1
 2
(x + "x)2 - x2
f (x + "x)- f (x) = lim
Rozwiązanie: 2
f (x) = lim
"x0 "x0
"x "x
x2 + 2x "x + ("x)2 - x2 (2x + "x)"x
= lim = lim = lim (2x + "x) = 2x .
"x0 "x0 "x0
"x "x
3
 4
 Rozwiązanie przykładu a): Tutaj x0 = 0, f (x0 ) = e0 =1, f '(x) = (ex )'= ex , czyli
0
f '(x0 ) = ex = e0 =1. Zgodnie z powyższym wzorem równanie stycznej do wykresu funkcji
y = ex w punkcie (0,1) ma postać y =1 + 1�" (x - 0), czyli y =1 + x lub inaczej y = x + 1.
Odpowiedzi do pozostałych przykładów:
5
Z pojęciem pochodnej zetknęliśmy się po raz pierwszy w szkole na lekcjach fizyki.
Wyznaczając prędkość średnią pewnego obiektu poruszającego się po prostej, dzielimy
drogę, jaką przebył w określonym czasie, przez długość tego odcinka czasu:
gdzie oznacza drogę, jaką obserwowany obiekt przebył w czasie
. Następnie spostrzegliśmy, że pomiar prędkości jest tym lepszy i bardziej
adekwatny do stanu obiektu w określonej chwili, im odcinek czasu pomiędzy kolejnymi
chwilami a jest krótszy. Granicę ilorazu
nazywamy prędkością chwilową lub - krótko - prędkością obiektu w chwili i tradycyjnie
oznaczamy symbolem lub
to ostatnie oznaczenie pochodnej jest często stosowane w równaniach różniczkowych.
6
x - 0 x
- x
Mamy tutaj pochodną lewostronną f-2
(x0 ) = lim = lim = lim = lim (-1) = -1
x0- x - 0
x0- x
x0- x
x0-
x
2
a pochodna prawostronna obliczona podobnie wynosi f+(x0 ) = lim = 1, a więc są one
x0+
x
różne. Znaczy to, że pochodna funkcji f (x) = x nie ma pochodnej w x0 = 0.
7
 8
 9
Przykład. Uzasadnić wzór na pochodną funkcji f (x)= tan x .
2
sin x cos x cos x - sin x(- sin x) =
�ł �ł (sin x)2 cos x - sin x(cos x)2 =
Rozwiązanie: (tan x)2 = =
�ł �ł
cos x cos2 x cos2 x
�ł łł
cos2 x + sin2 x 1 cos2 x + sin2 x cos2 x sin2 x
= lub inaczej = + = 1+ tan x .
cos2 x cos2 x cos2 x cos2 x cos2 x
4
�ł -1�ł
�ł
x2
�ł
Przykład. Obliczyć pochodną funkcji f (x)= .
�ł
x2 +1�ł
�ł łł
10
3 2 3
�ł -1�ł �ł x2 -1�ł �ł x2 -1�ł 2x(x2 +1)-(x2 -1)2x
�ł �ł �ł �ł �ł
x2
2 �ł
Rozwiązanie: f (x)= 4�ł = 4�ł =
2
x2 +1�ł �ł x2 +1�ł x2 +1�ł
�ł łł �ł łł �ł łł (x2 +1)
3 3
3
�ł -1�ł 2x3 + 2x - 2x3 + 2x x2 (x2 -1)
�ł �ł -1�ł 4x
�ł
x2
�ł �ł
4�ł = 4�ł = 16x .
2 5
x2 +1�ł x2 +1�ł +1)2
�ł łł (x2 +1) �ł łł (x2 (x2 +1)
Uwaga 2. Teza powyższego twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej może być także
zapisana następująco:
dx 1 1
-1
(f )2 (y)= = = , gdzie y = f (x).
dy
2
dy f (x)
dx
Przykład. Uzasadnimy wzór ze strony 9 na pochodną funkcji logarytmicznej.
11
Rozwiązanie: Wiemy, że funkcje logarytmiczna i wykładnicza są funkcjami wzajemnie
odwrotnymi, to znaczy
y = ln x �! x = ey
.
Z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej otrzymamy więc
dy 1 1 1 1
2
(ln x) = = = = =
dx
2 x
dx (ey ) ey .
dy
12
 13
Czyli dokładność wynosi " P H"15cm2 , prze czym pole powierzchni całkowitej wychodzi z
obliczeń równe P(x) = 6x2 = 6�"(125mm)2 = 93750mm2 = 937,5cm2 .
14