SIMR 2010/11, Analiza 1, wykład 12, 2011-01-13
Całka Riemanna
Niech f :< a, b > R będzie dowolną funkcją. Przeprowadzay następującą konstrukcję:
1. Ustalamy dowolnÄ… liczbÄ™ naturalnÄ… n " N
2. Wybieramy liczbÄ™ kn " N
3. Dzielimy przedziaÅ‚ < a, b > na kn części wybierajÄ…c liczby: a = x0, x1 < x2 < · · · <
xk = b. (Liczby xi powinny mieć dwa indeksy xn,i , dla uproszczenia notacji używamy tylko
n
jednego). Układ tych liczb nazywamy podziałem przedziału < a, b >
4. LiczbÄ™ ´n = max (xi+1 - xi) - dÅ‚ugość najwiÄ™kszego z przedziałów na które dzielimy
i=0,1,...kn-1
przedział < a, b > nazywamy średnicą podziału.
5. W każdym z przedziałów < xi, xi+1 > wybieramy liczbÄ™ ¾i "< xi, xi+1 > , i = 0, 1, . . . kn-1
. UkÅ‚ad tych liczb nazywamy wartoÅ›ciowaniem. (Liczby te powinny mieć dwa indeksy ¾n,i).
kn-1

6. Definiujemy sumÄ™ Riemanna Sn = f(¾i)(xi+1 - xi) . Jeżeli f > 0 to jest to suma
i=0
pól prostokątów o szerokości małych przedziałów i wysokości równej wrtości funkcji f w
odpowiednim punkcie. Widać, że suma ta jest przybliżeniem pola pod wykresem funkcji.
7. ZakÅ‚adamy, że granica ciÄ…gu lim ´n = 0 i obliczamy granicÄ™ lim Sn. Jeżeli ta granica
n" n"
isstnieja i nie zależy od wyboru ciągu podziałów i ciągu wartościowań to mówimy, że istnieje
całka Riemanna funkcji f na przedziale < a, b > i :
b
f(x)dx = lim Sn. Funkcję dla której istnieje całka Riemanna nazywamy funkcją całko-
n"
a
walnÄ….
Jeżeli granica ta nie istnieje, to mówimy, że całka Riemanna z tej funkcji na przedziale
< a, b > nie istnieje.
Uwaga: Jeżeli funkcja f jest nieujemna i istnieje całka Riemanna to całka ta jest polem
obszaru leżącego między osią OX a wykresem funkcji, czyli polem zbioru: {(x, y) : a x
b, 0 y f(x)} . Aby udowodnić to musimy skorzystać z definicji pola powierzchni zbioru,
Definicja ta jest bardzo zbliżona do konstrukcji całki Riemanna.
b
Twierdzenie: Jeśli istnieje całka Riemanna f(x)dx to funkcja f jest ograniczona na
a
przedziale < a, b >.
Korzystanie bezpośrednio z defnicji całki Riemanna jest niezbyt wygodne ze względu na
dużą dowolność konstrukcji (dowolny ciąg podziałów i wartościowań). Zwykle wygodniej jest
korzystać z następujących pojęć:
Niech f :< a, b > R będzie funkcją ograniczoną. Jeżeli w konstrukcji całki Riemanna
zastÄ…pimy Sn przez:
kn-1

Sn = sup f(¾)(xi+1 - xi)
¾"
i=0
to okazuje się, że granica lim Sn istnieje. Granicą tę nazywamy całką górną Riemanna i
n"
oznaczamy:
b
f(x)dx = lim Sn
n"
a
Podobnie, jeżeli w konstrukcji całki Riemanna zastąpimy Sn przez:
1
kn-1

Sn = inf f(¾)(xi+1 - xi)
¾"
i=0
to okazuje się, że granica lim Sn istnieje. Granicą tę nazywamy całką dolną Riemanna i
n"
oznaczamy:
b
f(x)dx = lim Sn
n"
a
Uwaga: W konstrukcji całki górnej i dolnej nie jest potrzebne wartościowanie.
Wniosek 1: Dla każdej funkcji ograniczonej na przedziale isnieją całka górna i całka dolna
Riemanna.
Wniosek 2: Aby obliczyć całkę górną lub dolną Riemanna wystarczy wziąć pod uwagę tylko
jeden ciąg podziałów.
b
Twierdzenie: Całka Riemanna f(x)dx istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy
a
b b b b
f(x)dx = f(x)dx . Wtedy f(x)dx = f(x)dx
a a a a
1
Przykład: Obliczyć całkę Riemanna xdx
0
Funkcja f(x) = x jest ograniczona na przedziale < 0, 1 > . Istnieją więc całka górna i całka
dolna Riemanna. Obliczymy je korzytając z natępującego ciągu podziałów:
kn = n
i
xi = , i = 0, 1, 2, . . . n (podział na równe części)
n
1
´n = 0
n
ëÅ‚ öÅ‚
n-1 n-1 n-1

i + 1 i i + 1 1 1 1 1 + n
íÅ‚
Sn = sup ¾Å‚Å‚ · ( - ) = · = · (i + 1) = · · n =
i i+1 n n n n n2 n2 2
¾"< , >
i=0 i=0 i=0
n n
n + 1 1

2n 2
StÄ…d:
1
1
xdx =
2
0
Podobnie:

n-1 n-1 n-1

i + 1 i i 1 1 1 0 + n - 1 n - 1 1
Sn = inf ¾ ·( - ) = · = · i = · ·n =
i i+1
n n n n n2 n2 2 2n 2
¾"< , >
i=0 n n i=0 i=0
StÄ…d:
1
1
xdx =
2
0
Ponieważ całka górna i całka dolna Riemanna są sobie równe, więc całka Riemanna istnieje
i jest równa:
1
1
xdx =
2
0
Uwaga: Zbiór pod wykresem funkcji to trójkąt, a otrzymany wynik jest polem tego trójkąta.
1
Przykład 2: Obliczyć całkę Riemanna f(x)dx , gdzie funkcja
0
2

1 dla x " Q
f(x) =
0 dla x " Q
/
Funkcja f(x) jest ograniczona na przedziale < 0, 1 > . Istnieją więc całka górna i całka dolna
Riemanna. Obliczymy je korzytając z natępującego ciągu podziałów:
kn = n
i
xi = , i = 0, 1, 2, . . . n (podział na równe części)
n
1
´n = 0
n
ëÅ‚ öÅ‚
n-1 n-1

i + 1 i 1
íÅ‚
Sn = sup f(¾)Å‚Å‚ · ( - ) = 1 · = 1 1
i i+1 n n n
¾"< , >
i=0 i=0
n n
StÄ…d:
1
f(x)dx = 1
0

n-1 n-1

i + 1 i 1
Sn = inf f(¾) · ( - ) = 0 · = 0 0
i i+1
n n n
¾"< , >
i=0 n n i=0
StÄ…d:
1
f(x)dx = 0
0
1
Ponieważ całka górna i dolna Riemanna nie są sobie równe, więc całka Riemanna f(x)dx
0
nie istnieje.
Podstawowe własności całki Riemanna
Jeśli f, g :< a, b > R są całkowalne, to poniższe całki istnieją i są równe:
b b
kf(x)dx = k f(x)dx
a a
b b b
(f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx
a a a
b b b
(f(x) - g(x))dx = f(x)dx - g(x)dx
a a a
b
Jeśli f, g :< a, b > R , istnieje całka f(x)dx oraz zbiór {x "< a, b >: g(x) = f(x)} jest

a
skończony, to istnieje poniższa całka i jest równa:
b b
g(x)dx = f(x)dx
a a
Uwaga: Własność ta oznacza, że zmiana wartości funkcji w skończonej liczbie punktów nie
wpływa na całkę Riemanna. Możemy więc obliczać całki z funkcji które nie są określone na
skończonym pozbiorze przedziału < a, b > rozszerzając dziedzinę funkcji na cały przedział i
przyjmując w dodatkowych punktach wartości dowolne.
Jeśli f :< a, b > R , oraz c " (a, b) to:
b c b
f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx
a a c
3
przy czym całka z lewej strony istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją obie całki z prawej
strony.
Uwaga: Własność ta oznacza, że jeżeli podzielimy przedział na dwa przedziały to całka
po sumie tych przedziałów będzie równa sumie całek po każdym z przedziałów. Wielkości
o takich własnościach nazywami addytywnymi (względem zbioru) i często oblicza się je za
pomocą całki, np.: długość, pole powierzchni, objętość, masa, moment statyczny, moment
bezwładności, potencjał elektrostatyczny, i.t.p.
Definicja: Jeżeli a > b i f : R to definiujemy:
b a
f(x)dx = - f(x)dx
a
b
a
podobnie definiujemy f(x)dx = 0
a
Twierdzenie: Niech f :< a, b > R będzie funkcją ciągłą. Wtedy funkcja f jest całkowalna
na < a, b > .
Twierdzenie: Niech f :< a, b > R będzie funkcją całkowalną. Wtedy funkcja:
x
F (x) = f(t)dt jest dobrze określona na przedziale x "< a, b >. Funkcja ta ma następujące
a
własności:
1. F (x) jest ciągła

2. Jeżeli f jest ciągła w x "< a, b > to F jest różniczkowalna w x i F (x) = f(x)
Wynika stÄ…d:
Twierdzenie: Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego
Niech f :< a, b > R będzie funkcją ciągłą. Wtedy:

1. Istnieje funkcja pierwotna F (x) = f(x) , "x "< a, b > (czyli całka nieoznaczona)
b
2. Całka Riemanna f(x)dx = F (b) - F (a) , dla dowolnej funkcji pierwotnej F .
a
Uwaga: Twierdzenie to łączy całkę Riemanna, która ma dobrą interpretację geometryczną,
ale jest trudna w obliczaniu z całką nieoznaczoną, łatwiejszą w obliczaniu.
Ä„
Przykład: Obliczyć sin xdx
0
Funkcja f(x) = sin x jest ciągła na przedziale < 0, Ą > . Funkcją pierwotną jest F (x) =
- cos x. StÄ…d
Ä„
sin xdx = F (Ä„) - F (0) = - cos Ä„ - (- cos 0) = 2
0
Stosuje się zwykle poniższy zapis:
Ä„
sin xdx = [- cos x]Ä„ = - cos Ä„ - (- cos 0) = 2
0
0
Uwaga: Wynik jest polem pod wykresem funkcji y = sin x , x "< 0, Ä„ >
1
Przykład: Obliczyć x2dx
0
1 1
1 1 1
x2dx = x3 = - 0 =
3 3 3
0
0
4
Uwaga: Wynik jest polem figury ograniczonej parabolÄ…: y = x2 , x "< 0, 1 > i osiÄ… Ox
Ponieważ całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania więc w pewnych przypadkach
skrócić te operacje bez konieczności obliczania całki.
x2
2
Przykład: Obliczyć e-t dt
x
2
Funkcja f(t) = e-t jest ciągła na przedziale (-", ") , ma więc na tym przedziale funkcję

pierwotną F (t) . Mamy więc F (t) = f(t) oraz:
x2

2
e-t dt = F (x2) - F (x)
x
StÄ…d:
x2
2
4 2
e-t dt = F (x2) - F (x) = f(x2) · 2x - f(x) = 2xe-x - e-x
x
Całkowanie po przedziale symetrycznym:
Twierdzenie: Jeżeli f :<-a , a> R jest parzysta (f(-x) = f(x)) to:
a a
f(x)dx = 2 · f(x)dx
-a 0
przy czym całka z lewej strony istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje całka z prawej strony.
Twierdzenie: Jeżeli f :< -a , a > R jest nieparzysta (f(-x) = -f(x)) i istnieje całka
a
f(x)dx to:
-a
a
f(x)dx = 0
-a
1
sin x
Przykład: Obliczyć dx
2
ex + cos x
-1
sin x
Funkcja f(x) = jest nieparzysta (na przedziale <-1, 1>) :
2
ex + cos x
sin(-x) - sin x
f(-x) = = = -f(x)
2 2
e(-x) + cos(-x) ex + cos x
Funkcja ta jest ciągła, a więc jest całkowalna. Stąd:
1
sin x
dx = 0
2
ex + cos x
-1
1
Przykład: Obliczyć (10x4 - 3x2)dx
-1
Funkcja f(x) = 10x4 - 3x2 jest parzysta (na przedziale <-1, 1>) :
f(-x) = 10(-x)4 - 3(-x)2 = 10x4 - 3x2 = f(x). StÄ…d
1 1
1
(10x4 - 3x2)dx = 2 (10x4 - 3x2)dx = 2 2x5 - x3 = 2 · (2 - 1) = 2
0
-1 0
3
Przykład: Obliczyć (sin3 x + x2)dx
-3
5
Ponieważ funkcja sin3 x jest nieparzysta, a funkcja x2 jest parzysta, więc:
3 3 3 3
3
x3
(sin3 x + x2)dx = sin3 xdx + x2dx = 0 + 2 x2dx = 2 = 2 · (9 - 0) = 18
0
3
-3 -3 -3 0
Dalsze własności całki Riemanna:
Twierdzenie: Jeżeli f, g : R są całkowalne, oraz f g to:
b b
f(x)dx g(x)dx
a a
ln 2

ex 1
Przykład: Pokazać, że dx
x + 100 100
0
ex ex
Mamy: dla x "< 0, ln 2 > . StÄ…d:
x + 100 100
ln 2 ln 2

ln 2
ex ex 1 1 1
dx dx = ex = (2 - 1) =
0
x + 100 100 100 100 100
0 0
Uwaga: Jeżeli f jest ciągła na odpowiednim przedziale (< a , b > lub < b , a >) i F jest
funkcją pierwotną f to wzór:
b
f(x)dx = F (b) - F (a)
a
zachodzi dla: dowolnych a, b ( a < b , a = b , a > b)
0
Przykład: Obliczyć 8x3dx
1
0
0
8x3dx = 2x4 = 0 - 2 = -2
1
1
Całkowanie przez podstawienie: Jeżeli g : jest klasy C1 to:
g(b)
b
f(g(x)) · g (x)dx = f(t)dt
a
g(a)
przy czym całka z lewej strony istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje całka z prawej strony.
Uwaga: Twierdzenie to jest prawdziwe zarówno dla g(b) > g(a() jak i w przypadku g(b)
g(a). Jest też prawdziwe dla b a .
Uwaga: Całkowanie przez podstawienie jest prostsze dla całki Riemanna niż dla całki nie-
oznaczonej ponieważ po podstawienie i zmianie granic całkowania nie musimy wracać do
zmiennej x.
1
6x2
Przykład: Obliczyć xdx
x3 + 1
0
Stosujemy podstawienie:
Å„Å‚ üÅ‚
t = x3 + 1
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
1 2
òÅ‚ żł 2
6x2 2
dt = 3x2dx
xdx = = dt = 2 ln |t| = 2 ln 2 - 2 ln 1 = 2 ln 2
ôÅ‚ ôÅ‚ 1
x = 0 =Ò! t = 1
x3 + 1 t
ôÅ‚ ôÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
0 ół þÅ‚ 1
x = 1 =Ò! t = 2
Całkowanie przez części: Jeżeli f, g : R są klasy C1 to:
6
 b
b b
f(x) · g (x)dx = f(x) · g(x) - f (x) · g(x)dx
a
a a
b
Uwaga: ProszÄ™ pamiÄ™tać o granicach przy iloczynie funkcji: f(x) · g(x) .
a
1
Przykład: Obliczyć xexdx
0
Całkujemy przez części:

1
1
f(x) = x g (x) = ex 1 1
xexdx = = x·ex - 1·exdx = e-0- ex = e-(e-1) = 1
0 0
f (x) = 1 g(x) = ex
0 0
7