Wymienniki masy
Wymienniki masy są to aparaty, w których dochodzi do międzyfazowego transportu
substancji lub mówiąc inaczej do międzyfazowej wymiany masy. W wymiennikach zachodzi:
a) skontaktowanie faz na jak największej powierzchni,
b) wymiana masy między fazami (dyfuzja lub dyfuzja burzliwa),
c) rozdzielenie faz o zmienionym składzie.
Rodzi się pytanie: Jak wykonać te czynności? Aby po procesie uzyskać założone stężenia
operację wymiany masy można wykonać w aparatach stopniowanych lub w aparatach
o działaniu ciągłym w ściśle określony sposób.
W pierwszym typie aparatów kontakt faz zachodzi skokowo, natomiast w drugim w
sposób ciągły. W obu typach aparatów przepływ faz można zaaranżować w różny sposób. W
aparatach stopniowanych wyróżnia się przepływ przeciwprądowy lub krzyżowy, natomiast w
aparatach o działaniu ciągłym, które przyjmują kształt kolumn, przepływ przeciwprądowy lub
rzadziej współprądowy. Z kolei przy przeciwprądowym przepływie faz można wyróżnić dwa
typy kolumn.
1. kolumny, w których fazy kontaktują się okresowo na półkach lub w przestrzeniach
międzypółkowych,
2. kolumny niezabudowane lub kolumny z usypanym lub strukturalnym wypełnieniem
umożliwiającym ciągły (nieprzerwany) kontakt faz.
Podczas projektowania kolumn półki, czyli stopnie, należy traktować jako pewne
fragmenty aparatu, w których dochodzi do przemieszania, a następnie rozdzielenia
opuszczających je faz. Jeśli na półce osiągany jest stan równowagi międzyfazowej w
strumieniach wypływających z tej półki, to nazywa się ją półką teoretyczną.
Wielokrotny kontakt faz na kolejnych półkach pozwala uzyskać lepszy efekt wymiany
masy (efekt rozdziału substancji). Z tego powodu głównym celem projektowania półkowego
wymiennika masy jest wyznaczenie (obliczenie) liczby stopni teoretycznych koniecznych do
uzyskania założonej zmiany stężeń w danej fazie (założonego efektu rozdziału), a następnie,
dla danej sprawności aparatu, obliczenie liczby półek rzeczywistych. Znając liczbę półek
rzeczywistych i odstęp między nimi oblicza się wysokość kolumny.
W aparatach kolumnowych o ciągłym kontakcie faz wysokość kolumny oblicza się
odmiennie. Najczęściej oblicza się pole powierzchni styku faz w całym aparacie i z tej
wielkości wyznacza się wysokość kolumny.
Schematy wymienionych typów aparatów i sposobów przepływu strumieni zamieszczono
na poniższym rysunku.
1
Aparaty stopniowane
. .
n ,y n ,y
yp p yk k
n
1 2 n-1
Przepływ przeciwprądowy
. .
n ,x n ,x
xk k xp p
.
n ,y
yp p
. .
n ,x n ,x Przepływ krzyżowy
xp p xk k
n
1 2 n-1
y yk2 y y
k1 k n-1 k n
Aparaty kolumnowe
.
.
, y =y n , x =x
yk xp 0 p
1 k
1
2
3
j-1
yj
Przeciwprądowa kolumna półkowa
j
xj
(z przerywanym kontaktem faz)
j+1
n-2
n
.
.
, y =y
n , x =x
yp n k
xk
. .
n , x
yk xp p
k
Przeciwprądowa kolumna wypełniona
dh
(o ciągłym kontakcie faz)
.
.
n , x
yp xk k
p
2
H
Jednostopniowy wymiennik masy
Zanim omówione zostaną wymienniki masy przedstawione powyżej dokładniej
prześledz
my aparat najprostszy, tj. jednostopniowy wymiennik masy.
Zakłada się istnienie dwóch faz:
FAZA X
FAZA Y
Zakłada się, że strumienie tych faz wynoszą odpowiednio:
&�
nx [kmol / s]
&�
ny [kmol / s]
Stężenia składnika przenikającego pomiędzy fazami wyraża się poprzez ułamki molowe
odniesione do obu faz:
xA lub dla prostoty zapisu x
yA lub dla prostoty zapisu y
Zależność równowagową można zapisać za pomocą prostego równania:
y =� m x
lub
y* =� m x*
Jeśli w wymienniku dochodzi do stanu równowagi (oznaczonego *), to graficzną interpretację
procesu można przedstawić na schemacie:
.
n ,y
yp p
.
.
.
.
. .
n ,x n ,x*
1
xp p xk k
.
n ,y *
yk k
Bilans ogólny wymiennika przedstawia równanie:
&� &� &� &�
nxp +� nyp =� nxk +� n
yk
Bilans składnika przenikającego pomiędzy fazami (a także każdego innego) można zapisać
zależnością:
&� &� &� &�
nxp xp +� n yp =� nxk x* +� n y*
yp k yk k
Wskutek wymiany masy po przejściu przez wymiennik strumienie obu faz ulegają zmianie.
Jeśli jednak założy się, że dla małych stężeń zmiana ta jest niewielka, to można przyjąć, że:
&� &� &�
nxp =� nxk =� n
x
&� &� &�
nyp =� n =� n
yk y
Wówczas równanie bilansu składnika można przekształcić do postaci:
&� &�
nx (�xp -� x* )�=� n (�y* -� yp)�
k y k
y* -� yp
&�
n
k
x
=�
&�
n xp -� x*
y k
&�
nx
y* =� (�xp -� x* )�+� yp
k k
&�
ny
3
 Istnieją dwa przypadki wymiany masy pomiędzy fazami X i Y.
Jeśli obserwuje się zależność:
x* >� xp , oraz yp >� y* ,
k k
to zachodzi proces wymiany masy z fazy Y do fazy X, który nazywa się absorpcją,
natomiast gdy obserwuje się zależność:
x* <� x , oraz yp <� y* ,
k p k
wówczas zachodzi proces wymiany masy z fazy X do fazy Y, który nazywa się desorpcją.
Jeśli w wymienniku nie jest osiągany stan równowagi międzyfazowej, a stężenia końcowe
przyjmują pewne wartości xk oraz yk różne od wartości odpowiadających stanowi
równowagi, to ostatnie równanie można zapisać w postaci:
&� &�
nx nx
yk =� -� xk +� xp +� yp
&� &�
ny ny
Podobne równanie można wyprowadzić dla dowolnego momentu, w którym przerwie się
proces wymiany masy. Wyobraz
my sobie, że znamy stan początkowy mieszaniny
poddawanej oczyszczaniu oraz stan początkowy strumienia roboczego, za pomocą którego
oczyszczamy tę mieszaninę, natomiast stan końcowy jest wybrany dowolnie. Wówczas
schemat jednostopniowego wymiennika masy wygląda następująco:
.
n ,y p
yp
. .
n ,x 1 n ,x
xk
xp p
.
n ,y
yk
Zbilansowanie tego wybranego fragmentu wymiennika masy i przekształcenie równania
bilansowego prowadzi do zależności:
&� &�
n n
x x
y =� -� x +� xp +� yp ,
&� &�
ny ny
którą nazywa się linią operacyjną (linią procesową lub rzadziej linią ruchową) procesu
wymiany masy.
Graficzna interpretacja tej zależności na wykresie y =� f(�x)� przedstawia oczywiście linię
prostą o nachyleniu ujemnym zależnym od stosunku strumieni faz, co pokazano poniżej.
y y
ABSORPCJA (Y X) DESORPCJA (X Y)
A
y
p
C
yk
B
B
*
yk
*
y
k
C
y
k
A
y
p
x
x
x x x*
p k k x x x
*
k k p
4
L
i
n
x
i
x
a
o
m
m
p
=
e
=
y
r
y
a
c
y
j
n
a
L
i
n
i
a
o
p
e
r
a
c
y
j
n
a
W przypadku absorpcji linia operacyjna leży powyżej linii równowagi, natomiast dla
desorpcji poniżej. W obu przypadkach proces przebiega od punktu A do B lub od punktu A
do C. Proces na drodze AB kończy się na linii równowagi, co oznacza, że uzyskano zmianę
stężeń odpowiadającą stopniowi równowagowemu, czyli stopniowi teoretycznemu. Z kolei
proces na drodze AC kończy się przy pewnych stężeniach odmiennych od stanu równowagi.
Korzystając z tego spostrzeżenia można zdefiniować sprawność stopnia jako stosunek
długości tych odcinków. Z fizycznego punktu widzenia można to interpretować jako stosunek
strumienia moli składnika A przekazanego z danej fazy np. X do strumienia moli składnika A,
który mógł być oddany z fazy X. Dla obu procesów sprawność stopnia można zdefiniować
korzystając zarówno ze stężeń w fazie X jak i w fazie Y:
Absorpcja Desorpcja
xk -� x xp -� xk
p
E =� E =�
x x
x* -� x xp -� x*
k p k
yp -� yk yk -� yp
E =� E =�
y y
yp -� y* y* -� yp
k k
Podkreślmy, że równania te stosuje się przy małych wartościach ułamków molowych.
Jeśli stężenia w układzie są duże, to wygodnie jest operować stężeniami innymi niż
ułamki molowe. Stosuje się tak zwane stosunki molowe, tj. stężenia odniesione nie do całych
strumieni, a do strumieni inertów.
Definicje i sposoby przeliczania pomiędzy ułamkami molowymi a stosunkami
molowymi podano poniżej.
Stężenia w fazie X
�� ł� �� ł�
x kmol A X kmol A
X =� x =�
ę� ś� ę�kmol A +� kmol Bś�
1-� x kmol i 1+� X
�� �� �� ��
Stężenia w fazie Y
�� ł� �� ł�
y kmol A Y kmol A
Y =� y =�
ę� ś� ę�kmol A +� kmol Bś�
1-� y kmol i 1+� Y
�� �� �� ��
Dla stężeń zdefiniowanych jako stosunki molowe stałość strumieni na wlocie i wylocie
można zachować, jeśli używa się nie całych strumieni, lecz strumieni inertów zawartych i
odpowiedniej fazie (oznaczonych kreską nad symbolem n):
kmol inertu zawartego w fazie X
ł�
&�
nx ��
ę� ś�
s
�� ��
kmol inertu zawartego w fazie Y
ł�
&�
ny ��
ę� ś�
s
�� ��
Schemat działania jednego stopnia wymiany masy dla tak przyjętych stężeń i strumieni
przedstawia poniższy schemat:
.
n ,Y
y p
. .
n ,X 1 n ,X*
x p x k
.
n ,Y *
y k
5
Jak widać strumienie inertów na wlocie i wylocie ze stopnia nie ulęgają zmianie, zatem bilans
składnika bez żadnych uproszczeń przybiera postać:
*
&� &�
nx (�Xp -� X*)�=� ny (�Yk -� Yp)�
k
Natomiast sprawność stopnia również bez żadnych uproszczeń można zapisać zależnościami:
Absorpcja Desorpcja
Xk -� Xp Xp -� Xk
Ex =� Ex =�
X* -� Xp Xp -� X*
k k
Yp -� Yk Yk -� Yp
Ey =� Ey =�
* *
Yp -� Yk Yk -� Yp
6
Wielostopniowe wymienniki masy
Do grupy wielostopniowych wymienników masy zalicza się aparaty mieszalnikowo 
odstojnikowe (poziome lub pionowe) oraz aparaty kolumnowe zabudowane półkami,
pomiędzy którymi fazy płyną oddzielnie, a na półkach mieszają się ze sobą.
Do wyznaczenia liczby stopni służy wiele metod graficznych oraz analitycznych
(obliczeniowych). Poniżej zostanie omówiona procedura wyznaczania liczby stopni
teoretycznych dla roztworów dwuskładnikowych.
Graficzna metoda wyznaczania liczby stopni teoretycznych
Graficzna metoda wyznaczania liczby stopni teoretycznych nazywana jest metodą
McCabe  Thielego od nazwisk jej twórców.
Podczas projektowania należy ściśle określić parametry konieczne do wykonania
procedury projektowej.
&� &�
Strumienie faz: n [kmol / s] ny [kmol / s] ,
x
Stężenia składnika: x yp ,
p
xk yk .
Podobnie jak w przypadku jednostopniowego wymiennika masy przyjmijmy, że stężenia w
obu fazach są na tyle małe, że strumienie obu faz nie zmieniają się wzdłuż aparatu
&� &� &�
nxp =� nxk =� n
x
&� &� &�
nyp =� n =� n .
yk y
Dla procesu absorpcji zbilansujmy dowolnie wybrany fragment kolumny od wlotu fazy Y
do dowolnego stopnia  j włącznie.
y x
j-1
j
j
N-2
N
. .
n , y =y n , x =x
N
x k
Równanie bilansu składnika przyjmuje postać:
&� &� &� &�
ny yp +� n x =� ny y +� nx xk
x j-�1 j
Jeśli opuścić indeksy przy stężeniach powyżej dowolnie wybranego stopnia (półki)  j , to
równanie po prostych przekształceniach przybiera postać:
&� &�
nx nx
y =� x +� yp -� xk
&� &�
ny ny
Jest to równanie linii operacyjnej obowiązującej pomiędzy kolejnymi stopniami
wydzielonymi w kolumnie.
7
 Graficzna interpretacja tej zależności na wykresie y =� f(�x)� przedstawia oczywiście linię
prostą o nachyleniu dodatnim zależnym od stosunku strumieni faz, co pokazano poniżej dla
przypadku absorpcji.
y
ABSORPCJA (Y X)
A
y
p
B
a�
y
k
x
x
x
k
p
Tangens kąta a� zaznaczonego na wykresie zależy od stosunku strumieni faz, zatem może być
wybierany w pewnym zakresie wartości. Przekształcając równanie bilansu składnika w całej
kolumnie lub korzystając z wykresu można napisać:
&�
nx yp -� yk
=� =� tga�
&�
n xk -� xp
y
Jeśli zmniejsza się strumień (zużycie) fazy X wykorzystywanej w procesie, to nachylenie
linii operacyjnej maleje. Jeśli ma być zachowana zmiana stężeń w fazie Y, to istnieje pewna
minimalna wartość nachylenia linii operacyjnej, co pokazano poniżej.
y
ABSORPCJA (Y X)
A A
y
p
�a�
yk B
x
x x*
x
k k
p
Jak widać na wykresie minimalne nachylenie linii operacyjnej można obliczyć z zależności:
ć� ��
yp -� yk
&�
n
x
�� ��
tga�`=� =� ,
�� ��
&�
n -� xp
y k
Ł� ł�min x*
skąd można znalez
ć minimalne zużycie fazy X, które zapewnia zmianę stężeń w fazie Y
w zakresie pokazanym na rysunku, tj.
yp -� yk
&� &�
(�n )� =� n ,
x min y
x* -� xp
k
8
x
a
m
n
=
j
y
y
c
a
r
e
p
o
a
i
n
i
L
x
m
=
y
 Podobnie jak dla procesu absorpcji wykonajmy rozważania dla procesu desorpcji, tj.
wymiany masy od fazy X do fazy Y. Zbilansujmy fragment kolumny od wlotu oczyszczanej
fazy X do pewnej dowolnie wybranej półki  j
.
.
n , x =x
n , y =y
0
x
k
1
2
j
x
y
j
j+1
Równanie bilansu składnika w tym fragmencie kolumny przyjmuje postać:
&� &� &� &�
nx xp +� ny yj+�1 =� nx x +� n yk
j y
Jeśli opuścić indeksy przy stężeniach poniżej dowolnie wybranego stopnia (półki)  j , to
równanie po prostych przekształceniach przybiera postać:
&� &�
nx nx
y =� x +� yk -� xp
&� &�
ny ny
Jest to równanie linii operacyjnej dla procesu desorpcji, czyli wymiany masy z fazy X do
fazy Y. Graficzna interpretacja tej zależności na wykresie y =� f(�x)� przedstawia linię prostą z
tym, że dla desorpcji jest ona położona pod linią równowagi.
y
DESORPCJA (X Y)
A
y
k
B a�
y
p
x
x x
k p
Tangens kąta a� zaznaczonego na wykresie zależy od stosunku strumieni faz, zatem może być
zmieniany w pewnym zakresie wartości. Przekształcając równanie bilansowe lub korzystając
z wykresu można napisać:
&�
nx yk -� yp
=� =� tga�
&�
n xp -� xk
y
Jeśli zmniejsza się strumień (zużycie) fazy Y wykorzystywanej w procesie jako medium
robocze, to nachylenie linii operacyjnej rośnie. Jeśli ma być zachowana zmiana stężeń w fazie
X, to istnieje pewna maksymalna wartość nachylenia linii operacyjnej, co odpowiada
minimalnemu zużyciu fazy Y, tak jak to pokazano na poniższym rysunku.
9
x
m
=
y
a
n
j
y
c
a
r
e
p
o
a
i
n
i
L
 y
DESORPCJA (X Y)
A
*
y
k
A
y
k
B a�
y
p
x
x
x
k p
Maksymalne nachylenie linii operacyjnej można obliczyć z zależności:
ć� ��
y* -� yp
&�
nx
k
�� ��
tga�`=� =� ,
�� ��
&�
n
y
Ł� ł�max xp -� xk
&�
skąd dla strumienia n =� const minimalny strumień fazy Y wynosi:
x
&�
n
x
&�
(�n )� =�
y
min
y* -� yp
k
xp -� xk
Jak pokazano na wykresach linii operacyjnych przechodzą one przez skrajne punkty A, B
o współrzędnych odpowiadających stężeniom na krańcach kolumny.
. .
n , x
yk k xp p
Absorpcja
A(�xk , yp)�
B(�xp , yk)�
Desorpcja
B(�xk , yp)�
A(�xp, yk)�
.
.
n , x
yp
p xk k
Wynika to z faktu, że w procesie wymiany masy z fazy Y do fazy X stężenia w fazie Y
spełniają zależność yp >� yk , a w procesie desorpcji jest odwrotnie, tj. yk >� yp oraz, że
stężenia w fazie X układają się następująco: dla absorpcji: xk >� xp , a dla desorpcji: xp >� xk .
Wracając do sposobu wyznaczania liczby stopni teoretycznych metodą McCabe-Thiele go
należy podkreślić, że jest to metoda graficzna. Przypomnijmy schemat wielostopniowego
wymiennika masy pracującego przy przeciwprądowym przepływie faz i podkreślmy, że z
*
każdego stopnia wypływają dwie fazy będące ze sobą w równowadze (np. x1, y1 , a pomiędzy
*
dwoma stopniami istnieją dwie fazy spełniające równanie linii operacyjnej (np. x2, y1 ).
y y * y *
p
1 k
n
1 2 n-1
x
x2
x =x1 p
k
10
x
m
=
y
a
n
j
y
c
a
r
e
p
o
a
i
n
i
L
 Zatem przystępując do graficznego wyznaczenia liczby stopni teoretycznych metodą
McCabe-Thiele go należy:
1. Wykreślić linię równowagi opisującą równowagę międzyfazową w układzie, w
którym składnik A występuje w dwóch kontaktujących się fazach. W ogólnym
przypadku jest to pewna krzywa, ale czasem może być przybliżona prostą.
2. Wykreślić linię operacyjną w badanym procesie wymiany masy, tj. w absorpcji lub
desorpcji. Linie operacyjne biegną pomiędzy punktami A i B. Dla procesu absorpcji
punkt A oznacza dół kolumny, a dla desorpcji górę kolumny. Linie operacyjne można
wykreślić, jeśli znane są wszystkie stężenia w strumieniach wlotowych i wylotowych
( yp , yk , xp, xk ) lub jeśli znane są trzy stężenia oraz strumienie faz płynących przez
&� &�
kolumnę ( yp , yk , xp, ny , nx ).
y
ABSORPCJA (Y X)
A  A A
1
y p
2
y
1 1
3
y
2
2
B
3
y =y
k 3
x
y
x x x x =x p
k 1
3 2
p
x* =
k
m
3. Wyznaczenie stopnia teoretycznego wymaga znajomości stężeń równowagowych
odpowiadających strumieniom opuszczającym ten stopień teoretyczny. Zatem, jeśli
zaczynamy kreślić stopnie teoretyczne od punktu A lub inaczej od punktu 1 (co nie
jest konieczne, bo można zacząć od punktu B), to dla stężenia xk =� x1 należy znalez
ć
*
stężenie równowagowe y1 =� m x1 , które leży na linii równowagi po zrzutowaniu
*
punktu A na tę linię. Zatem ułamki molowe x1 oraz y1 należą do tego samego stopnia
teoretycznego, który na wykresie dla absorpcji przedstawia punkt 1. Pomiędzy dwoma
*
stopniami teoretycznymi 1 i 2 płynie faza Y o stężeniu y1 oraz faza X o stężeniu x2 .
Oba te stężenia muszą spełniać równanie linii operacyjnej, tj. leżą na niej w punkcie
2 . Punkt 2 znajduje się rzutując punkt 1 poziomo na linię operacyjną.
4. Naprzemienne rzutowanie punktów z linii operacyjnej na linię równowagi i punktów z
linii równowagi na linię operacyjną nazywa się schodkowaniem i pozwala ono znalez
ć
liczbę stopni teoretycznych koniecznych do zmiany stężenia w fazie Y od wartości
początkowej yp do wartości końcowej yk .
Na rysunku zamieszczonym powyżej przedstawiono sposób wyznaczania liczby stopni
teoretycznych dla procesu absorpcji przy  schodkowaniu od punktu A. Pionowy odcinek 1
 1 liczy się jako pierwszy stopień teoretyczny. Na wykresie znaleziono trzy stopnie
teoretyczne ( nt =� 3 ), które są konieczne do założonego obniżenia stężenia w fazie Y. Gdyby
zaczynać schodkowanie od punktu B, to pierwszym stopniem byłby pierwszy poziomy
odcinek kreślony od linii operacyjnej do linii równowagi.
Na rysunku zaznaczono także linię operacyjną odpowiadającą minimalnemu zużyciu fazy
X (linia A  B). Jak widać linia ta przecina linię równowagi w punkcie (�x* , yp)�, zatem
k
11
kreślenie stopni teoretycznych doprowadzi do uzyskania nieskończonej liczby stopni
teoretycznych ( nt =� Ą� ).
Ponadto na wykresie przedstawiono linię operacyjną o największym możliwym
nachyleniu (linia A   B), dla której wymagany jest tylko jeden stopień teoretyczny, aby
stężenie w fazie Y spadło z wartości yp do wartości yk . W tym przypadku występuje
największe zużycie fazy roboczej X, a stężenie końcowe xk ma wartość minimalną.
Analogicznie wyznacza się liczbę stopni teoretycznych dla procesu desorpcji i podobnie
jak powyżej można zaczynać schodkowania od punktu A lub od punktu B. Na rysunku
pokazano wynik schodkowania zaczynając od punktu B.
y
DESORPCJA (X Y)
*
y
k
A
4
A
= y
y
k 4
3
3
2
y
2
A 
y1 1
y
p
B
x
x =x x
k 1
p
Schodkowanie kończy się gdy na kolejnym pionowym odcinku schodkowania uzyska się
wartość stężenia y równą yk . Jak widać, aby uzyskać obniżenie stężenia w fazie X od
watrości xp do wartości xk , wymagane są cztery stopnie teoretyczne ( nt =� 4). Na wykresie
pokazano także linię operacyjną odpowiadającą największemu zużyciu fazy roboczej Y (linia
A   B), dla której liczba stopni wynosi 1 oraz linię o największym nachyleniu (linia A  B),
dla której liczba stopni teoretycznych równa jest nieskończoności ( nt =� Ą� ).
Porównując wykresy dla absorpcji i desorpcji należy zauważyć, że
ż� �im linia operacyjna leży bliżej linii równowagi, to tym więcej stopni potrzebnych jest
do zrealizowania procesu wymiany masy w wymaganym zakresie stężeń,
ż� �oraz jeśli punkt A leży na linii równowagi (A ), to do zrealizowania procesu
wymagana byłaby nieskończona liczba stopni teoretycznych, czyli należy zastosować
większy strumień fazy roboczej (fazy X dla absorpcji lub fazy Y dla desorpcji), aby
uzyskać wymagane stężenia w oczyszczanej fazie w rozsądnej liczbie stopni
teoretycznych.
W przypadku, kiedy stężenia składnika A wymienianego pomiędzy fazami są na tyle
duże, że nie można założyć równości strumieni na wlocie i wylocie wymiennika masy,
wprowadza się wspomniane w poprzednim rozdziale stosunki molowe w miejsce ułamków
molowych oraz strumienie inertów w miejsce całych strumieni faz. Jeśli przystąpi się do
wyznaczenie liczby stopni teoretycznych metodą McCabe-Thiele go, to należy zwrócić
uwagę na zmianę linii równowagi w omawianym układzie.
Przypomnijmy, że równowaga opisana jest zależnością:
y =� m x
Wstawiając do tej zależności stosunki molowe otrzymuje się:
12
Y X
=� m
1+� Y 1+� X
skąd po przekształceniach równanie linii równowagi przyjmuje postać:
m X
Y =�
1+� (�1-� m)�X
Na wykresie o współrzędnych Y =� f (�X)� i m ą� 1linia ta przyjmuje kształt odbiegający od
prostej:
Y
m>1 m=1
m<1
X
Pamiętając, że strumienie inertów w obu fazach spełniają zależność:
&� &�
nx =� const i ny =� const
równanie linii operacyjnej jest linią prostą,
&� &�
nx nx
Y =� X +� Yp -� Xk
&� &�
ny ny
lub
&� &�
nx nx
Y =� X +� Yk -� Xp
&� &�
ny ny
zatem procedura wyznaczania liczby stopni teoretycznych metodą McCabe-Thiele go w
niczym nie odbiega od procedury przedstawionej dla stężeń wyrażonych jako ułamki molowe.
Matematyczna metoda obliczania liczby stopni teoretycznych
Matematyczną metodę obliczania liczby stopni teoretycznych dla procesu absorpcji
opracował Kremser, a dla procesu desorpcji Sauders i Brown. Obie te metody powstały już w
latach trzydziestych ubiegłego wieku.
Jako podstawę obliczania liczby stopni teoretycznych przyjmuje się definicje
współczynnika absorpcji lub współczynnika desorpcji:
&�
ny m
&�
nx
A =� D =� ,
&� &�
ny m ny
definicje stopnia zmiany składu lub inaczej stopnia wyabsorbowania czy stopnia
wydesorbowania:
&� &�
ny Yp -� ny Yk Yp -� Yk
y�Y =� =�
*
&� &� Yp -� m Xp
ny Yp -� ny Yk
&� &�
nx Xk -� nx Xp Xk -� Xp
y�X =� =�
&� &� Xk -� Yk m
nx Xk -� nx X*
p
13
i związek tych wielkości z liczbą stopni teoretycznych.
Zaprezentowane powyżej wzory upraszczają się, jeśli medium robocze jest czyste, tj.
pozbawione składnika wymienianego między fazami ( Xp =� 0 dla absorpcji i Yp =� 0 dla
desorpcji).
Yp -� Yk
y�Y =�
Yp
Xk -� Xp
y�X =�
Xk
Kolejne uproszczenie wzorów uzyskuje się dla małych stężeń, wówczas stosunki molowe ( X
lub Y ) można zastąpić ułamkami molowymi:
yp -� yk
y�y =�
yp
xk -� xp
y�x =�
xk
Jeśli wartość współczynnika nachylenia linii równowagi międzyfazowej jest stała
( m =� const ) oraz Xp =� 0 , to aby znalez
ć sposób obliczania liczby stopni teoretycznych należy
sporządzić bilanse kolejnych stopni poczynając od stopnia n, z którego wypływa strumień
fazy Y o stężeniu Yn oraz fazy X o stężeniu Xn , natomiast dopływa faza X o stężeniu
Xn+�1 =� Xp =� 0 i faza Y o stężeniu Yn-�1 .
Dla stopnia  n :
&� &� &� &�
ny Yn +� nx Xn =� ny Yn-�1 +� nx Xn+�1
Yn
skąd dla Xn =� :
m
&� &�
nx nx
Yn-�1 =� Yn +� Xn =� Yn +� Yn =� Yn (�1+� A)�
&� &�
ny ny m
Dla stopnia  (n-1) :
&� &� &� &�
ny Yn-�1 +� nx Xn -�1 =� ny Yn-�2 +� nx Xn
Yn Yn-�1
skąd dla Xn =� i Xn-�1 =� :
m m
&�
nx
Yn-�2 =� Yn -�1 +� (�Yn-�1 -� Yn )� =� Yn (�1+� A)�+� A (�Yn-�1 -� Yn )�=� Yn (�1+� A)�+� A (�Yn (�1+� A)�-� Yn )� =�
&�
ny m
=� Yn (�1+� A)�+� A (�Yn +� Yn A -� Yn )�=� Yn (�1+� A +� A2)�
Dla stopnia  (n-2) :
&� &� &� &�
ny Yn-�2 +� nx Xn -�2 =� ny Yn -�3 +� nx Xn-�1
Yn-�1 Yn-�2
skąd dla Xn-�1 =� i Xn-�2 =� :
m m
&�
nx
Yn-�3 =� Yn -�2 +� (�Yn-�2 -� Yn -�1)�=� Yn (�1+� A +� A2)�+� A (�Yn -�2 -� Yn-�1)� =�
&�
ny m
Yn (�1+� A +� A2)�+� A (�Yn (�1+� A +� A2)�-� Yn (�1+� A)�)�=� Yn (�1+� A +� A2)�+� Yn (�A +� A2 +� A3 -� A -� A2)�=�
=� Yn (�1+� A +� A2 +� A3)�
...
14
Dla stopnia  1 :
&� &� &� &�
ny Y1 +� nx X1 =� ny Y0 +� nx X2
skąd:
An+�1 -�1
Y0 =� Yn (�1+� A +� A2 +�L�+� An)�=� Yn
A -�1
Jeśli uwzględnić, że Yn =� Yk , Y0 =� Yp to:
An+�1 -�1
Yp =� Yk ,
A -�1
a stąd po wstawieniu do wzoru na stopień wyabsorbowania:
An+�1 -�1 An+�1 -�1
Yp -� Yk Yk A -�1 -� Yk A -�1 -�1 An+�1 A +�1 An+�1 A
-�1-� -�
y�Y =� =� =� =� =�
Yp An+�1 -�1 An+�1 -�1 An+�1 -�1 An+�1 -�1
Yk
A -�1 A -�1
An +�1 -� A
y�Y =�
An +�1 -�1
Podobnie można wyprowadzić wzór dla procesu desorpcji czyli wymiany masy z fazy
X do Y:
Dn+�1 -� D
y�X =�
Dn+�1 -�1
Graficzną interpretację obu powyższych wzorów przedstawiono poniżej.
n=30
1
n=15
0,9
n=12
n=10
0,8
n=8
n=6
0,7
n=5
n=4
0,6
n=3
0,5
n=2
n=1
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3
A lub D
Jak widać, z wykresu można odczytać, że dla założonego stopnia wyabsorbowania lub
wydesorbowania ( y� ) można dobierać aparaty o różnej liczbie stopni teoretycznych n . Dla
każdego wybranego aparatu uzyska się inny współczynnik absorpcji A (lub desorpcji D ), co
praktycznie oznacza, że w badanym układzie należy zastosować ściśle określony stosunek
&�
nx
strumieni .
&�
ny
15
y�
Stopień zmiany składu (
)