Analiza Matematyczna
Zestaw A
Zadanie 1
Prosz¸ obliczyć granic¸
e e
"
n
2-n + 3-n + 5-n
Wskazówka. Wykorzystać twierdzenie o trzech ciagach.
¸
Rozwi¸
azanie
Przypomnijmy twierdzenie o trzech ciagach.
¸
Jeśli an d" bn d" cn dla dostatecznie dużych n, i ciagi (an) oraz (cn) maja równe gra-
¸ ¸
nice, to ciag (bn) też ma granic¸ i zachodzi wzór
¸ e
lim an = lim bn = lim cn.
n" n" n"
" " "
n n
n
2-n d" 2-n + 3-n + 5-n d" 3 · 2-n
" " " "
1
n n n n
lim 2-n = lim 3 · 2-n = lim 3 lim 2-n = 1 · 2-1 =
n" n" n" n"
2
1
Na podstawie twierdzenia o trzech ciagach limn" bn = .
¸
2
Zadanie 2
Prosz¸ obliczyć a tak, aby funkcja f okreÅ›lona wzorem
e

cos(x)
Ä„
gdy x <
a(Ä„-2x) 2
Ä„
ax gdy x e"
2
była ciagła na R.
¸
Rozwi¸
azanie
Z definicji ciagÅ‚oÅ›ci funkcji w punkcie musz¸ zachodzić równoÅ›ci
¸ a
cos(x) Ä„
lim = lim ax = a
Ä„ - Ä„ +
a(Ä„ - 2x) 2
x x
2 2
St¸
ad
cos(x) cos(Ä„/2 - y/2) 1 sin(y/2) 1 sin(y/2) 1
lim = lim = lim = lim =
Ä„ -
a(Ä„ - 2x) 0+ ay a x0+ y 2a x0+ y/2 2a
x
2
Ä„ 1 1
"
a = a = Ä…
2 2a Ä„
Uwaga. Obliczajac granicÄ™ lewostronn¸ funkcji zastosowaliÅ›my podstawienie y = Ä„ -2x.
¸ a
1
Zadanie 3
Prosz¸ obliczyć granic¸
e e
x
1
lim 1 +
x"
2x + 1
Rozwi¸
azanie
1

2
1
x limx" 1 + 2x+1 "
"
1 2x+1 e
lim 1 + = = = e
1

x"
2x + 1 1 1
2
limx" 1 +
2x+1
Zadanie 4
Prosz¸ znalez
ć równanie
e
"stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x0, f(x0)), jeśli
f(x) = (x2 - 1)3 , x0 = 2.
Rozwi¸
azanie
Równanie stycznej w punkcie (x0, f(x0)) y = f (x0)(x - x0) + f(x0).
" " "
f (x) = 6x(x2 - 1)2, f ( 2) = 6 2, f( 2) = 1.
St¸
ad
" " "
y = 6 2(x - 2) + 1 = 6 2x - 11.
2