Analiza Matematyczna
Kolokwium 2
Zestaw A1
Zadanie 1
Prosz¸ obliczyć
e

1
dx.
5 + 4 sin x
Rozwi¸
azanie
2t 2
Stosujemy podstawienia: sin x = , dx = dt, gdzie t = tan x/2.
1+t2 1+t2
Otrzymujemy

2
2 1 2 1
1+t2
dt = dt = du =
8t
5 + 5 (t + 4/5)2 + 9/25 3 u2 + 1
(1+t2)

2 5t + 4 2 5tanx/2 + 4
= arctan( ) + C = arctan + C
3 3 3 3
5t+4
gdzie zastosowaliśmy podstawienie u = .
3
Zadanie 2
Prosz¸ obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykres funkcji f(x) = x sin 4x i g(x) = 0
e
oraz proste x = 0 i x = Ä„/8.
Rozwi¸
azanie
Pole obszaru

Ä„/8 Ä„/8
1 1
|P (O)| = x sin 4xdx = - x(cos 4x) dx = - Ä„/8(cos Ä„/2)+
4 4
0 0

Ä„/8
1 1 1 1 1
+ 0 cos 0 + 1 cos 4xdx = 0 + sin Ä„/2 - sin 0 =
4 4 16 16 16
0
.
1
Zadanie 3
Prosz¸ wyznaczyć asymptoty wykresu oraz ekstrema lokalne funkcji
e
x + 1
f(x) = " , x " R1.
x2 + 1
Rozwi¸
azanie
x + 1 x(1 + 1/x)
f(x) = " = = -1 gdy x -" lub 1 gdy x +"
x2 + 1 |x| 1 + 1/x2
Wykres funkcji f(x) posiada wi¸ asymptot¸ poziom¸ lewostronn¸ y = -1 i asymptot¸
ec e a a e
poziom¸ prawostronn¸ y = 1.
a a
Obliczamy pochodn¸ rz¸ pierwszego funkcji f(x).
a edu
"
x2 + 1 - (x + 1)2"2x
1 - x
x2+1
f (x) = = .
x2 + 1
(x2 + 1)3
f (x) < 0, gdy x " (1, ").
f (x) > 0, gdy x " (-", 1).
Funkcja f(x) rośnie na przedziale (-", 1) maleje na (1, "). oraz posiada maksimum
" "i
lokalne właściwe równe 2 w punkcie (1, 2).
Zadanie 4
Prosz¸ rozÅ‚ożyć jednomian J(x) = x3 w szereg Taylora wedÅ‚ug pot¸ (x - a) z reszt¸
e eg a
R2 i odpowiedzieć od czego zależy liczba c wyst¸ aca w ostatnim skÅ‚adniku rozwini¸
epuj¸ ecia.
Rozwi¸
azanie
Obliczamy kolejne pochodne do rz¸ drugiego wÅ‚¸ funkcji J(x) jej rozwini¸ w
edu acznie ecia
szereg Taylora w otoczeniu punktu x0 = a.
Mamy
J (a) J (c)
J(x) = x3 = J(a) + (x - a) + (x - a)2.
1! 2!
St¸
ad
x3 = a3 + 3a2(x - a) + 3c(x - a)2.
2
(x - a)(x2 + ax + a2) = 3a2(x - a) + 3c(x - a)2.
x2 + ax + a2 = 3a2 + 3c(x - a)
x2 + ax - 2a2 (x - a)(x + 2a) x + 2a
c = = =
3(x - a) 3(x - a) 3
Liczba c wyst¸ ¸ w reszcie wzoru Taylora zależy od x,a i od rz¸ pochodnej n (dla
epujaca edu
różych n otrzymujemy różne postacie wzoru na c).
3