Andrzej BANACHOWICZ
Katedra Metod Sztucznej Inteligencji i Matematyki Stosowanej
ANALIZA SYSTEMOWA
Szczecin 2012
1
ZADANIA TEORII SYSTEMÓW
" Podstawowe pojęcia
" Rodzaje zadań.
2
Element  najprostsza, niepodzielna część systemu z punktu
widzenia rozwiÄ…zywanego zadania.
Podsystem  wyodrębniona część systemu, jako grupa
wzajemnie powiązanych elementów; zdolna realizować
względnie niezależne funkcje.
Komponenty  elementy i podsystemy systemu.
Struktura  najistotniejsze współzależności pomiędzy
elementami i podsystemami; strukturę można przedstawić
graficznie w postaci grafów, macierzy, zbiorów, relacji itd.
3
Hierarchia  uporządkowanie komponentów według stopnia
ważności.
Więz
(łączność, sprzężenie)  powiązania elementów i
podsystemów w jeden system.
Systemy złożone lub wielkie systemy (Large Scale System).
Stan  zbiór zmiennych charakteryzujących procesy w
systemie.
Zachowanie się systemu  funkcje niektórych sygnałów
wejściowych i wyjściowych.
4
Model systemu  opis systemu, który określa wszystkie jego
istotne właściwości (cechy, atrybuty, powiązania).
System ciągły  zbiór wartości argumentu jest funkcją ciągłą
w interesujÄ…cym nas przedziale.
System dyskretny  zbiór wartości argumentu jest funkcją
dyskretnÄ… w interesujÄ…cym nas przedziale.
System dynamiczny  system, którego wyjście zależy
od wartości wejścia w całym nieskończonym przedziale
poprzedzajÄ…cym moment t, czyli:
.
5
Często wprowadzamy nową zmienną X(t), zmienną stanu, z
warunkiem poczÄ…tkowym X(t0).
System spełnia następujące równania
, t0 < d" t,
X(t) = F[t, X(t0), ],
Y(t) = [t, X(t), U(t)].
6
Odpowiada to następującemu schematowi strukturalnemu:
Rys. Schemat strukturalny ogólnego systemu dynamicznego.
7
W wielu przypadkach wyjście Y(t) nie zależy bezpośrednio
od sterowania (wejścia) , ale jest funkcją stanu X(t), tj.
U = , t0 < d" t,
X(t) = F[t, X(t0), ],
Y(t) = [t, X(t)].
8
Rys. Schemat strukturalny systemu dynamicznego.
9
Zadania teorii systemów:
·ð synteza,
·ð analiza,
·ð obserwacja (estymacja),
·ð identyfikacja,
·ð sterowanie,
·ð sterowanie adaptacyjne.
10
Zadanie syntezy.
Zadanie to polega na skonstruowaniu (lub opracowaniu
modelu matematycznego) systemu dynamicznego o
założonych parametrach, strukturze i właściwościach, z
przeznaczeniem do realizacji konkretnego zadania (procesu).
Zadanie analizy.
W tym przypadku zakładamy, że znamy model matematyczny
struktury i parametrów systemu oraz charakter wszystkich
oddziaływań wejściowych. Należy określić wszystkie
elementy wektora wyjścia systemu Y(t). Oznacza to
wyznaczenie reakcji systemu na wektor wejściowy U(t) przy
znanym modelu matematycznym systemu (poniższy rysunek).
11
Rys. Zadanie analizy systemu dynamicznego.
12
Zadanie obserwacji (estymacji).
W przypadku deterministycznym mamy do czynienia z
obserwacjÄ…, a w przypadku losowym  z estymacjÄ…. W
ogólnym przypadku chodzi tutaj o określenie wektora stanu
systemu X(t) na podstawie obserwacji wektora wyjścia Y(t) w
przedziale czasu t0 < d" t (poniższy rysunek).
Rys. Zadanie obserwacji (estymacji) systemu dynamicznego.
13
ZADANIA ESTYMACJI
" filtracja  estymujemy stan systemu na
bieżący moment t na podstawie znajomości
wyjść dla t Îð (t0, t];
" aproksymacja (wygładzaniem)  estymujemy
stan systemu na moment t Îð (t0, t), na
podstawie znajomoÅ›ci wyjść dla t Îð (t0, t];
" predykcja (prognoza, ekstrapolacja) 
estymujemy stan na moment t > t, na
podstawie znajomoÅ›ci wyjść dla t Îð (t0, t].
14
Rys. Filtracja.
15
Rys. Aproksymacja.
16
Rys. Predykcja.
17
Zadanie identyfikacji.
Polega ono na zbudowaniu modelu matematycznego systemu
na podstawie eksperymentalnych obserwacji wejść i wyjść. W
przypadku znajomości ogólnego modelu strukturalnego
(jakościowego) są identyfikowane jego parametry.
Identyfikacja, podobnie jak i obserwacja, może dotyczyć
modelu deterministycznego lub probabilistycznego.
Rys. Zadanie identyfikacji systemu dynamicznego.
18
Zadanie sterowania.
W tym przypadku należy określić sterowanie (wektor
wejściowy) U(t), aby zachowanie systemu odpowiadało
zadanym wymaganiom. Zakłada się przy tym pełną
znajomość modelu matematycznego systemu
(deterministycznego lub probabilistycznego). Mogą zajść trzy
warianty tego zadania:
a) Określenie wektora sterowań w postaci pewnej funkcji
U, zapewniającej założoną (programową) zmianę wektora
wyjścia Y. Nazywamy to zadaniem sterowania
programowego.
19
Rys. Sterowanie programowe.
b) Określenie wektora wejściowego U(t) w postaci
operatora wektora stanu U = X(t), zapewniajÄ…cego
wymaganą zmianę (wymagany przebieg) wektora wyjścia
Y(t). Są to systemy ze sprzężeniem zwrotnym względem
wektora stanu.
20
Rys. Sterowanie ze sprzężeniem zwrotnym względem stanu
systemu.
21
c) Określenie wektora wejściowego U w postaci operatora
wektora wyjścia U = Y(t), zapewniającego wymaganą
zmianę (wymagany przebieg) wektora wyjścia Y(t). Są to
systemy ze sprzężeniem zwrotnym względem wektora
wyjścia.
Rys. Sterowanie ze sprzężeniem zwrotnym względem
wyjścia.
22
Zadanie sterowania adaptacyjnego.
Jest to zadanie sterowania w przypadku niepełnej lub
niepewnej informacji o strukturze i/lub parametrach modelu
matematycznego systemu.
Rys. Zadanie sterowania adaptacyjnego systemu
dynamicznego.
23
Ścisłe sformułowanie powyższych zadań jest w ogólnym
przypadku skomplikowane ze względu na występujące
zakłócenia systemu, sterowań oraz pomiarów.
24
ALGEBRA LINIOWA
Określenie przestrzeni liniowej.
Niech K będzie ustalonym ciałem liczbowym (tutaj
wystarczy zbiór liczb rzeczywistych R) o następujących
własnościach:
JeÅ›li a, b Îð K, to a + b Îð K, a  b Îð K oraz a · b Îð K.
JeÅ›li b `" 0, to a/b Îð K.
25
Niech X będzie niepustym zbiorem. Jego elementy będziemy
oznaczać x, y, z & i nazywać wektorami. Zakładamy, że w
zbiorze tym określone są dwa działania:
·ð Dodawanie: Każdej parze wektorów x, y Îð X jest
przyporządkowany pewien wektor należący do X, zwany
ich sumÄ… i oznaczany przez x + y.
·ð Mnożenie wektora przez element ciaÅ‚a K (mnożenie
wektora przez skalar): każdej parze a Îð K, x Îð X
przyporządkowany jest pewien wektor należący do X,
zwany iloczynem liczby a i wektora x; oznaczany przez
ax.
26
Zbiór X nazywamy przestrzenią liniową nad ciałem K lub
przestrzenią wektorową nad ciałem K, jeśli spełnione są
następujące warunki:
1) x + y = y + x (przemienność dodawania wektorów);
2) (x + y) + z = x + (y + z) (łączność dodawania wektorów);
3) dla każdej pary (niekoniecznie różnych) wektorów x, y Îð X
równanie x + z = y ma dokładnie jedno rozwiązanie w X;
oznaczamy je jako y  x;
4) a (x + y) = a x + a y;
5) (a + b) x = a x + b x;
6) a (b x) = (a · b) x;
7) 1 x = x (1 oznacza jedność ciała K).
27
Przekształcenie liniowe.
A: Ln Lm takie, że A(ax + by) = aAx + aAy (może być to
inna funkcja).
Wektorem m-wymiarowym kolumnowym nazywamy układ m
liczb rzeczywistych xi, ... xm:
Liczby xi nazywamy składowymi wektora.
Powyższy zapis pokazuje wektor kolumnowy jako wektor
wierszowy transponowany.
28
Wektory kolumnowe (lub wierszowe) x, y są równe, gdy:
·ð majÄ… ten sam wymiar,
·ð dla każdego i = 1, 2, ..., m, zachodzi równość:
xi = yi.
Można mnożyć wektor przez liczbę rzeczywistą.
Zdefiniowane jest dodawanie i odejmowanie dwóch
wektorów kolumnowych o tych samych wymiarach.
29
Zależność liniowa wektorów: Wektory x, y, z, & , v
nazywamy liniowo zależnymi, gdy istnieją takie liczby
að,ð ðbð,ð ðgð,ð ð.ð.ð.ð ð,ð ðqð, z których co najmniej jedna jest różna od zera
oraz
að ðx + bð ðy + ðgð ðz + & + qð ðv = 0.
W przeciwnym przypadku wektory te nazywamy
niezależnymi liniowo, co odpowiada implikacji
að ðx + bð ðy + ðgð ðz + & + qð ðv = 0 Þð að ð=ð ðbð ð=ð ðgð ð=ð ð.ð.ð.ð ð=ð ðqð = 0.
30
Zbiór n-liniowo niezależnych wektorów przestrzeni Ln
nazywamy bazÄ….
Liczba niezależnych wektorów określa wymiar przestrzeni.
Iloczyn skalarny dwóch wektorów m-wymiarowych:
31
Dwa wektory x i y są ortogonalne (prostopadłe), gdy ich
iloczyn skalarny jest równy zeru.
MacierzÄ… o wymiarach m´ðn nazywamy tablicÄ™ (m  wierszy,
n  kolumn)
zawierajÄ…cÄ… m·n liczb rzeczywistych aij
W ogólnym przypadku mogą to być liczby zespolone lub inne
abstrakcyjne elementy.
32
W szczególnym przypadku wektor kolumnowy m-
wymiarowy możemy interpretować jako macierz o m
wierszach i jednej kolumnie. Z kolei wektor wierszowy k-
wymiarowy można interpretować jako macierz o jednym
wierszu i k-kolumnach.
W przypadku, gdy m = n, mówimy że jest to macierz
kwadratowa.
Pozycje elementów aii nazywamy główną przekątną.
33
Macierz, w której poza główną przekątną są same zera
nazywamy macierzÄ… diagonalnÄ….
34
Macierz diagonalną, której elementy na głównej przekątnej
(diagonali) sÄ… jedynkami nazywamy macierzÄ… jednostkowÄ… i
oznaczamy przez I (czasami w publikacjach występuje jako
E  element neutralny mnożenia macierzy).
Macierz zerowa
35
Określona jest suma i różnica macierzy o tych samych
wymiarach.
Równość macierzy (o tych samych wymiarach) oznacza, że
dla wszystkich i, j zachodzi
Dowolną macierz można pomnożyć przez liczbę (skalar)
36
Macierz transponowanÄ… do danej macierzy otrzymujemy
przez zamianÄ™ wierszy na kolumny (lub odwrotnie)
Właściwości transpozycji
·ð
·ð
·ð
·ð
37
Iloczyn macierzy:
·ð kwadratowych o tych samych wymiarach
·ð prostokÄ…tnych
Może zajść przypadek, że iloczyn dwóch macierzy
niezerowych będzie macierzą zerową (A `" 0 oraz B `" 0)
AB = 0.
38
Przykład:
· = .
MacierzÄ… symetrycznÄ… nazywamy takÄ… macierz kwadratowÄ…,
dla której zachodzi równość (aij = aji)
Macierz skośno-symetryczna, gdy aij =  aji. Elementy
głównej przekątnej macierzy skośno-symetrycznej są równe
zeru. Zachodzi również równość
39
Macierz trójkątna
.
Jest to macierz dolno-trójkątna. Jest też macierz górno-
trójkątna.
40
Macierz blokowa
41
Macierzą diagonalną nazywamy macierz, której wszystkie
elementy nie leżące na głównej przekątnej są równe zeru, tj
macierz postaci
A = = =
diag .
42
MacierzÄ… quasi-diagonalnÄ… nazywamy macierz postaci
A = ,
A1, A2, & , As  macierze kwadratowe, których suma stopni
jest równa n.
Rank A = .
43
Mnożenie macierzy diagonalnych tego samego stopnia
sprowadza się do mnożenia elementów diagonalnych o tych
samych wskaz
nikach:
A·B = [a1b1, a2b2, & , anbn].
Jeśli macierze quasi-diagonalne A, B mają taką samą
strukturÄ™, tj. ich odpowiednie podmacierze sÄ… tego samego
stopnia, to
A·B = [A1B1, A2B2, & , AnBn].
44
Potęgę naturalną macierzy A określa się rekurencyjnie
Am =
oraz A0 = I.
Dla macierzy diagonalnych i quasi-diagonalnych mamy
A = [a1, a2, & , an] Þð Am = [ , , & , ]
A = [A1, A2, & , As] Þð Am = [ , , & , ]
45
Potęgę całkowitą ujemną macierzy nieosobliwej określamy
jako:
.
Dla macierzy diagonalnych i quasi-diagonalnych zachodzÄ…
zależności:
A = [a1, a2, & , an] Þð = [ , , & , ]
A = [A1, A2, & , As] Þð = [ , , & , ]
46
Macierz ortogonalna
AAT = ATA = I.
Właściwości mnożenia macierzy
·ð
·ð
Jeśli zachodzi równość
47
 to sÄ… to macierze przemienne.
Wyznacznik macierzy
gdzie jest podmacierzą macierzy A powstałą po
usunięciu i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.
Jeśli macierze A i B są tego samego stopnia, to
det AB = det A det B.
48
Minor macierzy A względem elementu aij nazywamy
wyznacznik macierzy otrzymanej z macierzy A po
skreśleniu i-tego wiersza oraz j-tej kolumny.
Macierz odwrotna (tylko dla kwadratowej i o ile jest to
macierz nieosobliwa, tj. wyznacznik jej jest różny od zera)
49
Właściwości odwracania macierzy
·ð
·ð
·ð
·ð
50
Obliczanie macierzy odwrotnej A-1
·ð Minor macierzy
·ð DopeÅ‚nienie algebraiczne elementu
·ð Macierz dopeÅ‚nieÅ„ utworzonÄ… z dopeÅ‚nieÅ„
algebraicznych
·ð Macierz doÅ‚Ä…czona
·ð Macierz odwrotna
51
Równanie liniowe
A·x = lð ·x, lð  skalar (dowolna liczba), (*)
odgrywa ważna rolę w zastosowaniach.
Trywialnym rozwiÄ…zaniem jest wektor zerowy
Wartości (zespolone lub rzeczywiste), dla których
istnieją rozwiązania różne od zera nazywamy wartościami
własnymi, a niezerowe wektory spełniające to równanie 
wektorami własnymi.
52
Zbiór wartości własnych danej macierzy nazywamy
widmem tej macierzy.
Zadanie określenia zbioru i nazywamy zagadnieniem
własnym.
Równanie (*) możemy przekształcić do postaci
. (**)
Aby istniało nietrywialne rozwiązanie tego (jednorodnego)
równania, macierz musi być macierzą osobliwą, tj.
53
Macierz nazywamy macierzÄ… charakterystycznÄ….
A wyznacznik wielomianem charakterystycznym.
Równanie
nazywamy równaniem charakterystycznym (wiekowym).
54
Podobieństwo macierzy.
Dwie macierze A i B nazywamy podobnymi, jeśli dla
dowolnej macierzy nieosobliwej T, zachodzi równość:
A · T = T · B,
stÄ…d
B = T-1AT.
55
Przekształcenie T-1AT nazywamy przekształceniem przez
podobieństwo z macierzą T:
det (T-1AT  lð I) = det (T-1AT  T-1lð I T) =
= det [T-1(A  lð I) T] = det T-1 · det (A  lð I) · det T =
= det T-1 · det T· det (A  lð I) = det (A  lð I),
czyli
det (B  lð I) = det (A  lð I).
56
Mamy również
T-1(A1 + A2) T = T-1A1T + T-1A2T
oraz
(T-1AT)m = T-1Am T.
Macierze podobne majÄ…:
·ð jednakowe wyznaczniki, tj. det A = det B,
·ð jednakowe widma.
57
Przykład.
Rozpatrzmy przykład konstruowania macierzy podobnej.
Mamy macierz
A = oraz macierz nieosobliwÄ… T = .
Z zależnoÅ›ci A · T = T · B mamy, że B = T-1AT. Obliczmy
macierz T-1:
T-1 = = .
58
Sprawdz
my
T-1T = · = .
Obliczmy macierz B:
B = · · =
= ·
59
det B = 2 · ( 5)  6 · ( 2) =  10 + 12 = 2
det A = 0 · ( 3)  1 · ( 2) = 0 + 2 = 2
|A  lð I| = = lð (ðlð ð+ð ð3ð)ð ð+ð ð2ð ð=ð ðlð2ð ð+ð ð3ðlð ð+ð ð2ð ð=ð ð0ð ð
|B  lð I| = =
= (ðlð ð+ð ð5ð)ð (ðlð ð-ð ð2ð)ð ð+ð ð1ð2ð ð=ð ðlð2ð ð+ð ð3ðlð ð+ð ð2ð ð=ð ð0ð ð
60
Jeśli macierz wektorów własnych jest nieosobliwa, to dla
macierzy podobnych będziemy mieli
A · X = X · B.
Wtedy macierz A, jeśli wszystkie jej wartości własne są
różne, można przedstawić w postaci
B = diag {lð1ð,ð ðlð2ð,ð ð.ð.ð.ð ð,ð ðlðn},
gdzie: lð1ð,ð ðlð2ð,ð ð.ð.ð.ð ð,ð ðlðn  widmo macierzy A (wiÄ™c i macierzy B),
czyli
61
B = .
62
Pochodne.
Pochodna funkcji wektorowej (funkcja skalarna zmiennej
wektorowej, funkcja wielu zmiennych, gradient):
fx =
Macierz drugich pochodnych (jej wyznacznik to hesjan):
63
Pochodna funkcji wektorowej zmiennej wektorowej f(x), jest
to macierz pierwszych pochodnych  macierz Jacobie go (jej
wyznacznik to jakobian):
64
Pochodna funkcji wektorowej zmiennej skalarnej f(x)
Fx = .
Jest to macierz jednowierszowa (często utożsamiana z
gradientem).
Pochodna funkcji macierzowej zmiennej skalarnej F(x) =
[fij(x)]
65
Pochodna sumy i iloczynu funkcji macierzowych
·ð JeÅ›li F = G + H Þð Fx = Gx + Hx
·ð JeÅ›li f(x) = aT x Þð fx = a oraz Fxx = 0
·ð JeÅ›li f(x) = A x Þð fx (x) = AT
·ð JeÅ›li f(x) = xT A x Þð fx = 2Ax oraz Fxx = A (dla
macierzy symetrycznej A)
·ð JeÅ›li f(x) = gT(x) h(x) Þð fx = Gxh + Hxg
Uwaga: fx = h + g , jeśli Gx :=
oraz Hx := .
66