SNy: Biotechnologia
Analiza matematyczna II
 kolokwium I
notatki ze studiów na kierunku Biotechnologia
na Wydziale Chemicznym Politechniki Wrocławskiej
Autor:
Mateusz Jędrzejewski
[e-mail]
www.jedrzejewski.one.pl
N otatka jest częścią projektu SNy Biotechnologia
(Studenckie Notatki Cyfrowe). Udostępniane
sÄ… one na stronie internetowej www.sny.one.pl. Ka\
dy
mo\
e za darmo korzystać z nich w celach edukacyjnych.
waga na błędy! Mimo staranności jaką wło\
yli
autorzy w opracowanie tej notatki mogÄ…
U
zdarzyć się błędy. Więc ka\
dy korzysta z tych
notatek na własną odpowiedzialność. Zauwa\
one błędy
proszę zgłaszać autorowi notatki (najlepiej drogą
elektronicznÄ…).
śyczę wszystkim skutecznego korzystania z notatek.
Mateusz Jędrzejewski
(autor strony www.sny.one.pl)
Szczegółowe informacje o notatce
Nazwa pliku: e-notatka - analiza matematyczna II - kolokwium I.pdf
Nazwa kursu: Analiza matematyczna II (MAP2005w)
ProwadzÄ…cy kurs: dr Magdalena Rutkowska
Semestr/rok: 07l (rok 1, II semestr)
Kierunek: Biotechnologia
Wydział: Wydział Chemiczny
Uczelnia: Politechnika Wrocławska
Autor notatki: Mateusz Jędrzejewski
Status: Notatka w wersji roboczej
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 2
Utworzona: 16.04.2007 20:10
Notatka: Analiza matematyczna II (MAP2005w)  kolokwium I.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A. Zmodyfikowana: 17.04.2007 10:09
Kolokwium I  Zestaw A
16.04.2007 r.
zad. 1.
1
dx
Zbadać zbie\
ność całki .
+"
x sin x
0
Jest to całka niewłaściwa drugiego rodzaju, poniewa\
:
1
= " .
lim
x sin x
x0+
Mo\
na oszacować całkę z dołu:
1 1
0 < d" (*)
x
x sin x
1
dx
Całka niewłaściwa jest rozbie\
na do " co wynika z faktu 1.
+"
x
0
b
dx
Fakt 1. Całka niewłaściwa , gdzie b > 0 , jest zbie\
na dla 0 < p < 1 i rozbie\
na do " dla p e" 1.
+" p
x
0
Korzystając z kryterium porównawczego:
1 1
dx dx
Z rozbie\
ności całki oraz szacowania (*) wynika rozbie\
ność całki .
+" +"
x
x sin x
0 0
zad. 2.
"
(-1)n
Zbadać zbie\
ność i zbie\
ność bezwzględną szeregu .
"
n ln n
n=2
" "
Twierdzenie 1. Szereg jest zbie\
ny bezwzględnie je\
eli szereg an jest zbie\
ny.
"an "
n=2 n=2
"
(-1)n " 1
= (**)
" "
n ln n n ln n
n=2 n=2
Nale\
y pokazać rozbie\
ność szeregu (**) stosując kryterium całkowe:
1
Niech f (x) = . Funkcja jest malejąca (bo jest odwrotnością iloczynu dwóch funkcji
x ln x
rosnących). Funkcja przyjmuje wartości dodatnie na [2, ").
" T
dx dx
T
= =
2
+" lim lim[ln(ln x)] = lim[ln(lnT )- ln(ln 2)]= " .
+"
x ln x x ln x
T " T " T "
2 2
"
"
dx 1
Z rozbie\
ności do " całki wynika rozbie\
ność do " szeregu .
"
+"
x ln x n ln n
n=2
2
Z twierdzenia 1. wiadomo, \
e szereg nie jest zbie\
ny bezwzględnie.
"
(-1)n
Nale\
y więc sprawdzić zbie\
ność: .
"
n ln n
n=2
"
n
Z kryterium Leibniza o zbie\
ności szeregu naprzemiennego postaci
"(-1) bn (****).
n=2
Twierdzenie 2. Je\
eli ciÄ…g (bn) jest nierosnÄ…cy oraz
n
limb = 0 to szereg (****) jest zbie\
ny.
n"
#ciąg dalszy na następnej stronie
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 3
Utworzona: 16.04.2007 20:10
Notatka: Analiza matematyczna II (MAP2005w)  kolokwium I.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A. Zmodyfikowana: 17.04.2007 10:09
cd. zad. 2.
"
(-1)n 1
Szereg jest szeregiem naprzemiennym, gdzie bn = .
"
n ln n n ln n
n=2
Ciąg (bn) jest malejący, bo jest odwrotnością iloczynu dwóch ciągów rosnących.
1 1 1
= Å"
n
limb = lim lim limln n = 0 Å" 0 = 0
n ln n n
n" n" n" n"
"
(-1)n
Z twierdzenia 2. wiadomo, \
e szereg jest zbie\
ny.
"
n ln n
n=2
"
(-1)n
Ostatecznie: Szereg jest zbie\
ny warunkowo, poniewa\
jest zbie\
ny, ale nie jest
"
n ln n
n=2
zbie\
ny bezwzględnie.
zad. 3.
2
Znalez
ć szereg Maclaurina funkcji f (x) = x Å"e-2x , okreÅ›lić przedziaÅ‚ zbie\
ności oraz
(16) (17)
obliczyć f (0) i f (0) .
"
xn x x2 x3
Fakt 2. ex = =1+ + + + ... dla x " R ,
"
n! 1! 2! 3!
n=0
"
2
(-2x2)n " (-1)n 2n " (-1)n 2n
Z faktu 2.: f (x) = x Å"e-2x = x = x x2n = x2n+1 .
" " "
n! n! n!
n=0 n=0 n=0
Nale\
y zbadać przedział zbie\
ności:
an (-1)n 2n (n +1)! n!(n +1) 2n
R = = Å" = Å" = "
lim lim lim
an+1 n" n! (-1)n+12n+1 n" n! 2 Å" 2n
n"
"
(-1)n 2n
Z twierdzenia Cauchy ego-Hadamarda wynika, \
e szereg x2n+1 jest zbie\
ny na R .
"
n!
n=0
"
Z twierdzenia o jednoznaczności rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy xn wynika:
"cn
n=0
Å„Å‚
(-1)k 2k
(n)
f (0) ck = dla n = 2k +1
ôÅ‚
(n)
cn = Ò! f (0) = cn Å" n! cn :
k!
òÅ‚
n!
ôÅ‚ck = 0
dla n = 2k
ół
(16)
c16 = 0 Ò! f (0) = c16 Å"16!= 0
(-1)828 28
(17)
c17 = Ò! f (0) = c17 Å"17!= Å"17!
8! 8!
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 4
Utworzona: 16.04.2007 20:10
Notatka: Analiza matematyczna II (MAP2005w)  kolokwium I.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A. Zmodyfikowana: 17.04.2007 10:09
zad. 4.
1
Napisać równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji z = sin(x - 4y) +
y x
1
w punkcie (1, , z0).
4
z = f (x, y)
1
1 1
z0 = f (x0, y0) = f (1, ) = sin(1- 4 Å" ) + = 4
4 4
1
1
4
1
Płaszczyzna ma przechodzić przez punktu (1, , 4).
4
Fakt 3 Równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f (x, y) w punkcie (x0, y0, z0)
"f "f
na postać: z - z0 = (x0, y0) Å"(x - x0) + (x0, y0) Å" (y - y0) .
"x "y
ëÅ‚ öÅ‚
"f " 1 1
ìÅ‚ - 4y ) + = cos(x - 4y) -
÷Å‚
(x, y) =
ìÅ‚sin(x ÷Å‚
"x "x
y x
2y x3
íÅ‚ Å‚Å‚
"f "f 1
1 1
(x0, y0) = (1, ) = cos(1- 4 Å" ) - =1- 2 = -1
4 4
1
"x "x
2 Å" Å" 13
4
1
ëÅ‚ öÅ‚
"f " 1 1
1 2
ìÅ‚ - 4y ) + = cos(x - 4y) Å" (- 4 Å" y- ) - y-2 =
÷Å‚
(x, y) =
2
ìÅ‚sin(x ÷Å‚
"y "y
y x x
íÅ‚ Å‚Å‚
1 1
= - cos(x - 4y) -
y y2 x
"f "f 1 1
1 1
(x0, y0) = (1, ) = - cos(1- 4 Å" ) - = -2 -16 = -18
4 4
1
"y "y
(1)2 Å" 1
4 4
Więc równanie płaszczyzny to:
"f "f
z - z0 = (x0, y0) Å"(x - x0) + (x0, y0) Å"(y - y0)
"x "y
1
z - 4 = -1Å"(x -1) -18Å"(y - )
4
9
x +18y + z - 4 -1- = 0
2
19
x +18y + z - = 0
2
2x + 36y + 2z -19 = 0
1
Płaszczyzna styczna do funkcji f (x, y) w punkcie (1, , 4) ma postać ogólną:
4
Ä„ : 2x + 36y + 2z -19 = 0