Analiza Matematyczna
Kolokwium 2
Zestaw B
Zadanie 1
Prosz¸ obliczyć
e
1
dx.
5 - 3 cos x
Rozwi¸
azanie
1-t2 2
Stosujemy podstawienia: cosx = , dx = dt, gdzie t = tan x/2.
1+t2 1+t2
Otrzymujemy
2
1 1
1+t2
dt = dt = dt =
3(1-t2)
4t2 + 1 (2t)2 + 1
5 -
1+t2
1 1 1
= arctan u + C = arctan(2t) + C = arctan(tan x/2) + C.
2 2 2
gdzie zastosowaliśmy podstawienie u = 2t.
Zadanie 2
1
Prosz¸ obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykres funkcji f(y) = y2 i okr¸
e ag
2
o rĂłwnaniu x2 + y2 - 4x = 0.
Rozwi¸
azanie
ZauwaĹĽmy, ĹĽe obszar O jest symetryczny wzgl¸ osi OX.
edem
1
Rozwiazuj¸ ukĹ‚ad rĂłwnaĹ„ x = y2 i x2 + y2 - 4x = 0 otrzymujemy punkty wspĂłlne
¸ ac
2
okr¸ i paraboli: (0, 0),(2, 2),(2, -2).
egu
St¸ pole obszaru
ad
" "
2 2 2
|P (O)| = 2 ( 4x - x2 - x)dx = 2 ( 4x - x2dx - 2 xdx = c1 - c2.
0 0 0
"
2 2
gdzie c1 = 2 ( 4x - x2dx i c2 = 2 xdx.
0 0
Obliczamy kaĹĽd¸ z caĹ‚ek osobno.
a
"
2 2
c1 = 2 ( 4x - x2dx = 2 ( 4 - (x - 2)2dx
0 0
1
Stosujemy podstawienie: x - 2 = 2sint, dx = 2costdt.
0 0 0
c1 = 4 4 - 4 sin2 t cos tdt = 4 2 cos2 tdt = 4 (cos 2t + 1)dt = 2Ä„
-Ä„/2 -Ä„/2 -Ä„/2
2
c2 = 2 xdx = 4
0
St¸ pole obszaru wynosi |P (O)| = 2Ä„ - 4.
ad
Zadanie 3
Prosz¸ wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziaĹ‚y monotonicznoĹ›ci funkcji
e
2
f(x) = e-x .
Rozwi¸
azanie
Obliczamy pochodn¸ drugiego rz¸ funkcji f(x).
a edu
" "
2 2 2 2 2
f (x) = -2xe-x , f (x) = -2e-x +4x2e-x = 2e-x (2x2 -1) = 2e-x ( 2x-1)( 2x+1).
f (x) < 0, gdy x " (0, ").
f (x) > 0, gdy x " (-", 0).
f (0) = -2 < 0.
Funkcja f(x) rośnie na półprostej (-", 0) i maleje na półprostej (0, "). oraz posiada
maksimum lokalne właściwe równe 1 w punkcie (0, 1).
Zadanie 4
Prosz¸ rozĹ‚oĹĽyć wielomian P (x) = 2x3 - x2 - 5x + 4 w szereg Taylora wedĹ‚ug pot¸
e eg
(x - 2).
Rozwi¸
azanie
Obliczamy kolejne pochodne do rz¸ trzeciego wĹ‚acznie funkcji P (x) jej rozwini¸
edu ¸ ecia
w szereg Taylora w otoczeniu punktu x0 = 2.
f(2) = 6.
f(1)(x) = 6x2 - 2x - 5, f (2) = 15.
f(2)(x) = 12x - 2, f (2) = 22.
f(3)(x) = 12
St¸
ad
2
P (x) = 2x3 - x2 - 5x + 4 = 6 + 15(x - 2) + 11(x - 2)2 + 2(x - 2)3.
3
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
02 01 11V e notatka analiza matematyczna I kolokwium II02 01 11V test0102 01 11A Kolokwium1A02 01 112 Kolokwium1C02 01 11R Kolokwium1D02 01 113 kolokwium02 01 11F Kolokwium2A02 01 11A kolokwium11 (2)02 01 11W kolokwium1202 01 11H kolokwium02 01 11A Kolokwium202 01 114 Kolokwium2A102 01 11G Kolokwium2C102 01 11 kolokwium21102 01 11( kolokwium#02 01 11 e notatka analiza matematyczna II kolokwium I02 01 11 kolokwium22więcej podobnych podstron