SIMR 2010/11, Analiza 1, wykład 13, 2010-01-20
Definicja wartości średniej: Jeżeli f :< a , b > R jest całkowalna to wartością średnią
funkcji f na przedziale nazywamy:
b
1
f = f(x)dx
b - a
a
Przykład: Obliczyć wartość średnią ważoną funkcji f(x) = x2 na przedziale < 1.4 >
4
4
1 1 x3
f = x2dx = = 7
1
4 - 1 3 3
1
Definicja wartości średniej ważonej: Jeżeli f, g :< a , b > R są całkowalne , funkcja
b
g 0 oraz g(x)dx > 0 to wartością średnią funkcji f z wagą g na przedziale < a , b >
a
nazywamy:
b
f(x)g(x)dx
a
f =
b
g(x)dx
a
1
Przykład: Obliczyć wartość średnią funkcji f(x) = x z wagą g(x) = na przedziale < 1.2 >
x
2
1
x · dx
x
1
f =
2
1
dx
x
1
2
2
1
x · dx = x = 1
1
x
1
2
2
1
dx = ln |x| = ln 2
1
x
1
1
f =
ln 2
Uwaga: Widać, że zachodzą nierówności: inf f f sup f .


Definicja wartości średniej kwadratowej: Jeżeli f :< a , b > R jest całkowalna to
wartością średnią kwadratową funkcji f na przedziale nazywamy:

fsk = f2
Przykład: Obliczyć wartość średnią kwadratową funkcji f(x) = cos x na przedziale
< 0 , 2Ä„ >
2Ä„ 2Ä„


2Ä„
1 1 1 + cos 2x 1 sin 2x 1
(fsk)2 = cos2 xdx = dx = x + =
0
2Ä„ - 0 2Ä„ 2 4Ä„ 2 2
0 0

1
fsk =
2
Zastosowanie: NapiÄ™cie prÄ…du zmiennego jest równe U(t) = U0 cos(Ét) . NapiÄ™ciem sku-
U
"0
tecznym nazywamy śrwdnią kawadratową napięcia po pełnym okresie. Stąd Usk =
2
1
Twierdzenie o wartości średniej: Jeżeli f :< a , b > R jest ciągła to istnieje c " (a, b)
takie, że f(c) = f
Całka niewłaściwa
Warunkiem koniecznym istnienia całki Riemanna jest ograniczoność funkcji. Często trzeba
jednak obliczać całki kiedy funkcja jest nieograniczona i/lub przedział całkowania jest nie-
ograniczony. Całka niewłaściwa jest uogólnieniem pojęcia całki Riemanna obejmującym takie
przypadki.
Dla każdej funkcji f całkowalnej na przedziale zachodzi własność:
b c
f(x)dx = lim f(x)dx
cb-
a a
Definicja całki niewłaściwej:
Przypadki szczególne:
Jeżeli f :< a , b) R jest nieograniczona oraz "c "< a , b) f jest całkowalna na < a , c > (a
więc musi być ograniczona na tym przedziale) to defniujemy całkę niewłaściwą:
b c
f(x)dx = lim f(x)dx
cb-
a a
o ile istnieje skończona granica z lewej strony. W takim przypadku mówimy, że istnieje
całka niewłaściwa (całka niewłaściwa jest zbieżna). Jeżeli nie istnieje skończona granica, to
mówimy, że całka niewłaściwa nie istnieje (jest rozbieżna).
Podobnie definujemy całkę niewłaściwą:
b b
f(x)dx = lim f(x)dx
ca+
a c
Oraz całki po przedziałach nieograniczonych:
"
c
f(x)dx = lim f(x)dx
c"
a a
b b
f(x)dx = lim f(x)dx
c-"
-" c
zakładając, że całki po prawej stronie istnieją.
W ogólnym przypadku, jeżeli w przedziale całkowania jest skończona liczba  punktów nie-
właściwych : ą" oraz punktów w otoczeniu których funkcja jest nieograniczona, to:
1. Rozkładamy przedział całkowania całki niewłaściwej na sumę przedziałów z jednym tylko
punktem niewłaściwym na jednym z końców przedziału.
2. Całka niewłaściwa istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje każda z całek niewłaściwych
składowych i jest równa sumie tych całek.
"

1
Przykład: Obliczyć dx
x2
1
Jest to całka niewłaściwa z jednym punktem niewłaściwym x = " na końcu przedziału.
"
c

c
1 1 -1 -1
dx = lim dx = lim = lim + 1 = 0 + 1 = 1
1 c"
x2 c" x2 c" x c
1 1
"

1
Całka niewłaściwa jest zbieżna i dx = 1
x2
1
1
1
Przykład: Obliczyć dx
x
0
2
Jest to całka niewłaściwa z jednym punktem niewłaściwym x = 0 na początku przedziału:
1 1
1
1 1
dx = lim dx = lim [ln |x| = lim ln |c| = -"
x c0+ x c0+ c c0+
c
0
1
1
a więc całka niewłaściwa dx nie istnieje (jest rozbieżna).
x
0
"

1
Przykład: Obliczyć dx
x2 + 1
-"
Jest to całka niewłaściwa z dwoma punktami niewłaściwymi x = ą". Stąd:
" "
0
1 1 1
dx = dx + dx
x2 + 1 x2 + 1 x2 + 1
-" -" 0
0 0
0
1 1 Ä„
dx = lim dx = lim arc tg x = lim 0 - arc tg c =
c-" c-" c c-"
x2 + 1 x2 + 1 2
-" c
"
c
c
1 1 Ä„
dx = lim dx = lim arc tg x = lim arc tg c - 0 =
c" c" 0 c"
x2 + 1 x2 + 1 2
0 0
"

1 Ä„ Ä„
Ponieważ obie całki niewłaściwe są zbieżne, więc dx = + = Ą
x2 + 1 2 2
-"
5
1

Przykład: Obliczyć dx
|x - 1|
0
Jest to całka niewłaściwa z jednym punktem niewłaściwym x = 1 wewnątrz przedziału
< 0, 5 > :
5 1 5
1 1 1

dx = dx + dx
|x - 1| |x - 1| |x - 1|
0 0 1
1 c
c
" "
1 1
"
dx = lim dx = lim [-2 1 - x = lim -2 1 - c + 2 = 2
0
c1- 1 - x
c1- c1-
|x - 1|
0 0
5 5
5
" "
1 1
"
dx = lim dx = lim [2 x - 1 = lim 4 - 2 c - 1 = 4
c
c1+ - 1
c1+ c1+
x
|x - 1|
c
1
5
1

dx = 2 + 4 = 6
|x - 1|
0
Zastosowania całki Riemanna
Uwaga Jeżeli w zastosowaniach całki funkcja podcałkowa lub przedział całkowania będą
nieograniczone to należy traktować całkę jako całkę niewłaściwą.
Pole powierzchni obszaru
Niech f, g :< a, b > R będą funkcjami ciągłymi, takimi, że "x "< a, vb > f(x) > g(x)
Wtedy pole obszaru : {(x, y) : x "< a, b >, g(x) y f(x)} istnieje i jest równe:
b

S = f(x) - g(x) dx
a
Przykład: Obliczyć pole powierzchni obszaru ograniczonego krzywymi: y = x2 i y = 2 - x
3
Szukamy punktów przecięcia krzywych rozwiązując układ równań:
y = x2 i y = 2 - x
x2 = 2 - x
x2 + x - 2 = 0
´ = 9
-1 - 3
x1 = = -2
2
-1 + 3
x2 = = 1
2
StÄ…d: a = -2 , b = 1
W przedziale < -2, 1 > krzywa y = 2 - x leży powyżej krzywej y = x2
Szukane pole S jest równe:
1
1
x2 x3 1 1 8 9
S = 2 - x - x2) dx = 2x - - = 2 - - - -4 - 2 + =
-2
2 3 2 3 3 2
-2
Długość krzywej
Niech y :< a, b > R będzie funkcją klasy C1 . Wtedy wykres tej funkcji jest krzywą.
Długość tej krzywej istnieje i jest równa:
b

l = 1 + (y (x))2dx
a
" 4
Przykład: Obliczyć długość krzywej y = ( x)3 , x "< 0, >
3
"
3
y = x
2
4 4
3
3 3

4
2
9 2 4 9 8 56
3
l = 1 + (y (x))2dx = 1 + x dx = · · 1 + x = · (8 - 1) =
0
4 3 9 4 27 27
0 0
Objętość bryły obrotowej
Niech y :< a, b > R będzie funkcją ciągłą nieujemną. Wtedy objętość bryły powstałej z
obrotu obszaru: {(x, y) : x "< a, b >, 0 y y(x)} wokół osi Ox istnieje i jest równa:
b
V = Ä„(y(x))2dx
a
"
Przykład: Obliczyć objetość bryły powstałej przez obrót obszaru: 0 y x , x "< 0, 1 >
wokół osi Ox
1 1
1
x2 Ä„
V = Ä„(y(x))2dx = Ä„xdx = Ä„ =
0
2 2
0 0
Pole powierzchni obrotowej
Niech y :< a, b > R będzie funkcją klasy C1 nieujemną. Wtedy pole powierzchni powstałej
z obrotu wykresu funkcji wokół osi Ox istnieje i jest równe:
b

S = 2Ä„y(x) 1 + (y (x))2dx
a
"
Przykład: Obliczyć pole powierzchni powstałej przez obrót krzywej: y = 2 x , x "< 3, 8 >
wokół osi Ox
1
y (x) = "
x
8 8 8


"
"
1 2
S = 2Ä„y(x) · 1 + (y (x))2dx = 2Ä„ 2 x · 1 + dx = 4Ä„ x + 1dx = 4Ä„ (x +
x 3
3 3 3
4
 8
3 8Ä„ 152Ä„
2
1) ) = (27 - 8) =
3
3 3
5