Wielkości hydrodynamiczne
Równanie ciągłości dla strumienia cieczy
+"� u dA = const
u - prostopadła do �A
Boczne ścianki AB są ograniczone liniami strug - nie przepływa przez nie ciecz.
Ciecz jest nie ściśliwa � = const.
Strumień jest ciągły - cała przestrzeń wypełniona cieczą, stąd
Q = vA = const v1A1 = v2 A2 = v3 A3 ...
Równanie Bernoulli'ego
Wyodrębniana elementarna objętość cieczy dV o gęstości �
czyli o elementarnej masie dm posiada określoną energię,
która mo\
e występować jako energia potencjalna dm�g�z
w zale\
ności od wysokości poło\
enia z, jako energia ciśnienia dv�p i
jako energia kinetyczna zale\
na od dm � u2 /2.
Zgodnie z prawem zachowania energii całkowita suma energii
wyodrębnionej masy cieczy winna być stała,
niezale\
nie od poło\
enia tej masy w przestrzeni.
Ta zasada zachowania energii wyra\
ana jest w postaci
równania Bernoulli'ego:
p u2
z + + = const
�g 2g
Równanie Bernoulli'ego
Równanie to wyra\
ające sumę energii wyodrębnionej masy cieczy
zostało uzyskane poprzez podzielenie ró\
nych postaci
energii przez tę masę dm = dv�� .
Wszystkie wielkości w równaniu mają wymiar długości
i stąd nazywamy je "wysokościami energii":
Równanie Bernoulli'ego
wysokość poło\
enia, tj. wysokość wzniesienia środka
z
określonego przekroju poprzecznego strugi
cieczy ponad przyjęty poziom odniesienia [m]
p
wysokość ciśnienia tj. wysokość wzniesienia
takiego słupa cieczy, która na podstawę wywiera ciśnienie p
� g
u2
- wysokość prędkości tj. wysokość, z której ciecz
musiałaby swobodnie spadać, aby osiągnąć prędkość końcową u.
2g
Równanie Bernoulli'ego
W przypadku cieczy rzeczywistej część energii,
jaką struga przepływająca między dowolnie
obranymi przekrojami jest zu\
ywana na pokonanie
oporów ruchu wywołanych głównie lepkością cieczy,
szorstkością ścian przewodu itp.
Aby równanie Bernoulli'ego i w tym przypadku mogło być słuszne,
do prawej strony równania nale\
y dodać pewną wysokość hstr
obrazującą straty energetyczne (lub sumę tych start)
zu\
yte na pokonanie wy\
ej wymienionych oporów.
W związku z tym dla strugi cieczy rzeczywistej równanie
Bernoulli'ego przyjmuje postać.
2 2
ą v1 p1 ąv p2
2
+ + z1 = + + z2 +
"h
str
2g � g 2g � g
u3dA
+"
A
ą =
v3 �" A
sr
Równanie Bernoulli'ego
Ruch jednostajny - Doświadczenie Reynoldsa
Obserwacje ruchu cieczy rzeczywistej wykazują, \
e ruch ten przebiega w
rozmaity sposób zale\
nie od szeregu warunków. Charakter ruchu cieczy lepkiej
bardzo wyraz
nie ukazały doświadczenia Reynoldsa polegające na obserwacji
ruchu cieczy w przezroczystej rurze, w której ciecz płynęła ruchem trwałym przy
ró\
nych prędkościach.
Ruch jednostajny - Doświadczenie Reynoldsa
Dla małych przepływów i bardzo małych prędkości, wprowadzony do przewodu
barwnik porusza się wraz z cieczą w postaci pojedynczej nitki równoległej do osi
rurociągu i brak jest zauwa\
alnego mieszania się zabarwionej cieczy z
otaczającą cieczą. Mimo kolejnego zwiększania prędkości obraz ruchu jest
podobny a\
do pewnej określonej prędkości, po przekroczeniu której obraz się
gwałtownie zmienia. Barwnik nie porusza się ju\
w postaci cienkiej nitki lecz
rozpływa się i zabarwia cały strumień badanej cieczy Wskazuje to, \
e cząstki
cieczy nie poruszają się wzdłu\
torów równoległych lecz prócz kierunków ruchu
głównego wzdłu\
osi rury, istnieją dodatkowe ruchy poprzeczne powodujące
mieszanie się wpuszczanego barwnika.
Ruch jednostajny - Doświadczenie Reynoldsa
Opisane badanie wykazują wyraz
nie, \
e mamy do czynienia z dwoma rodzajami
ruchu. Ruch, przy którym cząsteczki cieczy poruszają się po torach równoległych
nazywany jest ruchem warstwowym lub laminarnym. Drugi rodzaj ruchu
nazywany jest ruchem burzliwym lub turbulentnym
Ruch jednostajny - Doświadczenie Reynoldsa
Jeśli w rurociągu, w którym obserwowana jest płynąca ciecz, będą
zainstalowane w pewnej odległości od siebie dwa piezometry, to w warunkach
ruchu ustalonego (trwałego, stała prędkość ruchu cieczy) będzie mo\
na
odczytać ró\
nicę ciśnień ("h), czyli straty energii na odcinku między
piezometrami (l). Poza obserwacją obrazu ruchu, mo\
emy tak\
e zmierzyć i
obliczyć charakterystyczne parametry, opisujące warunki przeprowadzanego
doświadczenia. Będą to następujące wielkości: prędkość średnia przepływu
cieczy v, otrzymana z bezpośredniego pomiaru objętości cieczy V wypływającej
z rurociągu o znanej średnicy w określonym czasie "t, i jednostkowe straty
energii "h/l.
Ruch jednostajny - Doświadczenie Reynoldsa
Wyniki pomiarów mo\
na nanieść na wykres.
Otrzymaną krzywą mo\
na po logarytmowaniu obu
stron równania opisać jako lg I = lg a + n lg v.
W granicach prędkości od a do b prosta
przebiega pod kątem 45�, tzn. wykładnik
potęgowy n w zale\
ności opisującej tę krzywą
wynosi 1, natomiast przy prędkościach powy\
ej
granicy c wykładnik ten przybiera wartość 2. W
przedziale b - c, w tzw. obszarze przejściowym,
punkty doświadczalne są dość rozproszone i ich
poło\
enie zale\
y czy w trakcie przeprowadzania
doświadczenia kolejno zwiększaliśmy, czy
zmniejszaliśmy prędkość. Prędkości określające
ten obszar nazywane są dolną lub górną
prędkością graniczną.
Ruch jednostajny - Doświadczenie Reynoldsa
Na podstawie rozwa\
ań o podobieństwie przepływów w rurociągach o ró\
nej
średnicy stwierdzono, \
e granice obszaru przejściowego mogą być określone za
pomocą bezwymiarowej liczby zwanej liczbą Reynoldsa, którą definiujemy
następująco:
vd
Re =
v
gdzie v jest prędkością średnią w przekroju rurociągu, d jego średnicą a �
kinematyczny współczynnik lepkości cieczy. W przypadku rur gładkich na
odcinkach dostatecznie odległych od wlotu a więc od miejsca zaburzeń mo\
na
przyjąć \
e ruch laminarny występuje gdy nie jest przekroczona liczba graniczna
Re = 2320.
Ruch jednostajny - Doświadczenie Reynoldsa
Praktycznie biorąc przepływy laminarne mogą występować najczęściej przy ruchu
cieczy w kapilarach, w przepływach wód gruntowych, przepływach w warstwie
przyściennej. W pełnym przekroju rurociągu ruch laminarny występuje raczej
rzadko a wyjątkowo w przepływach cieczy w korytach otwartych (rowach,
kanałach).
Ruch jednostajny - Doświadczenie Reynoldsa
Parametrem, który pozwala na bardziej ogólne porównywanie
warunków ruchu cieczy w przewodach o ró\
nych kształtach i
ró\
nym napełnieniu jest promień hydrauliczny definiowany następująco:
pole przekroju A
Rh = =
obwód zwil\
&!
Obwodem zwil\
onym nazywamy długość obwodu przekroju,
na której ciecz styka się ze ściankami przewodu.
W przypadku kanałów otwartych w liczbie Reynoldsa
charakterystycznym parametrem liniowym
jest promień hydrauliczny Rh,
stąd Re = vRh / v a Regr = 300 - 500.