Analiza Matematyczna
Kolokwium 2
Zestaw B
Zadanie 1
Prosz¸ obliczyć
e
1
dx.
5 - 3 cos x
Rozwi¸
azanie
1-t2 2
Stosujemy podstawienia: cosx = , dx = dt, gdzie t = tan x/2.
1+t2 1+t2
Otrzymujemy
2
1 1
1+t2
dt = dt = dt =
3(1-t2)
4t2 + 1 (2t)2 + 1
5 -
1+t2
1 1 1
= arctan u + C = arctan(2t) + C = arctan(tan x/2) + C.
2 2 2
gdzie zastosowaliśmy podstawienie u = 2t.
Zadanie 2
1
Prosz¸ obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykres funkcji f(y) = y2 i okr¸
e ag
2
o rĂłwnaniu x2 + y2 - 4x = 0.
Rozwi¸
azanie
ZauwaĹĽmy, ĹĽe obszar O jest symetryczny wzgl¸ osi OX.
edem
1
Rozwiazuj¸ ukĹ‚ad rĂłwnaĹ„ x = y2 i x2 + y2 - 4x = 0 otrzymujemy punkty wspĂłlne
¸ ac
2
okr¸ i paraboli: (0, 0),(2, 2),(2, -2).
egu
St¸ pole obszaru
ad
" "
2 2 2
|P (O)| = 2 ( 4x - x2 - x)dx = 2 ( 4x - x2dx - 2 xdx = c1 - c2.
0 0 0
"
2 2
gdzie c1 = 2 ( 4x - x2dx i c2 = 2 xdx.
0 0
Obliczamy kaĹĽd¸ z caĹ‚ek osobno.
a
"
2 2
c1 = 2 ( 4x - x2dx = 2 ( 4 - (x - 2)2dx
0 0
1
Stosujemy podstawienie: x - 2 = 2sint, dx = 2costdt.
0 0 0
c1 = 4 4 - 4 sin2 t cos tdt = 4 2 cos2 tdt = 4 (cos 2t + 1)dt = 2Ä„
-Ä„/2 -Ä„/2 -Ä„/2
2
c2 = 2 xdx = 4
0
St¸ pole obszaru wynosi |P (O)| = 2Ä„ - 4.
ad
Zadanie 3
Prosz¸ wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziaĹ‚y monotonicznoĹ›ci funkcji
e
2
f(x) = e-x .
Rozwi¸
azanie
Obliczamy pochodn¸ drugiego rz¸ funkcji f(x).
a edu
" "
2 2 2 2 2
f (x) = -2xe-x , f (x) = -2e-x +4x2e-x = 2e-x (2x2 -1) = 2e-x ( 2x-1)( 2x+1).
f (x) < 0, gdy x " (0, ").
f (x) > 0, gdy x " (- ", 0).
f (0) = -2 < 0.
Funkcja f(x) rośnie na półprostej (- ", 0) i maleje na półprostej (0, "). oraz posiada
maksimum lokalne właściwe równe 1 w punkcie (0, 1).
Zadanie 4
Prosz¸ rozĹ‚oĹĽyć wielomian P (x) = 2x3 - x2 - 5x + 4 w szereg Taylora wedĹ‚ug pot¸
e eg
(x - 2).
Rozwi¸
azanie
Obliczamy kolejne pochodne do rz¸ trzeciego wĹ‚acznie funkcji P (x) jej rozwini¸
edu ¸ ecia
w szereg Taylora w otoczeniu punktu x0 = 2.
f(2) = 6.
f(1)(x) = 6x2 - 2x - 5, f (2) = 15.
f(2)(x) = 12x - 2, f (2) = 22.
f(3)(x) = 12
St¸
ad
2
P (x) = 2x3 - x2 - 5x + 4 = 6 + 15(x - 2) + 11(x - 2)2 + 2(x - 2)3.
3