Badanie przebiegu zmienności funkcji
1. Ekstrema funkcji
1
 2
Przykład.
Rozwiązanie: Obliczamy pochodną funkcji podobnie jak na poprzednim wykładzie (str. 3)
2 2
f (x) = ex + (x - 5)ex = (x - 4)ex . Następnie przyrównujemy pochodną do zera f (x) = 0
�! (x - 4)ex = 0 �! x - 4 = 0 �! x = 4, dlatego że ex > 0 dla każdej liczby x"R . Z
twierdzenia Fermata punkt x0 = 4 spełnia warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji.
2
Wykorzystując I warunek wystarczający istnienia ekstremum otrzymamy f (x) > 0 �!
2
(x - 4)ex > 0 �! x - 4 > 0 �! x > 4 oraz podobnie f (x) < 0 �! x < 4. Widzimy więc, że w
punkcie x0 = 4 pochodna zmienia znak z - na + , czyli zgodnie z I warunkiem funkcja
f (x) = (x - 5)ex osiąga w tym punkcie minimum lokalne właściwe, które ma wartość
f (4) = (4 - 5)e4 = -e4 H" -54,6.
Możemy to zadanie rozwiązać inaczej i posłużyć się II warunkiem wystarczającym istnienia
2 2
ekstremum. Obliczamy drugą pochodną tej funkcji f (x) =((x - 4 )ex)2 = (x - 3)ex i
2
stwierdzamy, że dla punktu x0 = 4 pierwsza pochodna f (x0) = 0 a druga pochodna
3
4
2 2
f (x0 ) = (4 - 3)e = e4 > 0 jest większa od zera. Zgodnie więc z II warunkiem funkcja
nasza osiąga w tym punkcie minimum lokalne właściwe tak samo jak to już stwierdziliśmy
wcześniej.
4
2. Wypukłość i wklęsłość funkcji oraz punkt przegięcia
A dokładniej mówiąc:
5
Czyli ściślej mówiąc:
6
 7
3. Algorytm badania przebiegu zmienności funkcji
8
A oto przykład opracowany przez prof. Małgorzatę Wyrwas z Katedry Matematyki
Wydziału Informatyki Politechniki Białostockiej:
9
 10
 11
 12