SNy: Biotechnologia
Analiza matematyczna I 
kolokwium II
notatki ze studiów na kierunku Biotechnologia
na Wydziale Chemicznym Politechniki Wrocławskiej
Autor:
Mateusz Jędrzejewski
[e-mail]
www.jedrzejewski.one.pl
otatka jest częścią projektu SNy (Studenckie Notatki
N
Cyfrowe). Notatki sÄ… samodzielnie sporzÄ…dzane
i opracowywane przez studentów Politechniki. Udostępniane
sÄ… w Internecie. Ka\
dy mo\
ne z nich korzystać dowoli
w celach edukacyjnych.
waga na błędy! Mimo staranności jaką wło\
yli autorzy
w opracowanie tej notatki mogą zdarzyć się błędy.
U
Ka\
dy więc korzysta z tych materiałów na własną
odpowiedzialność. Wszelkie zauwa\
one błędy proszę
zgłaszać autorowi notatki (najlepiej drogę elektroniczną).
śyczę wszystkim skutecznego korzystania z notatek.
Mateusz Jędrzejewski
(autor strony www.sny.one.pl)
Szczegółowe informacje o notatce
Nazwa pliku: e-notatka - analiza matematyczna I - kolokwium II.pdf
Nazwa kursu: Analiza matematyczna I (MAP1024c)
ProwadzÄ…cy kurs: mgr Jerzy Baran
Semestr/rok: 06z (rok 1, I semestr)
Kierunek: Biotechnologia
Wydział: Wydział Chemiczny
Uczelnia: Politechnika Wrocławska
Autor notatki: Mateusz Jędrzejewski
Status: Notatka w wersji roboczej
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 2
Utworzona: 25.01.2007 22:22
Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w)  kolokwium II.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A. Zmodyfikowana: 26.01.2007 2:41
Kolokwium II  Grupa A
25.01.2007 r.
zad. 1.
ln(x)
Stosując regułę L Hospitala obliczyć granicę
limln(sin x) .
x0+
1
H
ln(x) " (ln(x))2 = sin x
îÅ‚- Å‚Å‚
x
= =
lim lim lim lim
ïÅ‚- ûÅ‚ =
1
ln(sin x) "śł x0+ x cos x
ðÅ‚
x0+ x0+ x0+
(ln(sin x))2
cos x
sin x
sin x 1 1
= Å" = 1Å" = 1
lim lim lim
x cos x cos x
x0+ x0+ x0+
Wyliczona granica istnieje więc:
ln(x)
= 1.
lim
ln(sin x)
x0+
sin x
Skorzystałem z wartości znanej granicy: = 1.
lim
x
x0+
zad. 2.
Znalez
ć najmniejszą i największą wartość funkcji f (x) = sin2 x + sin x na ! .
f (x) = sin2 x + sin x
2
f (x) = 2sin x cos x + cos x = cos x(2sin x +1)
2
f (x) = 0 Ô! cos x(2sin x +1) = 0
cos x = 0 (" 2sin x +1 = 0
1
cos x = 0 (" sin x = -
2
Ä„ Ä„ Ä„ 5Ä„
x = + kĄ (" x = - + 2kĄ (" x = -Ą + + 2kĄ = - + 2kĄ
2 6 6 6
Funkcja jest ciągła na ! , więc jedynymi punktami podejrzanymi o ekstrema są:
Ä„ Ä„ Ä„ 3Ä„
x = + kÄ„ Ò! x = + 2kÄ„ (" x = Ä„ + + 2kÄ„ = + 2kÄ„
2 2 2 2
Ä„ 5Ä„
x = - + 2kĄ (" x = - + 2kĄ
6 6
k " Z
Sprawdzam warunek dostateczny wystÄ…pienia ekstremum:
2 2
f (x) = - sin x(2sin x +1)+ cos x(2cos) = -2sin2 x - sin x + 2 cos2 x =
= -2sin2 x - sin x + 2 - 2sin2 x = -4sin2 x - sin x + 2
sin2 x + cos2 x = 1 Ò! cos2 x = 1- sin2 x
sin2 x = t
2 2
f (x) = 0 Ô! -4sin2 x - sin x + 2 = 0
-4t2 - t + 2 = 0
" = 1+ 32 = 33
...
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 3
Utworzona: 25.01.2007 22:22
Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w)  kolokwium II.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A. Zmodyfikowana: 26.01.2007 2:41
2
Mo\
e jednak wystarczy policzyć wartości funkcji w miejscach gdzie f (x) = 0 .
Dla k = 0 (dla pozostałych będzie to samo, bo korzystam z okresowości funkcji T = 2Ą ).
Ä„ Ä„
f ( )= sin2 Ä„ + sin = 12 +1 = 2
2 2 2
3Ä„ 3Ä„
f ( )= sin2 3Ä„ + sin = (-1)2 -1 = 0
2 2 2
2
Ä„ Ä„ Ä„ 1 1 1
f (- )= sin2(- )+ sin(- )= (- ) - = -
6 6 6 2 2 4
2
5Ä„ 5Ä„ 5Ä„ 1 1 1
f (- )= sin2(- )+ sin(- )= (- ) - = -
6 6 6 2 2 4
1
Najmniejsza wartość funkcji to - , na największa to 2 .
4
f (x) = sin2 x + sin x
zad. 3.
2x2dx
Obliczyć całkę . Otrzymany rezultat sprawdzić.
+"
x2 + 4x + 8
x2 + 4x + 8 = 0
2x2dx x2 + 4x + 8 - 4x - 8 4x + 8
= 2 dx = 2 - 2 dx =
+" +" +"dx +"
x2 + 4x + 8 x2 + 4x + 8 x2 + 4x + 8
" = 16 - 32 < 0
t = x2 + 4x + 8
4x + 8 2x + 4
= 2x - 2 dx = 2x - 4 dx =
+" +"
x2 + 4x + 8 x2 + 4x + 8
dt = (2x + 4)dx
dt
= 2x - 4 = 2x - 4ln t = 2x - 4ln(x2 + 4x + 8)+ C
+"
t
Sprawdzenie:
4 4(2x + 4)
(2x - 4 ln(x2 + 4x + 8)+ C)2 = 2 - (x2 + 4x + 8)2 = 2 - =
x2 + 4x + 8 x2 + 4x + 8
2(x2 + 4x + 8)- 4(2x + 4) 2(x2 + 4x + 8)- 4(2x + 4)
= = =
x2 + 4x + 8 x2 + 4x + 8 x2 + 4x + 8
2x2 + 8x +16 - 8x -16 2x2
= =
x2 + 4x + 8 x2 + 4x + 8
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 4
Utworzona: 25.01.2007 22:22
Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w)  kolokwium II.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A. Zmodyfikowana: 26.01.2007 2:41
zad. 4.
Znalez
ć pole obszaru D ograniczonego krzywymi: y2 = 3x , y = x2 - 2x .
W analizie tych funkcji pomocne będą ich wykresy.
y2 = 3x
Å„Å‚
3x x e" 0
ôÅ‚
y =
òÅ‚
ôÅ‚- 3x x < 0
ół
y = x2 - 2x = x(x - 2)
Znajduję miejsca przecięcia się wykresów:
2 2
Å„Å‚ Å„Å‚
ôÅ‚y = 3x ôÅ‚y = 3x
Ò!
òÅ‚ òÅ‚
2
ôÅ‚ - 2x
ôÅ‚
óły = x2 óły = (x2 - 2x)2
3x = (x2 - 2x)2
3x = x4 - 4x3 + 4x2
x4 - 4x3 + 4x2 - 3x = 0
x(x3 - 4x2 + 4x - 3) = 0
x[(x - 3)x2 - (x - 3)x + (x - 3)] = 0
x(x - 3)(x2 - x +1) = 0
Punkty w których wykresy się przecinają to:
dla x = 0
y = x2 - 2x = 02 - 2 Å" 0 = 0
dla x = 3
y = x2 - 2x = 32 - 2 Å" 3 = 9 - 6 = 3
Pole zaznaczonego obszaru wyra\
a siÄ™:
3
3 2
3 3 2
îÅ‚2 3 Å‚Å‚
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
x3 x3
D = 3x dx - (x2 - 2x)dx + (x2 - 2x)dx = x3 śł - - x2 śł + - x2 śł =
ïÅ‚
ïÅ‚ ïÅ‚
+" +" +"
3 3
ðÅ‚ ûÅ‚2 ðÅ‚ ûÅ‚0
0 2 0 ðÅ‚ ûÅ‚0 3
ëÅ‚ öÅ‚
2 3 33 23 23 03
÷Å‚
= 33 - 0 - ìÅ‚ - 32 - + 22 ÷Å‚ + - 22 - + 02 =
ìÅ‚
3 3 3 3 3
íÅ‚ Å‚Å‚
27 8 8 4 8 4 4 4 4
= 6 - + 9 + - 4 + - 4 = 6 - + - 4 = 6 - + - = 6 - + = 6
3 3 3 3 3 3 3 3 3
Kolokwium II  Grupa B
25.01.2007 r.
&
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 5
Utworzona: 25.01.2007 22:22
Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w)  kolokwium II.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A. Zmodyfikowana: 26.01.2007 2:41
Kolokwium II  Grupa C
25.01.2007 r.
zad. 1.
Napisać wzór Maclaurina z resztą R3 dla funkcji f (x) = ln(1+ x) , następnie uzasadnić,
x2
\
e nierówność ln(1+ x) > x - jest prawdziwa dla ka\
dego x > 0 .
2
Ogólnie:
2 2 2 2 2 2
f (0) f (0) f (c)
f (x) = f (0) + x + x2 + x3
1! 2! 3!
gdzie c " (0, x) .
f (x) = ln(1+ x)
1
2
f (x) =
1+ x
0 -1Å"(1+ x)2 = -1
2 2
f (x) =
2 2
(1+ x) (1+ x)
2
0 - (-1) Å"((1+ x) )2 = 2(1+ x) 2
2 2 2
f (x) = =
4 4 3
(1+ x) (1+ x) (1+ x)
-1 2
1
2 3
(1+ 0) (1+ c)
1+ 0
ln(1+ x) = ln(1+ 0) + x + x2 +
1! 2! 3!
x2 2x3
ln(1+ x) = x - +
3
2
3(1+ c)
gdzie:
2x3 c=0 2x3 2 x>0
R3 = > = x3 > 0
3
3 3
3(1+ c) 3(1+ 0)
R3 > 0
więc:
x2
ln(1+ x) = x - + R3
2
x2
ln(1+ x) - x + = R3 > 0
2
x2
ln(1+ x) - x + > 0
2
x2
ln(1+ x) > x -
2
cbdu.
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 6
Utworzona: 25.01.2007 22:22
Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w)  kolokwium II.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A. Zmodyfikowana: 26.01.2007 2:41
zad. 2.
3
Określić przedziały monotoniczności funkcji f (x) = 1- x3 .
1
3 3
f (x) = 1- x3 = (1- x3)
2 2
- - x2
3 3
1 1
2
f (x) = (1- x3) Å"(1- x3)2 = (1- x3) (- 3x2)= -
3 3
2
3
(1- x3)
*
2 2
3
(1- x3) > 0 Ò! (1- x3) > 0
*
x2
2
f (x) d" 0 Ô! - d" 0 Ò! - x2 d" 0 Ò! x2 e" 0 Ò! x " (-",")
2
3
(1- x3)
Funkcja jest malejÄ…ca na przedziale (-", ") .
3
f (x) = 1- x3
zad. 3.
dx
Obliczyć całkę
+"1+ sin x .
Zale\
y zastosować podstawienie uniwersalne.
x
t = tg
2
x
= arc tg t
2dt dt
2
dx
2dt 1+ t2 = 2 1+ t2 = 2 dt =
dx =
+"1+ sin x 1+ t2 = +" +" +"
2t
1+ t2 2t t2 + 2t +1
1+
+
1+ t2 1+ t2 1+ t2
2t
sin x =
1+ t2
k = t +1
dt dk 2 2
-2 -1
= 2 = 2 = 2 dk = 2(-k ) + C = - + C = - + C
2
+" +" +"k
x
(t +1)2 dk = dt k t +1 tg +1
2
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 7
Utworzona: 25.01.2007 22:22
Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w)  kolokwium II.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A. Zmodyfikowana: 26.01.2007 2:41
zad. 4.
Ä„
x
Obliczyć całkę x2 cos( )dx .
2
+"
0
Ä„ Ä„ Ä„
ëÅ‚ öÅ‚
Ä„
Ä„
2
x x x x x
x2 cos( )dx = [2x2 sin( )] - 4 x sin( )dx =2Ä„ - 0 - 4ìÅ‚[- 2x cos( )] + 2 )dx÷Å‚ =
2 2 2 2 2
+" 0 +" 0 +"cos( Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
0 0 íÅ‚ 0
x x
2 2
f (x) = x2 g (x) = cos( ) u(x) = x v (x) = sin( )
2 2
x x
2 2
f (x) = 2x g(x) = 2sin( ) u (x) = 1 v(x) = -2 cos( )
2 2
Ä„
2 2
x
= 2Ä„ - 4(- 0 + 0 + 2[2sin( )] )= 2Ä„ -16
2
0
x
f (x) = x2 cos( )
2
Kolokwium II  Grupa D
25.01.2007 r.
zad. 1.
Naszkicować wykres funkcji ciągłej f : ! a ! spełniającej warunki:
f (1) = -1, f-2 2 2 2
(1) = " , f+ (1) = -" , f (x) > 0 dla ka\
dego x `" 0 .
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 8
Utworzona: 25.01.2007 22:22
Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w)  kolokwium II.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A. Zmodyfikowana: 26.01.2007 2:41
zad. 2.
ln(x)
Znalez
ć ekstrema i punkty przegięcia wykresu funkcji f (x) = .
x
x > 0
Df = (0,")
ln(x)
f (x) =
x
1 1 1 1
1
x - ln(x) - ln(x)
1- ln(x)
x
2 x x 2 x
2
2
f (x) = = =
x x
x x
1
2
f (x) = 0 Ô! 1- ln(x) = 0
2
1
ln(x) = 1
2
ln(x) = 2
x = e2
2
f (x) > 0 Ô! x < e2
2
f (x) < 0 Ô! x > e2
Na lewo od x = e2 funkcja f (x) rośnie, a na prawo maleje, więc w x = e2
ma maksimum.
ln(e2) 2 ln(e) 2
f (e2)= = =
e2 e e
ln(x)
f (x) =
x
Studenckie Notatki Cyfrowe
SNy: Biotechnologia
www.sny.one.pl [e-mail] Strona 9
Utworzona: 25.01.2007 22:22
Notatka: Analiza matematyczna I (MAP1024w)  kolokwium II.
Temat: Przykładowe szkice rozwiązań do zestawu A. Zmodyfikowana: 26.01.2007 2:41
zad. 3.
sin(ln x)
Obliczyć całkę dx .
+"
x2
sin(ln x) sin(ln x) cos(ln x) sin(ln x) cos(ln x) sin(ln x)
dx = - + dx = - - - dx
+" +" +"
x2 x x2 x x x2
2 2
f (x) = sin(ln x) g (x) = x-2 u(x) = cos(ln x) v (x) = x-2
cos(ln x) 1 - sin(ln x) 1
2 2
f (x) = g(x) = - u (x) = v(x) = -
x x x x
sin(ln x) sin(ln x) cos(ln x) sin(ln x)
dx = - - - dx
+" +"
x2 x x x2
sin(ln x) sin(ln x) + cos(ln x)
2 dx = -
+"
x2 x
sin(ln x) sin(ln x) + cos(ln x)
dx = - + C
+"
x2 2x
zad. 4.
Ä„
Obliczyć całkę x3 sin x dx .
+"
0
Ä„ Ä„ Ä„ Ä„
Ä„
3
x3 sin x dx = x3(- cos x)2 dx = -[x3 cos x] + 3 x2 cos x dx = Ä„ + 0 + 3 x2(sin x)2 dx =
0
+" +" +" +"
0 0 0 0
Ä„ Ä„
Ä„
Ä„
3 3 3
= Ä„ + 3[x2 sin x] - 6 x sin x dx = Ä„ + 3Å" 0 - 6 x(- cos x)2 dx = Ä„ + 6[x cos x] +
0 0
+" +"
0 0
Ä„
Ä„
3 3
- 6 x dx = Ä„ - 6Ä„ - 0 - 6[sin x] = Ä„ - 6Ä„
0
+"cos
0