Analiza Matematyczna
Zestaw C
Zadanie 1
Prosz¸ obliczyć granic¸
e e
6n+3
(2n + 1)
limx"
2n + 5
Rozwi¸
azanie

3
2n+5
6n+3 -4
1 +
(2n + 1) 2n+5 (e-4)3
limx" = lim = = e-12
12
-4
x"
2n + 5 1
1 +
2n+5
Zadanie 2
Prosz¸ dobrać staÅ‚e a, b tak, aby funkcja f okreÅ›lona wzorem
e
Å„Å‚
ax + b dla x < -2
òÅ‚
f(x) = |ax2 + b| dla |x| d" 2
ół
a log2 x - bx dla x > 2
była ciagła na R.
¸
Rozwi¸
azanie
Z definicji ciagłości funkcji w punkcie
¸
+
limx-2-(ax + b) = -2a + b, limx-2 |ax2 + b| = |4a + b|,
+
limx2- |ax2 + b) = |4a + b|, limx2 (a log2 x - bx) = a - 2b,
St¸ wynika, że
ad
-2a + b = |4a + b| i |4a + b| = a - 2b. Dla 4a + b e" 0 otrzymujemy 4a + b = -2a + b i
4a + b = a - 2b. Czyli a = 0 i b = 0.
Dla przypadku 4a + b < 0 otrzymujemy sprzeczność.
Funkcja f(x) a" 0 jest ciagła na R.
¸
Zadanie 3
Prosz¸ obliczyć granic¸
e e
e5x - 1
lim
x0
tan 2x
Rozwi¸
azanie
e5x-1
e5x - 1 5x 1 5 5
5x
lim = lim lim = · =
tan 2x
x0 x0 x0
tan 2x 2x 1 2 2
2x
1
Zadanie 4
Prosz¸ znalez
ć równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)), jeśli
e
" "
f(x) = 144 - x2, x0 = 23.
Rozwi¸
azanie
Równanie stycznej w punkcie (x0, f(x0)), y = f (x0)(x - x0) + f(x0).
"
" "
23
"-2x
f (x) = , f ( 23) = - , f( 23) = 11.
11
2 144-x2
St¸
ad
"
"
23
y = - (x - 23) + 11
11
2