SNy: Biotechnologia
Analiza matematyczna I  egzamin
notatki ze studiów na kierunku Biotechnologia
na Wydziale Chemicznym Politechniki Wrocławskiej
Autor:
Mateusz Jędrzejewski
[e-mail]
www.jedrzejewski.one.pl
otatka jest częścią projektu SNy (Studenckie Notatki
Cyfrowe). Notatki sÄ… samodzielnie sporzÄ…dzane
N
i opracowywane przez studentów Politechniki.
Udostępniane są w Internecie. Ka\
dy mo\
ne z nich korzystać
dowoli w celach edukacyjnych.
Chciałbym podziękować Dorocie Druszkowskiej za pomoc
w stworzeniu notatki oraz zgłoszenie uwag do rozwiązań.
waga na błędy! Mimo staranności jaką wło\
yli autorzy
w opracowanie tej notatki mogą zdarzyć się błędy.
U
Ka\
dy więc korzysta z tych materiałów na własną
odpowiedzialność. Wszelkie zauwa\
one błędy proszę
zgłaszać autorowi notatki (najlepiej drogę elektroniczną).
śyczę wszystkim skutecznego korzystania z notatek.
Mateusz Jędrzejewski
(autor strony www.sny.one.pl)
Szczegółowe informacje o notatce
Nazwa pliku: e-notatka - analiza matematyczna I  egzamin.pdf
Nazwa kursu: Analiza matematyczna I (MAP1024c)
Autorzy zadań: dr Jolanta Sulkowska, Andrzej Rehlis (egzamin poprawkowy)
Semestr/rok: 06z (rok 1, I semestr)
Kierunek: Biotechnologia
Wydział: Wydział Chemiczny
Uczelnia: Politechnika Wrocławska
Autor notatki: Mateusz Jędrzejewski
Status: ukończona
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 2
Utworzona: 2.02.2007 23:47
Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w)  egzamin.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A. Zmodyfikowana: 7.02.2007 18:32
Egzamin  zestaw A
zad. 1.
Obliczyć granicę ciągu o wyrazach: an = 9n + 3n - 9n + 2n +1 .
a2 - b2
Korzystam ze wzoru: a2 - b2 = (a - b)(a + b) Ò! a - b =
a + b
9n + 3n - 9n - 2n -1 3n - 2n -1
an = 9n + 3n - 9n + 2n +1 = = =
9n + 3n + 9n + 2n +1 9n + 3n + 9n + 2n +1
3n - 2n -1
n n
2 1
1- ( ) - ( ) 1 1
3n 3 3
= = çÅ‚n" =
çÅ‚
çÅ‚
n n n
1 2 1 2
1 + 1
9n + 3n 9n + 2n +1
1+ ( ) + 1+ ( ) + ( )
3 9 9
+
9n 9n
zad. 2.
ln x
Wyznaczyć asymptoty funkcji f (x) = .
x - 2
Zaczynam od określenia dziedziny funkcji:
Df = (0,2) *" (2,+") .
Sprawdzam czy jest asymptota prawostronna w  zerze :
ln x - "
= = +" .
lim
x - 2 - 2
x0+
Sprawdzam czy jest asymptota w  dwójce :
ln x ln 2
= = -" ,
lim
x - 2 0-
x2-
ln x ln 2
= = +" .
lim
x - 2 0+
x2+
Więc funkcja ma asymptotę prawostronną w x = 0 oraz asymptotę obustronną w x = 2 .
1
H
ln x " (ln x)2
îÅ‚ Å‚Å‚
x
= = 0  asymptota pozioma y = 0 w + " .
lim lim(x - 2)2 = lim
ïÅ‚"śł
x - 2 1
x" ðÅ‚ ûÅ‚ x" x"
wykres funkcji f (x)
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 3
Utworzona: 2.02.2007 23:47
Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w)  egzamin.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A. Zmodyfikowana: 7.02.2007 18:32
zad. 3.
Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = 3x + e- x , która jest równoległa
do prostej y = x .
Niech styczną do wykresu będzie funkcja g(x) = ax + b .
Ma być równoległa do prostej y = x , więc ich współczynniki kierunkowe muszą być
2
równe, więc a = 1, skądinąd a = f (x) .
2
f (x) = 3 - e- x
2
Sprawdzam dla jakiego x jest tak, \
e f (x) = 1
3 - e- x = 1 Ò! 2 = e-x Ò! x = - ln 2
Liczę wartość funkcji f (- ln 2) = -3ln 2 + eln 2 = -3ln 2 + 2 .
Mam więc punkt przez który ma przechodzić styczna g(x) .
g(x) = x + b
g(- ln 2) = - ln 2 + b
- 3ln 2 + 2 = - ln 2 + b
b = -2ln 2 + 2
g(x) = x - 2 ln 2 + 2
zad. 4.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x) = x 2 - x2 . Określić ich rodzaj.
LiczÄ™ pierwszÄ… pochodnÄ…:
x Å" (-2x) 2 - x2 - x2 2 - 2x2
2
f (x) = 2 - x2 + = =
2 2 - x2 2 - x2 2 - x2
2
Sprawdzam kiedy f (x) = 0 .
2 - 2x2
2
f (x) = 0 Ò! = 0 Ò! 2 - 2x2 = 0 Ò! x = 1 (" x = -1.
2 - x2
Badam zmianÄ™ znaku pochodnej:
2 - 2x2
2
f (x) > 0 Ò! > 0 Ò! 2 - 2x2 > 0 Ò! (1- x)(1+ x) > 0 Ò! x " (-1,1)
2 - x2
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 4
Utworzona: 2.02.2007 23:47
Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w)  egzamin.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A. Zmodyfikowana: 7.02.2007 18:32
2 - 2x2
2
f (x) < 0 Ò! < 0 Ò! (1- x)(1+ x) < 0 Ò! x " (-",-1) *" (1,+")
2 - x2
Więc w otoczeniu x = -1 pierwsza pochodna zmienia znak z minusa na plus więc jest
to minimum lokalne.
Natomiast w otoczeniu x = 1 pierwsza pochodna zmienia znak z plusa na minus więc jest
to maksimum lokalne.
wykres funkcji f (x)
zad. 5.
e2x - ex
Obliczyć całkę nieoznaczoną x dx .
+"
ex
Korzystam z linowości całki oraz raz całkuję przez części.
e2x - ex e2x ex
x
1
x dx = x dx - x dx = x dx - x dx = ex x - ex - x2 + C .
2
+" +" +" +"e +"
ex ex ex
zad. 6.
x
Obliczyć pole obszaru D ograniczonego wykresem funkcji y = sin , osią OY i prostą
2
y -1 = -(x - Ą ) . Rozwiązanie zadania zacząć od wykonania rysunku.
y -1 = -(x - Ä„ ) Ò! y = -x + Ä„ +1
x = 0 Ò! y = Ä„ +1
x
y = sin
2
x
sin = -x + Ä„ +1 Ò! x = Ä„
2
Więc:
Ä„ Ä„
x
D = + Ä„ +1)dx - dx =
2
+"(-x +"sin
0 0
Ä„
Ä„ Ä„ Ä„
1 x
= - [x2] + Ä„[x] + [x] + 2[cos ] =
2 0 0 0 2 0
2 2 2
1 1
= - Ä„ + Ä„ + Ä„ - 2 = Ä„ + Ä„ - 2
2 2
2
1
D = Ä„ + Ä„ - 2
2
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 5
Utworzona: 3.02.2007 0:57
Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w)  egzamin.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu B. Zmodyfikowana: 11.02.2007 12:31
Egzamin  zestaw B
zad. 1.
3Å" 2n + 5 Å" 22n+1
Obliczyć granicę ciągu o wyrazach: bn = .
4n + 2 Å" 3n
n
1
3Å" 2n + 5 Å" 22n+1 3Å" 2n + 5Å" 4n Å" 2 10 + 3Å"( )
2
bn = = = çÅ‚n"10
çÅ‚
çÅ‚
n
3
4n + 2 Å"3n 4n + 2 Å"3n
1+ 2 Å"( )
4
zad. 2.
x2 + 2,5x + 3
Wyznaczyć asymptoty funkcji f (x) = .
2x +1
1 1
Df = (-", - ) *" (- ,+") .
2 2
1
Sprawdzam istnienie asymptoty obustronnej x = - .
2
5 1 5 1
x2 + x + 3 - Å" + 3
2 4 2 2
= = -"
lim lim
- 2x +1
- 0-
x-1 x-1
2 2
5 1 5 1
x2 + x + 3 + Å" + 3
2 4 2 2
= = +"
lim lim
+ - 0+
2x +1
x-1 x-1
2 2
1
Asymptota obustronnej x = - istnieje.
2
Sprawdzam istnienie asymptoty ukośnej:
y = Ax + B
5 3
5
1+ +
f (x) x2 + x + 3 1
2x
2 x2
A = = = =
lim lim lim
1
x 2x2 + x 2 + 2
x" x" x"
x
5
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
x2 + x + 3 2 x 2x +1 2x2 + 5x + 6 - 2x2 - x
2
B = =
ïÅ‚ ïÅ‚
lim[f (x) - Ax]= limðÅ‚ 2x +1 2 - 2 Å" 2x +1śł = limðÅ‚ śł
4x + 2
x" x" x"
ûÅ‚ ûÅ‚
6
4x + 6 4 + 4
x
= = = = 1
lim lim
2
4x + 2 4 + 4
x" x"
x
1
Obydwie granice istnieją, więc istnieje asymptota o równaniu: y = x +1
2
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 6
Utworzona: 3.02.2007 0:57
Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w)  egzamin.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu B. Zmodyfikowana: 11.02.2007 12:31
zad. 3.
Napisać równanie tej stycznej do wykresu funkcji f (x) = 4 - x2 , która jest prostopadła
do prostej y = -x .
Nie prostą styczną będzie g(x) = ax + b .
Ma być prostopadÅ‚a do prostej y = -x wiÄ™c: (-1) Å" a = -1 Ò! a = 1.
- 2x x
2
f (x) = = -
2 4 - x2 4 - x2
x
2
f (x) = a = 1 Ò! - = 1 Ò! - x = 4 - x2 Ò! x2 = 4 - x2 '" x < 0
4 - x2
2x2 = 4 Ò! x2 = 2 Ò! x = - 2
f (- 2)= 4 - (- 2)2 = 2
W punkcie styczności wartości funkcji są sobie równe: f (x) = g(x) .
g(x) = x + b
g(- 2) = - 2 + b
2 = - 2 + b
b = 2 2
g(x) = x + 2 2
więc ostateczne styczna to: g(x) = x + 2 2
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 7
Utworzona: 3.02.2007 0:57
Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w)  egzamin.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu B. Zmodyfikowana: 11.02.2007 12:31
zad. 4.
Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji f (x) =x2ln x .
x > 0
x2
2
f (x) = 2x ln x + = x Å" (2 ln x +1)
x
2
f (x) > 0 Ò! x Å" (2 ln x +1) > 0 Ò! 2 ln x +1 > 0
2 ln x +1 > 0
1
ln x > -
2
1
2
x > e-
1
x >
e
1
2
f (x) > 0 Ò! x " ( ,+")
e
1
Funkcja rośnie na przedziale ( ,+") .
e
x2
2
f (x) = 2x ln x + = x Å" (2ln x +1)
x
2
f (x) < 0 Ò! x Å" (2 ln x +1) < 0 Ò! 2 ln x +1 < 0
2 ln x +1 < 0
1
ln x < -
2
1
2
x < e-
1
x <
e
1
2
f (x) < 0 Ò! x " (0, )
e
1
Funkcja maleje na przedziale (0, ) .
e
wykres funkcji f (x)
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 8
Utworzona: 3.02.2007 0:57
Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w)  egzamin.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu B. Zmodyfikowana: 11.02.2007 12:31
zad. 5.
x2 + 2
Obliczyć całkę nieoznaczoną dx .
+"
x2 + 2x + 2
x2 + 2 x2 + 2x + 2 - 2x 2x + 2 - 2
dx = dx = - dx =
+" +" +"dx +"
x2 + 2x + 2 x2 + 2x + 2 x2 + 2x + 2
2x + 2 dx dx
= x - dx + 2 = x - ln(x2 + 2x + 2) + 2 =
+" +" +"
x2 + 2x + 2 x2 + 2x + 2 (x +1)2 +1
t = x +1
dx
= x - ln(x2 + 2x + 2) + 2 = x - ln(x2 + 2x + 2) + 2 arc tg t + C =
+"
dt = dx t2 +1
= x - ln(x2 + 2x + 2) + 2 arc tg (x +1) + C
zad. 6.
Obliczyć pole obszaru ograniczone wykresem funkcji y = e2x - 4 i osiami układu
współrzędnych.
y = e2x - 4
y = 0 Ò! 4 = e2x Ò! ln 4 = 2x Ò! 2 ln 2 = 2x Ò! x = ln 2
x = 0 Ò! y = e0 - 4 = 1- 4 = -3
Pole wyra\
a się więc poprzez:
ln 2 ln 2 ln 2
ln 2
ln 2
2 x
1 1 1
D = (e2x - 4)dx = dx - 4 = [e2 x] - 4[x] = e2ln 2 - e0 - 4 ln 2 =
2 0 0 2 2
+" +"e +"dx
0 0 0
1 1 1 3
= eln 4 - - 4ln 2 = 2 - - 4ln 2 = - 4 ln 2
2 2 2 2
3
- 4 ln 2 < 0
2
3
D = - + 4 ln 2
2
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 9
Utworzona: 3.02.2007 2:10
Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w)  egzamin.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu C. Zmodyfikowana: 3.02.2007 2:10
Egzamin  zestaw C
zad. 1.
Obliczyć granicę ciągu o wyrazach: cn = n4 + 4n +1 - n4 + 4 .
a2 - b2
Korzystam ze wzoru: a2 - b2 = (a - b)(a + b) Ò! a - b =
a + b
n4 + 4n +1- n4 - 4 4n - 3
cn = n4 + 4n +1 - n4 + 4 = = =
n4 + 4n +1 + n4 + 4 n4 + 4n +1 + n4 + 4
3 3
4 - 4 - 4
n n
= = çÅ‚n" = 0
çÅ‚
çÅ‚
4 1 4
" + "
n4 + 4n +1 n4 + 4 n2 + + + n2 +
n n
n2
+
n2 n2
zad. 2.
ex
Wyznaczyć asymptoty funkcji f (x) = .
x
Df = (-",0) *" (0, ")
Sprawdzam istnienie asymptoty pionowej w x = 0 .
ex 1
= = -"
lim
x 0-
x0-
ex 1
= = +"
lim
x 0+
x0+
Istnieje asymptota pionowa obustronna w x = 0 .
Sprawdzam istnienie asymptoty poziomej w - " .
ex 0
= = 0
lim
x - "
x-"
Istnieje asymptota pozioma w - " .
wykres funkcji f (x)
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 10
Utworzona: 3.02.2007 2:10
Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w)  egzamin.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu C. Zmodyfikowana: 3.02.2007 2:10
zad. 3.
Napisać równanie tej stycznej do wykresu funkcji f (x) = x ln x , która jest pozioma.
Ogólnie równanie stycznej to: g(x) = ax + b .
Styczna ma być pozioma, więc a = 0 .
x > 0 Ò! Df = (-",0) *" (0,")
ln x x x ln x + 2x
2
f (x) = + =
x
2 x 2x x
x ln x + 2x 1
2
f (x) = 0 Ô! = 0 Ô! ln x + 2 = 0 Ô! x =
e2
2x x
1 1 2
f (e1 ) = ln = -
2
e2 e2 e
g(x) = ax + b Ò! g(x) = b
2 2
g(e1 ) = b Ò! - = b Ò! g(x) = -
2
e e
wykres funkcji f (x)
zad. 4.
x2 - 4x
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x) = . Określić ich rodzaj.
x2 + 2
(2x - 4)(x2 + 2) - (x2 - 4x)(2x) 2x3 + 4x - 4x2 - 8 - 2x3 + 8x2 4x2 + 4x - 8
2
f (x) = = =
2 2 2
(x2 + 2) (x2 + 2) (x2 + 2)
4x2 + 4x - 8
2
f (x) = 0 Ô! = 0 Ô! 4x2 + 4x - 8 = 0 Ô! x2 + x - 2 = 0
2
(x2 + 2)
x2 + x - 2 = 0
" = 1+ 8 = 9
-1+ 3 -1- 3
x1 = = 1 x2 = = -2
2 2
(x -1)(x + 2) = 0
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 11
Utworzona: 3.02.2007 2:10
Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w)  egzamin.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu C. Zmodyfikowana: 3.02.2007 2:10
Badam zmianÄ™ znaku pochodnej:
2
f (x) > 0 Ô! (x -1)(x + 2) > 0 Ô! x " (-",-2) *" (1,")
2
f (x) < 0 Ô! (x -1)(x + 2) < 0 Ô! x " (-2,1)
Funkcja ma maksimum w x = -2 , a minimum w x = 1.
wykres funkcji f (x)
zad. 5.
Ä„
x
Obliczyć całkę oznaczoną x cos dx .
2
+"
0
Obliczę najpierw całkę nieoznaczoną, całkując przez części:
x x x x x x
x cos dx = x Å"(2sin )2 dx = 2x sin - 2 dx = 2x sin + 4 cos + C
2 2 2 2 2 2
+" +" +"sin
Ä„
Ä„ Ä„
x x x
x cos dx = 2[x sin ] + 4[cos ] = 2Ä„ - 4
2 2 0 2 0
+"
0
zad. 6.
Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji y = x2 - 2x + 3 , osią OY
i prostą y = 2x -1. Wykonać rysunek.
Mo\
na sprawdzić, \
e funkcje przecinajÄ… siÄ™ w punkcie (2,3) .
Prosta przecina oÅ› OX w punkcie (1 ,0) .
2
2 2
2
D = - 2x + 3) dx - -1) dx =
+"(x +"(2x
0 0
2 2
1
= [ x3 - x2 + 3x] -[x2 - x] =
3 0 0
1
= 23 - 22 + 3Å" 2 - 22 + 2 =
3
8 8
= - 4 + 6 - 4 + 2 =
3 3
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 12
Utworzona: 3.02.2007 3:19
Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w)  egzamin.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu D. Zmodyfikowana: 3.02.2007 15:03
Egzamin  zestaw D
zad. 1.
Obliczyć granicę ciągu o wyrazach: dn = 2 ln(n +1) - ln(2n2 +1) .
2 1
1+ +
(n +1)2 n2 + 2n +1 1
n
n2
dn = 2ln(n +1) - ln(2n2 +1) = ln = ln = ln çÅ‚n"ln
çÅ‚
çÅ‚
1
2n2 +1 2n2 +1 2 + 2
n2
zad. 2.
1
Wyznaczyć asymptoty funkcji h(x) = .
4x - 2
1
4x - 2 `" 0 Ò! 4x `" 2 Ò! 22x `" 21 Ò! x `"
2
1
Df = (-", ) *" (1 ,+")
2 2
Sprawdzam istnienie asymptoty pionowej obustronnej.
1 1 1
= = = -"
lim
- 4x - 2 2- - 2 0-
x1
2
1 1 1
= = = +"
lim
+ - 2 2+ - 2 0+
4x
x1
2
1
Istnieje asymptota pionowa obustronna w x = .
2
Badam istnienie asymptot poziomych.
1 1 1
= = -
lim
4x - 2 0 - 2 2
x-"
1 1
= = 0
lim
4x - 2 "
x+"
1
Istnieje asymptota pozioma w - " o równaniu y = - .
2
Istnieje asymptota pozioma w + " o równaniu y = 0 .
wykres funkcji h(x)
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 13
Utworzona: 3.02.2007 3:19
Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w)  egzamin.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu D. Zmodyfikowana: 3.02.2007 15:03
zad. 3.
x - 2
Napisać równanie stycznej do wykres funkcji f (x) = w punkcie przecięcia wykresu
x + 2
z osiÄ… OX .
Nie styczną będzie miała funkcja g(x) = ax + b .
x - 2
f (x) = 0 Ò! = 0 Ò! x - 2 = 0 Ò! x = 2
x + 2
x + 2 - (x - 2) 4
2
f (x) = =
2 2
(x + 2) (x + 2)
4
1
2
f (2) = =
4
2
(2 + 2)
g(x) = ax + b
g(x) = f (x) = 0
2
a = f (2)
1 1
0 = 2 Å" + b Ò! b = -
4 2
1 1
g(x) = x + -
4 2
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 14
Utworzona: 3.02.2007 3:19
Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w)  egzamin.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu D. Zmodyfikowana: 3.02.2007 15:03
zad. 4.
Wyznaczyć przedziały, na których funkcja f (x) = x2e- x jest malejąca.
Badam pierwszÄ… pochodnÄ…;
2
f (x) = 2xe- x - x2e- x = e- x (2x - x2) =
2
f (x) < 0 Ò! e-x (2x - x2) > 0 Ò! x(2 - x) > 0 Ò! x " (-",0) *" (2,+")
- x
poniewa\
: > 0 .
'"e
x
wykres funkcji f (x) = x2e- x
zad. 5.
1
2
3
Obliczyć całkę oznaczoną ( x - x) dx .
+"
0
1 1 1 1 1
1 1 2 5 2
2
3
2 3 3 6 3
( x - x) dx = (x - 2x x + x )dx = x dx - 2 x dx + x dx =
+" +" +" +" +"
0 0 0 0 0
11 5
1 1 1
1 6 6 3 3 1 12 3 1
= [ x2] - 2[ x ] +[ x ] = - + =
2 0 11 0 5 0 2 11 5 110
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 15
Utworzona: 3.02.2007 3:19
Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w)  egzamin.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu D. Zmodyfikowana: 3.02.2007 15:03
zad. 6.
Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji y = ln(x + 3) i osiami układu
współrzędnych. Wykonać rysunek.
y = ln(x + 3)
y = 0 Ò! 0 = ln(x + 3) Ò! ln1 = ln(x + 3) Ò! 1 = x + 3 Ò! x = -2
x = 0 Ò! y = ln(0 + 3) = ln 3
t = x + 3
0 3
dt = dx
3 3
D = + 3) dx = t dt = [t ln t] -[t] = 3ln 3 - 3 +1 = 3ln 3 - 2
1 1
+"ln(x +"ln
x = -2 Ò! t = 1
-2 1
x = 0 Ò! t = 3
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 16
Utworzona: 16.02.2007 23:46
Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w)  egzamin.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A5 (egzamin poprawkowy). Zmodyfikowana: 18.02.2007 0:33
Egzamin poprawkowy  zestaw A5
zad. 1.
Sformułować twierdzenie o trzech ciągach i wykorzystać do obliczenia granicy ciągu
2n + 5
n
o wyrazach an = .
n2 + 3
Twierdzenie o trzech ciÄ…gach
Je\
eli ciÄ…gi (an), (bn), (cn) sÄ… takie, \
e bn d" an d" cn oraz
n n
'" limb = limc = a
ne"n0 n" n"
to
n
lima = a .
n"
Wiem, \
e:
n n
a = 1 oraz n = 1
lim lim
n" n"
szacuję ciąg z góry:
2n + 5 2n + 5
n n n
n
n n
an = d" d" 2n + 2n = 2 Å" 2n = 2 Å" 2n = cn
n2 + 3 3
n n
n n
2 Å" 2n = 2 Å" 2n = 1Å" 2 = 2
n
limc = lim lim lim
n" n" n" n"
szacuję ciąg z dołu:
2n + 5 2n n 2n
n n
an = e" e" = bn
n2 + 3 n2 + n2 2n2
n
2n
lim
2n n" 2 2
n
= = = = 2
n
limb = lim 2
n
2n2 1Å"12
n" n"
2n2 ëÅ‚ öÅ‚
n n
lim
2 Å" n
ìÅ‚ ÷Å‚
n" lim lim
n" íÅ‚ n" Å‚Å‚
więc:
n n n
limc = limb = 2 Ò! lima = 2
n" n" n"
zad. 2.
Å„Å‚ x -1
ôÅ‚ dla x `" 1
Zbadać ciągłość funkcji f (x) = w punkcie x0 = 1.
òÅ‚ x3 -1
ôÅ‚0 dla x = 1
ół
H
2
- (x -1) (-x +1) -1
1
f (x) = = = = -
3
lim lim lim lim3x2
2
x3 -1 (x3 -1)
x1- x1- x1- x1-
H
2
(x -1) (x -1) 1
1
f (x) = = = =
3
lim lim lim lim3x2
2
x3 -1 (x3 -1)
x1+ x1- x1- x1-
Stwierdzam, \
e:
f (x) `" f (x) `" f (x0)
lim lim
x1- x1+
więc funkcja f (x) jest nieciągła w punkcie x0 = 1 (nieciągłość typu  skok ).
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 17
Utworzona: 16.02.2007 23:46
Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w)  egzamin.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A5 (egzamin poprawkowy). Zmodyfikowana: 18.02.2007 0:33
zad. 3.
Napisać równanie styczeń do wykresu funkcji f (x) = ln( x -1) w punkcie jego
przecięcia z osią OX .
Niech styczna będzie opisana równaniem: g(x) = ax + b .
Szukam punktu x0 takiego, \
e f (x0) = 0 poniewa\
styczna na przecinać oś OX w tym punkcie.
f (x0) = 0 Ò! ln( x0 -1)= 0 Ò! ln( x0 -1)= ln1 Ò! x0 -1 = 1
( x0 = 2 '" x0 > 0) Ò! x0 = 4
Wiadomo, \
e:
ëÅ‚ 1 öÅ‚
1
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
2 x0 ÷Å‚
ìÅ‚ 1
2 4
ìÅ‚ ÷Å‚
2
a = f (x0) = (ln( x0 -1))2 = = =
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚
4
x0 -1 4 -1÷Å‚
x0 = 4
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚x0 = 4 íÅ‚ Å‚Å‚ x0 = 4
więc:
1
g(x) = x + b
4
wiadomo tak\
e, \
e:
1
g(x0) = f (x0) = 0 Ò! Å" 4 + b = 0 Ò! b = -1
4
ostatecznie:
1
g(x) = x -1
4
zad. 4.
ex - e-x - 2x
Korzystając z twierdzenia de l Hospitala obliczyć granicę .
lim
x3
x0
H H
ex - e-x - 2x 0 (ex - e-x - 2x)2 = limex + e-x - 2 (ex + e-x - 2)2 =
îÅ‚ Å‚Å‚
= =
lim lim lim
x3 ïÅ‚0śł x0 3x2 x0
x0 ðÅ‚ ûÅ‚ x0
(x3)2 (3x2)2
ex - e-x H (ex - e-x)2 = ex + e-x 0
= = = = 0
lim lim lim
6x 6 6
x0 x0 x0
(6x)2
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 18
Utworzona: 16.02.2007 23:46
Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w)  egzamin.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A5 (egzamin poprawkowy). Zmodyfikowana: 18.02.2007 0:33
zad. 5.
Ä„
Obliczyć pole obszaru D ograniczonego krzywymi y = tg x , y = x , x = .
4
KorzystajÄ…c poni\
szego rysunku mo\
na zauwa\
yć, \
e:
Ä„ Ä„ Ä„
4 4 4
Ä„ Ä„
Ä„
sin x
4 4
1 1
4
D = tg x dx - x dx = dx -[ x2] = [- ln(cos x)] -[ x2] =
2 0 2
+" +" +" 0 0
cos x
0 0 0
2 2
2
Ä„ 1 Ä„ 2 Ä„ Ä„
= - ln(cos )+ ln(cos 0)- ( ) + 0 = - ln( )+ 0 - = ln 2 - ln 2 -
4 2 4 2 32 32
zad. 6.
dx
Obliczyć całkę nieoznaczoną .
+"
x2 - x - 2
dx dx dx dx
1 1 1 1
= = - = ln(x -1) - ln(x + 2) + C
3 3 3 3
+" +" +" +"
x2 - x - 2 (x -1)(x + 2) x -1 x + 2
x2 - x - 2 = 0
" = 1+ 8 = 9
-1+ 3 -1- 3
x1 = = 1 x2 = = -2
2 2
1 A B
= +
(x -1)(x + 2) x -1 x + 2
1 = A(x + 2) + B(x -1)
1 = x(A + B) + 2A - B
A + B = 0 Ò! A = -B
1 1
2A - B = 1 Ò! - 3B = 1 Ò! B = - Ò! A =
3 3