2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
Dr inż. Janusz Dębiński
Wytrzymałość materiałów
Wykład 2
Charakterystyki geometryczne przekroju
pręta
Poznań
Dr inż. Janusz Dębiński 1
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.1. Pręt
Definicja pręta
Pręt jest to bryła geometryczna
oś pręta
wypełniona materiałem,
B
której jeden wymiar,czyli
długość, jest dużo
większa niż dwa pozostałe.
Nie ma przy tym znaczenia
jakim materiałem (betonem,
A
stalą czy drewnem) jest on
wypełniony.
przekrój pręta
Dr inż. Janusz Dębiński 2
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.1. Pręt
Układ współrzędnych związany z przekrojem pręta
B
A
X
sc
Y=Y0
Z=Z0
Dr inż. Janusz Dębiński 3
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.2. Definicje charakterystyk geometrycznych przekroju pręta
Pole powierzchni przekroju pręta
Y
A= dA
+"
A
Jednostką pola powierzchni jest [m2].
W naszym kursie najczęściej
będziemy używać [cm2].
dA
Pole powierzchni jest zawsze większe od
zera.
Z
Dr inż. Janusz Dębiński 4
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.2. Definicje charakterystyk geometrycznych przekroju pręta
Momenty statyczne przekroju pręta
Y
Moment statyczny względem osi Y
SY= z�"dA
+"
A
Moment statyczny względem osi Z
dA
SZ= y�"dA
+"
y
A
Jednostką momentu statycznego jest [m3].
Z
W naszym kursie najczęściej będziemy
używać [cm3].
Dr inż. Janusz Dębiński 5
Dr inż. Janusz Dębiński
z
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.2. Definicje charakterystyk geometrycznych przekroju pręta
Osiowe momenty bezwładności
Y
Moment bezwładności względem osi Y
J = z2�"dA
+"
Y
A
Moment bezwładności względem osi Z
dA
J = y2�"dA
+"
Z
y
A
Jednostką osiowego momentu
Z
Osiowe momenty bezwładności
bezwładności jest [m4].
są zawsze większe od zera.
W naszym kursie najczęściej
będziemy używać [cm4].
Dr inż. Janusz Dębiński 6
Dr inż. Janusz Dębiński
z
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.2. Definicje charakterystyk geometrycznych przekroju pręta
Dewiacyjny moment bezwładności
Y
J = y�"z�"dA
+"
YZ
A
Jednostką dewiacyjnego momentu
bezwładności jest [m4].
W naszym kursie najczęściej
dA
będziemy używać [cm4].
y
Z
Dr inż. Janusz Dębiński 7
Dr inż. Janusz Dębiński
z
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.2. Definicje charakterystyk geometrycznych przekroju pręta
Dewiacyjny moment bezwładności
Y
Dewiacyjny moment bezwładności
przekroju symetrycznego.
J =0
y -y
YZ
dA dA
Dewiacyjny moment bezwładności
przekroju w układzie, w którym choć
jedna z osi jest osią symetrii
przekroju, wynosi zero.
Z
Dr inż. Janusz Dębiński 8
Dr inż. Janusz Dębiński
z
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.3. Środek ciężkości przekroju
Definicja środka ciężkości przekroju
Osią środkową nazywamy taką oś, względem której moment statyczny
wynosi zero.
Środkiem ciężkości nazywamy punkt przecięcia się dwóch osi środkowych.
Dr inż. Janusz Dębiński 9
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.3. Środek ciężkości przekroju
Wyznaczanie położenia środka ciężkości
YPZP - początkowy układ
YP
współrzędnych.
Y0
sc
SZP SYP
yC= zC=
A A
Y0Z0 - układ osi środkowych.
yC
Z0
ZP
Dr inż. Janusz Dębiński 10
Dr inż. Janusz Dębiński
C
z
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.3. Środek ciężkości przekroju
Wyznaczanie położenia środka ciężkości
Praktyczne wzory służące do wyznaczania położenia środka ciężkości.
i=n
yi, zi - współrzędne środka ciężkości
Ai
�"yi
"
S
i-tej figury w układzie YPZP.
ZP i=1
yC= =
i=n
A
Ai
"
Ai - pole powierzchni i-tej figury.
i=1
i=n
Ai�"zi
"
SYP i=1
zC= =
i=n
A
Ai
"
i=1
Dr inż. Janusz Dębiński 11
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.3. Środek ciężkości przekroju
Wyznaczanie położenia środka ciężkości
YP
ZP
Dr inż. Janusz Dębiński 12
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.3. Środek ciężkości przekroju
Wyznaczanie położenia środka ciężkości
YP
SZP A1�"y1�ąA2�"y2
yC= =
A A1�ąA2
sc1
SZP A1�"z1�ąA2�"z2
y1
zC= =
A A1�ąA2
sc2
y2
ZP
Dr inż. Janusz Dębiński 13
Dr inż. Janusz Dębiński
1
z
2
z
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.3. Środek ciężkości przekroju
Wyznaczanie położenia środka ciężkości
YP
S A1�"y1-A2�"y2
ZP
yC= =
A A1-A2
y1
SZP A1�"z1-A2�"z2
zC= =
A A1-A2
sc1
sc2
y2
ZP
Dr inż. Janusz Dębiński 14
Dr inż. Janusz Dębiński
1
z
2
z
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.3. Środek ciężkości przekroju
Właściwości środka ciężkości
W przekroju z jedną osią symetrii środek ciężkości znajduje się na tej osi.
W przekroju z dwiema osiami symetrii środek ciężkości znajduje się w punkcie
przecięcia obu tych osi.
W przekroju z ponad dwoma osiami symetrii wszystkie te osie przecinają się
jednym punkcie, którym jest środek ciężkości.
Środek ciężkości może się znajdować w punkcie nie leżącym w przekroju.
Dr inż. Janusz Dębiński 15
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.3. Środek ciężkości przekroju
Właściwości środka ciężkości
Jeżeli dodajemy do siebie dwie figury, to środek ciężkości znajduje się na odcinku
łączącym środki ciężkości obu figur bliżej figury o większym polu powierzchni.
sc1
sc
sc2
Dr inż. Janusz Dębiński 16
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.3. Środek ciężkości przekroju
Właściwości środka ciężkości
Jeżeli dodajemy do siebie trzy figury, to środek ciężkości znajduje się wewnątrz
trójkąta, którego wierzchołkami są środki ciężkości poszczególnych figur.
sc1
sc
sc2 sc3
Dr inż. Janusz Dębiński 17
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.4. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju
Twierdzenie Steinera
Dane są momenty bezwładności
Y
w układzie osi środkowych
JY0, JZ0 oraz JY0Z0
Y0
sc
Szukamy momentów bezwładności
w dowolnym układzie
współrzędnych JY, JZ oraz JYZ
yC
2
J =J �ązC�"A
Y Y0
Z0
Z
J =J �ą y2�"A
Z Z0 C
J =J �ą yC�"zC�"A
YZ Y0Z0
Dr inż. Janusz Dębiński 18
Dr inż. Janusz Dębiński
C
z
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.4. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju
Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju pręta w układzie osi
środkowych
i=n
JY0i, JZ0i, JY0iZ0i - momenty bezwładności
J = J �ąz2�"Ai
śą źą
"
Y0 Y0i 0i
względem osi środkowych i-tej figury.
i=1
i=n
y0i, z0i - współrzędne środka ciężkości
J = J �ą y2�"Ai
śą źą
"
Z0 Z0i 0i
i=1 i-tej figury w układzie Y0Z0.
i=n
Ai - pole powierzchni i-tej figury.
J = �ą y0i�"z0i�"Ai
"śąJ źą
Y0Z0 Y0iZ0i
i=1
Dr inż. Janusz Dębiński 19
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.4. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju
Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju pręta w układzie osi
środkowych
Szukamy momentów bezwładności
przekroju JY0, JZ0 oraz JY0Z0
Y0
sc
Z0
Dr inż. Janusz Dębiński 20
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.4. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju
Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju pręta w układzie osi
środkowych
2
y01
J =J �ąz01�"A1�ąJY02�ąz2 �"A2
Y0 Y01 02
Y01
sc1
2
J =J �ą y01�"A1�ąJ �ą y2 �"A2
Z0 Z01 Z02 02
sc
Y0
J =J �ą y01�"z01�"A1�ąJ �ą
Y0Z0 Y01Z01 Y02Z02
Y02 �ą y02�"z02�"A2
sc2
Z01
y02
Z02
Z0
Dr inż. Janusz Dębiński 21
Dr inż. Janusz Dębiński
01
z
02
z
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.4. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju
Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju pręta w układzie osi
środkowych
J =J �ąz2 �"A1- J �ąz2 �"A2
śą źą
Y0 Y01 01 Y02 02
y01
2
J =J �ą y2 �"A1- J �ą y02�"A2
śą źą
Z0 Z01 01 Z02
Y0
sc
sc1
Y01
J =J �ą y01�"z01�"A1- J �ą
śą
Y0Z0 Y01Z01 Y02Z02
Y02
sc2
�ą y02�"z02�"A2
źą
y02
Z0 Z01 Z02
Dr inż. Janusz Dębiński 22
Dr inż. Janusz Dębiński
01
z
02
z
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.4. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju
Transformacja układu współrzędnych
Transformacja jest to obrót układu współrzędnych względem jego początku.
Dodatni kąt ą kręci od osi Y do osi Z.
ą<0
Y0
sc sc
Y0
ą>0
Z0
Z0
Dr inż. Janusz Dębiński 23
Dr inż. Janusz Dębiński
Y
0
'
'
Z
'
0
Y
0
Z
0
'
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.4. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju
Transformacja układu współrzędnych
Momenty bezwładności w układzie transformowanym wynoszą
J �ąJ J -J
Y0 Z0 Y0 Z0
J = �ą �"cosśą2�"�ąźą-J �"sinśą2�"�ąźą
Y0 ' Y0Z0
2 2
J �ąJ J -J
Y0 Z0 Y0 Z0
J = - �"cosśą2�"�ąźą�ąJ �"sin śą2�"�ąźą
Z0' Y0Z0
2 2
J -J
Y0 Z0
J = �"sin śą2�"�ąźą�ąJ �"cosśą2�"�ąźą
Y0 ' Z0 ' Y0Z0
2
Dr inż. Janusz Dębiński 24
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.4. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju
Główne momenty bezwładności
Istnieje taki układ współrzędnych, którym osiowe momenty bezwładności osiągają
wartości ekstremalne.
Ponadto w układzie tym dewiacyjny moment bezwładności równa się zero.
Układ ten nazywamy układem osi głównych, osiowe momenty bezwładności
- głównymi momentami bezwładności.
Dr inż. Janusz Dębiński 25
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.4. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju
Główne momenty bezwładności
Główne momenty bezwładności wynoszą
J �ąJ J -J
Y0 Z0 Y0 Z0
J = �ą �"cos
śą2�"�ą źą-J �"sinśą2�"�ą źą
Ygl gl Y0Z0 gl
2 2
J �ąJ J -J
Y0 Z0 Y0 Z0
J = - �"cos
śą2�"�ą źą�ąJ �"sinśą2�"�ą źą
Zgl gl Y0Z0 gl
2 2
Kąt nachylenia układu współrzędnych, w którym występują główne momenty
bezwładności nazywamy kierunkiem głównym. Wynosi on
-2�"J
Y0Z0
tg
śą2�"�ą źą= J -J
gl
Y0 Z0
Dr inż. Janusz Dębiński 26
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.4. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju
Główne momenty bezwładności
Główne momenty bezwładności możemy także wyznaczyć ze wzoru
2
J �ąJ J -J
2
Y0 Z0 Y0 Z0
J = ą �ą J
śą źą
1/2 Y0Z0
śą źą
2 2
ćą
J J
Ygl Ygl
J =max J =min
1 2
{ {
J J
Zgl Zgl
Główne momenty bezwładności są zawsze większe od zera.
Dr inż. Janusz Dębiński 27
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.4. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju
Główne momenty bezwładności
Jeżeli jedna z osi układu jest osią symetrii przekroju pręta, to dewiacyjny moment
bezwładności w takim układzie wynosi zero.
W układzie osi głównych dewiacyjny moment bezwładności wynosi zero.
Jeżeli przynajmniej jedna z osi środkowych jest osią symetrii przekroju pręta,
to układ ten jest układem osi głównych.
Dr inż. Janusz Dębiński 28
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.4. Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju
Niezmienniki
Niezmiennikiem nazywamy wielkość fizyczną, która nie zmienia swojej wartości przy
transformacji układu współrzędnych.
Pierwszy niezmiennik ma wartość
I1=J �ąJ =J �ąJ =J �ąJ
Y0 Z0 Y0 ' Z0' Ygl Zgl
Drugi niezmiennik ma wartość
2 2
I =J �"J -J =J �"J -J =J �"J
2 Y0 Z0 Y0Z0 Y0 ' Z0 ' Y0 ' Z0 ' Ygl Zgl
Dr inż. Janusz Dębiński 29
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.5. Charakterystyki geometryczne podstawowych przekrojów
Prostokąt
A=b�"h
b b
Główne momenty bezwładności
2 2
Y0=Ygl
wymiar%"doosi �" wymiar Ą" do osi
sc śą źą śą źą3
J =
oś
12
b�"h3
J =J =
Y0 Ygl
12
Z0=Zgl
h�"b3
b J =J =
Z0 Zgl
12
Dr inż. Janusz Dębiński 30
Dr inż. Janusz Dębiński
2
h
h
2
h
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.5. Charakterystyki geometryczne podstawowych przekrojów
Trójkąt prostokątny
1�"b�"h
A=
2
Osiowe momenty bezwładności
Y0
sc
wymiar%"do osi �"śąwymiar Ą"do osi źą3
śą źą
J =
oś
36
b�"h3
J =
Y0
Z0
36
2�"b
b
3
3
h�"b3
J =
Z0
b 36
Dr inż. Janusz Dębiński 31
Dr inż. Janusz Dębiński
�"
h
2
3
h
h
3
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.5. Charakterystyki geometryczne podstawowych przekrojów
Trójkąt prostokątny
Dewiacyjny moment bezwładności Ćwiartki dodatnie - y0"z0>0
b2�"h2
Ćwiartki ujemne - y0"z0<0
J =
#" #"
Y0Z0
72
ujemna
dodatnia
Y0
sc
dodatnia ujemna
Z0
Dr inż. Janusz Dębiński 32
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.5. Charakterystyki geometryczne podstawowych przekrojów
Trójkąt prostokątny
Jeżeli większa część trójkąta leży w ćwiartkach dodatnich, to dewiacyjny moment
bezwładności jest dodatni.
b2�"h2
J =
Y0Z0
72
Y0
sc
Z0
Dr inż. Janusz Dębiński 33
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.5. Charakterystyki geometryczne podstawowych przekrojów
Trójkąt prostokątny
Jeżeli większa część trójkąta leży w ćwiartkach ujemnych, to dewiacyjny moment
bezwładności jest ujemny.
2
J =-b �"h2
Y0Z0
72
Y0
sc
Z0
Dr inż. Janusz Dębiński 34
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.6. Charakterystyki geometryczne przekroju skrzynkowego
Zadanie 1
Wyznaczyć charakterystyki geometryczne
przekroju skrzynkowego przedstawionego
na poniższym rysunku.
1,0 15,0 1,0
17,0 [cm]
Dr inż. Janusz Dębiński 35
Dr inż. Janusz Dębiński
2,0
19,0
23,0
2,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.6. Charakterystyki geometryczne przekroju skrzynkowego
Położenie środka ciężkości
przekroju skrzynkowego
Y0=Ygl
sc
Z0=Zgl
8,50 8,50
1,0 15,0 1,0
[cm]
17,0
Dr inż. Janusz Dębiński 36
Dr inż. Janusz Dębiński
2,0
11,50
19,0
23,0
11,50
2,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.6. Charakterystyki geometryczne przekroju skrzynkowego
Pole powierzchni przekroju skrzynkowego
A=17,0�"23,0-15,0�"19,0=106,0 cm2
1,0 15,0 1,0
17,0 [cm]
Dr inż. Janusz Dębiński 37
Dr inż. Janusz Dębiński
2,0
19,0
23,0
2,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.6. Charakterystyki geometryczne przekroju skrzynkowego
Główne momenty bezwładności
przekroju skrzynkowego
z01=0,0 cm z02=0,0 cm
Y0=Ygl
sc
17,0�"23,03 �ą0,02�"17,0�"23,0
J =J =
Y0 Ygl
sc1=sc2
Y01=Y02 12
15,0�"19,03
- �ą0,02�"15,0�"19,0 =
śą źą
12
17,0�"23,03 15,0�"19,03
= - =8663 cm4
12 12
Z01=Z02 Z0=Zgl
1,0 15,0 1,0
[cm]
17,0
Dr inż. Janusz Dębiński 38
Dr inż. Janusz Dębiński
2,0
19,0
23,0
2,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.6. Charakterystyki geometryczne przekroju skrzynkowego
Główne momenty bezwładności
przekroju skrzynkowego
y01=0,0 cm y02=0,0 cm
Y0=Ygl
sc
23,0�"17,03�ą0,0 �"23,0�"17,0-
2
J =J =
Z0 Zgl
sc1=sc2
Y01=Y02 12
19,0�"15,03
- �ą0,02�"19,0�"15,0 =
śą źą
12
23,0�"17,03 19,0�"15,03
= - =4073cm4
12 12
Z01=Z02 Z0=Zgl
1,0 15,0 1,0
[cm]
17,0
Dr inż. Janusz Dębiński 39
Dr inż. Janusz Dębiński
2,0
19,0
23,0
2,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.7. Charakterystyki geometryczne przekroju dwuteowego
Zadanie 2
Wyznaczyć charakterystyki geometryczne
przekroju dwuteowego przedstawionego
na poniższym rysunku.
0,7
10,0
[cm]
Dr inż. Janusz Dębiński 40
Dr inż. Janusz Dębiński
1,4
20,0
1,4
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.7. Charakterystyki geometryczne przekroju dwuteowego
Nazwy poszczególnych elementów przekroju dwuteowego
półka
środnik
półka
Dr inż. Janusz Dębiński 41
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.7. Charakterystyki geometryczne przekroju dwuteowego
Położenie środka ciężkości
przekroju dwuteowego
0,7
Y0=Ygl
sc
Z0=Zgl
5,0 5,0
[cm]
10,0
Dr inż. Janusz Dębiński 42
Dr inż. Janusz Dębiński
1,4
11,40
20,0
11,40
1,4
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.7. Charakterystyki geometryczne przekroju dwuteowego
Pole powierzchni przekroju dwuteowego
A=2�"10,0�"1,4�ą20,0�"0,7=42,0cm2
0,7
10,0
[cm]
Dr inż. Janusz Dębiński 43
Dr inż. Janusz Dębiński
1,4
20,0
1,4
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.7. Charakterystyki geometryczne przekroju dwuteowego
Główne momenty bezwładności
przekroju dwuteowego
sc1
Y01
20,0 1,4
z01=- �ą =-10,70cm
śą źą
2 2
Z01
z02=0,0 cm
Y0=Ygl Y02
sc
20,0 1,4
Z02 sc2
z03= �ą =10,70 cm
2 2
sc3
Y03
Z0=Zgl Z03
[cm]
10,0
Dr inż. Janusz Dębiński 44
Dr inż. Janusz Dębiński
1,4
10,70
20,0
10,70
1,4
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.7. Charakterystyki geometryczne przekroju dwuteowego
Główne momenty bezwładności
przekroju dwuteowego
sc1
Y01 z01=-10,70cm z02=0,0 cm
Z01
z03=10,70 cm
Y0=Ygl Y02
sc 10,0�"1,43 �ą
J =J =
śą-10,70 �"10,0�"1,4�ą
źą2
Y0 Ygl
12
Z02 sc2
0,7�"20,03
0,7
�ą �ą0,02�"0,7�"20,0�ą
12
sc3
Y03
10,0�"1,43
�ą �ą10,702�"10,0�"1,4=
12
=3677cm4
Z0=Zgl Z03
[cm]
10,0
Dr inż. Janusz Dębiński 45
Dr inż. Janusz Dębiński
1,4
10,70
20,0
10,70
1,4
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.7. Charakterystyki geometryczne przekroju dwuteowego
Główne momenty bezwładności
przekroju dwuteowego
sc1
Y01 y01=0,0 cm y02=0,0 cm
Z01
y03=0,0 cm
3
Y0=Ygl Y02
sc
J =J =1,4�"10,0 �ą0,02�"10,0�"1,4�ą
Z0 Zgl
12
Z02 sc2
20,0�"0,73
0,7
�ą �ą0,02�"0,7�"20,0�ą
12
sc3
Y03
1,4�"10,03
�ą �ą0,02�"10,0�"1,4=
12
=233,9cm4
Z0=Zgl Z03
[cm]
10,0
Dr inż. Janusz Dębiński 46
Dr inż. Janusz Dębiński
1,4
10,70
20,0
10,70
1,4
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.7. Charakterystyki geometryczne przekroju dwuteowego
Główne momenty bezwładności
przekroju dwuteowego
4,65 4,65
z01=0,0 cm z02=0,0 cm
z03=0,0 cm
0,7
Y0=Ygl
10,0�"22,83 �ą 0,0 �"10,0�"22,8-
sc
J =J =
śą źą2
Y0 Ygl
sc2 sc1 sc3
12
4,65�"20,03
- �ą0,02�"4,65�"20,0 -
śą źą
12
Z02 Z03
4,65�"20,03
- �ą0,02�"4,65�"20,0 =
śą źą
12
Z0=Zgl Z01
=3677cm4
[cm]
10,0
Dr inż. Janusz Dębiński 47
Dr inż. Janusz Dębiński
1,4
20,0
03
02
01
Y =Y = Y
1,4
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.7. Charakterystyki geometryczne przekroju dwuteowego
Główne momenty bezwładności przekroju dwuteowego
10,0�"22,83 �ą 0,0 �"10,0�"22,8-
J =J =
śą źą2
Y0 Ygl
12
4,65�"20,03
- �ą0,02�"4,65�"20,0 -
śą źą
12
4,65�"20,03
- �ą0,02�"4,65�"20,0 =
śą źą
12
=3677cm4
10,0�"22,83 - 2�"4,65�"20,03 =3677cm4
J =J =
Y0 Ygl
12 12
Dr inż. Janusz Dębiński 48
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.7. Charakterystyki geometryczne przekroju dwuteowego
Główne momenty bezwładności przekroju dwuteowego
śąs-gźą�"h3
s�"h3
S
J =J = -
Y0 Ygl
12 12
g
Y0=Ygl
sc
Z0=Zgl
s
Dr inż. Janusz Dębiński 49
Dr inż. Janusz Dębiński
t
s
h
h
t
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.7. Charakterystyki geometryczne przekroju teowego
Zadanie 3
16,0
Wyznaczyć charakterystyki geometryczne
przekroju teowego przedstawionego na
poniższym rysunku.
1,0
[cm]
Dr inż. Janusz Dębiński 50
Dr inż. Janusz Dębiński
1,0
24,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.7. Charakterystyki geometryczne przekroju teowego
Pole powierzchni przekroju teowego
16,0
A=16,0�"1,0�ą24,0�"1,0=40,0cm2
1,0
[cm]
Dr inż. Janusz Dębiński 51
Dr inż. Janusz Dębiński
1,0
24,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.7. Charakterystyki geometryczne przekroju teowego
16,0
Położenie środka ciężkości
przekroju teowego
8,0 8,0
sc1
1,0
z1= =0,50 cm
2
YP
24,0
z2=1,0�ą =13,0cm
sc
2
16,0�"1,0�"0,50�ą24,0�"1,0�"13,0
sc2
zC= =8,0 cm
16,0�"1,0�ą24,0�"1,0
1,0
[cm]
ZP
Dr inż. Janusz Dębiński 52
Dr inż. Janusz Dębiński
1,0
0,50
8,0
13,0
24,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.7. Charakterystyki geometryczne przekroju teowego
16,0
Główne momenty bezwładności
przekroju teowego
sc1
Y01
z01=0,50-8,0=-7,50 cm
Z01
Y0=Ygl
z02=13,0-8,0=5,0cm
sc
Y02
16,0�"1,03�ą
sc2
J =J =
śą-7,50 �"16,0�"1,0�ą
źą2
Y0 Ygl
12
Z02
1,0�"24,03
�ą �ą5,02�"1,0�"24,0=
12
1,0
=2653cm4
[cm]
Z0=Zgl
Dr inż. Janusz Dębiński 53
Dr inż. Janusz Dębiński
1,0
8,0
7,50
5,0
24,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.7. Charakterystyki geometryczne przekroju teowego
16,0
Główne momenty bezwładności
sc1 przekroju teowego
Y01
y01=0,0 cm
Z01
Y0=Ygl
y02=0,0 cm
sc
Y02
3
sc2
J =J =1,0�"16,0 �ą0,02�"16,0�"1,0�ą
Z0 Zgl
12
Z02
24,0�"1,03
�ą �ą0,02�"1,0�"24,0=
12
1,0
=343,3 cm4
[cm]
Z0=Zgl
Dr inż. Janusz Dębiński 54
Dr inż. Janusz Dębiński
1,0
24,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.8. Charakterystyki geometryczne dowolnego przekroju
Zadanie 4
Wyznaczyć główne
momenty bezwładności
przekroju przedstawio-
nego na poniższym
rysunku.
[cm]
5,0 7,0 3,0
Dr inż. Janusz Dębiński 55
Dr inż. Janusz Dębiński
4,0
5,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.8. Charakterystyki geometryczne dowolnego przekroju
Położenie środka
ciężkości dowolnego
przekroju
YP
1,0
15,0
y1= =7,50cm
2
sc2
sc1
3,0
y2= =1,0 cm
7,5
3
sc3
4�"5,0
y3=15,0- =12,88cm
12,88
3�"Ćą
ZP
[cm]
5,0 7,0 3,0
Dr inż. Janusz Dębiński 56
Dr inż. Janusz Dębiński
4,0
5,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.8. Charakterystyki geometryczne dowolnego przekroju
Położenie środka ciężkości dowolnego przekroju
YP
1,0
sc2
sc1
7,5
sc3
12,88
ZP
[cm]
5,0 7,0 3,0
1�"3,0�"9,0�"1,0- ƹ�"5,02�"12,88
15,0�"9,0�"7,50-
2 4
yC= =7,325 cm
1�"3,0�"9,0- ƹ�"5,02
15,0�"9,0-
2 4
Dr inż. Janusz Dębiński 57
Dr inż. Janusz Dębiński
4,0
5,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.8. Charakterystyki geometryczne dowolnego przekroju
Położenie środka
ciężkości dowolnego
przekroju
YP
9,0
z1= =4,50 cm
2
sc2
sc1
9,0
z2= =3,0cm
3
sc3
4�"5,0
z3=9,0- =6,878 cm
3�"Ćą
ZP
[cm]
5,0 7,0 3,0
Dr inż. Janusz Dębiński 58
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
4,0
4,50
6,878
5,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.8. Charakterystyki geometryczne dowolnego przekroju
Położenie środka ciężkości dowolnego przekroju
YP
sc2
sc1
sc3
ZP
[cm]
5,0 7,0 3,0
1�"3,0�"9,0�"3,0- ƹ�"5,02�"6,878
15,0�"9,0�"4,50-
2 4
zC= =4,240 cm
1�"3,0�"9,0-ƹ�"5,02
15,0�"9,0-
2 4
Dr inż. Janusz Dębiński 59
Dr inż. Janusz Dębiński
3,0
4,0
4,50
6,878
5,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.8. Charakterystyki geometryczne dowolnego przekroju
Położenie środka ciężkości dowolnego przekroju
yC=7,325cm
YP
7,325
zC=4,240 cm
Y0
sc
Z0
ZP
[cm]
5,0 7,0 3,0
Dr inż. Janusz Dębiński 60
Dr inż. Janusz Dębiński
4,0
4,240
5,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.8. Charakterystyki geometryczne dowolnego przekroju
Momenty bezwładności dowolnego przekroju w osiach środkowych
sc2
Y0
Y02
sc
Y01 sc1
Y03 sc3
Z0
Z02
Z01
Z03
[cm]
5,0 7,0 3,0
z01=4,50-4,240=0,260 cm z02=3,0-4,240=-1,240cm z03=6,878-4,240=2,683 cm
Dr inż. Janusz Dębiński 61
Dr inż. Janusz Dębiński
4,0
1,240
0,260
2,638
5,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.8. Charakterystyki geometryczne dowolnego przekroju
Momenty bezwładności dowolnego przekroju w osiach środkowych
z01=0,260 cm
sc2
z02=-1,240cm
Y0
Y02
sc
Y01 sc1
Y03 sc3
z03=2,683cm
Z0
Z02
Z01
Z03
[cm]
5,0 7,0 3,0 15,0�"9,03�ą0,260 �"15,0�"9,0-
2
J =
Y0
12
3,0�"9,03 1
- �ąśą-1,240źą2�" �"3,0�"9,0 -
śą źą
36,0 2
ƹ�"5,02
- 0,05488�"5,04�ą2,6832�" =
śą źą
4
=667,9 cm4
Dr inż. Janusz Dębiński 62
Dr inż. Janusz Dębiński
4,0
1,240
0,260
2,638
5,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.8. Charakterystyki geometryczne dowolnego przekroju
Momenty bezwładności dowolnego przekroju w osiach środkowych
5,555
6,325
0,175
sc2
Y0
Y02
sc
Y01 sc1
Y03 sc3
Z0
Z02
Z01
Z03
[cm]
5,0 7,0 3,0
y01=7,50-7,325=0,175cm y02=1,0-7,325=-6,325cm y03=12,88-7,325=-5,555 cm
Dr inż. Janusz Dębiński 63
Dr inż. Janusz Dębiński
4,0
5,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.8. Charakterystyki geometryczne dowolnego przekroju
Momenty bezwładności dowolnego przekroju w osiach środkowych
y01=0,175 cm
5,555
6,325
0,175
y02=-6,325cm
Y0
Y02 sc2
sc
Y01 sc1
Y03 sc3
y03=5,555 cm
Z0
Z02
Z01
Z03
[cm]
5,0 7,0 3,0 9,0�"15,03�ą0,175 �"15,0�"9,0-
2
J =
Z0
12
9,0�"3,03 1
- �ąśą-6,325źą2�" �"3,0�"9,0 -
śą źą
36,0 2
ƹ�"5,02
- 0,05488�"5,04�ą5,5552�" =
śą źą
4
=1349cm4
Dr inż. Janusz Dębiński 64
Dr inż. Janusz Dębiński
4,0
5,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.8. Charakterystyki geometryczne dowolnego przekroju
Momenty bezwładności dowolnego przekroju w osiach środkowych
Y03
sc3
Y02
sc2
Z03
Z02
Dr inż. Janusz Dębiński 65
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.8. Charakterystyki geometryczne dowolnego przekroju
Momenty bezwładności dowolnego przekroju w osiach środkowych
y01=0,175 cm z01=0,260 cm
y02=-6,325cm z02=-1,240cm
Y0
Y02 sc2
sc
Y01 sc1
Y03 sc3
y03=5,555 cm z03=2,683cm
Z0
Z02
Z01
Z03
[cm]
5,0 7,0 3,0
J =0,0�ą0,175�"0,260�"15,0�"9,0-
Y0Z0
2
- -9,0 �"3,02�ą
śą-6,325 �"-1,240 �"1�"3,0�"9,0 -
źą śą źą
śą źą
72 2
2
- -0,01647�"5,04�ą5,555�"2,683�"Ćą�"5,0 =-366,9 cm4
śą źą
4
Dr inż. Janusz Dębiński 66
Dr inż. Janusz Dębiński
4,0
5,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.8. Charakterystyki geometryczne dowolnego przekroju
Główne momenty bezwładności dowolnego przekroju
J =667,9 cm4
Y0
tg
śą2�"�ą źą=-2�"śą-366,9źą=-1,078
gl
667,9-1349
J =1349 cm4
Z0
�ągl=-23,57�
J =-366,9cm4
Y0Z0
667,9�ą1349 667,9-1349
J = �ą �"cos 2�"śą-23,57�źą
śą źą-śą-366,9źą�"sin 2�"śą-23,57 �źą =507,8cm4
śą źą
Ygl
2 2
667,9�ą1349 667,9-1349
J = - �"cos 2�"śą-23,57�źą �ąśą-366,9źą�"sin 2�"śą-23,57�źą =1509cm4
śą źą śą źą
Zgl
2 2
Dr inż. Janusz Dębiński 67
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.8. Charakterystyki geometryczne dowolnego przekroju
Główne momenty bezwładności dowolnego przekroju
J =J =507,8 cm4
Ygl 2
J =J =1509cm4
Zgl 1
2
667,9�ą1349 667,9-1349
1508 cm4
J = ą �ąśą-366,9źą2=
1/2
śą źą
{
2 2
ćą
507,8cm4
Dr inż. Janusz Dębiński 68
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.8. Charakterystyki geometryczne dowolnego przekroju
Główne momenty bezwładności dowolnego przekroju
J =667,9 cm4 J =J =507,8 cm4
Y0 Ygl 2
J =1349 cm4 J =J =1509cm4
Z0 Zgl 1
J =-366,9cm4
Y0Z0
I1=667,9�ą1349=2017cm4
I1=507,8�ą1509=2017cm4
I =667,9�"1349-śą-366,9źą2=766528 cm4H"766500 cm4
2
I =507,8�"1509=766270cm4H"766300 cm4
2
Dr inż. Janusz Dębiński 69
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.8. Charakterystyki geometryczne dowolnego przekroju
Główne momenty bezwładności dowolnego przekroju
Y0
sc
Z0
Dr inż. Janusz Dębiński 70
Dr inż. Janusz Dębiński
0
23,57
Y
=
g
2
l
Z
=
g
1
l
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.9. Zastosowanie twierdzenia Steinera
Y2
Zadanie 5
Z2 Dany jest przekrój prostokątny
o polu powierzchni równym
75,0 cm2 oraz moment bezwład-
A = 75,0 cm2
ności tego przekroju względem
Y0
sc osi Y1 równy 4375 cm4. Wyznaczyć
wartość momentu bezwładności
względem osi Y2.
J =4375cm4
Y1
Z0
[cm]
Y1
J =4375�ą12,02�"75,0=15175 cm4
Y2
Z1
Dr inż. Janusz Dębiński 71
Dr inż. Janusz Dębiński
4,5
7,5
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.9. Zastosowanie twierdzenia Steinera
Y2
Zadanie 5
J =4375cm4
Z2
Y1
A = 75,0 cm2
J =J �ąz2 �"A
Y1 Y0 C1
Y0
sc
4375=J �ą7,52�"75,0
Y0
J =4375-7,52�"75,0=156,3 cm4
Y0
Z0
J =J �ąz2 �"A
Y2 Y0 C2
[cm]
Y1
J =156,3�ą4,52�"75,0=1675cm4
Y2
Z1
Dr inż. Janusz Dębiński 72
Dr inż. Janusz Dębiński
4,5
7,5
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.10. Kształtowniki walcowane
Ogólna charakterystyka kształtowników walcowanych
Kształtowniki walcowane są podstawowym asortymentem wyrobów stalowych.
Walcowanie polega na przepuszczeniu elementu wyjściowego pomiędzy
dwoma walcami obracającymi się w przeciwnych kierunkach.
Odstęp pomiędzy walcami jest regulowany. Na łożyska jednego z walców wywierany
jest nacisk. Jest on potrzebny aby w walcowanym elemencie wywołać
odpowiedni zgniot.
Dr inż. Janusz Dębiński 73
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.10. Kształtowniki walcowane
Ogólna charakterystyka kształtowników walcowanych
Budowa walcarki typu duo.
Dr inż. Janusz Dębiński 74
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.10. Kształtowniki walcowane
Ogólna charakterystyka kształtowników walcowanych
Kolejne etapy walcowania.
Dr inż. Janusz Dębiński 75
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.10. Kształtowniki walcowane
Ogólna charakterystyka kształtowników walcowanych
Charakterystyki geometryczne kształtowników walcowanych odczytujemy z
Dr inż. Janusz Dębiński 76
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.10. Kształtowniki walcowane
Dwuteowniki
Typy dwuteowników:
1. normalne
2. szerokostopowe - HEB
3. równoległościenne - IPE
Dr inż. Janusz Dębiński 77
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.10. Kształtowniki walcowane
Dwuteowniki
Y
Oznaczenie dwuteownika
g
200 200PE HEB200
X X
Wymiary dwuteownika
sc
A - pole powierzchni
JX, JY - momenty bezwładności
Y
s s
2 2
s
Dr inż. Janusz Dębiński 78
Dr inż. Janusz Dębiński
2
h
h
2
h
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.10. Kształtowniki walcowane
Dwuteowniki
Y
X
Y0 Y0
X X
sc
Y Y
sc
X
Z0
JY0 = JY(T)
Y
JY0 = JX(T)
JZ0 = JX(T)
Z0
JZ0 = JY(T)
Dr inż. Janusz Dębiński 79
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.10. Kształtowniki walcowane
Dwuteowniki
Dr inż. Janusz Dębiński 80
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.10. Kształtowniki walcowane
Ceowniki
Y
Oznaczenie ceownika
g
200
X X
Wymiary ceownika
sc
A - pole powierzchni
JX, JY - momenty bezwładności
Y
e
s
Dr inż. Janusz Dębiński 81
Dr inż. Janusz Dębiński
2
h
h
2
h
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.10. Kształtowniki walcowane
Ceowniki
Dr inż. Janusz Dębiński 82
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.10. Kształtowniki walcowane
Teownik
s
Oznaczenie teownika
s s
2 2
1 1 1
2 200 2 200PE 2HEB200
Y
X X Wymiary teownika
sc
g
A - pole powierzchni
Y
JX, JY - momenty bezwładności
Dr inż. Janusz Dębiński 83
Dr inż. Janusz Dębiński
e
2
h
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.10. Kształtowniki walcowane
Kątownik równoramienny
Oznaczenie kątownika równoramiennego
g
L a�g
2
1
Y
Wymiary kątownika równoramiennego
sc
X X
A - pole powierzchni
Y
e
2
1
JX, JY - momenty bezwładności
a
J1, J2 - główne momenty bezwładności
Dr inż. Janusz Dębiński 84
Dr inż. Janusz Dębiński
a
e
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.10. Kształtowniki walcowane
Kątownik równoramienny
Dr inż. Janusz Dębiński 85
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.10. Kształtowniki walcowane
Kątownik nierównoramienny
g
Oznaczenie kątownika nierównoramiennego
2
L b�a�g
Y
1
X X
Wymiary kątownika nierównoramiennego
sc
1
A - pole powierzchni
eY Y 2
JX, JY - momenty bezwładności
a
J2 - główny moment bezwładności
Dr inż. Janusz Dębiński 86
Dr inż. Janusz Dębiński
b
X
e
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.10. Kształtowniki walcowane
Dewiacyjny moment bezwładności kątownika
Y0
sc
Y0
sc
Z0
Z0
J ą0 J "ą0
Y0Z0 Y0Z0
Dr inż. Janusz Dębiński 87
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.11. Charakterystyki geometryczne
kształtowników walcowanych
220
Zadanie 1
Wyznaczyć główne momenty
65�6 bezwładności przekroju
przedstawionego na
poniższym rysunku.
320
Dr inż. Janusz Dębiński 88
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.11. Charakterystyki geometryczne kształtowników walcowanych
Pola powierzchni kształtowników walcowanych
Ceownik - A1 = 37,4 cm2
Dwuteownik - A2 = 77,8 cm2
Kątownik - A3 = 7,53 cm2
Dr inż. Janusz Dębiński 89
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.11. Charakterystyki geometryczne
YP
11,0
kształtowników walcowanych
sc1
Położenie środka ciężkości przekroju
sc3
22,0
y1= =11,0 cm
2
ZP
1,8
13,1
22,0
y2=22,0- =15,45cm
2
sc2
y3=1,8 cm
15,45
37,4�"11,0�ą77,8�"15,45�ą7,53�"1,8
yC= =13,26cm
37,4�ą77,8�ą7,53
13,1
[cm]
Dr inż. Janusz Dębiński 90
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.11. Charakterystyki geometryczne
YP
kształtowników walcowanych
sc1
Położenie środka
ciężkości przekroju
sc3
z1=8,0-2,14=5,86 cm
ZP
32,0
z2=8,0�ą =24,0 cm
2
sc2
z3=8,0�ą1,8=9,80 cm
37,4�"5,86�ą77,8�"24,0�ą7,53�"9,80
zC= =17,60 cm
37,4�ą77,8�ą7,53
[cm]
Dr inż. Janusz Dębiński 91
Dr inż. Janusz Dębiński
5,86
2,14
8,0
9,80
24,0
1,80
32,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.11. Charakterystyki geometryczne
YP
kształtowników walcowanych
sc1
Położenie środka
ciężkości przekroju
sc3
yC=13,26cm
ZP
sc
Y0
zC=17,60cm
13,26
sc2
Z0
[cm]
Dr inż. Janusz Dębiński 92
Dr inż. Janusz Dębiński
17,60
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.11. Charakterystyki geometryczne
kształtowników walcowanych
Y01
sc1
Momenty bezwładności względem
osi środkowych
Y03
Z01
z01=5,86-17,60=-11,74 cm
sc
Y0
z02=24,0-17,60=6,40 cm
sc2
Z03
z03=9,80-17,60=-7,80 cm
Y02
J =197,0�ąśą-11,74źą2�"37,4�ą12510�ą6,402�"77,8�ą
Z02
Y0
�ą29,2�ą
śą-7,80 �"7,53=21540cm4
źą2
Z0
[cm]
Dr inż. Janusz Dębiński 93
Dr inż. Janusz Dębiński
3
sc
11,74
7,80
6,40
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.11. Charakterystyki geometryczne
kształtowników walcowanych
Y01
sc1
Momenty bezwładności względem
osi środkowych
Y03
Z01
2,26
y01=11,0-13,26=-2,26 cm
sc
11,46
Y0
y02=15,45-13,26=2,19 cm
sc2
Z03
y03=1,80-13,26=-11,46cm
Y02
2,19
J =2690�ąśą-2,26źą2�"37,4�ą555,0�ą2,192�"77,8�ą
Z02
Z0
�ą29,2�ą
śą-11,46 �"7,53=4827 cm4
źą2
Z0
[cm]
Dr inż. Janusz Dębiński 94
Dr inż. Janusz Dębiński
3
sc
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.11. Charakterystyki geometryczne kształtowników walcowanych
Dewiacyjny moment bezwładności kątownika
J =J =29,2cm4
Y03 Z03
sc3
J =46,3cm4
1
Y03
J =12,1cm4
2
12,1
I =46,3�"12,1=560,2cm8
2
2
I =29,2�"29,2-J =560,2 cm8
2 Y03Z03
Z03
J =17,10cm4
#" #"
Y03Z03
J =-17,10 cm4
Y03Z03
Dr inż. Janusz Dębiński 95
Dr inż. Janusz Dębiński
1
2
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.11. Charakterystyki geometryczne kształtowników walcowanych
Dewiacyjny moment bezwładności przekroju
y01=-2,26cm z01=-11,74cm
y02=2,19cm z02=6,40 cm
y03=-11,46 cm z03=-7,80cm
J =0,0�ąśą-2,26źą�"śą-11,74źą�"37,4�ą0,0�ą2,19�"6,40�"77,8-17,10�ąśą-11,46źą�"śą-7,80źą�"7,53=
Y0Z0
=2739cm4
Dr inż. Janusz Dębiński 96
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.11. Charakterystyki geometryczne
kształtowników walcowanych
Główne momenty bezwładności
przekroju
�ągl=-9,075 �
Y0
J =J =21980cm4
Ygl 1
J =J =4390 cm4
Zgl 2
Z0
Dr inż. Janusz Dębiński 97
Dr inż. Janusz Dębiński
0
9,075
Y
=
1
g
l
Z
=
2
g
l
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.11. Charakterystyki geometryczne kształtowników walcowanych
Wykresy funkcji momentów bezwładności
JY, JZ �1000
J =21540cm4
Y0
[cm4]
J =4827cm4
Z0
21980
JY
J =21980cm4
1
20
J =4390 cm4
2
15
10
5 JZ
4390
ą [0]
0 90 180 270 360
Dr inż. Janusz Dębiński 98
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.11. Charakterystyki geometryczne kształtowników walcowanych
Wykresy funkcji momentów bezwładności
JYZ �1000
J =2739 cm4
Y0Z0
[cm4]
10
5
ą [0]
0 90 180 270 360
-5
-10
Dr inż. Janusz Dębiński 99
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.11. Charakterystyki geometryczne kształtowników walcowanych
Zadanie 2
Dany jest przekrój złożony z dwóch ceowników 260 przedstawiony na poniższym
rysunku. Wyznaczyć dla jakiej odległości a główne momenty bezwładności mają
jednakowe wartości.
260 260
a
Dr inż. Janusz Dębiński 100
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.11. Charakterystyki geometryczne kształtowników walcowanych
Dane ceownika 260
Y
A=48,3cm2
e=2,36cm
g
J =4280 cm4
X
X X
sc
J =317,0 cm4
Y
Y
e
s
Dr inż. Janusz Dębiński 101
Dr inż. Janusz Dębiński
2
h
h
2
h
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.11. Charakterystyki geometryczne kształtowników walcowanych
a
Położenie środka
a a
ciężkości przekroju
2 2
Y0=Ygl
sc
Z0=Zgl
[cm]
Dr inż. Janusz Dębiński 102
Dr inż. Janusz Dębiński
13,0
26,0
13,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.11. Charakterystyki geometryczne kształtowników walcowanych
Główne momenty bezwładności
z01=0,0 cm
J =4280 cm4
Y01
Y0=Ygl sc1 sc2
sc
z02=0,0 cm
Y01 =Y02
J =4280cm4
Y02
J =J =4280�ą0,02�"48,3�ą
Y0 Ygl
Z01 Z0=Zgl Z02
�ą4280�ą0,02�"48,3=9640 cm4
Dr inż. Janusz Dębiński 103
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.11. Charakterystyki geometryczne kształtowników walcowanych
Główne momenty bezwładności
a a
2 2
a
y01=2,36�ą
2
2,36 2,36
J =317,0 cm4
Z01
Y0=Ygl
sc1 sc2
sc
a
y02=- 2,36�ą
śą źą
2
Y01=Y02
J =317,0cm4
Z02
2
a
Z01 Z0=Zgl Z02 [cm]
y2 = y2 = 2,36�ą
01 02
śą źą
2
Dr inż. Janusz Dębiński 104
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.11. Charakterystyki geometryczne kształtowników walcowanych
Główne momenty bezwładności
J =317,0 cm4 J =317,0cm4
Z01 Z02
2
a
y2 = y2 = 2,36�ą
01 02
śą źą
2
2 2
a a
J =J =317,0�ą 2,36�ą �"48,3�ą317,0�ą 2,36�ą �"48,3=9640 cm4
Z0 Zgl
śą źą śą źą
2 2
2
a
2,36�ą =93,23 cm2
śą źą
2
a=14,59 cm
Dr inż. Janusz Dębiński 105
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.12. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta w zadanym
układzie współrzędnych
Wyznaczanie momentów bezwładności przekroju pręta w zadanym układzie
współrzędnych
i=n
JY0i, JZ0i, JY0iZ0i - momenty bezwładności
J = J �ąz2�"Ai
" śą źą
Y Y0i i
względem osi środkowych i-tej figury.
i=1
i=n
2 yi, zi - współrzędne środka ciężkości
J = J �ą yi�"Ai
" śą źą
Z Z0i
i=1 i-tej figury w układzie YZ.
i=n
Ai - pole powierzchni i-tej figury.
J = J �ą yi�"zi�"Ai
"śą źą
YZ Y0iZ0i
i=1
Dr inż. Janusz Dębiński 106
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.12. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta w zadanym
układzie współrzędnych
5,0 9,0 1,0
Zadanie 1
Y
Wyznaczyć momenty
bezwładności w zadanym
układzie współrzędnych
przekroju przedstawio-
nego na poniższym
rysunku.
100�50�8
Z
[cm]
10,0 5,0
Dr inż. Janusz Dębiński 107
Dr inż. Janusz Dębiński
1,0
3,0
1,0
5,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.12. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta w zadanym
układzie współrzędnych
Dane kątownika nierównoramiennego
g
A=11,4 cm2
2 eX=3,59 cm
Y
1
eY=1,12cm
X X
sc
1
J =116,0cm4
X
eY Y 2 J =19,5cm4
Y
a
J =12,7cm4
2
Dr inż. Janusz Dębiński 108
Dr inż. Janusz Dębiński
b
X
e
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.12. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta w zadanym
układzie współrzędnych
5,0 9,0 1,0
Momenty
bezwładności
Y
w układzie YZ
Y02
sc2
sc1
5,0
z1= =2,50cm
Y01
2
Z02
Z01
3,0
z2=1,0�ą =2,0 cm
sc3 3
Y03
Z
z3=5,0�ą1,12=6,12cm
Z03
[cm]
10,0 5,0
Dr inż. Janusz Dębiński 109
Dr inż. Janusz Dębiński
1,0
2,50
3,0
6,12
2,0
1,12
1,0
5,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.12. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta w zadanym
układzie współrzędnych
5,0 9,0 1,0
Momenty bezwładności w układzie YZ
Y
Y02
sc2
sc1
z1=2,50cm
Y01
Z02
Z01
z2=2,0 cm
sc3
Y03
Z
Z03
[cm]
z3=6,12 cm
10,0 5,0
3
J =15,0�"5,0 �ą2,502�"15,0�"5,0-
Y
12
9,0�"3,03 1
- �ą2,02�" �"9,0�"3,0 -
śą źą
36,0 2
�ą19,5�ą6,122�"11,4=1011cm4
Dr inż. Janusz Dębiński 110
Dr inż. Janusz Dębiński
1,0
2,50
3,0
6,12
2,0
1,12
1,0
5,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.12. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta w zadanym
układzie współrzędnych
5,0 9,0 1,0
Momenty
bezwładności
Y
w układzie YZ
Y02
sc2
sc1
15,0
y1= =7,50cm
Y01
Z02
2
4,0
Z01
9,0
y2=1,0�ą =4,0 cm
7,50
3
Y03 sc3
Z03
Z
y3=5,0�ą3,59=8,59cm
3,59
[cm]
8,59
10,0 5,0
Dr inż. Janusz Dębiński 111
Dr inż. Janusz Dębiński
1,0
3,0
1,0
5,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.12. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta w zadanym
układzie współrzędnych
5,0 9,0 1,0
Momenty bezwładności w układzie YZ
Y
Y02
sc2
sc1
y1=7,50cm
Y01
Z02
4,0
Z01
7,50
y2=4,0 cm
Y03 sc3
Z03
Z
3,59
[cm]
8,59 y3=8,59cm
10,0 5,0
3
J =5,0�"15,0 �ą7,502�"15,0�"5,0-
Z
12
3,0�"9,03 1
- �ą4,02�" �"9,0�"3,0 -
śą źą
36,0 2
�ą116,0�ą8,592�"11,4=6184 cm4
Dr inż. Janusz Dębiński 112
Dr inż. Janusz Dębiński
1,0
3,0
1,0
5,0
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.12. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta w zadanym
układzie współrzędnych
Dewiacyjny moment bezwładności kątownika nierównoramiennego
J =19,5cm4
Y03
sc3
J =116,0 cm4
Z03
Y03
J =12,7cm4
2
Z03
I1=19,5�ą116,0=125,5cm4
I1=J �ą12,7=125,5cm4
1
J =112,8 cm4
1
Dr inż. Janusz Dębiński 113
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.12. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta w zadanym
układzie współrzędnych
Dewiacyjny moment bezwładności kątownika nierównoramiennego
J =19,5cm4
Y03
sc3
J =116,0 cm4
Z03
Y03
J =112,8 cm4
1
Z03
J =12,7cm4
2
J =26,50 cm4
#" #"
Y03Z03
I =112,8�"12,7=1433cm8
2
2
J =-26,50cm4
Y03Z03
I =19,5�"116,0-J =1433cm8
2 Y03Z03
Dr inż. Janusz Dębiński 114
Dr inż. Janusz Dębiński
2. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta
2.12. Charakterystyki geometryczne przekroju pręta w zadanym
układzie współrzędnych
5,0 9,0 1,0
Momenty bezwładności w układzie YZ
Y
Y02
sc2
sc1
y1=7,50cm z1=2,50cm
Y01
Z02
Z01
y2=4,0 cm z2=2,0 cm
Y03 sc3
Z03
Z
[cm]
y3=8,59cm z3=6,12 cm
10,0 5,0
J =0,0�ą7,50�"2,50�"15,0�"5,0-
YZ
9,02�"3,02�ą4,0�"2,0�"1�"3,0�"9,0 -
- -
śą źą
72 2
-26,50�ą8,59�"6,12�"11,4=1881cm4
Dr inż. Janusz Dębiński 115
Dr inż. Janusz Dębiński
1,0
3,0
1,0
5,0