1

1

Modele ARMA w 

Modele ARMA w 

prognozowaniu

prognozowaniu

 

 

2

2

Podstawowe pojęcia modeli 

Podstawowe pojęcia modeli 

ARMA

ARMA



stacjonarność

stacjonarność



biały szum

biały szum



funkcja autokorelacji ACF

funkcja autokorelacji ACF



funkcja częściowej 

funkcja częściowej 

autokorelacji PACF

autokorelacji PACF

3

3

Stacjonarny szereg 

Stacjonarny szereg 

czasowy

czasowy

Szereg czasowy nazywamy stacjonarnym, 

Szereg czasowy nazywamy stacjonarnym, 

jeśli spełnione są trzy warunki:

jeśli spełnione są trzy warunki:



wartość oczekiwana EY (t) 

wartość oczekiwana EY (t) 

jest stała 

jest stała 

(nie zmienia się wraz ze zmianą chwili 

(nie zmienia się wraz ze zmianą chwili 

czasowej t)

czasowej t)



wariancja 

wariancja 

Var (Y(t)) jest stała

Var (Y(t)) jest stała



autokorelacja 

autokorelacja 

zależy tylko od różnicy |

zależy tylko od różnicy |

t-s|

t-s|

4

4



Jeśli spełniony warunek (1) to 

Jeśli spełniony warunek (1) to 

szereg czasowy 

szereg czasowy 

nie ma trendu

nie ma trendu



Warunek (2) oznacza 

Warunek (2) oznacza 

brak 

brak 

sezonowości 

sezonowości 



Jeśli na zależność między 

Jeśli na zależność między 

obserwacjami ma wpływ tylko 

obserwacjami ma wpływ tylko 

odległość pomiędzy nimi to 

odległość pomiędzy nimi to 

wtedy warunek (3) jest spełniony

wtedy warunek (3) jest spełniony

5

5

Wartość akcji banku PeKaO 

Wartość akcji banku PeKaO 

S.A. w roku 2001

S.A. w roku 2001

6

6

Wielkość sprzedaż kompanii 

Wielkość sprzedaż kompanii 

Atron

Atron

7

7

Biały szum

Biały szum

Szereg czasowy nazywa się 

Szereg czasowy nazywa się 

białym 

białym 

szumem

szumem

, gdy 

, gdy 

Y

Y

t

t

 = c + 

 = c + 

ε

ε

t

t

 

 

gdzie

gdzie

c – to pewna stała

c – to pewna stała

ε

ε

t

t

 – to ciąg niezależnych zmiennych 

 – to ciąg niezależnych zmiennych 

losowych o średniej zero i stałej 

losowych o średniej zero i stałej 

wariancji

wariancji

8

8

Biały szum

Biały szum

9

9

Funkcja autokorelacji 

Funkcja autokorelacji 

ACF

ACF





















T

t

t

T

k

t

k

t

t

Y

Y

Y

Y

Y

Y

k

ACF

1

2

1

)

(

)

)(

(

)

(

10

10

Jeśli szereg czasowy jest białym 

Jeśli szereg czasowy jest białym 

szumem, to dla każdego k > 0 

szumem, to dla każdego k > 0 

jego funkcja ACF (k) z 

jego funkcja ACF (k) z 

prawdopodobieństwem 95% 

prawdopodobieństwem 95% 

mieście się w przedziale 

mieście się w przedziale 

[ -1,96 / 

[ -1,96 / 

√n ; 1,96 / √n ]

√n ; 1,96 / √n ]

n – ilość obserwacji

n – ilość obserwacji

Wartość ACF (0) jest dla dowolnego 

Wartość ACF (0) jest dla dowolnego 

szeregu czasowego równa 1

szeregu czasowego równa 1

11

11

12

12

Funkcja częściowej 

Funkcja częściowej 

autokorelacji PACF (k)

autokorelacji PACF (k)

Y

Y

t 

t 

= b

= b

0

0

 + b

 + b

1

1

 Y

 Y

t-1

t-1

 + b

 + b

2

2

 Y

 Y

t-2

t-2

 + … + b

 + … + b

k

k

 Y

 Y

t-k

t-k

 

 

ε

ε

t

t

W modelu, szereg czasowy Y

W modelu, szereg czasowy Y

t

t

 występuje 

 występuje 

zarówno jako zmienna zależna i jako 

zarówno jako zmienna zależna i jako 

zmienna niezależna.

zmienna niezależna.

Taki model nazwiemy modelem 

Taki model nazwiemy modelem 

autoregresji rzędu k 

autoregresji rzędu k 

w skrócie AR (k)

w skrócie AR (k)

13

13

Wartość PACF (k) jest równa 

Wartość PACF (k) jest równa 

współczynnikowi b

współczynnikowi b

k 

k 

w tym modelu.

w tym modelu.

Mierzy ona zależność pomiędzy 

Mierzy ona zależność pomiędzy 

zmiennymi Y

zmiennymi Y

t

t

 a Y

 a Y

t-k

t-k

 bez 

 bez 

uwzględniania kroków pośrednich 

uwzględniania kroków pośrednich 

(„zależność bezpośrednia”)

(„zależność bezpośrednia”)

14

14

Biały szum

Biały szum

15

15

PACF

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28

lag

PACF
1,96/sqrt(n)
-1,96/sqrt(n)

16

16

Dla białego szumu funkcja PACF (k) 

Dla białego szumu funkcja PACF (k) 

(podobnie jak ACF (k)) mieście się 

(podobnie jak ACF (k)) mieście się 

w przedziale

w przedziale

[ -1,96 / 

[ -1,96 / 

√n ; 1,96 / √n ]

√n ; 1,96 / √n ]

n – ilość obserwacji

n – ilość obserwacji

Wartość PACF (0) jest dla dowolnego 

Wartość PACF (0) jest dla dowolnego 

szeregu czasowego równa 1

szeregu czasowego równa 1

17

17

Wartości indeksu Standard 

Wartości indeksu Standard 

and Poor 500

and Poor 500

18

18

Funkcja ACF (k) dla indeksu 

Funkcja ACF (k) dla indeksu 

S&P 500

S&P 500

19

19

Funkcja PACF (k) dla 

Funkcja PACF (k) dla 

indeksu S&P 500

indeksu S&P 500

20

20

Różnicujemy szereg czasowy

Różnicujemy szereg czasowy

Obliczmy wartości kolejnych różnic

Obliczmy wartości kolejnych różnic

Y

Y

t

t

d

d

 = Y

 = Y

t

t

 – Y

 – Y

t-1

t-1

21

21

Indeks S&P 500 po 

Indeks S&P 500 po 

różnicowaniu

różnicowaniu

22

22

Funkcja ACF (k) dla 

Funkcja ACF (k) dla 

różnicowanego indeksu S&P 

różnicowanego indeksu S&P 

500

500

ACF

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28

lag

ACF
1,96/sqrt(n)
-1,96/sqrt(n)

23

23

Funkcja PACF (k) dla 

Funkcja PACF (k) dla 

różnicowanego indeksu S&P 

różnicowanego indeksu S&P 

500

500

PACF

-0,3

-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28

lag

PACF
1,96/sqrt(n)
-1,96/sqrt(n)

24

24

Wykres wartości indeksu S&P 500 

Wykres wartości indeksu S&P 500 

charakteryzuje się wyraźną linią trendu.

charakteryzuje się wyraźną linią trendu.

Trend ten usunięto z danych za pomocą 

Trend ten usunięto z danych za pomocą 

operacji różnicowania.

operacji różnicowania.

Różnicowanie to spowodowało, iż funkcje 

Różnicowanie to spowodowało, iż funkcje 

ACF (k) i PACF (k) dla szeregu Y

ACF (k) i PACF (k) dla szeregu Y

t

t

d

d

 

 

mieszczą się (z nielicznymi wyjątkami) w 

mieszczą się (z nielicznymi wyjątkami) w 

przedziale ufności dla białego szumu.

przedziale ufności dla białego szumu.

Taki szereg nazywamy 

Taki szereg nazywamy 

błądzeniem 

błądzeniem 

losowym

losowym

25

25

Błądzenie losowe

Błądzenie losowe

Szereg, który w wyniku różnicowania 

Szereg, który w wyniku różnicowania 

jest białym szumem nazywamy 

jest białym szumem nazywamy 

błądzeniem losowym

błądzeniem losowym

Jeśli Y

Jeśli Y

t

t

 jest błądzeniem losowym, to:

 jest błądzeniem losowym, to:

Y

Y

t

t

 = Y

 = Y

t-1

t-1

 + 

 + 

ε

ε

t

t

ε

ε

t

t

 – to ciąg niezależnych losowych o 

 – to ciąg niezależnych losowych o 

średniej zero i stałej wariancji

średniej zero i stałej wariancji

26

26

Wartość indeksu WIG 20

Wartość indeksu WIG 20