Analiza Matematyczna
Kolokwium 2
Zestaw A
Zadanie 1
Prosz¸ obliczyć
e

x3
dx.
(1 + x2)3
Rozwi¸
azanie
Stosujemy podstawienie y = x2.

y
x3 1
" "
dx = dy
(1+x2)3 2 (1+y)3
Otrzyman¸ caÅ‚k¸ obliczamy metod¸ caÅ‚kowania przez cz¸
a e a eści

y
1
"
dy = - ((1 + y)-1/2) ydy = -(1 + y)-1/2y + (1 + y)-1/21dy =
2
(1+y)3
"
2
"-x
= -(1 + y)-1/2y + 2(1 + y)1/2 + C = + 2 1 + x2 + C.
1+x2
Zadanie 2
Prosz¸ obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykresy funkcji f(x) = x2 i g(x) = -x2
e
oraz proste x = -1, x = 1.
Rozwi¸
azanie
Zauważmy, że obszar O jest symetryczny wzgl¸ osi OY, st¸ jego pole P (O)
edem ad

1 1
4
|P (O)| = (x2 - (-x2))dx = 2 2x2dx = .
-1 0 3
lub

1 1
4
|P (O)| = (x2 - (-x2))dx = 4 x2dx = .
-1 0 3
Zadanie 3
Prosz¸ wyznaczyć punkty przegi¸ i obszary wypukÅ‚oÅ›ci wykresu funkcji
e ecia
2
f(x) = 2e-x .
1
Rozwi¸
azanie
Obliczamy pochodn¸ drugiego rz¸ funkcji f(x).
a edu
" "
2 2 2 2 2
f (x) = -4xe-x , f (x) = -4e-x +8x2e-x = 4e-x (2x2 -1) = 4e-x ( 2x-1)( 2x+1).
" "
f (x) < 0, gdy x " (-1/ 2, 1/ 2).
" "
f (x) > 0, gdy x " (-", -1/ 2) *" (1/ 2, ").
" "
Wykres funkcji f(x) posiada wi¸ dwa punkty przegi¸ (-1/ 2, e-1/2), (1/ 2, e-1/2)
ec ecia
" "
i jest wypukÅ‚y w przedziaÅ‚ach (-", -1/ 2) *" (1/ 2, ") oraz wkl¸ na przedziale
esły
" "
(-1/ 2, 1/ 2).
Zadanie 4
Prosz¸ napisać trzy pierwsze wyrazy z reszt¸ R3 rozwini¸ Maclaurina dla funkcji
e a ecia
2
f(x) = ex +4x+3.
Rozwi¸
azanie
x2 x3
f(x) = f(0) + f(1)(0)x + (f(2)(0) + f(3)(c) .
2! 3!
gdzie c " [0, x].
Obliczamy kolejne pochodne funkcji f(x) do rz¸ trzeciego wÅ‚¸
edu acznie.
f(0) = e3.
2
f(1)(x) = (2x + 4)ex +4x+3, f (0) = 4e3.
2 2 2
f(2)(x) = 2ex +4x+3 + (2x + 4)2ex +4x+3 = ex +4x+3(4x2 + 16x + 18), f (0) = 18e3.
2 2
f(3)(x) = (2x + 4)ex +4x+3(4x2 + 16x + 18) + ex +4x+3(8x + 16) =
2
= ex +4x+3(8x3 + 48x2 + 88x + 88).
2
f(3)(c) = ec +4c+3(8c3 + 48c2 + 88c + 88).
St¸
ad
2
2 ec +4c+3
f(x) = ex +4x+3 = e3 + 4e3x + 9e3x2 + (8c3 + 48c2 + 88c + 88) .
6
gdzie c " [0, x].
2