ZDANIE

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

Wyrażenie „p → p” przy wszelkich

poprawnych wstawieniach za

występującą w nim zmienną

zdaniową przekształca się w zdanie

prawdziwe.

Wyrażenia takie nazywamy:

PRAWAMI LOGIKI RACHUNKU

ZDAŃ.

PRAWA LOGIKI RACHUNKU

ZDAŃ

Franek śpi na wykładzie wtedy i tylko

wtedy, gdy Franek śpi na wykładzie.

p ≡ p

każde zdanie jest równoważne z

samym sobą

ZASADA TOŻSAMOŚCI

p p ≡ p

1 1

0 1

PRAWA LOGIKI RACHUNKU

ZDAŃ

Kasia studiuje prawo wtedy i tylko

wtedy, gdy nie jest tak, że Kasia nie

studiuje prawa.

p ≡ ~ ~ p

każde zdanie jest równoważne negacji

swojej negacji

ZASADA PODWÓJNEGO PRZECZENIA

p ~ p p ≡ ~ ~ p

1 0 1

0 1 1

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

~ (p . ~ p)

Nie jest tak, że (Wrocław leży nad Odrą i

Wrocław nie leży nad Odrą.

Nie jest tak, że (Franek śpi na wykładzie i

Franek nie śpi na wykładzie)

p ~ p ~ (p . ~ p)

1 0 1

0 1 1

dwa zdania wzajem sprzeczne nie są oba

prawdziwe

ZASADA SPRZECZNOŚCI

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

p v ~ p

Staś zdał egzamin z prawa rzymskiego lub Staś

nie zdał egzaminu z prawa rzymskiego

Franek zdał egzamin z logiki lub Franek nie

zdał egzaminu z logiki

p ~ p p v ~ p

1 0 1

0 1 1

dwa zdania wzajem sprzeczne nie są oba

fałszywe

ZASADA WYŁĄCZONEGO ŚRODKA

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

(p → ~ p) → ~ p

Jeśli (jeżeli Łódź jest stolicą Polski, to Łódź

nie jest stolicą Polski), to Łódź nie jest

stolicą Polski

p ~ p (p → ~ p) (p → ~ p) → ~ p

1 0 0 1

0 1 1 1

jeżeli dane zdanie implikuje swoją negację,

to ta negacja owego zdania jest

prawdziwa

PRAWO REDUKCJI DO ABSURDU

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

(p . q) → p

Jeśli Wrocław leży nad Odrą i Opole leży nad

Odrą, to Wrocław leży nad Odrą.

p q (p . q) (p . q) → p

1 1 1 1

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 0 1

koniunkcja dwóch zdań implikuje pierwsze z

tych zdań

PRAWO SYMPLIFIKACJI

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

(p . q) ≡ (q . p)

Jaskółki są ptakami i niedźwiedzie są ssakami

wtedy i tylko wtedy, gdy niedźwiedzie są

ssakami i jaskółki są ptakami

p q (p . q) (q . p) (p . q) ≡ (q . p)

1 1 1 1 1

1 0 0 0 1

0 1 0 0 1

0 0 0 0 1

koniunkcja pierwszego zdania i drugiego zdania

jest równoważna koniunkcji drugiego zdania i

pierwszego zdania

PRAWO PRZEMIENNOŚCI KONIUNKCJI

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

p → (p v q)

Jeżeli Marcin idzie na wykład, to Marcin idzie

na wykład lub Michał idzie na wykład.

p q (p v q) p → (p v q)

1 1 1 1

1 0 1 1

0 1 1 1

0 0 0 1

każde zdanie implikuje alternatywę, której jest

składnikiem

PRAWO ADDYCJI

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

(p v q) ≡ (q v p)

Staś jest studentem lub Jaś jest studentem

wtedy i tylko wtedy, gdy Jaś jest studentem

lub Staś jest studentem.

p q (p v q) (q v p) (p v q) ≡ (q v p)

1 1 1 1 1

1 0 1 1 1

0 1 1 1 1

0 0 0 0 1

alternatywa pierwszego zdania i drugiego

zdania jest równoważna alternatywie

drugiego zdania i pierwszego zdania

PRAWO PRZEMIENNOŚCI ALTERNATYWY

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

~ (p . q) ≡ (~ p v ~ q)

Nie jest tak, że Maria jest prawnikiem i Maria jest

lekarzem wtedy i tylko wtedy, gdy Maria nie jest

prawnikiem lub Maria nie jest lekarzem.

p q ~ (p . q) (~ p v ~ q) ~ (p. q) ≡ (~ p v

~q)

1 1 0 0 1

1 0 1 1 1

0 1 1 1 1

0 0 1 1 1

negacja koniunkcji zdań jest równoważna

alternatywie negacji tych zdań

PIERWSZE PRAWO DE MORGANA

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

~ (p v q) ≡ (~ p . ~ q)

Nie jest tak, że Bolek jest posłem lub Maciek jest

senatorem wtedy i tylko wtedy, gdy Bolek nie

jest posłem i Maciek nie jest senatorem.

p q ~ (p v q) (~ p . ~ q) ~ (p v q) ≡ (~ p .

~ q)

1 1 0 0 1

1 0 0 0 1

0 1 0 0 1

0 0 1 1 1

negacja alternatywy zdań jest równoważna

koniunkcji negacji tych zdań

DRUGIE PRAWO DE MORGANA

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

[ (p → q) . p ] → q

Jeśli [(jeżeli pada deszcz, to jest mokro) i pada

deszcz], to jest mokro.

q (p → q) [ (p → q) . p ] [ (p → q) . p ] → q

1 1 1 1

0 0 0 1

1 1 0 1

0 1 0 1

gdy jedno zdanie implikuje drugie i jest tak, jak

stwierdza pierwsze zdanie, to jest też tak, jak

stwierdza drugie zdanie

MODUS PONENDO PONENS

(sposób przez potwierdzenie potwierdzający)

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

[ (p → q) . ~ q ] → ~ p

Jeśli [(jeżeli Bolek zdał egzamin z logiki, to Franek

zdał egzamin z logiki) i Franek nie zdał egzaminu

z logiki], to Bolek nie zdał egzaminu z logiki

q (p → q) [(p → q) . ~ q] [(p → q) . ~ q ] → ~ p

1 1 0 1

0 0 0 1

1 1 0 1

0 1 1 1

gdy jedno zdanie implikuje drugie i nie jest tak, jak

stwierdza drugie zdanie, to nie jest tak, jak

stwierdza pierwsze zdanie

MODUS TOLLENDO TOLLENS

(sposób przez zaprzeczenie zaprzeczający)

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

[ (p v q) . ~ p ] → q

Jeśli [(Bolek zdał egzamin z logiki lub Franek

zdał egzamin z logiki) i Bolek nie zdał

egzaminu z logiki], to Franek zdał egzaminu z

logiki.

p q (p v q)[ (p v q) . ~ p ] [ (p v q) . ~ p ] → q

1 1 1 0 1

1 0 1 0 1

0 1 1 1 1

0 0 0 0 1

gdy prawdziwa jest alternatywa dwóch zdań i

jedno z nich jest nieprawdziwe, to drugie jest

prawdziwe

MODUS TOLLENDO PONENS

(sposób przez zaprzeczenie potwierdzający)

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

[ (p / q) . p ] → ~ q

Jeśli (bądź Bolek zdał egzamin z logiki bądź

Franek zdał egzamin z logiki i Bolek zdał

egzaminu z logiki), to Franek nie zdał

egzaminu z logiki.

p q (p / q) [(p / q) . p ] [ (p / q) . p ] → ~ q

1 1 0 0 1

1 0 1 1 1

0 1 1 0 1

0 0 1 0 1

gdy prawdziwa jest dysjunkcja i jedno z jej zdań

składowych, to drugie jest fałszywe

MODUS PONENDO TOLLENS

(sposób przez potwierdzenie zaprzeczający)

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

~ p → (p → q)

Jeśli Wenecja nie jest stolicą Włoch, to

(jeżeli Wenecja jest stolicą Włoch, to

Ania jest matką Kasi).

p q ~ p (p → q) ~ p → (p → q)

1 1 0 1 1

1 0 0 0 1

0 1 1 1 1

0 0 1 1 1

gdy dane zdanie jest fałszywe, to

implikuje ono dowolne zdanie

PRAWO DUNSA SZKOTA

PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

(p → q) → (~ q → ~ p)

Jeśli (jeżeli słońce świeci, to jest dzień), to

(jeżeli nie ma dnia, to nie świeci słońce).

p q (p → q) (~ q → ~ p) (p → q) → ( ~ q → ~

1 1 1 1 1

1 0 0 0 1

0 1 1 1 1

0 0 1 1 1

gdy jedno zdanie implikuje drugie, to

negacja drugiego zdania implikuje

negację pierwszego zdania

PRAWO TRANSPOZYCJI

METODA ZERO-JEDYNKOWA

(p . q) → p

Pierwszy etap:

- ustalenie

poszczególnych

kolumn tabelki

(p .

(p . q) → p

METODA ZERO-JEDYNKOWA

Drugi etap:

- ustalenie ilości

rzędów i

wypełnienie

kolumn dla

poszczególnych

zmiennych

(p .

(p . q) →

METODA ZERO-JEDYNKOWA

Trzeci etap:

wypełnienie

pozostałych

kolumn tabelki w

oparciu o

matryce

poszczególnych

spójników

(p .

(p . q) →

METODA ZERO-JEDYNKOWA

INNY PRZYKŁAD:

[ p v (q

r) ] → r

Pierwszy etap:

ustalenie

poszczególnych

kolumn tabelki

(q .

IvI

V→III

METODA ZERO-JEDYNKOWA

(q . r)

I v IV

V → III

III

METODA ZERO-JEDYNKOWA

(q . r)

I v IV

V → III

III

Document Outline