Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
CZWÓRNIKI PASYWNE
3.1. Określenie i właściwości n-wrotnika
Metody badania obwodu elektrycznego można podzielić na metody sieciowe i metody zaciskowe.
Metody sieciowe charakteryzują się tym, że dana jest pełna struktura obwodu i parametry elementów,
a poszukujemy rozpływu prądów w obwodzie oraz rozkładu napięć na poszczególnych elementach.
W metodach zaciskowych obwód traktowany jest jako dwójnik, czwórnik lub ogólniej obwód
o n-parach zacisków (n-wrotnik). Przy badaniu obwodu metodami zaciskowymi określa się zależności
pomiędzy wielkościami związanymi z zaciskami obwodu bez wnikania w strukturę wewnętrzną.
Wielkości zaciskowe pozwalają na badanie własności rozpatrywanego obwodu.
Część obwodu elektrycznego scharakteryzowana przez parametry konieczne i dostateczne do
sformułowania związków między napięciem i prądami na zaciskach tego obwodu nazywamy
wielobiegunnikiem.
Rys. 3.1. Wielobiegunnik o n zaciskach [1]
W ogólnym przypadku wielobiegunnik jest scharakteryzowany przez n zacisków (przy n e" 2 )
(rys. 3.1)
Jako przykład wielobiegunników można wymienić transformator (zwłaszcza wielouzwojeniowy),
wzmacniacz, tranzystor, linię przesyłową wielotorową itp.
Jeśli zaciski wielobiegunnika tworzą pary uporządkowane, przy czym można wyróżnić n-par takich
zacisków, to wielobiegunnik nazywamy n-wrotnikiem.
W szczególnym przypadku, gdy wszystkie pary mają jeden wspólny zacisk, n-wrotnik nazywamy
niezrównoważonym lub uziemionym.
Rys. 3.2. Schemat ogólny n-wrotnika [1] Rys. 3.3. Schemat n-wrotnika niezrównoważonego [1]
1
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
Model matematyczny n-wrotnika wyraża związki między n wymiarowym wektorem napięć u na
zaciskach n-wrotnika i n wymiarowym wektorem prądów i związanych z poszczególnymi zaciskami.
Często wektor napięć traktujemy jako wektor wymuszeń, a wektor prądów jako wektor odpowiedzi.
W ogólnym przypadku związek pomiędzy wymuszeniem x a odpowiedzią y wyrażamy zależnością
y = N �" x (3.1)
przy czym: N - pewien operator; y - wektor odpowiedzi; x - wektor wymuszeń (zarówno
napięciowych jak i prądowych).
Przy badaniu n-wrotnika, sygnały związane z jego wrotami mogą być wyrażone w postaci czasowej,
w postaci zespolonej lub w postaci operatorowej. Opis operatorowy jest najbardziej ogólny i pozwala
na badanie n-wrotnika w warunkach dynamicznych (w stanach nieustalonych).
Podstawowe własności wielobiegunnika
" Liniowość
Wielobiegunnik N nazywamy liniowym jeśli spełnia własności:
a) addytywności:
(x1, y1) + (x2 ,y2 ) " N dla wszystkich (x1, y1), (x2 ,y2 ) " N
Jeśli y1 jest odpowiedzią układu na wymuszenie x1 , a y2 jest odpowiedzią układu na wymuszenie
x2 , to y1 + y2 jest odpowiedzią na wymuszenie x1 + x2 .
b) jednorodności
a(x, y) " N dla wszystkich (x, y) " N
Jeśli y jest odpowiedzią układu na wymuszenie x , to ay jest odpowiedzią na wymuszenie ax
( a - stała rzeczywista).
" Stacjonarność
Wielobiegunnik N nazywamy stacjonarnym jeśli przy dowolnej, rzeczywistej wartości � spełniona
jest zależność
[x(t),y(t)]= [x� (t +� ),y� (t +� )]
dla wszystkich (x,y) " N oraz (x� ,y� ) " N
Wielobiegunnik N jest stacjonarny, jeśli jego parametry są niezależne od czasu.
" Pasywność
Wielobiegunnik N nazywamy pasywnym jeśli dla dowolnej chwili t energia doprowadzona do
wielobiegunnika jest nieujemna. (wewnątrz nie zawiera z
ródeł napięcia ani prądu)
t
W (t) = p(� )d� e" 0
+"
-"
" Wzajemność (odwracalność)
Wielobiegunnik N nazywamy wzajemnym (odwracalnym) jeśli.
t
x1(t) * y2 (t) = xt (t) * y1(t) dla wszystkich (x1, y1), (x2 ,y2 ) " N
2
Wielobiegunnik, który spełnia zasadę wzajemności nazywamy wzajemnym lub odwracalnym.
Twierdzenie o wzajemności (oczkowe): jeżeli w obwodzie liniowym rozgałęzionym, jedyne
z
ródło napięcia znajdujące się w gałęzi k-tej wywołuje w gałęzi l-tej tego obwodu prąd I,
to po przeniesieniu tego z
ródła do gałęzi l-tej w gałęzi k-tej popłynie również prąd I.
2
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
3.2. Podstawowe pojęcia dotyczące czwórników
Czwórnik jest szczególnym przypadkiem n-wrotnika, o n=2. Jest zatem elementem czterozaciskowym
mającym dwie pary uporządkowanych zacisków zwanych wrotami; jedną parę zacisków nazywamy
wejściem, a drugą parę wyjściem czwórnika. Czwórniki pobierają energię przez zaciski wejściowe
(pierwotne), a oddają ją przez zaciski wyjściowe (wtórne). Wobec tego czwórniki służą do
przekazywania energii, przy czym przepływ energii odbywa się w kierunku od zacisków wejściowych
do zacisków wyjściowych. Przykładem czwórników są np. dwuprzewodowe linie przesyłowe (dwa
zaciski na początku linii i dwa zaciski na jej końcu) albo transformatory (dwa zaciski uzwojenia
pierwotnego i dwa zaciski uzwojenia wtórnego).
Schemat ogólny czwórnika ma postać prostokąta z wyprowadzonymi dwiema parami zacisków. Prąd
i napięcie wrót wejściowych oznaczamy indeksem  1 , a wrót wyjściowych indeksem  2 .
1 I1 I2
2
Wejście
Wyjście
U1
U2
I1 I2
1 2
Rys. 3.4. Schemat ogólny czwórnika (prądy zwrócone do prostokąta)
Ze względu na to, że czwórniki pobierają energię przez zaciski wejściowe, prądy w przewodach
połączonych z tymi zaciskami są jednakowe. Biorąc pod uwagę, że czwórnik oddaje energię przez
zaciski wyjściowe, otrzymujemy równość prądów w przewodach połączonych z tymi zaciskami.
W odniesieniu do wejścia i wyjścia czwórnika musi być spełniony następujący warunek równości
prądów:
' '
I1 = I1 oraz I2 = I2 (3.2)
Czwórniki dzielimy na liniowe (składające się z elementów liniowych) i nieliniowe, stacjonarne
(o parametrach niezależnych od czasu) i niestacjonarne, symetryczne (jeśli przy zamianie miejscami
wejścia i wyjścia, nie zmieni się rozpływ prądów i rozkład napięć w obwodzie poza czwórnikiem) i
niesymetryczne, odwracalne (spełniające zasadę wzajemności) i nieodwracalne, pasywne (wszystkie
gałęzie połączeń w czwórniku są pasywne albo gałęzie aktywne występujące w połączeniach
wewnętrznych wzajemnie się kompensują) i aktywne.
Teoria czwórników umożliwia badanie ich własności zaciskowych na podstawie ogólnych równań
algebraicznych wiążących prądy i napięcia na wejściu i wyjściu czwórnika. Badanie tych własności
dokonuje się bez konieczności wnikania do wnętrza czwórnika.
3.3. Równania czwórników
Równania czwórnika określają związki pomiędzy prądami i napięciami na wejściu i wyjściu
czwórnika. W przypadku rozważania czwórników liniowych do rozwiązywania zagadnień można
stosować metody rozwiązywania obwodów, a więc metodę klasyczną, metodę oczkową, węzłową,
zasadę superpozycji, twierdzenie o zastępczym z
ródle napięcia i zastępczym z
ródle prądu, metodę
transfiguracji obwodu itp. Napięcia i prądy na zaciskach czwórnika mogą być wielkościami
skalarnymi (przy prądzie stałym), mogą być wyrażone jako wartości skuteczne zespolone (w stanie
ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym) i mogą być wielkościami operatorowymi. Opis
operatorowy jest najbardziej ogólny i pozwala badać czwórniki w stanie nieustalonym.
3
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
Związek między czterema wielkościami U1, U2, I1, I2, ujmujemy za pomocą dwóch równań liniowych.
W zależności od zastosowań wyróżniamy sześć typów równań wiążących prądy i napięcia czwórnika
(nie tylko pasywnego): postać impedancyjna, admitancyjna, łańcuchowa, łańcuchowa odwrócona,
hybrydowa, hybrydowa odwrócona.
Typy równań opisujących czwórniki
" Równanie impedancyjne
U1 = z11�" I1 + z12 �" I
ńł
2
(3.3)
�łU = z21�" I1 + z22 �" I
ół 2 2
lub w postaci macierzowej
U1 z11 z12 I1
�ł łł �ł łł �ł łł
= (3.4)
�łU śł �łz z22śł�" �łI śł
�ł 2�ł �ł 21 �ł �ł 2�ł
w której
z11 z12
�ł łł
Z = (3.5)
�łz z22śł
�ł 21 �ł
jest macierzą impedancyjną, a z11, z12 , z21, z22 nazywane są parametrami impedancyjnymi.
Wielkości występujące w równaniu (3.4) wyrażane są w następujących jednostkach
V &! &! A
�ł łł �ł łł �ł łł
= (3.6)
�łVśł �ł&! &!śł �" �łAśł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
" Równanie admitancyjne
ńł
�łI1 = y11�"U1 + y12 �"U2
(3.7)
�łI = y21�"U1 + y22 �"U2
�ł
2
ół
lub w postaci macierzowej
�ł łł
I1 y y12 U1
�ł łł �ł łł
= (3.8)
�ły11 y22śł �"
�łI śł �łU śł
�ł śł
�ł 2�ł �ł 2�ł
�ł 21 �ł
w której
y y12
�ł łł
y = (3.9)
�ły11 y22śł
�ł śł
�ł 21 �ł
jest macierzą admitancyjną, a y11, y12 , y21, y22 nazywane są parametrami admitancyjnymi.
Wielkości występujące w równaniu (3.8) wyrażane są w następujących jednostkach
A S S V
�ł łł �ł łł �ł łł
= (3.10)
�łAśł �łS Sśł�" �łVśł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
" Równanie łańcuchowe
U1 = A�"U2 + B�" I
ńł
2
(3.11)
�łI = C�"U2 + D�" I
ół 1 2
4
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
lub w postaci macierzowej
U1 A B U2
�ł łł �ł łł �ł łł
= (3.12)
�ł śł �łC Dśł �" �ł śł
I1 �ł �ł �ł I
�ł �ł 2 �ł
w której
A B
�ł łł
A = (3.13)
�łC Dśł
�ł �ł
jest macierzą łańcuchową, a A, B, C , D nazywane są parametrami łańcuchowymi.
Wielkości występujące w równaniu (3.12) wyrażane są w następujących jednostkach
V 1 &! V
�ł łł �ł łł �ł łł
= (3.14)
�łAśł �łS 1śł �" �łAśł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
" Równanie łańcuchowe odwrócone
U2 = A'�"U1 + B'�" I1
ńł
(3.15)
�łI = C'�"U1 + D'�" I1
ół 2
lub w postaci macierzowej
U2 A' B' U1
�ł łł �ł łł �ł łł
= (3.16)
�ł śł �łC' D'śł �" �ł śł
I I1
�ł 2 �ł �ł �ł �ł �ł
w której
A' B' D B
�ł łł 1 �ł łł
B = (3.17)
�łC' D'śł = detA �łC Aśł
�ł �ł �ł �ł
jest macierzą łańcuchową odwróconą, a A' , B' , C', D' nazywane są parametrami łańcuchowymi
odwróconymi. Wielkości występujące w równaniu (3.16) wyrażane są w następujących jednostkach
V 1 &! V
�ł łł �ł łł �ł łł
= (3.18)
�łAśł �łS 1śł �" �łAśł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
" Równanie hybrydowe
U1 = h11 �" I1 + h12 �"U2
ńł
(3.19)
�łI = h21 �" I1 + h22 �"U2
ół 2
lub w postaci macierzowej
U1 h11 h12 I1
�ł łł �ł łł �ł łł
= (3.20)
�łI śł �łh h22śł �" �łU śł
�ł 2 �ł �ł 21 �ł �ł 2�ł
w której
h11 h12
�ł łł
h = (3.21)
�łh h22śł
�ł 21 �ł
jest macierzą hybrydową, a h11, h12 , h21, h22 nazywane są parametrami hybrydowymi.
Wielkości występujące w równaniu (3.20) wyrażane są w następujących jednostkach
V &! 1 A
�ł łł �ł łł �ł łł
= (3.22)
�łAśł �ł1 Sśł �" �łVśł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
5
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
" Równanie hybrydowe odwrócone
ńł
�łI1 = g11�"U1 + g12 �" I 2
(3.23)
�łU = g21�"U1 + g22 �" I
�ł
2 2
ół
lub w postaci macierzowej
�ł łł
I1 g g12 U1
�ł łł �ł łł
= (3.24)
�łg11 g22śł �"
�łU śł �łI śł
�ł śł
�ł 2�ł �ł 2 �ł
�ł 21 �ł
w której
g g12
�ł łł
g = (3.25)
�łg11 g22śł
�ł śł
�ł 21 �ł
jest macierzą hybrydową odwróconą, a g11, g12 , g , g nazywane są parametrami hybrydowymi
21 22
odwróconymi. Wielkości występujące w równaniu (3.24) wyrażane są w następujących jednostkach
A S 1 V
�ł łł �ł łł �ł łł
= (3.26)
�łVśł �ł1 &!śł �" �łAśł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
W zależności od wyboru postaci równań opisujących dany czwórnik stosuje się różne zwroty prądów
na wyjściu czwórnika (zasady strzałkowania przedstawiono na rys. 3.5).
a)
b)
I1 I1
I2
I2
Z Y
U1 U2
U2 U1
A B
H G
Rys. 3.5. Zasady strzałkowania czwórników w zależności od macierzy opisującej
Ustalenie związku pomiędzy napięciami i prądami wejścia i wyjścia jest możliwe wówczas, gdy
znane są parametry jednej z postaci. W celu wyznaczenia parametrów równania określonej postaci
należy zastosować jedną z metod rozwiązywania obwodów rozgałęzionych liniowych.
Do opisów czwórników pasywnych najczęściej stosuje się równania łańcuchowe, natomiast przy
połączeniach czwórników stosuje się równania o niemal wszystkich postaciach wybieranych w
zależności od sposobów połączenia czwórników.
3.4. Warunki symetrii i odwracalności czwórnika
Rozważmy czwórnik pasywny, którego schemat przedstawiony jest na rys. 3.5a. Równania
łańcuchowe (3.11)
U1 = A�"U2 + B�" I
ńł
2
�łI = C�"U2 + D�" I
ół 1 2
Załóżmy, że czwórnik jest zasilany od strony zacisków wejściowych napięciem U1=E, natomiast
zaciski wyjściowe są zwarte (U2=0) (rys. 3.6a)
6
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
a) b)
I1 I2 I1 I2
E E
U1
U1=0 U2
U2=0
Rys. 3.6. Czwórnik zasilany od strony zacisków wejściowych, o zwartych zaciskach wyjściowych
Równania łańcuchowe (3.11) przyjmą postać:
U1 = B�" I
ńł
2
(3.27)
�łI = D�" I
ół 1 2
Wobec czego prąd I2 (płynący w zwartym obwodzie wyjścia) wyznaczony zostanie z zależności
1 1
I = �"U1 = �" E (3.28)
2
B B
Załóżmy także sytuację odwrotną - czwórnik jest zasilany od strony zacisków wyjściowych napięciem
U2=E, natomiast zaciski wejściowe są zwarte (U1=0) (rys. 3.6b). W zwartym obwodzie wejścia
popłynie wówczas prąd I1 (prąd I1 zmieni zwrot)
detA detA
I1 = �"U2 = �" E (3.29)
B B
Jeśli prąd I2 określony równaniem (3.28) jest równy prądowi I1 określonemu równaniem (3.29), to
wówczas spełniona zostaje zasada wzajemności. Równość tych prądów zachodzi wtedy, gdy
spełniony zostaje warunek
detA =1 (3.30)
Warunek (3.30) jest jednocześnie warunkiem odwracalności czwórnika. Równanie (3.30) można
zapisać też w równoważnej postaci
detA = A�" D- B�"C =1 (3.31)
gdzie A, B, C, D- parametry macierzy łańcuchowej.
Wspomniano powyżej, że czwórnik nazywamy symetrycznym jeżeli przy zamianie miejscami wejścia i
wyjścia, nie zmieni się rozpływ prądów i rozkład napięć w obwodzie poza czwórnikiem, tzn. w
obwodzie dołączonym do wejścia i w obwodzie dołączonym do wyjścia czwórnika. Wynika z tego, że
dla czwórnika symetrycznego macierze A (macierz łańcuchowa) i B (macierz łańcuchowa odwrócona)
muszą być sobie równe. Porównując zależności (3.13) oraz (3.17) otrzymamy
A B D B
�ł łł 1 �ł łł
A = B �! (3.32)
�łC Dśł = detA �łC Aśł
�ł �ł �ł �ł
detA = A�" D- B�"C =1
Zatem A=B jeżeli przy , parametr
A = D (3.33)
Równania (3.31) oraz (3.33) są warunkami symetryczności czwórnika.
7
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
Podsumowując, i uwzględniając relacje pomiędzy elementami różnych macierzy czwórnika (relacje te
opublikowano np. w [2], str. 393 lub w [5] str. 90), można stwierdzić co następuje
" Czwórnik jest odwracalny jeżeli spełnione są zależności
det(A) =1 �! AD - BC =1
det(B) = 1 �! A'D' - B'C' = 1 (3.34)
z21 = z12 y21 = y12 h21 = -h12 g21 = -g12
" Czwórnik jest symetryczny wtedy i tylko wtedy, gdy jest odwracalny i gdy po zamianie strony
zasilania prądy i napięcia nie zmieniają się zarówno po stronie wejściowej jak i wyjściowej. Dla
czwórników symetrycznych prawdziwe są związki
det(H) = 1 �! h11 h22 - h12 h21 =1
det(G) =1 �! g11 g22 - g12 g21 = 1 (3.35)
A = D A'= D' z22 = z11 y22 = y11
Do opisu czwórnika pasywnego symetrycznego wystarczą tylko dwa niezależne parametry, gdyż
czwórniki pasywne są jednocześnie odwracalne.
3.5. Stany pracy czwórnika
Po dołączeniu do zacisków wejściowych czwórnika z
ródła napięcia lub z
ródła prądu możliwe są
następujące stany pracy czwórnika:
" stan jałowy - zaciski wyjściowe czwórnika są rozwarte (rys. 3.7a)
" stan zwarcia - zaciski wyjściowe czwórnika są zwarte (rys. 3.7b)
" stan obciążenia  do zacisków wyjściowych dołączony jest odbiornik (rys. 3.7c)
a)
Stan jałowy
I1 I2=0
J E
U1
U2
b)
Stan zwarcia
I1 I2
J E
U1
U2=0
c)
Stan obciążenia
I1 I2
J E
Z2
U1
U2
U2=Z2�I2
Rys. 3.7. Stany pracy czwórnika: stan jałowy (rys. a), stan zwarcia (rys. b), stan obciążenia (rys. c)
8
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
W stanie jałowym ( I = 0 , U `" 0 ) równania łańcuchowe (3.13) przyjmą postać
2 2
U10 = A�"U20
ńł
(3.36)
�łI = C�"U20
ół 10
W stanie zwarcia (U = 0 , I `" 0 ) równania łańcuchowe przyjmą postać
2 2
U1k = B�" I
ńł
2k
(3.37)
�łI = D�" I
ół 1k 2k
Zauważmy, że w stanie jałowym można wyznaczyć parametry A = U10 U C = I10 U
i
20 20
(równania 3.36), natomiast w stanie zwarcia można wyznaczyć parametry B = U1k I i
2k
D = I1k I czwórnika (równ. 3.37), i w ten sposób uzyskać pełną postać macierzy łańcuchowej A
2k
W stanie obciążenia (U `" 0 , I `" 0 ) równania łańcuchowe mają pełną postać (3.13)
2 2
U1 = A�"U2 + B�" I
ńł
2
�łI = C�"U2 + D�" I
ół 1 2
W stanie zwarcia i w stanie jałowym uproszczeniu ulegają także i pozostałe typy równań czwórnika,
a więc równania impedancyjne, admitancyjne i hybrydowe.
3.6. Impedancja wejściowa czwórnika
Impedancja wejściowa czwórnika jest to stosunek napięcia U1 na wejściu do prądu I1 na wejściu
czwórnika. Oczywiście impedancja wejściowa czwórnika zależy od obciążenia Z2. Uwzględniając, że
po stronie wtórnej spełniona jest równość U2=Z2�I2 możemy napisać wzór ogólny na impedancję
wejściową czwórnika obciążonego impedancją Z2 w zależności od elementów macierzy łańcuchowej
AZ + B
2
Z = (3.38)
we
C Z + D
2
Jeżeli znana jest macierz inna niż łańcuchowa, wówczas stosowane są zależności
Y + y22
z11 Z + det(Z) h11Y + det(H)
2
2 2
Z = , Z = , Z = (3.39)
we we we
Z + z22 y11Y + det(Y) Y + h22
2 2 2
Wzory (3.39) można uzyskać w oparciu o ogólne równania czwórnika w różnych postaciach, przy
uwzględnieniu, że Z = U / I dla macierzy A i B , oraz Z = -U / I dla pozostałych
2 2 2 2 2 2
macierzy. Znak minus wynika z nieodbiornikowego (zgodnego) strzałkowania prądu I oraz napięcia
2
U dla macierzy Z, Y, H, G . Symbol Y oznacza admitancję obciążenia, tzn. Y = 1/ Z .
2 2 2 2
Impedancja wejściowa czwórnika w stanie jałowym wyznaczana jest z zależności (3.36)
U10 A�"U20
A
Z10 = = = (3.40)
I10 C�"U20 C
9
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
Dla innych równań macierzowych czwórnika impedancja wejściowa w stanie jałowym wyznaczana
jest z zależności
y22
det(H)
Z10 = z11 Z10 = Z10 = (3.41)
det(Y) h22
Impedancja wejściowa czwórnika w stanie zwarcia wyznaczana jest z zależności (3.37)
U1k B�" I
B
2k
Z1k = = = (3.42)
I1k D�" I D
2k
Dla innych równań macierzowych czwórnika impedancja wejściowa w stanie zwarcia wyznaczana
jest z zależności
det(Z) 1
Z1k = Z1k = Z1k = h11 (3.43)
z22 y11
3.7. Schematy zastępcze czwórników pasywnych
Czwórniki, jako schematy zastępcze wielu urządzeń, można prawie zawsze przedstawić za pomocą
trzech impedancji tworzących strukturę jak pokazano na rys. 3.8. Czwórnik przedstawiony na
rys. 3.8a nazywamy czwórnikiem typu (kształtu) T, a czwórnik przedstawiony na rys. 3.8b
nazywamy czwórnikiem typu (kształtu) . Pierwszy z tych czwórników nazywany jest także
czwórnikiem gwiazdowym, gdyż jego gałęzie tworzą gwiazdę, a drugi nazywany jest czwórnikiem
trójkątowym, gdyż połączenie elementów odpowiada połączeniu w trójkąt. W praktyce czwórniki o
bardziej złożonej strukturze, można dzięki stosowaniu reguł przekształcania doprowadzić do jednej z
podanych struktur.
Z
a) I1 Z2 I2 b) I1 I2
Z1
U1 U2 U1 U2
Y
Y1 Y2
Rys. 3.8. Schematy zastępcze czwórników typu T (rys. a) i typu  (rys. b)
Czwórnik typu T
Przedstawiony na rys. 3.8a czwórnik typu T składa się z dwóch impedancji podłużnych (Z1, Z2) i
jednej admitancji poprzecznej (Y). Zależność pomiędzy napięciami i prądami na wejściu i na wyjściu
czwórnika znajdujemy na podstawie praw Kirchhoffa
I1 2
ńł - I - I3 = 0 (T1)
I1 Z2 I2
Z1
�ł
�łU1 =U Z1 +UY (T2) (3.44)
I3
�łU =UZ2 +U2 (T3)
ół Y
UZ2
UZ1
U1 U2
Y
Prawo Ohma wyrażają równania
UY
U = Z1 �" I1 (T4)
Z1
Rys. 3.9. Zwroty napięć i prądów
UZ2 = Z2 �" I (T5) (3.45)
2
w czwórniku typu T
I3 = Y �"UY (T6)
10
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
Podstawmy równanie (T3) do równania (T2)
U1 =UZ1 +UZ2 +U2 (3.46)
Otrzymamy układ równań postaci
I1 = I + I3 (T7)
ńł
2
(3.47)
�łU =UZ1 +UZ2 +U2 (T8)
ół 1
Do układu równań (3.47) podstawny równania (T4), (T5) oraz (T6)
I1 = I + I3 =I +Y �"UY (T9)
ńł
2 2
(3.48)
�łU =UZ1 +U +U2 = Z1 �" I1 + Z2 �" I +U2
(T10)
ół 1 Z2 2
Do równania (T9) w układzie równań (3.48) podstawny równania (T3) oraz (T5)
I1 = I +Y �"UY = I +Y �"(UZ2 +U2)= I +Y �"(Z2 �" I +U2) (T11)
ńł
2 2 2 2
(3.49)
�łU = Z1 �" I1 + Z2 �" I +U2
(T12)
ół 1 2
Po przekształceniach
I1 = I +Y �"(Z2 �" I +U2) = Y �"U2 +(1+ Z2 �"Y)�" I (T13)
ńł
2 2 2
(3.50)
�łU = Z1 �" I1 + Z2 �" I +U2
(T12)
ół 1 2
Do równania (T12) w układzie równań (3.50) podstawny równanie (T13)
I1 = I +Y �"(Z2 �" I +U2) =Y �"U2 +(1+ Z2 �"Y)�" I (T13)
ńł
2 2 2
(3.51)
�łU = Z1 �" I1 + Z2 �" I +U2 = Z1 �"[Y �"U2 +(1+ Z2 �"Y)�" I Z2 �" I +U2
]+ (T14)
ół 1 2 2 2
Równanie (T14), po przekształceniach, przyjmie postać
U1 = Z1 �"[Y �"U2 +(1+ Z2 �"Y)�" I ]+ Z2 �" I +U2 =
2 2
(3.52)
=(1+ Z1 �"Y)�"U2 + (Z1 + Z2 + Z1 �" Z2 �"Y)�" I (T15)
2
Ostatecznie otrzymamy układ równań
U1 = (1+ Z1 �"Y)�"U2 + (Z1 + Z2 + Z1 �" Z2 �"Y)�" I (T16)
ńł
2
(3.53)
�łI = Y �"U2 +(1+ Z2 �"Y)�" I
(T17)
ół 1 2
Porównując układ równań (3.53) z układem (3.11)
U1 = A�"U2 + B�" I
ńł
2
�łI = C�"U2 + D�" I
ół 1 2
zauważamy, że parametry łańcuchowe
A = 1+ Z1 �"Y
B = Z1 + Z2 + Z1 �" Z2 �"Y
(3.54)
C = Y
D =1+ Z2 �"Y
zatem macierz łańcuchowa ma postać
A B 1+ Z1 �"Y Z1 + Z2 + Z1 �" Z2 �"Y
�ł łł �ł łł
AT = (3.55)
�ł
�łC Dśł = Y śł
1+ Z2 �"Y
�ł �ł
�ł �ł
11
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
Nietrudno wykazać, że spełniony jest warunek odwracalności czwórnika detAT = A�" D- B�"C =1
.
A = D
Czwórnik typu T jest symetryczny, gdy spełniony jest warunek , czyli gdy Z1 = Z2
Jeżeli dane są parametry łańcuchowe, to na podstawie równań (3.54) można wyprowadzić zależności
na elementy czwórnika, czyli impedancje podłużne (Z1, Z2) i admitancję poprzeczną (Y), a więc
rozwiązać zagadnienie odwrotne w stosunku do zagadnienia rozważanego powyżej.
A-1 D-1
Z1 = Z2 = Y = C (3.56)
C C
Czwórnik typu 
Przedstawiony na rys. 3.8b czwórnik typu  składa się z jednej impedancji podłużnej (Z) i dwóch
admitancji poprzecznych (Y1, Y2). Zależność pomiędzy napięciami i prądami na wejściu i na wyjściu
czwórnika znajdujemy na podstawie praw Kirchhoffa
I1 = I + IY1 ( 1)
ńł
Z
Z
I1 IZ I2
�ł
( 2) (3.57)
�łI = IY2 + I
Z 2
IY1 IY2 �łU =U +U2
( 3)
ół 1 Z
UZ
U1 U2
Y1 Y2
Prawo Ohma wyrażają równania
U = Z �" I ( 4)
Z Z
Rys. 3.10. Zwroty napięć i prądów
IY1 = Y1 �"U1 ( 5) (3.58)
w czwórniku typu 
IY2 = Y �"U2 ( 6)
2
Podstawmy równanie ( 2) do równania ( 1)
I1 = I + IY1 = IY2 + I + IY1 (3.59)
Z 2
Otrzymamy układ równań postaci
I1 = IY2 + I + IY1 ( 7)
ńł
2
(3.60)
�łU =UZ +U2
( 8)
ół 1
Do układu równań (3.60) podstawny równania ( 4), ( 5) oraz ( 6)
I1 = Y2 �"U2 + I +Y1 �"U1 ( 9)
ńł
2
(3.61)
�łU = Z �" I +U2
( 10)
ół 1 Z
Do równania ( 10) w układzie równań (3.61) podstawny równania ( 2) oraz ( 6)
I1 = Y1 �"U1 +Y2 �"U2 + I ( 11)
ńł
2
�łU = Z �" I +U2 = Z �"(IY2 + I )+U2 = Z �"(Y �"U2 + I ) +U2 ( 12) (3.62)
ół 1 Z 2 2 2
Po przekształceniach
I1 = Y1 �"U1 +Y2 �"U2 + I ( 11)
ńł
2
(3.63)
�łU = (1+ Z �"Y2)�"U2 + Z �" I
( 13)
ół 1 2
Do równania ( 11) w układzie równań (3.63) podstawny równanie ( 13)
I1 = Y1 �"U1 +Y2 �"U2 + I = Y1 �"{(1+ Z �"Y2)�"U2 + Z �" I }+Y �"U2 + I ( 14)
ńł
2 2 2 2
(3.64)
�łU = (1+ Z �"Y2)�"U2 + Z �" I
( 13)
ół 1 2
12
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
Równanie ( 14), po przekształceniach, przyjmie postać
I1 = Y1 �"U1 +Y2 �"U2 + I = Y1 �"{(1+ Z �"Y2)�"U + Z �" I }+Y �"U2 + I =
2 2 2 2 2
=Y1 �"(1+ Z �"Y )�"U2 + Z �"Y1 �" I +Y �"U2 + I = (3.65)
2 2 2 2
= (Y1 +Y + Z �"Y1 �"Y2)�"U2 +(1+ Z �"Y1)�" I ( 15)
2 2
Ostatecznie otrzymamy układ równań
U1 = (1+ Z �"Y2)�"U2 + Z �" I ( 16)
ńł
2
(3.66)
�łI = (Y1 +Y + Z �"Y1 �"Y2)�"U2 +(1+ Z �"Y1)�" I
( 17)
ół 1 2 2
Porównując układ równań (3.66) z układem (3.11)
U1 = A�"U2 + B�" I
ńł
2
�łI = C�"U2 + D�" I
ół 1 2
zauważamy, że parametry łańcuchowe
A = 1+ Z �"Y
2
B = Z
(3.67)
C =Y1 +Y + Z �"Y1 �"Y
2 2
D =1+ Z �"Y1
zatem macierz łańcuchowa ma postać
A B 1+ Z �"Y2 Z
�ł łł �ł łł
A  = (3.68)
�łY śł
�łC Dśł = +Y + Z �"Y1 �"Y2 1+ Z �"Y1
�ł �ł
�ł 1 2 �ł
Nietrudno wykazać, że spełniony jest warunek odwracalności czwórnika detA  = A�" D- B�"C =1
.
A = D
Czwórnik typu  jest symetryczny, gdy spełniony jest warunek , czyli gdy Y1 =Y2
Jeżeli dane są parametry łańcuchowe, to na podstawie równań (3.67) można wyprowadzić zależności
na elementy czwórnika, czyli impedancję podłużną (Z) i admitancje poprzeczne (Y1,Y2), a więc
rozwiązać zagadnienie odwrotne w stosunku do zagadnienia rozważanego powyżej.
D-1 A-1
Z = B Y1 = Y2 = (3.69)
B B
Czwórniki typu �, T, ż
Na rys. 3.11. przedstawiono inne schematy spotykanych czwórników. Czwórniki przedstawione na
rys. 3.11a oraz rys. 3.11b stanowią szczególne przypadki, gdy jedna z impedancji czwórnika typu T
lub jedna z admitancji czwórnika typu  jest równa zeru.
Z
Z
b) I1 I2 c) I1 I2
a) I1 I2 Z1
Z2
U1
U1 U2 U2
U1 U2
Y
Y
Z2
Z1
Rys. 3.11. Schematy zastępcze czwórników typu � (rys. a), typu T (rys. b) i typu X (rys. c)
13
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
Macierze łańcuchowe czwórników przedstawionych na rys. 3.11 są następujące
1 Z
�ł łł
" dla czwórnika typu � (rys. 3.11a) A� = (3.70)
�łY 1+ Z �"Yśł
�ł �ł
1+ Z �"Y Z
�ł łł
" dla czwórnika typu T (rys. 3.11b) A = (3.71)
�ł śł
Y 1
�ł �ł
Z2 + Z1 2�" Z2 �" Z1
�ł łł
�ł
Z2 - Z1 Z2 - Z1 śł
�ł śł
AX =
" dla czwórnika typu X (rys. 3.11c) (3.72)
�ł śł
Z2 + Z1
2
�ł
Z2 - Z1 Z2 - Z1 śł
�ł �ł
3.8. Związki pomiędzy parametrami łańcuchowymi a impedancjami
w stanie jałowym i w stanie zwarcia czwórnika
Jak wspomniano wyżej impedancja wejściowa czwórnika w stanie jałowym wyznaczana jest z
zależności (3.40)
U10 A�"U20
A
Z10 = = =
I10 C�"U20 C
a impedancja wejściowa czwórnika w stanie zwarcia wyznaczana jest z zależności (3.42)
U1k B�" I
B
2k
Z1k = = =
I1k D�" I D
2k
Zależności te otrzymujemy w wyniku dołączenia do zacisków wejściowych czwórnika z
ródła napięcia
lub z
ródła prądu i rozważania wspomnianych stanów pracy czwórnika (stan jałowy, stan zwarcia) w
oparciu o równania łańcuchowe.
Jeżeli z
ródło napięcia lub z
ródło prądu dołączymy do zacisków wyjściowych czwórnika, a zaciski
wejściowe będą odpowiednio rozwarte (stan jałowy) lub zwarte (stan zwarcia), to w podobny sposób
jak to przedstawiono w punkcie 3.5 otrzymamy wzory na impedancję w stanie jałowym (3.73) i w
stanie zwarcia (3.74), przy zasilaniu czwórnika od strony wyjścia (indeksy  2 w zależnościach)
U20 D�"U10
D
Z20 = = = (3.73)
I C�"U10 C
20
U2k B�" I1k
B
Z2k = = = (3.74)
I A�" I1k A
2k
Jeżeli znane są impedancje Z10, Z1k, Z20, Z2k to korzystając z równań (3.40), (3.42), (3.73) i (3.74)
można obliczyć parametry łańcuchowe A, B, C i D.
W przypadku czwórników symetrycznych (A=D) impedancje stanu jałowego i stanu zwarcia nie
zależą od tego, z której strony zasilono czwórnik. Jeżeli w równaniach (3.40), (3.42), (3.73) i (3.74)
uwzględnimy A=D to otrzymamy
A
Z0 = (3.75)
C
B
Zk = (3.76)
A
14
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
Czwórnik jest odwracalny jeżeli spełniony jest warunek (3.31)
detA = A�" D- B�"C =1
Wstawiając warunek symetryczności czwórnika (3.33)
A = D
do równania (3.31) otrzymamy
detA = A�" D- B�"C = A�" A- B�"C = A2 - B�"C =1 (3.77)
Wyznaczmy z równań (3.75) i (3.76) parametry B i C
A A
Z0 = �! C= (3.78)
C Z0
B
Zk = �! B= A�" Zk (3.79)
A
i podstawny równania (3.78) i (3.79) do równania (3.77)
A2 - B�"C =1 (3.80)
Zk �ł �ł
Zk
A
�ł
=1
A2 - A�" Z �" =1 �! A2 - �" A2 =1 �! A2 �"�ł1- �ł
1 3
2k Z0
Z0 Z0 �ł
�ł łł
{
B
C
Parametr A ma zatem postać
Z0
1
A = = (3.81)
Zk Z0 - Zk
1-
Z0
Parametry B i C wyznaczymy wstawiając równania (3.81) do równań (3.78) i (3.79)
Z0
A 1
C= = �" (3.82)
Z0 Z0 Z0 - Zk
Z0
B= A�"Zk = Zk �" (3.83)
Z0 - Zk
Macierz łańcuchowa A ma zatem postać
�ł
Z0 Z0 łł
Zk �"
�ł śł
Z0 - Zk Z0 - Zk śł
�ł
A = (3.84)
�ł
Z0 Z0 śł
1
�ł �" śł
Z0 - Zk śł
�łZ Z0 - Zk
0
�ł �ł
Tak więc, w przypadku czwórnika symetrycznego, na podstawie znajomości impedancji stanu
jałowego i impedancji stanu zwarcia na podstawie równań (3.84) możemy wyznaczyć parametry
macierzy łańcuchowej.
W celu wyznaczenia parametrów macierzy łańcuchowej dowolnego czwórnika należy skorzystać z
zależności wynikających z równań (3.1), (3.40), (3.42), (3.73) oraz (3.74). Po przekształceniu
wymienionych zależności otrzymamy równania, z których wyznaczyć można parametry łańcuchowe
dowolnego czwórnika
15
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
Z10
A = (3.85)
Z20 - Z2k
Z10
B= Z2k �" (3.86)
Z20 - Z2k
Z10
1
C = �" (3.87)
Z10 Z20 - Z2k
Z20 Z10
D = �" (3.88)
Z10 Z20 - Z2k
3.9. Impedancja falowa czwórnika symetrycznego
Stosunek U I = Z oznacza impedancję na wyjściu czwórnika, tj. impedancję odbiornika,
2 2 2
natomiast stosunek U1 I1 = Z1 przedstawia impedancję na wejściu , tj. impedancję czwórnika wraz
z odbiornikiem.
Powstaje pytanie, czy możliwy jest taki dobór odbiornika, aby impedancja wyjściowa była równa
impedancji wejściowej? Impedancję spełniającą ten warunek nazywamy impedancją iterowaną
(z łac. powtórną) i oznaczamy przez Z . Impedancję iterowaną wyznaczamy dzieląc, w układzie
i
równań (3.11), równanie pierwsze przez drugie
U2
A�" + B
U1 A�"U2 + B�" I I
2 2
= = (3.89)
U2
I1 C�"U2 + D�" I
2
C�" + D
I
2
U1 I1 = U I = Z
Podstawny do równania (3.89)
2 2 i
A�" Zi + B
Zi = (3.90)
C�"Zi + D
Przekształcając równanie (3.90) otrzymamy
Zi �"(C�" Zi + D)= A�" Zi + B
2
C�"Zi + D�" Zi = A�" Zi + B
2
C�"Zi +(D- A)�" Zi - B = 0 (3.91)
Rozwiązanie równania (3.91)
-(D - A)ą (D- A)2 + 4�" B�"C
Zi1,2 = (3.92)
2�"C
Obliczając impedancję iterowaną przy zasilaniu czwórnika od strony przeciwnej otrzymujemy
(D- A)ą (D - A)2 + 4�" B�"C
Zi3,4 = (3.93)
2�"C
16
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
Dwie z tych wartości Z (wzory 3.92 i 3.93) mają część rzeczywistą dodatnią i te uważamy za
i
fizycznie realne.
A
W przypadku czwórnika symetrycznego - D = 0 , otrzymujemy więc tylko jedno rozwiązanie na
impedancję iterowaną. Nazywamy ją impedancją falową lub impedancją charakterystyczną
B `" 0 C `" 0
czwórnika symetrycznego i oznaczamy przez Z . Gdy i
C
B
ZC = (3.94)
C
Impedancją charakterystyczną (falową) czwórnika symetrycznego nazywamy taką impedancję
Zodb = Z2
odbiornika dołączonego do zacisków wyjściowych czwórnika, że impedancja mierzona na
wejściu czwórnika jest równa impedancji odbiornika Z1 = Z2 = ZC .
Odbiornik, którego impedancja jest równa impedancji falowej czwórnika, nazywamy odbiornikiem
dopasowanym falowo do czwórnika.
Pomiędzy impedancją falową Z czwórnika a jego impedancjami stanu jałowego i stanu zwarcia
C
zachodzi zależność
B A B
ZC = = �" = Z0 �" Zk (3.95)
C C A
przy czym Z0 = A C (równanie 3.78), Zk = B A (3.79)
Zależność (3.95) pozwala na wyznaczenie impedancji falowej na podstawie znajomości (pomiarów)
impedancji stanu jałowego i stanu zwarcia.
Impedancję falową można również wyznaczyć z zależności
h11
1
Z = det (Z) Z = Z = (3.96)
f f f
h22
det (Y)
3.10. Przekładnia i współczynnik przenoszenia
Równania czwórnika symetrycznego obciążonego impedancją falową przybierają przy uwzględnieniu
U = Z �" I następującą postać
2 C 2
ńł
�ł �ł
B
�łU1 = A�"U2 + B�" I 2 = �ł A+ �ł =(A+ B�"C)�"U2
�ł �ł�"U2
ZC
(3.97)
�ł �ł łł
�ł
1 2 2
ółI = C�"U2 + A�" I =(C�" ZC + A)�" I =(A+ B�"C)�" I 2
Z równań (3.97) wynika, że przy obciążeniu impedancją falową stosunek napięć na wejściu i na
wyjściu jest równy stosunkowi prądów na wejściu i na wyjściu. Oznaczamy go literą Ń i nazywamy
przekładnią czwórnika symetrycznego
U1 I1
= =Ń = A+ B�"C (3.98)
U2 I
2
Można oddzielnie mówić o przekładni napięciowej Ńu jak i o przekładni prądowej Ńi . Przekładnie
te ulegają zmianom wraz ze zmianą obciążenia czwórnika, dlatego nie są w praktyce stosowane.
17
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
Jedynie w przypadku obciążenia impedancją falową Ńu = Ńi , tak że mówimy o przekładni Ń
czwórnika nie dodając określenia: napięciowa lub prądowa.
Przekładnia Ń czwórnika jest wielkością zespoloną. Jeżeli znana jest inna macierz niż macierz
łańcuchowa, to do obliczenia przekładni możemy skorzystać ze wzorów
det (Y) - y22
h11 h22 -1
det (Z) + z11
Ń = Ń = Ń = (3.99)
y21 z21 h21
Przekładnię Ń można zapisać w postaci wykładniczej
Ń = eg (3.100)
przy czym g jest wykładnikiem zespolonym
g = a + jb (3.101)
Z zależności (3.98) wynika, że
g
e = A+ B�"C (3.102)
czyli
g = ln(A+ B�"C)
(3.103)
g
Wygodniej jest wyrazić wartość e ze stosunku napięć lub prądów (3.97)
U1 U1
eg = �! g = ln �! g = lnU1 -lnU2 (3.104)
U2 U2
lub
I1 I1
eg = �! g = ln �! g = lnI1 -lnI (3.105)
2
I I
2 2
g
Wykładnik potęgowy g w wyrażeniu e nazywamy współczynnikiem przenoszenia czwórnika
Współczynnik przenoszenia g czwórnika symetrycznego jest równy różnicy logarytmów naturalnych
wektora napięcia skutecznego na wejściu i wektora napięcia skutecznego na wyjściu czwórnika przy
jego obciążeniu odbiornikiem dopasowanym falowo, czyli impedancją falową. Analogicznie można
określić współczynnik przenoszenia jako różnicę logarytmów wektorów prądu.
Występujące w zależności (3.101) wyrażenia a i b noszą nazwę
a - współczynnik tłumienia czwórnika
b - współczynnik fazowy (współczynnik przesunięcia fazowego) czwórnika
Znaczenie fizyczne współczynników a i b wynika z zależności (3.104) i (3.105)
U1 U1 U1 U1
jb
eg = �! eg = �! ea+ jb = �! ea �"e = (3.106)
U2 U2 U2 U2
lub
I1 I1 I1 I1
jb
eg = �! eg = �! ea+ jb = �! ea �"e = (3.107)
I I I I
2 2 2 2
18
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
Ze wzorów
U1 I1
jb jb
ea �"e = oraz ea �"e =
U2 I
2
wynika
U1 I1
a = ln = ln = lnŃ
U I (3.108)
2 2
b = faza U1 - faza U = faza I1 - faza I
2 2
gdzie U1, U , I1, I - napięcia i prądy wrót czwórnika obciążonego impedancją falową.
2 2
Współczynnik tłumienia a czwórnika symetrycznego jest równy różnicy logarytmów naturalnych
napięć skutecznych (lub prądów skutecznych) na wejściu i na wyjściu przy jego obciążeniu
odbiornikiem dopasowanym do niego falowo.
Współczynnik a jest miarą tłumienia napięcia lub prądu przy przejściu od zacisków wejściowych do
zacisków wyjściowych czwórnika, zaś b jest miarą zmiany fazy napięcia lub prądu. Jednostką
współczynnika a jest neper (1 Np).
Tłumienie o wartości jednego nepera oznacza zmniejszenie amplitudy napięcia lub prądu e razy, czyli
około 2.72 raza. Często wygodniej jest podawać tłumienie w decybelach. Wówczas należy obliczyć
jedną z poniższych wartości
U1 I1 U1 I1
20log10 = 20log10 = 8.686ln = 8.686ln (3.109)
U I U I
2 2 2 2
Jednemu neperowi odpowiada tłumienie równe 8.686 dB.
Współczynnik fazowy b czwórnika symetrycznego jest równy kątowi przesunięcia fazowego w
radianach pomiędzy napięciem na wejściu a napięciem na wyjściu czwórnika przy jego obciążeniu
odbiornikiem dopasowanym falowo. Jest zatem miarą zmiany fazy napięcia lub prądu przy przejściu
od zacisków wejściowych do zacisków wyjściowych czwórnika.
Oba współczynniki (współczynnik tłumienia a i współczynnik fazowy b ) łącznie wskazują sposób
przenoszenia sygnału w czwórniku, czyli zmianę jego wartości (modułu) i fazy. Dlatego współczynnik
g nazywany jest współczynnikiem przenoszenia czwórnika.
W teletransmisji przewodowej wymienione wyżej współczynniki znane są pod nazwami:
g - tamowność
a - tłumienność
b - przesuwność
3.11. Równania hiperboliczne czwórnika
Wprowadzenie parametru g ma ważną zaletę, pozwala uzależnić równania łańcuchowe czwórnika
symetrycznego od funkcji hiperbolicznych zmiennej zespolonej g .
Równanie (3.102) uzależnia współczynnik przenoszenia czwórnika od parametrów łańcuchowych A,
-g
B, C. Na podstawie równania (3.102) wyznaczmy e
19
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
A- B�"C A- B�"C
g -g 1 1
e = A+ B�"C �! e = = �" = (3.110)
A+ B�"C A+ B�"C A- B�"C - B�"C
A2
A2
Ponieważ dla czwórnika symetrycznego - B�"C=1 to zależność (3.110) przyjmie postać
A- B�"C
e-g = = A- B�"C (3.111)
A2 - B�"3
C
1 24
4
=1
g -g
Dodając do siebie stronami równania e = A+ B�"C e = A- B�"C otrzymamy
oraz
eg + e-g = (A+ B�"C ) + (A- B�"C ) = 2�" A (3.112)
Parametr A wyraża się zależnością
1 -g
�łeg �ł
A = + e = chg (3.113)
�ł �ł
�ł łł
2
g -g
Odejmując od siebie stronami równania e = A+ B�"C e = A- B�"C otrzymamy
oraz
eg -e-g = (A+ B�"C ) -(A- B�"C ) = 2�" B�"C (3.114)
a po przekształceniu
1 -g
g
B�"C = (e -e )= shg (3.115)
2
Podstawiając do równania (3.115) zależność na impedancję falową czwórnika symetrycznego (3.94)
wyznaczymy parametry B oraz C
B
" w wyniku pomnożenia obu stron równania (3.115) przez ZC = wyznaczymy parametr B
C
B B
B�"C = shg �! B�"C �" = shg �"
C C
(3.116)
B = ZC �" shg
B
" w wyniku podzielenia obu stron równania (3.115) przez ZC = wyznaczymy parametr C
C
shg
B�"C
B�"C = shg �! =
B B
(3.117)
C C
1
C = �" shg
ZC
Po podstawieniu wyrażeń (3.113), (3.116) oraz (3.117) do układ równań (3.11) otrzymamy
U1 =U2 �"chg + ZC �" I �" shg
ńł
2
�ł
(3.118)
1
�łI = �"U2 �" shg + I �"chg
1 2
�ł
ZC
ół
20
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
lub w postaci macierzowej
chg ZC �" shg
łł
U1 �ł
�ł łł
�ł śł�" �łU2łł
1
= (3.119)
�ł śł śł
I1 �ł �" shg chg śł �ł I
�ł �ł �ł 2 �ł
�łZC śł
�ł �ł
2
ch g
Wyznacznik macierzy łańcuchowej - sh2 g = 1
W przypadku korzystania z powyższych równań niezbędna jest umiejętność obliczania wartości
funkcji sinus i cosinus hiperboliczny z liczby zespolonej. Pomocne są w tym przypadku tożsamości
ch(g) = ch(a + jb) = ch(a)cos(b) + j sh(a)sin(b)
(3.120)
sh(g) = sh(a + jb) = sh(a)cos(b) + j ch(a)sin(b)
(3.121)
przy czym sh(ja) = j sin(a) oraz ch(ja) = cos(a)
Powyższe równania (3.120, 3.121) są słuszne przy dowolnych obciążeniach czwórnika, a więc
również w przypadkach granicznych, tj. w stanie jałowym ( I = 0 ) i w stanie zwarcia (U = 0 )
2 2
I = 0
" w stanie jałowym, przy równania (3.118) przyjmą postać
2
U10 =U2 �"chg
ńł
�ł
(3.122)
1
�łI = �"U2 �"shg
10
�ł
ZC
ół
Impedancja wejściowa w stanie jałowym
chg
U10 U2 �"chg
Z10 = = = ZC �" = ZC �"cthg (3.123)
1
I10 �"U2 �" shg shg
ZC
U = 0
" w stanie zwarcia, przy równania (3.118) przyjmą postać
2
ńł
1k 2
�łU = ZC �" I �"shg
(3.124)
�łI = I �"chg
�ł
1k 2
ół
Impedancja wejściowa w stanie zwarcia
U1k ZC �" I 2 �" shg shg
Z1k = = = ZC �" = ZC �"thg (3.125)
I1k I �"chg chg
2
W wyniku podzielenia stronami równania (3.125) przez równanie (3.123) otrzymujemy
Z1k ZC �"thg Z1k
= = th2 g �! thg = (3.126)
Z10 ZC �"cthg Z10
Wzór (3.126) pozwala na wyznaczenie współczynnika przenoszenia czwórnika na podstawie
znajomości impedancji wejściowej w stanie jałowym i impedancji wejściowej w stanie zwarcia.
3.12. Połączenia czwórników
Czwórnik złożony może być rozpatrywany jako połączenie odpowiedniej liczby czwórników
prostych. Takie czwórniki muszą przy tym spełniać warunki regularności. Oznacza to, że po
połączeniu zachodzi warunek równości prądów w parach końcówek czwórników. Dzięki temu
21
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
obowiązują wówczas równania czwórników i możliwe jest związane z tym uproszczenie analizy.
Podstawowe typy połączeń czwórników to: połączenie łańcuchowe, połączenie szeregowe,
połączenie równoległe, połączenie równoległo-szeregowe i połączenie równoległo-szeregowe.
" Połączenie łańcuchowe czwórników
Połączeniem łańcuchowym (inaczej nazywanym kaskadowym) czwórników nazywamy taki układ
czwórników, w którym zaciski wyjściowe pierwszego czwórnika są połączone z zaciskami
wejściowymi drugiego czwórnika, zaciski wyjściowe drugiego czwórnika z zaciskami wejściowymi
trzeciego czwórnika itd.
Rozważmy układ składający się z dwóch czwórników połączonych kaskadowo jak to przedstawiono
na rys. 3.12. Takie połączenie bardzo często występuje w praktyce. Przykładowo czwórnik o
parametrach A' , B' , C', D' może zastępować transformator, natomiast czwórnik o parametrach A",
B", C", D" linię przesyłową.
b)
a)
I1
I1 I3
I2 I2
I3 3
2 1
1 3
A" B" A B
A' B'
U1 U3 U1
U3
U2
C" D" C D
C' D'
1 3
1 2
3
Rys. 3.12. Połączenie łańcuchowe dwóch czwórników (rys. a); schemat zastępczy (rys. b)
Do rozważań zastosujemy macierzową postać równań łańcuchowych czwórnika (3.12). Wskaz
niki
   (prim) dotyczą parametrów pierwszego czwórnika, zaś wskaz
niki    (bis) dotyczą parametrów
drugiego czwórnika.
Równania łańcuchowe pierwszego czwórnika w postaci macierzowej mają postać ( A1  macierz
łańcuchowa pierwszego czwórnika)
U1 A' B' U2
�ł łł �ł łł �ł łł
= (3.127)
�ł śł �łC' D'śł�" �ł śł
I1 I
�ł
�ł �ł �ł4 3 �ł 2 �ł
1 24
A1
Równania łańcuchowe drugiego czwórnika w postaci macierzowej mają postać ( A2  macierz
łańcuchowa drugiego czwórnika)
U2 A" B" U3
�ł łł �ł łł �ł łł
= (3.128)
śł
�ł śł �łC" D"śł �"�ł I3
I
�ł 2 �ł �ł �ł �ł �ł
1 24
4 3
A2
Podstawiając równanie (3.128) do równania (3.127) otrzymujemy
U1 A' B' A" B" U3
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
= (3.129)
�ł śł �łC' D'śł�" �łC" D"śł�" �ł śł
I1 I3
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
Po dokonaniu operacji mnożenia macierzy łańcuchowych czwórników otrzymujemy równanie
U1 A' B' A" B" U3 A'�"A"+B'�"C" A'�"B"+B'�"D" U3
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
=
�ł śł
�ł śł �łC' D'śł �" �łC" D"śł �" I3 = �łC'�"A"+D'�"C" C'�"B"+D'�"D"śł �" I3 (3.130)
I1 �ł �ł �ł �ł �ł śł �ł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
22
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
Zapiszmy równanie (3.130) w prostszej postaci
U1 A B U3
�ł łł �ł łł �ł łł
= (3.131)
�ł śł �łC Dśł �" I3
I1 �ł �ł �ł śł
�ł �ł �ł �ł
gdzie
A B A'�"A"+B'�"C" A'�"B"+B'�"D"
�ł łł �ł łł
(3.132)
�łC Dśł = �łC'�"A"+D'�"C" C'�"B"+D'�"D"śł
�ł �ł �ł �ł
Zatem parametry łańcuchowej wypadkowej macierzy łańcuchowej połączenia kaskadowego
(łańcuchowego) dwóch czwórników
A = A'�"A"+B'�"C" B = A'�"B"+B'�"D" C = C'�"A"+D'�"C" D = C'�"B"+D'�"D"
czyli macierz łańcuchowa czwórnika zastępczego jest równa iloczynowi macierzy łańcuchowych
czwórników składowych
A = A' �" A" (3.133)
W analogiczny sposób można rozważać układ połączonych ze sobą kaskadowo n czwórników.
Należy jednak pamiętać, że mnożenie macierzy nie jest przemienne (wynika to z rachunku
macierzowego), dlatego przy połączeniu łańcuchowych czwórników nie wolno czwórników zamieniać
miejscami czyli
Ak �"Ak+1 `" Ak+1 �" Ak (3.134)
gdzie Ak  macierz łańcuchowa k-tego czwórnika, a Ak+1  macierz łańcuchowa k +1 czwórnika w
układzie n czwórników połączonych kaskadowo.
W ogólnym przypadku przy połączeniu dwóch czwórników symetrycznych, czwórnik zastępczy jest
niesymetryczny. By zastępczy czwórnik był symetryczny, czwórniki wchodzące w skład połączenia
muszą mieć równe impedancje falowe (charakterystyczne), czyli w przypadku połączenia dwóch
czwórników spełniony powinien być warunek ZC1 = ZC2
Przy połączeniu łańcuchowym n jednakowych czwórników, macierz czwórnika zastępczego jest
równa An , gdzie A jest macierzą pojedynczego czwórnika.
Przykład
Jako przykład połączenia łańcuchowego czwórników złożonych z elementów pojemnościowych może
służyć łańcuch izolatorów linii napowietrznej wysokiego napięcia (rys. 3.13a). A
ańcuch jest
zawieszony na stalowej konstrukcji słupa. Przewód o napięciu U1 względem ziemi jest umocowany
do dolnego izolatora. Okucia izolatorów oraz słup stalowy traktujemy jak okładziny kondensatorów.
Na schemacie zastępczym (rys. 3.13b) C - oznacza pojemność pomiędzy dwoma okuciami, a C0 -
pojemność okucia względem słupa. Jeżeli rozdzielimy pojemność C0 na dwie pojemności równoległe
C0 2 , to schemat zastępczy sprowadzi się do szeregowego połączenia n czwórników w kształcie 
(rys. 3.13c). [4]
23
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
Rys. 3.13. A
ańcuch izolatorów linii wysokiego napięcia: a) izolatory; b) schemat zastępczy
łańcucha izolatorów; c) schemat zastępczy jednego ogniwa [4]
" Połączenie szeregowe czwórników
Połączeniem szeregowym czwórników nazywamy układ, w którym są spełnione następujące warunki:
" zacisk 1 pierwszego czwórnika jest połączony bezimpedancyjnie z zaciskiem 1 drugiego
czwórnika, a zacisk 2 pierwszego czwórnika z zaciskiem 2 drugiego czwórnika;
' '
I1 = I1 I = I
" jest spełniony warunek (3.2), czyli oraz
2 2
Rozważmy układ składający się z dwóch czwórników połączonych szeregowo jak to przedstawiono
na rys. 3.14.
a)
b)
I1
I2
I1 I2
2
1 1 2
, ,
z11 z12
U1
U2
z, z,
21 22
I1
I2
2
1
1 2
U2 z11 z12
U1
U1
U2
I1 z21 z22
I2
2
1
,, ,,
z11 z12 1 2
U1
U2
z,, z,,
21 22
1 1 2 2
Rys. 3.14. Połączenie szeregowe dwóch czwórników (rys. a); schemat zastępczy (rys. b)
Do rozważań zastosujemy macierzową postać równań impedancyjnych czwórnika (3.4).
Wskaz
niki    (prim) dotyczą parametrów pierwszego czwórnika, zaś wskaz
niki    (bis) dotyczą
parametrów drugiego czwórnika.
24
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
Przy połączeniu szeregowym czwórników zachodzą następujące równania napięć i prądów
' " ' "
U = U +U
U1 = U1 +U1 oraz (3.135)
2 2 2
' " ' "
I1 = I1 = I1 oraz I = I = I (3.136)
2 2 2
Równania impedancyjne pierwszego czwórnika w postaci macierzowej mają postać ( z1  macierz
impedancyjna pierwszego czwórnika)
' , ,
�łU1łł �łz11 z12łł '
�łI1łł
= �" (3.137)
�ł śł �ł śł �ł śł
' ,
z, �łI' śł
�łU2śł �łz2124 śł
�ł 2�ł
�ł �ł �ł 22�ł
14 3
z1
Równania impedancyjne drugiego czwórnika w postaci macierzowej mają postać ( z2  macierz
impedancyjna drugiego czwórnika)
" ,, ,,
�łU1łł �łz11 z12łł "
�łI1łł
= �"�ł śł (3.138)
�ł śł �ł śł
" ,,
z,, �łI" śł
�łU2śł �łz2124 śł
�ł 2�ł
�ł �ł �ł 22�ł
14 3
z2
Dodając do siebie stronami równania (3.137) i (3.138) otrzymujemy
' " , , ,, ,,
�łU1 +U1 łł �łz11 z12łł ' �łz11 z12łł "
�łI1łł �łI1łł
= �" + �" (3.139)
�ł śł �ł śł �ł śł �ł śł �ł śł
' , ,,
z,, �łI" śł
�łI' śł
�łU2 +U" śł �łz4 z,3 �ł 2�ł �łz2124 śł
śł
�ł 2�ł
�ł 2�ł �ł 22�ł �ł 22�ł
12124 14 3
z1 z2
a po uwzględnieniu równań (3.135) i (3.136)
,
U1 �łz11 ,, , ,, łł I1
�ł łł + z11 z12 + z12 �ł łł
= �"�ł śł (3.140)
�ł śł
�łU śł
,
�ł 2�ł �łz21 + z,, z, + z,, śł �łI 2�ł
�ł 21 22 22�ł
Zapiszmy równanie (3.140) w prostszej postaci
U1 z11 z12 I1
�ł łł �ł łł �ł łł
= (3.141)
�łU śł �łz z22śł�"�ł śł
�ł 2�ł �ł 21 �ł �łI 2�ł
gdzie
,
z11 z12 �łz11 ,, , ,, łł
�ł łł + z11 z12 + z12
(3.142)
�łz z22śł = �ł , + z,, z, + z,, śł
�ł 21 �ł �łz21 21 22 22�ł
śł
�ł
Zatem parametry impedancyjne wypadkowej macierzy impedancyjnej połączenia szeregowego dwóch
czwórników
, ,, , ,,
z11 = z11 + z11 z12 = z12 + z12 z21 = z, + z,, z22 = z, + z,,
21 21 22 22
czyli macierz impedancyjna czwórnika zastępczego jest równa sumie macierzy impedancyjnych
czwórników składowych
z = z'+ z" (3.143)
W analogiczny sposób można rozważać układ połączonych ze sobą szeregowo n czwórników.
25
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
" Połączenie równoległe czwórników
Połączeniem równoległym czwórników nazywamy układ, w którym są spełnione następujące
warunki:
" Pary zacisków 1-1, 1 -1 oraz 2-2, 2 -2 czwórników są ze sobą połączone
bezimpedancyjnie(przy jednakowym oznaczeniu zacisków wejściowych i wyjściowych każdego z
czwórników);
' '
I1 = I1 I = I
" jest spełniony warunek (3.2), czyli oraz
2 2
Rozważmy układ składający się z dwóch czwórników połączonych równolegle jak to przedstawiono
na rys. 3.15.
b)
a)
1 I1 2
I2
, ,
y11 y12
U1
U2
y, y,
I1
I1 I2 I2
2
1 2 1
21 22
1 2
y11 y12
U1
U2
U2
U1
y21 y22
I1 I2 2
1
,, ,,
1 2
1 2
y11 y12
U1 U2
y,, y,,
21 22
1 2
Rys. 3.15. Połączenie równoległe dwóch czwórników (rys. a); schemat zastępczy (rys. b)
Do rozważań zastosujemy macierzową postać równań admitancyjnych czwórnika (3.8).
Wskaz
niki    (prim) dotyczą parametrów pierwszego czwórnika, zaś wskaz
niki    (bis) dotyczą
parametrów drugiego czwórnika.
Przy połączeniu równoległym czwórników zachodzą następujące równania napięć i prądów
' " ' "
U = U = U
U1 = U1 = U1 oraz (3.144)
2 2 2
' " ' "
I1 = I1 + I1 oraz I = I + I (3.145)
2 2 2
Równania admitancyjne pierwszego czwórnika w postaci macierzowej mają postać ( y1  macierz
admitancyjna pierwszego czwórnika)
,
' '
�ły, y12łł �łU1łł
�łI1łł
11
�ł śł
= �"
(3.146)
�ł śł �ł śł
'
�ły, y, śł
�łI ' śł �łU2śł
�ł 2�ł �ł �ł
�ł 21 22�ł
14243
y1
Równania admitancyjne drugiego czwórnika w postaci macierzowej mają postać ( y2  macierz
admitancyjna drugiego czwórnika)
,,
" "
�ły,, y12łł �łU1łł
�łI1łł
11
�ł śł
= �"
(3.147)
�ł śł �ł śł
"
�ły,, y,, śł
�łI" śł �łU2śł
�ł 2�ł �ł �ł
�ł 21 22�ł
14243
y2
26
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
Dodając do siebie stronami równania (3.146) i (3.147) otrzymujemy
, ,,
' " ' "
�ł łł
I1 + I1 �ły, y12łł �łU1łł �ły,, y12łł �łU1łł
11 11
�ł śł �ł śł
= �" + �"
(3.148)
�ł śł �ł śł �ł śł
' "
�ły, y, śł �ły,, y,, śł
�łI ' + I" śł �łU2śł �łU2śł
�ł 2 2�ł �ł �ł �ł �ł
�ł 21 22�ł �ł 21 22�ł
14243 14243
y1 y2
a po uwzględnieniu równań (3.144) i (3.145)
y11 + y11 y12 + y12 �ł łł
I1 �ł , ,, , ,, łł U1
�ł łł
�ł śł
= �" (3.149)
�łI śł �łU śł
�ły, + y,, y, + y,, śł
�ł 2�ł �ł 2�ł
�ł 21 21 22 22�ł
Zapiszmy równanie (3.149) w prostszej postaci
�ł łł
I1 y y12 U1
�ł łł �ł łł
= (3.150)
�ły11 y22śł �"
�łI śł �łU śł
�ł śł
�ł 2�ł �ł 2�ł
�ł 21 �ł
gdzie
y y12 �ł , ,, , ,, łł
�ł łł y11 + y11 y12 + y12
śł
(3.151)
�ły11 y22śł = �ł
�ły, + y,, y, + y,, śł
�ł śł
�ł 21 �ł
�ł 21 21 22 22�ł
Zatem parametry admitancyjne wypadkowej macierzy admitancyjnej połączenia równoległego dwóch
czwórników
, ,, , ,,
y11 = y11 + y11 y12 = y12 + y12 y21 = y, + y,, y22 = y, + y,,
21 21 22 22
czyli macierz admitancyjna czwórnika zastępczego jest równa sumie macierzy admitancyjnych
czwórników składowych
y = y' + y" (3.152)
W analogiczny sposób można rozważać układ połączonych ze sobą równolegle n czwórników.
" Połączenie szeregowo-równoległe czwórników
Połączeniem szeregowo-równoległym czwórników nazywamy układ, w którym czwórniki na wejściu
są połączone szeregowo, a na wyjściu równolegle.
' '
I1 = I1 I = I
Dla każdego z czwórników musi być spełniony warunek (3.2), czyli oraz
2 2
a) b)
I1
1 1 I1 2
I2
' '
h11 h12
U1
U2
h' h'
I2 I1
21 22 I2
2 2
1
1 2
h11 h12
U1
U1
U2
U2
h21 h22
I1 I2 2
1
" "
2
1 2
h11 h12
U1 U2
h" h"
21 22
1 2
1
Rys. 3.16. Połączenie szeregowo-równoległe dwóch czwórników (rys. a); schemat zastępczy (rys. b)
27
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
Rozważmy układ składający się z dwóch czwórników połączonych szeregowo-równolegle jak to
przedstawiono na rys. 3.16.
Do rozważań zastosujemy macierzową postać równań hybrydowych czwórnika (3.20).
Wskaz
niki    (prim) dotyczą parametrów pierwszego czwórnika, zaś wskaz
niki    (bis) dotyczą
parametrów drugiego czwórnika.
Przy połączeniu szeregowym na wejściu czwórników zachodzą następujące równania napięć i prądów
' " ' "
U1 = U1 +U1 oraz I1 = I1 = I1 (3.153)
Przy połączeniu równoległym na wyjściu czwórników zachodzą następujące równania napięć i
prądów
' " ' "
U = U = U oraz I = I + I (3.154)
2 2 2 2 2 2
Równania hybrydowe pierwszego czwórnika w postaci macierzowej mają postać (h1  macierz
hybrydowa pierwszego czwórnika)
' ' ' '
�łU1łł �łh11 h12łł �ł łł
I1
= (3.155)
�ł śł �ł śł�" �ł śł
' ' '
�łI 2 śł �łh4 h' 3 �łU2śł
śł
�ł �ł �ł 22�ł �ł �ł
12124
h1
Równania hybrydowe pierwszego czwórnika w postaci macierzowej mają postać (h2  macierz
hybrydowa pierwszego czwórnika)
" " " "
�łU1łł �łh11 h12łł �ł łł
I1
= (3.156)
�ł śł �ł śł�" �ł śł
" " "
�łI 2 śł �łh4 h"3 �łU2śł
śł
�ł �ł �ł 22�ł �ł �ł
12124
h2
Dodając do siebie stronami równania (3.155) i (3.156) otrzymujemy
' " ' ' ' " " "
�łU1 +U1łł �łh11 h12łł �ł łł �łh11 h12łł �ł łł
I1 I1
= + (3.157)
�ł śł �ł śł�" �ł śł �ł śł�" �ł śł
' ' " " "
I' + I" śł �łh4 h' śł �łU2śł �łh42h22śł �łU2śł
�ł
�ł 2 2 �ł �ł 22�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
121243 121 43
h1 h2
a po uwzględnieniu równań (3.153) i (3.154)
�łh11 " ' " łł
U1 ' + h11 h12 + h12 I1
�ł łł �ł łł
= �" (3.158)
�ł śł
�łI śł �łU śł
'
�ł 2 �ł �łh21 + h" h' + h" śł �ł 2�ł
�ł 21 22 22�ł
Zapiszmy równanie (3.158) w prostszej postaci
U1 h11 h12 I1
�ł łł �ł łł �ł łł
= (3.159)
�łI śł �łh h22śł�" �łU śł
�ł 2 �ł �ł 21 �ł �ł 2�ł
gdzie
�łh11 " ' " łł
h11 h12 ' + h11 h12 + h12
�ł łł
(3.160)
śł
�łh h22śł = �ł '
�ł 21 �ł �łh21 + h" h' + h" śł
�ł 21 22 22�ł
Zatem parametry hybrydowe wypadkowej macierzy hybrydowej połączenia szeregowo-równoległego
dwóch czwórników
' " ' "
h11 = h11 + h11 h12 = h12 + h12 h21 = h' + h" h22 = h' + h"
21 21 22 22
28
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
czyli macierz hybrydowa czwórnika zastępczego jest równa sumie macierzy hybrydowych czwórników
składowych
h = h' +h" (3.161)
W analogiczny sposób można rozważać układ połączonych ze sobą szeregowo-równolegle n
czwórników.
" Połączenie równoległo-szeregowe czwórników
Połączeniem równoległo-szeregowym czwórników nazywamy układ, w którym czwórniki na wejściu
są połączone równolegle, a na wyjściu szeregowo.
' '
I1 = I1 I = I
Dla każdego z czwórników musi być spełniony warunek (3.2), czyli oraz
2 2
Rozważmy układ składający się z dwóch czwórników połączonych równoległo-szeregowo jak to
przedstawiono na rys. 3.17.
b)
a)
I2
1 I1 2
I2 2
, ,
g11 g12
U1
U2
g, g,
I1
I1 I2
2
1 1
21 22
1 2
g11 g12
U2
U1
U2
U1
g21 g22
I1 I2 2
1
,, ,,
1 1 2
g11 g12
U1 U2
g,, g,,
21 22
1 2 2
Rys. 3.17. Połączenie równoległo-szeregowe dwóch czwórników (rys. a); schemat zastępczy (rys. b)
Do rozważań zastosujemy macierzową postać równań hybrydowych odwróconych czwórnika (3.24).
Wskaz
niki    (prim) dotyczą parametrów pierwszego czwórnika, zaś wskaz
niki    (bis) dotyczą
parametrów drugiego czwórnika.
Przy połączeniu równoległym na wejściu czwórników zachodzą następujące równania napięć i
prądów
' " ' "
U1 = U1 = U1 oraz I1 = I1 + I1 (3.162)
Przy połączeniu szeregowym na wyjściu czwórników zachodzą następujące równania napięć i prądów
' " ' "
U = U +U oraz I = I = I (3.163)
2 2 2 2 2 2
Równania hybrydowe odwrócone pierwszego czwórnika w postaci macierzowej mają postać ( g1 
macierz hybrydowa odwrócona pierwszego czwórnika)
,
' '
�ł łł
I1 �łg, g12łł �łU1łł
11
�ł śł
= �"
(3.164)
�ł śł �ł śł
' '
�łg, g, śł
�ł śł �ł śł
�łU2�ł �łI 2 �ł
�ł 21 22�ł
14243
g1
29
 Dr inż. Mariusz Trojnar Obwody i Sygnały 2 Wykład nr 6,7
Równania hybrydowe odwrócone drugiego czwórnika w postaci macierzowej mają postać ( g2 
macierz hybrydowa odwrócona drugiego czwórnika)
,,
" "
�ł łł
I1 �łg,, g12łł �łU1łł
11
�ł śł
= �"
(3.165)
�ł śł �ł śł
" "
�łg,, g,, śł
�ł śł �ł śł
�łU2�ł �łI 2 �ł
�ł 21 22�ł
14243
g2
Dodając do siebie stronami równania (3.164) i (3.165) otrzymujemy
, ,,
' " ' "
�ł łł
I1+I1 �łg, g12łł �łU1łł �łg,, g12łł �łU1łł
11 11
�ł śł �ł śł
= �" + �"�ł " śł
(3.166)
�ł śł �ł śł
' " '
+U2�ł �łg, g, śł �łg,, g,, śł
�ł śł �ł śł �ł śł
�łU2 �łI 2 �ł �łI 2 �ł
�ł 21 22�ł �ł 21 22�ł
14243 14243
g1 g2
a po uwzględnieniu równań (3.162) i (3.163)
+ g11 g12 + g12 �ł łł
I1 �łg, ,, , ,, łł U1
�ł łł
11
�ł śł
= �" (3.167)
�łU śł �łI śł
�łg, + g,, g, + g,, śł
�ł 2�ł �ł 2 �ł
�ł 21 21 22 22�ł
Zapiszmy równanie (3.167) w prostszej postaci
�ł łł
I1 g g12 U1
�ł łł �ł łł
= (3.168)
�łg11 g22śł�" �łI śł
�łU śł
�ł śł
�ł 2�ł �ł 2 �ł
�ł 21 �ł
gdzie
g g12 �łg, ,, , ,, łł
�ł łł + g11 g12 + g12
śł
(3.169)
�łg11 g22śł = �ł 11
�łg, + g,, g, + g,, śł
�ł śł
�ł 21 �ł
�ł 21 21 22 22�ł
Zatem parametry hybrydowe odwrócone wypadkowej macierzy hybrydowej odwróconej połączenia
równoległo- szeregowego dwóch czwórników
, ,, , ,,
g11 = g11 + g11 g12 = g12 + g12 g21 = g, + g,, g22 = g, + g,,
21 21 22 22
czyli macierz hybrydowa odwrócona czwórnika zastępczego jest równa sumie macierzy hybrydowych
odwróconych czwórników składowych
g = g, +g,, (3.170)
W analogiczny sposób można rozważać układ połączonych ze sobą w sposób równoległo-szeregowy
n czwórników.
Wykorzystano następujące materiały:
1. J. Bajorek, L. Gołębiowski, W. Posiewała, Obwody elektryczne. Laboratorium mikrokomputerowe,
Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, 1996.
2. S. Bolkowski, Teoria obwodów elektrycznych, WNT, Warszawa, 1995.
3. M. Krakowski, Elektrotechnika teoretyczna. Tom I. Obwody liniowe i nieliniowe, Państwowe
Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1983.
4. R. Kurdziel, Podstawy elektrotechniki, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1973.
5. A. Szczepański, M. Trojnar, Obwody i Sygnały, Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej,
2006.
30