Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 10
CZWÓRNIKI AKTYWNE
4.1. Podstawowe określenia czwórników aktywnych
Elementy aktywne to elementy wykazujące zdolność dostarczania energii elektrycznej. W zależności
od rodzaju elementu, jego budowy i przeznaczenia, cechą charakterystyczną i dominującą może być
przetwarzanie energii i jej dostarczanie, akumulacja energii lub rozpraszanie energii.
Czwórnikiem aktywnym nazywamy czwórnik zawierający w swojej strukturze element aktywny
(np. wzmacniacz operacyjny, tranzystor, rezystor ujemny). Wynika z tego, że czwórniki aktywne
oprócz elementów pasywnych (rezystor, cewka, kondensator) zawierają w swej strukturze nie
kompensujące się elementy aktywne.
Rozważaniom poddamy czwórniki aktywne liniowe, tzn. czwórniki zbudowane z elementów
liniowych w rozważanym zakresie prądów i napięć. Czwórniki aktywne są z reguły nieodwracalne,
czyli spełnione są następujące równania
det(A) `"1 �! AD - BC `"1
det(B) `"1 �! A' D' - B'C' `"1 (4.1)
z21 `" z12 y21 `" y12 h21 `" -h12 g `" -g12
21
Czwórniki aktywne umożliwiają realizację takich funkcji charakteryzujących obwody, jakich nie
można zrealizować za pomocą czwórników pasywnych. Na przykład wykorzystując czwórniki
aktywne można zasymulować ujemną rezystancję, pojemność lub indukcyjność w postaci impedancji
wejściowej pewnego czwórnika aktywnego.
4.2. Schematy zastępcze czwórników aktywnych
W przypadku czwórnika aktywnego, wobec jego nieodwracalności, istnieją cztery parametry
charakteryzujące określoną postać macierzy czwórnika. W przypadku czwórników pasywnych, w
których spełniony jest warunek odwracalności, wystarczy znać trzy parametry niezależne macierzy
np. łańcuchowej, aby odwzorować za pomocą trzy elementów pasywnych tworzących strukturę np.
typu T lub typu . Gdy dodatkowo czwórnik pasywny odwracalny jest symetryczny, to wystarczy
nam znajomość dwóch niezależnych parametrów, by odwzorować strukturę czwórnika. W przypadku
czwórników aktywnych należy wyznaczyć cztery parametry macierzy opisującej czwórnik i liczba
elementów niezależnych w schemacie czwórnika też jest równa cztery.
Uogólnione schematy zastępcze czwórników aktywnych zawierają elementy pasywne i z
ródła
sterowane zbudowane na podstawie równań wiążących napięcia i prądy na wejściu i na wyjściu
czwórnika.
Opierając się na równaniach admitancyjnych (3.7)
ńł
�łI1 = y11�"U1 + y12 �"U2
�łI = y21�"U1 + y22 �"U2
�ł
2
ół
można zbudować czwórnik aktywny o schemacie
1
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 10
I1 I2
2
1
y12U2
U1
y22 U2
y11
y21U1
2
1
Rys. 4.1. Schemat zastępczy czwórnika aktywnego opisanego równaniami admitancyjnymi
gdzie:
y11 - admitancja obwodu wejścia;
y12 �"U - z
ródło prądu sterowane napięciem U ;
2 2
y21 �"U1 - z
ródło prądu sterowane napięciem U1 ;
y22 - admitancja obwodu wyjścia.
I1 I2
A B 2
1
I11 I12 I21 I22
y12U2
U1
y22 U2
y11
y21U1
2
1
Rys. 4.2. Rozpływ prądów w czwórniku aktywnym opisanym równaniami admitancyjnymi
Rozważając schemat przedstawiony na rys. 4.2 zapiszmy równania wynikającego z I prawa
Kirchhoffa:
" dla węzła A
I1 = I11 + I12 = y11 �"U1 + y12 �"U2
(4.2)
123 124
4 4 4 3
I11 I12
" dla węzła B
I = I + I = y21 �"U + y22 �"U2
(4.3)
2 21 22
1241 1 24
4 3 4 3
I21 I22
Zauważmy, że równania (4.2) i (4.3) mają taką samą postać jak równania w układzie równań
admitancyjnych czwórnika (3.7). Potwierdza to poprawność schematu przedstawionego na rys. 4.1.
Moc pierwszego z
ródła sterowanego wynosi y12 �"U �"U1 , zaś moc drugiego y21 �"U1 �"U . Moce te
2 2
(np. przy prądzie stałym) są równe, jeśli y12 = y21, co jest słuszne tylko dla czwórników
odwracalnych.
Opierając się na równaniach impedancyjnych (3.3)
U1 = z11�" I1 + z12 �" I
ńł
2
�łU = z21�" I1 + z22 �" I
ół 2 2
można zbudować czwórnik aktywny o schemacie
2
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 10
z11 z22
I1 I2
2
1
U1 U2
z12I2 z21I1
2
1
Rys. 4.3. Schemat zastępczy czwórnika aktywnego opisanego równaniami impedancyjnymi
gdzie:
z11 - impedancja obwodu wejścia;
z12 �" I - z
ródło napięcia sterowane prądem I ;
2 2
z21 �" I1 - z
ródło napięcia sterowane prądem I1 ;
z22 - impedancja obwodu wyjścia.
z11 z22
I1 I2
2
1
z12I2
U22
U11
U1 U2
U12
z21I1 U21
2
1
Rys. 4.4. Spadki napięć w czwórniku aktywnym opisanym równaniami impedancyjnymi
Rozważając schemat przedstawiony na rys. 4.4 zapiszmy równania wynikającego z II prawa
Kirchhoffa:
" dla oczka z lewej strony
U1 =U11 +U12 = z11 �" I1 + z12 �" I
(4.4)
2
123 123
4 4
U11 U12
" dla oczka z prawej strony
U2 =U21 +U22 = z21 �" I + z22 �" I
(4.5)
2 2
123 123
4 4 4 4
U21 U22
Zauważmy, że równania (4.4) i (4.5) mają taką samą postać jak równania w układzie równań
impedancyjnych czwórnika (3.3). Potwierdza to poprawność schematu przedstawionego na rys. 4.3.
Opierając się na równaniach hybrydowych (3.19)
U1 = h11 �" I1 + h12 �"U2
ńł
�łI = h21 �" I1 + h22 �"U2
ół 2
można zbudować czwórnik aktywny o schemacie
h11
I1 I2
2
1
U1
h22 U2
h12U2
h21I1
2
1
Rys. 4.5. Schemat zastępczy czwórnika aktywnego opisanego równaniami hybrydowymi
3
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 10
gdzie:
h11 - impedancja obwodu wejścia;
h12 �"U - z
ródło napięcia sterowane napięciem U ;
2 2
h21 �" I1 - z
ródło prądu sterowane prądem I1 ;
h22 - admitancja obwodu wyjścia.
h11
I1 I2
C 2
1
h12U2 I21 I22
U11
U1
h22 U2
h21I1
U12
2
1
Rys. 4.6. Rozpływ prądów i spadki napięć w czwórniku aktywnym opisanym równaniami hybrydowymi
Rozważając schemat przedstawiony na rys. 4.4 zapiszmy równania wynikającego z I i II prawa
Kirchhoffa:
" dla oczka z lewej strony (II prawo Kirchhoffa)
U1 =U11 +U12 = h11 �" I1 + h12 �"U2
(4.6)
123 124
4 3
U11 U12
" dla węzła C (I prawo Kirchhoffa)
I = I + I = h21 �" I + h22 �"U2
(4.7)
2 21 22
123 124
4 41 4 3
I21 I22
Zauważmy, że równania (4.6) i (4.7) mają taką samą postać jak równania w układzie równań
hybrydowych czwórnika (3.19). Potwierdza to poprawność schematu przedstawionego na rys. 4.5.
Uwaga: Wszystkie wielkości w równaniach wymienionych czwórników są albo wielkościami
zespolonymi (dla sygnałów sinusoidalnie zmiennych) albo funkcjami operatorowymi (przy analizie
stanów nieustalonych).
4.3. Klasyfikacja czwórników aktywnych
Klasyfikacja czwórników aktywnych może być oparta na różnych kryteriach. W badaniu ich
własności zaciskowych ważne są macierze: Z, Y, H , jednak podstawą klasyfikacji jest macierz
łańcuchowa A . Ze względu na własności macierzy A czwórniki aktywne dzielimy na:
" z
ródła sterowane,
" konwertery impedancji,
" inwertery impedancji,
" układy nulatororo-noratorowe.
4.3.1. y
ródła sterowane
Elementy aktywne, których dominującą cechą jest dostarczanie energii, nazywamy elementami
aktywnymi z
ródłowymi lub krótko z
ródłami. Wyróżniamy z
ródła niesterowane i z
ródła sterowane
y
ródło niesterowane może być przedstawione za pomocą jednego z dwóch schematów zastępczych:
szeregowego (rys. 4.17a) lub równoległego (rys. 4.17c). y
ródło przedstawione za pomocą schematu
szeregowego nazywamy z
ródłem napięcia, z
ródło przedstawione za pomocą schematu równoległego
nazywamy z
ródłem prądu.
4
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 10
a) Rw b) c) d)
Gw
E E
Jz
Jz

Rys. 4.7. Symbole graficzne z
ródeł niesterowanych: a) rzeczywiste z
ródło napięcia;
b) idealne z
ródło napięcia; c) rzeczywiste z
ródło prądu; d) idealne z
ródło prądu
Napięcie z
ródłowe i prąd z
ródłowy nie zależą od napięcia lub prądu występującego we własnej lub
innej gałęzi obwodu elektrycznego.
y
ródło sterowane jest czwórnikiem charakteryzującym się tym, że napięcie z
ródłowe lub prąd
z
ródłowy związany z jedną parą zacisków jest proporcjonalny do napięcia lub prądu związanego z
inną parą zacisków.
Napięcie lub prąd strony pierwotnej nazywamy wielkością sterującą, a napięcie lub prąd po stronie
wtórnej wielkością sterowaną. Współczynnik proporcjonalności między wielkością sterującą i
wielkością sterowaną jest liczbą rzeczywistą oznaczaną w zależności od z
ródła przez r, �, g lub ą .
Rozróżniamy cztery typy z
ródeł sterowanych:
" z
ródło napięcia sterowane prądem (rys. 4.8),
" z
ródło napięcia sterowane napięciem (rys. 4.9),
" z
ródło prądu sterowane napięciem (rys. 4.10),
" z
ródło prądu sterowane prądem (rys. 4.11).
y
ródło napięcia sterowane prądem
Symbol graficzny z
ródła napięcia sterowanego prądem przedstawiono na rys. 4.8. Wielkością
sterującą jest prąd I1 , a wielkością sterowaną jest napięcie U . Współczynnik proporcjonalności
2
pomiędzy wielkością sterowaną (U ) a sterującą ( I1 ) oznaczmy przez r (wymiar w [&!]).
2
Wówczas z
ródło napięcia sterowane prądem opisane jest układem równań
U2 = r �" I1
ńł
(4.8)
�łU = 0
ół 1
Macierz łańcuchowa A oraz macierz impedancyjna Z mają postać
0 0
�ł łł
0 0
�ł łł
�ł1 śł
A = Z =
(4.9)
�ł śł
�łr 0śł
�ł śł
�łr 0�ł
�ł �ł
a) b)
I1
I1`"0
U2 U2
U1=0
Rys. 4.8. Symbole graficzne z
ródła napięcia sterowanego prądem: a) rzeczywiste z
ródło
napięcia sterowanego prądem; b) idealne z
ródło napięcia sterowanego prądem
5
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 10
y
ródło napięcia sterowane napięciem
Symbol graficzny z
ródła napięcia sterowanego napięciem przedstawiono na rys. 4.9. Wielkością
sterującą jest napięcie U1 , a wielkością sterowaną jest napięcie U2 . Współczynnik
proporcjonalności pomiędzy wielkością sterowaną (U2 ) a sterującą (U1 ) oznaczmy przez �
(wielkość bezwymiarowa). Wówczas z
ródło napięcia sterowane napięciem opisane jest układem
równań
U = �U1
ńł
2
(4.10)
�łI = 0
ół 1
Macierz łańcuchowa A oraz macierz hybrydowa odwrócona G mają postać
1
�ł
�ł� 0łł G = �ł0 0łł
śł
A = (4.11)
�ł� 0śł
�ł
�ł �ł
0 0śł
�ł �ł
y
ródło napięcia sterowane napięciem można traktować jako idealny wzmacniacz napięcia o
współczynniku wzmocnienia równym � .
a) b)
I1=0
U2 U2
U1
U1`"0
Rys. 4.9. Symbole graficzne z
ródła napięcia sterowanego napięciem: a) rzeczywiste z
ródło
napięcia sterowanego napięciem; b) idealne z
ródło napięcia sterowanego napięciem
y
ródło prądu sterowane napięciem
Symbol graficzny z
ródła prądu sterowanego napięciem przedstawiono na rys. 4.10. Wielkością
sterującą jest napięcie U1 , a wielkością sterowaną jest prąd I2 . Współczynnik proporcjonalności
pomiędzy wielkością sterowaną ( I2 ) a sterującą (U1 ) oznaczmy przez g (wymiar w [S]). Wówczas
z
ródło prądu sterowane napięciem opisane jest układem równań
I2 = gU1
ńł
(4.12)
�łI = 0
ół 1
Macierz łańcuchowa A oraz macierz admitancyjna Y mają postać
1
�ł0 łł
0 0
�ł łł
�ł śł
A = Y = (4.13)
g �ł śł
�ł0 0 śł
�ł śł
�łg 0�ł
�ł �ł
a) b)
I1=0
I2
I2
U1
U1`"0
Rys. 4.10. Symbole graficzne z
ródła prądu sterowanego napięciem: a) rzeczywiste z
ródło
prądu sterowanego napięciem; b) idealne z
ródło prądu sterowanego napięciem
6
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 10
y
ródło prądu sterowane prądem
Symbol graficzny z
ródła prądu sterowanego napięciem przedstawiono na rys. 4.11. Wielkością
sterującą jest prąd I1 , a wielkością sterowaną jest prąd I2 . Współczynnik proporcjonalności
pomiędzy wielkością sterowaną ( I2 ) a sterującą ( I1 ) oznaczmy przez ą (wielkość bezwymiarowa).
Wówczas z
ródło prądu sterowane prądem opisane jest układem równań
I2 =
ńł ą I1
(4.14)
�łU = 0
ół 1
Macierz łańcuchowa A oraz macierz hybrydowa H mają postać
0 0
�ł łł
0 0
�ł łł
�ł śł
A = 1 H =
(4.15)
�ł śł
�ł0 ą śł
�łą 0�ł
śł
�ł
�ł �ł
y
ródło prądu sterowane prądem można traktować jako idealny wzmacniacz prądu o wzmocnieniu ą .
a) b)
I1
I1`"0
I2
I2
U1=0
Rys. 4.11. Symbole graficzne z
ródła prądu sterowanego prądem: a) rzeczywiste z
ródło
prądu sterowanego prądem; b) idealne z
ródło prądu sterowanego prądem
We wszystkich z
ródłach sterowanych wielkość wyjściowa jako sterowana jest proporcjonalna do
wielkości wejściowej  sterującej, a współczynniki proporcjonalności pomiędzy tymi wielkościami są
liczbami rzeczywistymi. Ponieważ wielkość sterująca nie zależy od sterowanej, przekazywanie
sygnału odbywa się tylko w jednym kierunku. Są to zatem układy o jednostronnym działaniu, czyli
nieodwracalne.
Zauważmy, że macierz łańcuchowa A każdego idealnego z
ródła sterowanego posiada tylko jeden
niezerowy element: A, B, C lub D - element ten w każdej z macierzy łańcuchowej poszczególnych
z
ródeł zajmuje inną pozycję, tę samą natomiast pozycję niezerowy element zajmuje w macierzach Z,
G, H, Y przedstawionych w równaniach (4.9), (4.11), (4.13) i (4.15).
Cechą charakterystyczną wszystkich czterech idealnych z
ródeł sterowanych jest to, że moc wejściowa
jest równa zeru. Zgodnie z teorią moc chwilową na wejściu z
ródła możemy obliczyć ze wzoru:
p1(t) = u1(t) i1(t) . Z równań opisujących z
ródła wynika, że w każdym z czterech przypadków, albo
u1(t) = 0 V , albo i1(t) = 0 A . Tak więc p1(t) = 0 W . Moc na wyjściu idealnych z
ródeł sterowanych
nie jest zerowa, poza przypadkiem, gdy wielkość sterująca jest zerowa.
4.3.2. Konwertery impedancji
Konwertery impedancji są czwórnikami aktywnymi, dla których macierz łańcuchowa ma dwa
parametry zerowe: B = 0 &!, C = 0 S . Podobnie jest dla macierzy hybrydowej: h11 = 0 &!, h22 = 0S .
Możemy więc napisać
A 0 0 h12
�ł łł �ł łł
1
Ak =
�ł śł, Hk = �ł śł, gdzie h12 = A i h21 = - (4.16)
D
�ł śł �łh21 0 śł
�ł0 D�ł �ł �ł
7
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 10
Z postaci macierzy Ak i Hk (4.16) wynikają następujące równania dla konwertera
" Równanie łańcuchowe
U1 �ł łł U U1 = A U
�ł łł A 0 �ł łł ńł
2 2
= �! (4.17)
�łI śł �łI śł �ł
�ł0 Dśł �"
= D I
�ł �ł
�ł 1 �ł �ł 2 �ł ółI1 2
" Równanie hybrydowe
U1 0 h12 I1 U1 = h12 U
�ł łł �ł łł �ł łł ńł
2
= �" �! (4.18)
�łI śł �łh 0 śł �łU śł �ł
2
�ł 2 �ł �ł 21 �ł �ł 2 �ł ółI = h21 I1
Równania te nasuwają możliwość przedstawienia konwertera w postaci pary idealnych z
ródeł
sterowanych (rys. 4.12). Zwróćmy uwagę na kierunek prądu I .
2
I1 I2
I1 I2
U2
U1 U1 U2
1
h12 U h21 I1
AU I1
lub
2 2
D
Rys. 4.12. Równoważne schematy zastępcze konwertera
Konwertery impedancji posiadają zdolność konwertowania impedancji Z0 podłączonej po stronie
wtórnej. Zdolność konwersji wyraża się tym, że impedancja wejściowa konwertera jest
proporcjonalna do Z0 . Współczynnik proporcjonalności może być dodatni lub ujemny. Impedancja
wejściowa konwertera obciążonego impedancją Z0 wyznaczana jest z zależności
A Z + B
A
0
Z = = Z = -h12 h21 Z = Kk Z (4.19)
we 0 0 0
C Z + D D
0
Kk
Wielkość nazywamy współczynnikiem konwersji. Konwerter przekształca z pewnym dodatnim
lub ujemnym współczynnikiem konwersji Kk impedancję dołączoną do wyjścia.
Na podstawie równania (4.19) możemy zapisać
A
Kk = lub Kk = -h12 h21 (4.20)
D
W zależności od znaku współczynnika konwersji rozróżniamy konwertery dodatnio-impedancyjne
(ang. Positive Impedance Converter, w skrócie PIC) oraz konwertery ujemno- impedancyjne (ang.
Negative Impedance Converter, w skrócie NIC).
Przykładem konwertera dodatnio-impedancyjnego jest transformator idealny, przy czym
A = Ń, D = 1 Ń
Transformator idealny - element czterozaciskowy, który zawiera
dwie cewki sprzężone magnetycznie, a mianowicie cewkę
pierwotną i wtórną. Parametrem charakteryzującym transformator
I1 I2
Ń
idealny jest przekładnia Ń . Ponieważ dla trafo idealnego mamy
U1 I1
1
= Ń oraz = to macierzowe równanie łańcuchowe
U I Ń
U2
U1 2 2
U1 �łŃ 0 łł U
�ł łł �ł łł
2
�ł śł
transformatora idealnego ma postać: = �"
�łI śł �łI śł
�ł0 1 śł
�ł 1 �ł �ł 2 �ł
Rys. 4.13. Transformator idealny
�ł śł
Ń
�ł �ł
8
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 10
Większe znaczenie praktyczne mają konwertery ujemno-impedancyjne, ponieważ pozwalają na
realizację ujemnych rezystancji, indukcyjności i pojemności.
Zmianę znaku impedancji wejściowej Z uzyskuje się poprzez zmianę zwrotu prądu (układ zwany
we
C NIC) lub napięcia (układ zwany V NIC).
Macierz łańcuchowa konwertera ujemno-impedancyjnego typu C NIC ma postać
k1 0
�ł łł
�ł śł
1
AC NIC = (4.21)
0 -
�ł śł
k2 �ł
�ł
Macierz łańcuchowa konwertera ujemno-impedancyjnego typu V NIC ma postać
�ł- k1 0
łł
�ł śł
1
AV NIC = (4.22)
0
�ł śł
k2 �ł
�ł
4.3.3. Inwertery impedancji
Inwertery impedancji są czwórnikami aktywnymi, dla których macierz łańcuchowa ma dwa
parametry zerowe: A = 0, D = 0 . Podobnie jest dla macierzy impedancyjnej: z11 = 0&!, z22 = 0&! .
Możemy więc napisać
0 B 0 z12
�ł łł �ł łł
1
Ai = (4.23)
�ł śł, Zi = �ł śł, gdzie z12 = B i z21 =
C
�ł śł �łz21 0 śł
�łC 0�ł �ł �ł
Z postaci macierzy Ai i Zi (4.23) wynikają następujące równania dla inwertera
" Równanie łańcuchowe
U1 �ł łł U U1 = B I
�ł łł 0 B �ł łł ńł
2 2
= �" �! (4.24)
�łI śł �łI śł �ł
�łC 0 śł
�ł �ł
1
�ł 1 �ł �ł 2 �ł ółI = CU 2
" Równanie impedancyjne
U1 0 z12 I1 U1 = z12 I
�ł łł �ł łł �ł łł ńł
2
= �" �! (4.25)
�łU śł �łz 0 śł �łI śł �ł
= z21 I1
�ł 2 �ł �ł 21 �ł �ł 2 �ł ółU 2
Równania te nasuwają możliwość przedstawienia każdego inwertera w postaci pary idealnych z
ródeł
sterowanych (rys. 4.14). Zwróćmy uwagę na kierunek prądu I .
2
I1 I2
I1 I2
U2
U1 U1 U2
1
I1
B I lub
z12 I z21 I1
2
2
C
Rys. 4.14. Równoważne schematy zastępcze inwertera
Inwertery impedancji posiadają zdolność odwracania (w sensie matematycznym) impedancji Z0
podłączonej po stronie wtórnej. Impedancja wejściowa inwertera obciążonego impedancją Z0
wyznaczana jest z zależności
9
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 10
AZ + B
B 1 1 1
0
Z = = = -z12 z21 = Ki (4.26)
we
C Z + D C Z Z Z
0 0 0 0
Ki
Wielkość nazywamy współczynnikiem inwersji. Inwerter odwraca impedancję obciążenia z
pewnym dodatnim lub ujemnym współczynnikiem inwersji Ki.
Na podstawie równania (4.26) możemy zapisać
B
Ki = lub Ki = -z12 z21 (4.27)
C
W zależności od znaku współczynnika inwersji rozróżniamy inwertery dodatnio-impedancyjne (ang.
Positive Impedance inVerter, w skrócie PIV) oraz inwertery ujemno-impedancyjne (ang. Negative
Impedance inVerter, w skrócie NIV).
Znaczenie praktyczne ma inwerter dodatnio-impedancyjny zwany żyratorem. Symbol graficzny
żyratora przedstawiono na rys. 4.15.
a) b)
I1 I2
I1 I2
R
U2
U1 U1 U2
-G U1
G U2
Rys. 4.15. Żyrator: a) symbol graficzny, b) realizacja przy pomocy z
ródeł sterowanych
R na rysunku 4.15 nazywamy rezystancją żyracji, a G = 1/R konduktancją żyracji. Żyrator opisany
jest następującymi równaniami i macierzami
0 R 0
U1 = R I �ł łł �ł - R 0 G
łł �ł łł
ńł
2
Zż = Yż = (4.28)
�łI = GU Aż = �ł śł �ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł �ł- G 0
śł
ół 1 2
�łG 0�ł �łR 0 �ł �ł �ł
Współczynnik inwersji oraz impedancję wejściową żyratora obciążonego impedancją Z0 można
obliczyć ze wzorów
B R 1
Ki = = = R2 Z = R2 (4.29)
we
C G Z
0
Ważną cechą żyratora jest zdolność symulowania indukcyjności, nawet o dużych wartościach.
Rzeczywiście, jeżeli żyrator obciążyć kondensatorem o impedancji ZC = 1/( j� C) , to wówczas
impedancja wejściowa żyratora
1
Z = R2 = R2 j� C = j� R2 C = j� L (4.30)
we
Z
C
Tak więc jeżeli do zacisków wyjściowych żyratora dołączymy kondensator o pojemności C to od
strony zacisków wejściowych można żyrator traktować jako element indukcyjny L o wartości
określonej wzorem L = R2C .
Np. dla pojemności C = 1�F i rezystancji żyracji R = 1k&! , symulowana indukcyjność L = 1H .
U1 =
Żyrator jest czwórnikiem nieodwracalnym. Jest układem bezstratnym, ponieważ jeżeli -R I
2
oraz I1 = GU U1 �" I1 + U �" I = 0
to
2 2 2
10
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 10
1 1
Jeżeli w macierzy łańcuchowej (4.28) przyjmiemy B = R1 = oraz C = = G2 to żyrator jest
G1 R2
wówczas nieidealny i posiada dwie rezystancje (konduktancje) żyracji.
4.3.4. Układy nulatorowo-noratorowe
Do budowy schematów zastępczych układów zawierających elementy aktywne często stosuje się dwa
rodzaje dwójników o specyficznych własnościach. Są to: nulator i norator (rys. 4.16).
a) b)
I
I
U
U
Rys. 4.16. Symbole graficzne: a) nulatora i b) noratora
Elementy te nazywa się zdegenerowanymi, gdyż własności, które wykazują różnią się w istotny
sposób od własności elementów rozpatrywanych dotychczas.
Nulator jest to element, przez który nie płynie prąd i na zaciskach którego nie występuje napięcie.
Norator charakteryzuje się z kolei tym, że płynie przez niego prąd o dowolnej wartości i na jego
zaciskach panuje napięcie również o dowolnej wartości. Napięcie i prąd noratora nie zależą więc od
siebie wzajemnie.
Nulatora i noratora nie można zrealizować fizycznie, mimo to układy nulatorowo-noratorowe dają
możliwość modelowania wielu realnych elementów. Na przykład połączenie szeregowe (rys. 4.17a)
nulatora z noratorem odwzorowuje przerwę w obwodzie. Połączenie równoległe (rys. 4.17b) tych
elementów odwzorowuje zwarcie.
a)
b)
I I
I1 I2
U1
U
U
U2
Rys. 4.17. Połączenia nulatora z noratorem: a) szeregowe; b) równoległe
W układzie przedstawionym na rys. 4.17a napięcie na nulatorze U1=0 (własności nulatora), napięcie
na noratorze przyjmuje wartość dowolną (własności noratora). Prąd płynący przez nulator jest równy
zeru (własności nulatora), zatem układ przedstawia element, którego prąd jest równy zeru, a na
którego zaciskach napięcie ma wartość dowolną, co jest równoznaczne z przerwą w obwodzie.
W układzie przedstawionym na rys. 4.17b napięcie na zaciskach układu jest równe zeru (własności
nulatora). Prąd I1 płynący przez nulator jest równy zeru (własności nulatora), a prąd I2 płynący przez
norator ma wartość dowolną (własności noratora). Prąd całkowity I będący sumą prądów I1 i I2
przyjmuje zatem wartość dowolną. Układ zatem przedstawia element, na zaciskach którego napięcie
jest równe zeru, a przepływający przez ten element prąd przyjmuje wartość dowolną, co jest
równoznaczne ze zwarciem w obwodzie.
11
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 10
Czwórnik, który po stronie pierwotnej posiada nulator, a po wtórnej norator ma własności idealnego
wzmacniacz operacyjnego. Taki czwórnik nazywamy nulorem (rys. 4.18).
I1 I2
U1
U2
Rys. 4.18. Nulor  czwórnik posiadający w obwodzie
wejścia nulator, a w obwodzie wyjścia norator
W układzie przedstawionym na rys. 4.18 napięcie na wejściu i prąd na wejściu są równe zeru
(własności nulatora), a napięcie na wyjściu i prąd na wyjściu przyjmują wartości dowolne (własności
noratora). Jeżeli porównamy własności idealnego wzmacniacza operacyjnego z własnościami nulora
to stwierdzimy, że nulor odwzorowuje wzmacniacz operacyjny. Nulorowi można więc
przyporządkować realny element.
W układach zastępczych tworzonych z nulatorów i naratorów elementy te występują parami i
odwzorowują realnie istniejące czwórniki aktywne. Przykładami mogą być idealny wzmacniacz
napięcia (rys. 4.19) i idealny wzmacniacz prądu (rys. 4.20).
I2
2
a)
b)
1 I2
I1 2
1
I1
U2
U1
U2
U1
2
2
1
1
Rys. 4.19. Idealny wzmacniacz napięcia: a) schemat nulatorowo-noratorowy;
b) tranzystor w układzie wspólnego kolektora
W układzie przedstawionym na rys. 4.19 prąd na wejściu I1=0 (prąd płynący przez nulator jest równy
zeru), napięcie na wejściu jest równe napięciu na wyjściu U1=U2 (napięcie na nulatorze jest równe
zeru). Napięcie na wyjściu przyjmuje wartość dowolną (taka jest własność napięcia na noratorze), zaś
prąd na wyjściu I2 przyjmuje wartość dowolną (jest to własność prądu płynącego przez norator) i
zależny jest od impedancji obciążenia. Wymienione własności ma idealny wzmacniacz napięcia o
wzmocnieniu równym jedności realizowany np. w układzie tranzystora o wspólnym kolektorze
(wtórnik emiterowy), przedstawionym na rys. 4.19b.
a)
b)
1
I1 I2
2
1 I2
I1 2
U1
U2
U2 U1
2
2
1
1
Rys. 4.20. Idealny wzmacniacz prądu: a) schemat nulatorowo-noratorowy;
b) tranzystor w układzie wspólnej bazy
12
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 10
W układzie przedstawionym na rys. 4.20 napięcie na wejściu U1=0 (napięcie na nulatorze jest równe
zeru), prąd na wejściu jest równy i przeciwnie skierowany do prądu na wyjściu I1=-I2. Prąd ten
przyjmuje wartość dowolną (prąd płynący przez norator przyjmuje wartość dowolną). Wymienione
własności ma idealny wzmacniacz prądu o wzmocnieniu równym jedności realizowany np. w układzie
tranzystora o wspólnym bazie przedstawionym na rys. 4.20b.
4.4. Realizacja z
ródeł sterowanych, konwerterów i inwerterów
Podstawowym elementem aktywnym, który pozwala na realizację z
ródeł sterowanych,
konwerterów i inwerterów jest wzmacniacz operacyjny. Wzmacniaczem operacyjnym nazywamy
wzmacniacz napięcia o
" bardzo dużym współczynniku wzmocnienia K>105 V/V,
" dużej rezystancji wejściowej Rwe>1 M&!
" małej rezystancji wyjściowej Rwy<100 &!.
Wzmacniacz operacyjny ma trzy zaciski:
" zacisk 1 oznaczony znakiem  - nosi nazwę wejścia odwracającego.
" zacisk 2 oznaczony znakiem  + nosi nazwę wejścia nieodwracającego.
" zacisk 3 to zacisk wyjściowy.
Napięcie wyjściowe U2 związane jest z napięciem wejściowym zależnością
+ -
U2 = K (U - U )
" dla układu jak rys. 4.21a):
- +
U2 = U = 0 V
" dla układu jak rys. 4.21b): -K U , ponieważ
a) b)
�ł
1 �ł 1
3 3
U-- 2 U-- 2
+ +
U2 U2
U+
Rys. 4.21. Wzmacniacz operacyjny a) różnicowy, b) odwracający
Przy badaniu obwodów elektrycznych zawierających wzmacniacze operacyjne zakłada się
zazwyczaj, że wzmacniacz jest elementem idealnym. Idealny wzmacniacz operacyjny ma
" współczynnik wzmocnienia K = "
" rezystancję wejściową nieskończenie dużą Rwe = " ,
" rezystancję wyjściową znikomo małą Rwy = 0 &! .
+ -
Dla wzmacniacza idealnego zachodzi równość U = U , gdyż tylko wtedy napięcie
+ -
U2 = K (U -U ) = " �" 0
ma skończoną wartość. Ponadto prądy wejściowe wzmacniacza są równe
zeru z powodu Rwe = " .
+ - -
U2 = K (U -U ) U2 = -K U
b)
a)
I1=0A
1 I1=0A 1
3
3
I2=0A
I2=0A 2
U-- 2 U--
U2
U2
U+
Rys. 4.22. Schematy zastępcze wzmacniacza: a) różnicowego (U2=K(U +-U -), b) odwracającego (U2=-KU -)
13
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 10
Schematy zastępcze wzmacniaczy z rys. 4.21 przedstawiono na rys. 4.22. Widzimy, że wzmacniacz
operacyjny jest wzmacniaczem napięcia, bo na schemacie zastępczym znajduje się z
ródło napięcia
sterowane napięciem. Podczas rozwiązywania zadań, w których K = " należy najpierw wyznaczyć
żądane wielkości np. impedancję wejściową obwodu zachowując symbol K we wzorach, a dopiero
po otrzymaniu ostatecznych formuł dokonać przejścia granicznego K " .
U2
b)
a)
Dla U1>E
KE
napięcie wyjściowe
jest stałe (nasycenie)
�ł
1
3
2 U1
U1
+
E
U2
-E
U = -K U1
2
Dla U1-KE
napięcie wyjściowe
jest liniowo zależne
od wejściowego
Rys. 4.23. Wzmacniacz operacyjny w układzie odwracającym (rys. a);
charakterystyka napięciowo-napięciowa (wejście-wyjście) (rys. b)
Przykład realizacji z
ródła napięcia sterowanego napięciowo przedstawiono na rys. 4.24 (wzmacniacz
operacyjny jest idealny).
R1
R2
U--
�ł
I1
+
U2
U1
Rys. 4.24.Przykład realizacji z
ródła napięcia sterowanego napięciowo
Dla tego układu zachodzi relacja:
-
U2 U
= (4.31)
R1 + R2 R2
-
Dla wzmacniacza idealnego zachodzi U = U1 , wówczas
�ł �ł
U2 U1 R1
�ł �ł
= �! U2 = (4.32)
�ł1+ R2 �łU1
R1 + R2 R2
�ł łł
Z własności idealnego wzmacniacza operacyjnego wynika ponadto, że
I1 = 0 (4.33)
Zauważmy, że równania (4.32) i (4.33) są zgodne z równaniem (4.10)
U = � U1
ńł
2
�łI = 0
ół 1
14
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 10
a zatem układ przedstawiony na rys. 4.24 jest z
ródłem napięcia sterowanym napięciowo.
Współczynnik proporcjonalności
R1
� = 1+ (4.34)
R2
Przykład realizacji konwertera ujemno-impedancyjnego NIC na rys. 4.25 (wzmacniacz operacyjny
jest idealny).
R1
I1
�ł R2
I2
U1
+
U2
Rys. 4.25.Przykład realizacji konwertera ujemno-impedacyjnego NIC
Dla tego układu spełnione są równania:
U1 = U (4.35)
2
U1 - R1 �" I1 + R2 �" I2 = U2 (4.36)
Przekształcając równanie (4.36) (przy uwzględnieniu równania 4.35) otrzymamy
R2
I1 = �" I2 (4.37)
R1
Równania (4.35) i (4.37) zapiszmy w postaci macierzowej
1 0
�ł łł
U1 �ł U
�ł łł �ł łł
2
śł
= �" (4.38)
�łI śł �ł- I2 śł
�ł0 - R2 śł
�ł 1 �ł �ł �ł
�ł R1 śł
�ł �ł
(znak  - przy prądzie I2 wynika z innego zastrzałkowania tego prądu w stosunku do przyjętego
strzałkowania prądu I2 na schemacie przy rozważaniu postaci łańcuchowej równań czwórnika)
Porównując równanie (4.38) z równaniem (4.17) stwierdzamy, że układ przedstawiony na rys. 4.25
jest układem konwertera ujemno-impedancyjnego, ponieważ współczynnik konwersji jest ujemny
A R2
Kk = = - (4.39)
D R1
Również żyrator (inwerter ujemno-impedancyjny) może być zrealizowany przy użyciu kilku
wzmacniaczy operacyjnych i kilkunastu rezystorów.
4.5. Podstawowe układy wykorzystujące wzmacniacz operacyjny
4.5.1. Wzmacniacz w układzie odwracającym
Wzmacniacz w układzie odwracającym przedstawiono na rys. 4.26.
15
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 10
R2 R2
I2
a) b)
R1 R1 Iw
I1
UR2
- -
K K
Uk
UR1
Uwe + Uwe +
Uwy Uwy
Rys. 4.26. Wzmacniacz w układzie odwracającym (rys. a); zwroty prądów i napięć na elementach (rys. b)
W układzie przedstawionym na rys. 4.26b można zapisać następujące równania:
I1 = I2 + Iw (4.40)
Uwe = U +U (4.41)
R1 k
Uk = U +Uwy (4.42)
R2
Przy założeniu, że wzmacniacz jest idealny, otrzymamy
" Iw = 0 , ze względu na fakt, iż impedancja wejściowa idealnego wzmacniacza Rwe = "
U U
wy wy
K = "
" Uk = 0 , ze względu na fakt, iż współczynnik wzmocnienia (U = = = 0 )
k
k "
Otrzymamy wówczas
I1 = I2 (4.43)
Uwe = U �! Uwe = R1 �" I1 (4.44)
R1
0 = U +Uwy �! Uwy = -U �! U = -R2 �" I2 (4.45)
R2 R2 wy
Z równania (4.44) otrzymamy
U U
R1 we
I1 = = (4.46)
R1 R1
Z równania (4.45) otrzymamy
U
U
wy
R2
I2 = = - (4.47)
R2 R2
Ze względu na równość prądów (4.43) możemy zapisać
Uwe U
wy
I1 = I2 �! = - (4.48)
R1 R2
Po przekształceniu równania (4.48) otrzymamy
U
R2
wy
= - (4.49)
U R1
we
Wzmocnienie napięciowe w układzie odwracającym (rys. 4.26b) wynosi
U
R2
wy
kUf = = - (4.50)
U R1
we
Zatem, mając dane napięcie na wejściu układu, można wyznaczyć napięcie na wyjściu
R2
U = kUf �"U = - �"U (4.51)
wy we
R1 we
16
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 10
4.5.2. Wzmacniacz w układzie nieodwracającym
R2 R2
I2
a) b)
R1 R1 Iw
I1
UR2
- -
K K
Uk
UR1
+ Uwy + Uwy
Uwe Uwe
Rys. 4.27. Wzmacniacz w układzie nieodwracającym (rys. a); zwroty prądów i napięć na elementach (rys. b)
W układzie przedstawionym na rys. 4.27b można zapisać następujące równania:
I1 = I2 + Iw (4.52)
Uwe +Uk +U = 0 (4.53)
R1
Uwe +Uk -U -Uwy = 0 (4.54)
R2
Przy założeniu, że wzmacniacz jest idealny, otrzymamy
" Iw = 0 , ze względu na fakt, iż impedancja wejściowa idealnego wzmacniacza Rwe = "
U U
wy wy
K = "
" Uk = 0 , ze względu na fakt, iż współczynnik wzmocnienia (U = = = 0 )
k
k "
Otrzymamy wówczas
I1 = I2 (4.55)
Uwe +U = 0 �! Uwe = -U �! Uwe = -R1 �" I1 (4.56)
R1 R1
Uwe -U -Uwy = 0 �! Uwy = Uwe -U �! U = U - R2 �" I2 (4.57)
R2 R2 wy we
Z równania (4.56) otrzymamy
U U
R1 we
I1 = = - (4.58)
R1 R1
Z równania (4.57) otrzymamy
Uwe -U
U
wy
R2
I2 = = (4.59)
R2 R2
Ze względu na równość prądów (4.55) możemy zapisać
Uwe -U
U
wy
we
I1 = I2 �! - = (4.60)
R1 R2
Po przekształceniu równania (4.60) otrzymamy
U -U
U R1
we wy
we
- = �! -U = �"[U -Uwy]
we
R1 R2 R2 we
(4.61)
U
�ł łł �ł łł �ł łł
R1 R1 R1 R2 R2 R1 + R2
wy
�"Uwy = +1śł �"U �! = +1śł �" = =
�ł
R2 R2 we Uwe �ł R2 �ł R1 �ł1+ R1 śł R1
�ł �ł �ł �ł �ł
Wzmocnienie napięciowe w układzie nieodwracającym (rys. 4.27b) wynosi
U
R2 R1 + R2
wy
kUf = = 1+ = (4.62)
U R1 R1
we
Zatem, mając dane napięcie na wejściu układu, można wyznaczyć napięcie na wyjściu
�ł �ł �ł �ł
R2 R1 + R2 �ł
�ł �ł �ł
U = kUf �"Uwe = �"U = �"U (4.63)
wy we
�ł1+ R1 �ł �ł
R1 �ł we
�ł łł �ł łł
17
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 10
4.5.3. Wzmacniacz w układzie całkującym
C
C
a) i2
b)
R
R
i1
iw
-
uC
-
K
K
uk
uR
uwe(t) +
+
uwy(t)
uwy(t)
uwe(t)
Rys. 4.28. Wzmacniacz w układzie całkującym (rys. a); zwroty prądów i napięć na elementach (rys. b)
W układzie przedstawionym na rys. 4.28b można zapisać następujące równania:
i1 = i2 + iw (4.64)
uwe - uk - uR = 0 (4.65)
uk - uC - uwy = 0 (4.66)
Przy założeniu, że wzmacniacz jest idealny, otrzymamy
" iw = 0 , ze względu na fakt, iż impedancja wejściowa idealnego wzmacniacza Rwe = "
uwy uwy
K = "
" uk = 0 , ze względu na fakt, iż współczynnik wzmocnienia ( uk = = = 0 )
k "
Otrzymamy wówczas
i1 = i2 (4.67)
uwe - uR = 0 �! uwe = uR �! uwe = R �"i1 (4.68)
- uC - uwy = 0 �! uwy = -uC (4.69)
Z równania (4.68) otrzymamy
uR uwe
i1 = = (4.70)
R R
Prąd płynący przez kondensator obliczamy z zależności
duC
iC = C (4.71)
dt
Podstawiając do równania (4.71) równanie (4.69) otrzymamy
duC duwy
i2 = iC = C = -C (4.72)
dt dt
Ze względu na równość prądów (4.67) możemy zapisać
uwe duwy
i1 = i2 �! = -C (4.73)
R dt
Po przekształceniu równania (4.73) otrzymamy
t
duwy
uwe duwy 1 1
= -C �! - �"uwe = �! uwy = -
we
+"u (� )d� (4.74)
R dt RC dt RC
0
Zatem przebieg czasowy napięcia na wyjściu układu przedstawionego na rys. 4.28b w funkcji
napięcia na wejściu wyraża się za pomocą zależności
t
1
uwy (t) = -
(4.75)
we
+"u (� ) d�
RC
0
18
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 10
Przykład
Na wejście układu przedstawionego na rys. 4.28a) podano napięcie uwe (t) o kształcie
przedstawionym na rys. 4.29. Obliczyć i narysować przebieg napięcia uwy (t) , jakie pojawi się na
wyjściu układu. Wzmacniacz jest idealny. Dane: R = 200 k&!, C = 1�F .
uwe(t) [mV]
2
t
3 6 [s]
-5
Rys. 4.29. Sygnał wejściowy w przykładzie obliczeniowym
Rozwiązanie:
W celu wyznaczenia napięcia na wyjściu układu uwy (t) należy obliczyć całkę podaną we wzorze
(4.75). Przedstawmy sygnał wejściowy uwe (t) w postaci przedziałów
0 dla t < 0s
ńł
�ł2 dla 0s < t < 3s
�ł
uwe (t) = (4.76)
�ł
�ł- 5 dla 3s < t < 6s
�ł0 dla t > 6s
ół
Na podstawie danych obliczamy: R C = 200 k&! �"1�F = 0.2 s . Tak więc
t t
1
uwy (t) = -
we we
+"u (� ) d� = -5+"u (� ) d� (4.77)
RC
0 0
Ponieważ uwe (t) jest funkcją nieciągłą to całkowanie rozdzielamy na przedziały.
t
t
uwy (t) = -5 d� = -10� = -10t [mV]
0s < t < 3s
+"2 0
0
3 t
3 t
uwy(t) = -5 d� - 5 d� = -10� + 25� = (-105+ 25t) [mV]
3s < t < 6s
+"2 +"5 0 3
0 3
3 6 t
3 6
uwy (t) = -5 d� - 5 d� + d� = -10� + 25� = 45 [mV]
t > 6 s
+"2 +"(-5) +"0 0 3
0 3 6
Na podstawie przeprowadzonych obliczeń można w każdym z rozważanych przedziałów sporządzić
wykres napięcia na wyjściu wzmacniacza.
19
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 10
Rys. 4.30. Wymuszenie uwe (t) i odpowiedz
uwy (t) układu całkującego przedstawionego na rys. 4.28a
4.5.4. Wzmacniacz w układzie różniczkującym
R R
i2
a) b)
C C
i1
iw
uR
- -
K K
uk
uC
uwe(t) + +
uwe(t)
uwy(t) uwy(t)
Rys. 4.31. Wzmacniacz w układzie różniczkującym (rys. a); zwroty prądów i napięć na elementach (rys. b)
W układzie przedstawionym na rys. 4.31b można zapisać następujące równania:
i1 = i2 + iw (4.78)
uwe - uC - uk = 0 (4.79)
uk - uR - uwy = 0 (4.80)
Przy założeniu, że wzmacniacz jest idealny, otrzymamy
" iw = 0 , ze względu na fakt, iż impedancja wejściowa idealnego wzmacniacza Rwe = "
uwy uwy
K = "
" uk = 0 , ze względu na fakt, iż współczynnik wzmocnienia ( uk = = = 0 )
k "
Otrzymamy wówczas
i1 = i2 (4.81)
uwe - uC = 0 �! uwe = uC (4.82)
- uR - uwy = 0 �! uwy = -uR �! uwy = -R �" i2 (4.83)
Z równania (4.83) otrzymamy
uR uwy
i2 = = - (4.84)
R R
Prąd płynący przez kondensator obliczamy z zależności
duC
iC = C (4.85)
dt
20
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 10
Podstawiając do równania (4.85) równanie (4.82) otrzymamy
duC duwe
i1 = iC = C = -C (4.86)
dt dt
Ze względu na równość prądów (4.81) możemy zapisać
duwe uwy
i1 = i2 �! - C = (4.87)
dt R
Po przekształceniu równania (4.87) otrzymamy
duwe uwy duwe
- C = �! uwy = -RC (4.88)
dt R dt
Zatem przebieg czasowy napięcia na wyjściu układu przedstawionego na rys. 4.31b w funkcji
napięcia na wejściu wyraża się za pomocą zależności
duwe (t)
uwy (t) = -RC (4.89)
dt
Przykład
Na wejście układu przedstawionego na rys. 4.31 podano napięcie uwe (t) = 220sin(�t - 90o ) V .
Obliczyć i narysować przebieg napięcia uwy (t) , jakie pojawi się na wyjściu układu. Wzmacniacz jest
idealny. Dane: R = 200 k&!, C = 1�F, f = 50 Hz .
Rozwiązanie:
Na podstawie danych obliczamy: R C = 200k&! �"1�F = 0.2s . Wynik wstawiamy do wzoru (4.89)
duwe (t) duwe (t)
uwy (t) = -RC = -0.2 (4.90)
dt dt
Podstawiając do wzoru (4.90) uwe (t) = 220sin(�t - 90o ) V otrzymamy
duwe (t) d
uwy (t) = -0.2 = -0.2 [220sin(�t - 90o)]= -44� cos(�t - 90o)= -44� sin(�t - 90o + 90o)
dt dt
(4.91)
Ostatecznie
uwy (t) = -44� sin(�t)= -44�" 2423 = -13823sin(�t)= -13,823sin(�t) kV
�"
(4.92)
1Ą �"50sin(�t)
4
�
Rys. 4.32. Wymuszenie uwe (t) i odpowiedz
uwy (t) układu różniczkującego przedstawionego na rys. 4.31
21
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 10
4.5.5. Wzmacniacz w układzie sumującym
a)
b)
R3
R3
I3
R2
R2
uwe3
Uwe3 I2
R4
R4
I4
uwe2
R1
R1
I1 Iw
UR4
-
-
K
K
Uwe2
Uk
UR1
+
+
uwe1
uwy
uwy
Uwe1
Rys. 4.33. Wzmacniacz w układzie sumującym (rys. a); zwroty prądów i napięć na elementach (rys. b)
W układzie przedstawionym na rys. 4.33b można zapisać następujące równania (wynikające z I prawa
Kirchhoffa):
I1 + I2 + I3 = I4 + Iw (4.93)
Równanie (4.93) można zapisać także w innej postaci
Uwe1 -Uk U -Uk U -Uk Uk -U
wy
we2 we3
+ + = + Iw (4.94)
R1 R2 R3 R4
Przy założeniu, że wzmacniacz jest idealny, otrzymamy
" Iw = 0 , ze względu na fakt, iż impedancja wejściowa idealnego wzmacniacza Rwe = "
U U
wy wy
K = "
" Uk = 0 , ze względu na fakt, iż współczynnik wzmocnienia ( uk = = = 0 )
k "
Otrzymamy wówczas
-U
U U U
wy
we1 we2 we3
+ + = (4.95)
R1 R2 R3 R4
Ostatecznie mając dane napięcia wejściowe można wyznaczyć napięcie na wyjściu układu
�ł �ł
�łUwe1 U we2 Uwe3 �ł
uwy = -R4 �"�ł + +
(4.96)
R1 R2 R3 �ł
�ł łł
W przypadku gdy R1 = R2 = R3 = R4 = R wówczas
uwy = -(Uwe1 +Uwe2 +Uwe3)
(4.97)
a)
R3
R2
b)
R1
R2
uwe3
R4
-
K
uwe2
R1
- Uwe +
Uwy
K
R3
+
uwe1
uwy
R5
Rys. 4.34. Wzmacniacz w układzie sumującym (rys. a); i w układzie odwracającym (rys. b)
22
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 10
Jeżeli w układzie sumującym pojawi się rezystancja R5 dołączona do wejścia nieodwracającego
(rys. 4.34a), to jej wartość dobiera się na podstawie zależności
-1
�ł �ł
1 1 1 1
�ł �ł
R5 = + + +
(4.98)
�ł
R1 R2 R3 R4 �ł
�ł łł
Podobnie, jeżeli w układzie odwracającym pojawi się rezystancja R3 dołączona do wejścia
nieodwracającego (rys. 4.34b), to jej wartość dobiera się na podstawie zależności
-1
�ł �ł
1 1
�ł �ł
R3 = +
(4.99)
�ł
R1 R2 �ł
�ł łł
Dzięki tak dobranej wartości rezystancji R3 uzyskuje się najmniejszy błąd spowodowany napięciem
niezrównoważenia, powstałym na skutek przepływu wejściowych prądów polaryzujących.
Wejściowe napięcie niezrównoważenia  jest to napięcie, które należy doprowadzić między
końcówki wejściowe wzmacniacza, aby na wyjściu otrzymać napięcie równe zeru.
Do prawidłowej pracy wzmacniacza konieczny jest przepływ wejściowych prądów
polaryzujących stopień wejściowy i nazywanych wejściowymi prądami polaryzującymi. W
katalogach jako wejściowy prąd polaryzacji podaje się zwykle średnią wartość obu prądów
zmiennych przy zerowym wejściowym napięciu sumacyjnym i zerowym napięciu
wyjściowym.
FILTRY AKTYWNE
4.6. Podstawowe własności filtrów aktywnych
Filtry aktywne są stosowane w wielu dziedzinach elektrotechniki. Zadania przed nimi stawiane są
podobne jak dla filtrów pasywnych. Użycie elementów aktywnych takich jak wzmacniacz operacyjny
pozwala zrezygnować z cewek sprawiających wiele uciążliwości. Dzięki elementom aktywnym
można budować układy lżejsze, o mniejszych rozmiarach i lepszych własnościach elektrycznych.
Podczas projektowania filtrów aktywnych należy jednak zwrócić uwagę na ich stabilność, gdyż mogą
generować szkodliwe drgania. Przyczyną drgań są zazwyczaj niewielkie wahania parametrów filtru
spowodowane na przykład warunkami zewnętrznymi (temperatura, wilgotność powietrza itp.).
Filtry aktywne różnią się od pasywnych występowaniem z
ródeł sterowanych oraz pracą przy
dowolnym obciążeniu. Opis filtrów aktywnych można ograniczyć do filtrów dolnoprzepustowych,
ponieważ można je za pomocą transformacji częstotliwości przekształcić w filtry górnoprzepustowe,
pasmowoprzepustowe oraz pasmozaporowe.
C2
b)
a)
-
-
R1 K R1 R2 K
+
+
R3
R3
uwe
uwe
uwy
uwy
C1 C1
R0 R0
23
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 10
Rys. 4.35. Realizacja filtru dolnoprzepustowego: a) pierwszego rzędu, b) drugiego rzędu
4.7. Zestawienie właściwości układów aktywnych i pasywnych
Element (układ) aktywny charakteryzuje się tym, że energia pobrana przez niego ze z
ródła  może być
ujemne, zaś dla pasywnego  dodatnia lub równa zeru. W odpowiednich przedziałach czasu element
aktywny można traktować jako z
ródło o parametrach zależnych od parametrów układu zewnętrznego i
rozpatrywać jako połączenie układu pasywnego ze z
ródłami sterowanymi. W praktyce większość
elementów aktywnych jest nieliniowa, ale w pewnych zakresach częstotliwości dla określonego
poziomu wartości sygnałów można je zastąpić modelami liniowymi.
Zastosowanie elementów aktywnych zwiększa niezawodność układu, powoduje jego zmniejszenie
(wymiarów i ciężaru) wskutek eliminacji cewek, a także likwiduje sprzężenia indukcyjne.
Układy aktywne znajdują zastosowanie w realizacji wzmacniaczy, filtrów częstotliwościowych i
występują w połączeniach z pasywnymi elementami R, C.
Właściwość Układ aktywny Układ pasywny
Realizowalność Bez ograniczeń. Realizuje każdą Tylko rzeczywiste funkcje wymierne
fizyczna rzeczywistą funkcję wymierną. w prawej półpłaszczyz
nie zmiennej
 s
Użycie cewek Cewki są niepotrzebne Konieczne w większości układów
Impedancja W większości przypadków może być Rezystancja o małej wartości
z
ródła dla filtrów dowolnej wartości
Impedancja Może być dowolnej wartości Zwykle musi być rezystancją
obciążenia filtrów
Stabilność Potencjalnie niestabilny w całym paśmie Bezwzględnie stabilny
a w niewielkim zakresie stabilny
Dodatkowe Bezwzględnie wymagane do polaryzacji Nie jest potrzebne
zasilanie
Wykorzystano następujące materiały:
1. J. Bajorek, L. Gołębiowski, W. Posiewała, Obwody elektryczne. Laboratorium mikrokomputerowe,
Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, 1996.
2. S. Bolkowski, Teoria obwodów elektrycznych, WNT, Warszawa, 1995.
3. P. Horowitz, W. Hill, Sztuka elektroniki cz.1 i cz.2, Wydawnictwa Komunikacji i A
ączności,
Warszawa, 1992.
4. M. Krakowski, Elektrotechnika teoretyczna. Tom I. Obwody liniowe i nieliniowe, Państwowe
Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1983.
5. A. Kuczyński, M. Ossowski, W. Zieliński, J. Ziemnicki, Teoria obwodów. Zadania, Wydawnictwo
Politechniki A
ódzkiej, A
ódz
, 1994.
6. R. Kurdziel, Podstawy elektrotechniki, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1973.
7. T. Masewicz, Radioelektronika dla praktyków, Wydawnictwa Komunikacji i A
ączności,
Warszawa, 1986.
8. K. Rzepka, Wykłady z Obwodów i Sygnałów dla Studentów kierunku Informatyka na Wydziale
Elektrotechniki i Informatyki Politechniki Rzeszowskiej.
9. A. Szczepański, M. Trojnar, Obwody i Sygnały. Laboratorium komputerowe, Wyd. II, Oficyna
Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, 2004.
24