane
2.9.1. Ogólna charakterystyka kształtowników walcowanych
Kolejne etapy walcowania.
Dr inż. Janusz Dębiński 57
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.9. Kształtowniki walcowane
2.9.1. Ogólna charakterystyka kształtowników walcowanych
Charakterystyki geometryczne kształtowników walcowanych odczytujemy z
Dr inż. Janusz Dębiński 58
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.9. Kształtowniki walcowane
2.9.2. Dwuteowniki
Typy dwuteowników:
1. normalne
2. szerokostopowe - HEB
3. równoległościenne - IPE
Dr inż. Janusz Dębiński 59
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.9. Kształtowniki walcowane
2.9.2. Dwuteowniki
Y
Oznaczenie dwuteownika
g
200 200PE HEB200
X X
Wymiary dwuteownika
sc
A - pole powierzchni
JX, JY - momenty bezwładności
Y
s s
2 2
s
Dr inż. Janusz Dębiński 60
Dr inż. Janusz Dębiński
2
h
h
2
h
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.9. Kształtowniki walcowane
2.9.2. Dwuteowniki
Y
X
Y0 Y0
X X
sc
Y Y
sc
X
Z0
JY0 = JY(T)
Y
JY0 = JX(T)
JZ0 = JX(T)
Z0
JZ0 = JY(T)
Dr inż. Janusz Dębiński 61
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.9. Kształtowniki walcowane
2.9.2. Dwuteowniki
Dr inż. Janusz Dębiński 62
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.9. Kształtowniki walcowane
2.9.3. Ceowniki
Y
Oznaczenie ceownika
g
200
X X
Wymiary ceownika
sc
A - pole powierzchni
JX, JY - momenty bezwładności
Y
e
s
Dr inż. Janusz Dębiński 63
Dr inż. Janusz Dębiński
2
h
h
2
h
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.9. Kształtowniki walcowane
2.9.3. Ceowniki
Dr inż. Janusz Dębiński 64
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.9. Kształtowniki walcowane
3.9.4. Teownik
s
Oznaczenie teownika
s s
2 2
1 1 1
200 200PE HEB200
2 2 2
Y
Wymiary teownika
X X
sc
g
A - pole powierzchni
Y
JX, JY - momenty bezwładności
Dr inż. Janusz Dębiński 65
Dr inż. Janusz Dębiński
e
2
h
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.9. Kształtowniki walcowane
3.9.5. Kątownik równoramienny
g
Oznaczenie kątownika równoramiennego
2
1
Y
L a�g
sc
X X
Wymiary kątownika równoramiennego
Y
e
2
A - pole powierzchni
1
a
JX, JY - momenty bezwładności
J1, J2 - główne momenty bezwładności
Dr inż. Janusz Dębiński 66
Dr inż. Janusz Dębiński
a
e
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.9. Kształtowniki walcowane
3.9.5. Kątownik równoramienny
Dr inż. Janusz Dębiński 67
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.9. Kształtowniki walcowane
3.9.6. Kątownik nierównoramienny
g
Oznaczenie kątownika nierównoramiennego
2
L b�a�g
Y
1
X X
Wymiary kątownika nierównoramiennego
sc
1
A - pole powierzchni
eY Y 2
JX, JY - momenty bezwładności
a
J2 - główny moment bezwładności
Dr inż. Janusz Dębiński 68
Dr inż. Janusz Dębiński
b
X
e
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.9. Kształtowniki walcowane
3.9.7. Dewiacyjny moment bezwładności kątownika
I1=J +J
Y0 Z0
Y0
I1=J1+J J =I1-J1
sc
2 2
Y0
2
I =J �"J
I =J �"J -J
2 1 2
2 Y0 Z0 Y0Z0
sc
2
J =J �"J -I
Y0Z0 Y0 Z0 2
Z0
Z0
J =ą
"J �"J -I2
Y0Z0 Y0 Z0
J >0 J <0
Y0Z0 Y0Z0
O znaku dewiacyjnego momentu
bezwładności decyduje położenie
większej części przekroju
w układzie współrzędnych.
Dr inż. Janusz Dębiński 69
Dr inż. Janusz Dębiński