Zmienne losowe i ich 

rozkłady

Zmienna losowa: liczba 

przyporządkowana zdarzeniu

Dystrybuanta:
F(x)=P(yx)
Gęstość prawdopodobieństwa:
f(x)=dP(x)/dx
Funkcja zmiennej losowej jest też 

zmienną losową.

 

 

Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta rozkładu 

prawdopodobieństwa liczby oczek w pojedynczym rzucie 

kostką symetryczną

 

 

Momenty rozkładu









  



















n

1

i

i

i

n

1

i

i

i

x

x

P

x

H

)

x

(

H

E

x

x

P

x

})

x

({

E

 

 

 





   























dx

x

f

x

H

x

H

E

dx

x

xf

xˆ

}

x

{

E

Dla zmiennych 
ciągłych:

Jeżeli H(x)=(x-x

c

)

n

 to E{H(X)} nazywa się n-

tym momentem x względem c; jeżeli c=

      

to E 

jest n-tym momentem centralnym, 

n

({x}).

xˆ

 

 

Użyteczne momenty 

centralne

Wariancja

 

 

 

 



  



















dx

x

f

xˆ

x

x

x

2

2

2

Skrzywienie

 

 

 

 

 

 

 

  

  























dx

x

f

xˆ

x

x

1

x

x

x

3

3

2

/

3

2

3

Kurtoza

 

 

 

 

 

 

 

  

  

3

dx

x

f

xˆ

x

x

1

3

x

x

x

4

4

2
2

4



























 

 

Obliczanie momentów 

centralnych z próby





























3

ˆ

3

2

1

1

2

)

1

(

ˆ

1

1

1

ˆ

1

1

1

ˆ

4

1

4

3

1

3

2

1

1

2

1

2

2

1

































































































n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

x

x

n

n

n

n

n

n

n

x

x

n

x

n

x

n

x

x

n

x

n

x

 

 

Przykłady momentów 

centralnych paru rozkładów

 

 

Mediana i kwantyle

1.0

0.5

0.2

x

0.5

x

0.2

x

f(x)

median
a

 

 











q

x

q

q

dx

x

f

x

F

 

 

Rozkład dwóch zmiennych i 

kowariancja

 

 









 









 











 

 

 

   

y

x

y

,

x

cov

y

,

x

y

,

x

cov

yˆ

y

xˆ

x

E

y

yˆ

y

E

x

xˆ

x

E

yˆ

y

E

xˆ

x

E

11

2

2

02

2

2

20

01

10



















































 

 

Rozkład normalny





























































































x

erf

,

;

x

F

2

x

exp

2

1

0

,

1

;

u

f

2

x

exp

2

1

,

;

x

f

2

2

2

u : zmienna 
stadardyzowana

 

 

Centralne twierdzenie 

graniczne

Jeżeli x jest zmienną losową o wartości 

średniej a i wariancji b

2

, to zmienna











n

i

i

n

x

n

1

lim

1



Ma rozkład normalny o wartości średniej a i 

wariancji b

2

/n.

 

 

Pobieranie próby

Populacja generalna: zbiór wyników 

wszystkich możliwych doświadczeń 
określonego typu.

Próba n-wymiarowa: zbiór n wyników 

doświadczeń.

Wyniki j-tej próby przedstawiamy w 

postaci n-wymiarowej zmiennej losowej

x

(j)

=(x

1(j)

,x

2(j)

,...,x

n(j)

). Wektor ten ma rozkład 

prawdopodobieństwa g(x)=g(x

1

,x

2

,...,x

n

).

 

 

Pobieranie losowe

1. g(x)=g

1

(x

1

)g

2

(x

2

)...g

n

(x

n

) 

(prawdopodobieństwa pobrania 
poszczególnych elementów próby są 
niezależne od siebie),

2. g

1

(x)=g

2

(x)=...=g

n

(x)=f(x) 

(poszczególne rozkłady muszą być 
identyczne z rozkładem gęstości dla 
populacji). 

 

 

Dystrybuanta empiryczna (rozkład w 

próbie)

W

n

(x)=n

x

/n

n

x

 – liczba elementów próby takich że 

x

j

x.

W

n

(x) dąży do prawdziwej dystrybuanty 

F(x) dla n

 

 

Przedstawianie rozkładów z 

próby

• Wykresy liniowe (jednowymiarowe)
• Histogramy

– Wykresy schodkowe
– Wykresy słupkowe
– Wykresy impulsowe

Konstrukcja histogramu
h(x)=n(x<yx+x)
h(x

1

,x

2

,...,x

n

)=n(x

1

<y

1

x

1

+x

1

,x

2

<y

2

x

2

+x

2

,..., x

n

<y

n

x

n

+x

n

)

 

 

Przedstawienie wyników pomiarów 

oporu 100 pojedynczych oporników

• Wykres liniowy
• Histogram – wykres słupkowy
• Histogram – wykres schodkowy
• Histogram – wykres z zaznaczonymi 

przedziałami błędów

Zależność postaci histogramów 
z próby dla czterech różnych 
szerokości przedziałów 

 

 

Statystyki i estymatory

Statystyka: funkcja określona na elementach 
próby, np. średnia.





n

x

x

x

n

x











2

1

1

Estymator: przybliżona wartość parametru 
rozkładu prawdopodobieństwa wyznaczona z 
próby. S=S(x

1

,x

2

,...,x

n

)

Estymator jest nieobciążony jeżeli jego wartość 
oczekiwana nie zależy od liczby elementów 
próby.

Estymator jest zgodny jeżeli jego wariancja 
dąży do zera wraz ze wzrostem liczby 
elementów próby. 

  

 

 

Estymator wartości średniej rozkładu





























)

(

1

)

ˆ

(

)

ˆ

(

)

ˆ

(

1

)

ˆ

(

)

ˆ

(

)

ˆ

(

1

ˆ

1

)

(

)

(

ˆ

)

(

)

(

)

(

1

)

(

2

2

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

1

x





n

x

x

x

x

x

x

E

n

x

x

x

x

x

x

E

n

x

x

x

x

n

E

x

E

x

E

x

x

x

E

x

E

x

E

n

x

E

n

n

n

n



























































































Estymator wartości średniej jest zatem 
estymatorem nieobciążonym i zgodnym.

 

 

Estymator wariancji rozkładu (nieobciążony i 
zgodny)









1

2

)

var(

)

(

)

(

1

)

(

1

1

)

)

ˆ

((

)

)

ˆ

((

1

1

)

ˆ

(

)

ˆ

)(

ˆ

(

2

)

ˆ

(

1

1

)]

ˆ

(

)

ˆ

[(

1

1

)

(

)

(

)

(

1

1

)

(

)

(

)

(

)

(

1

1

4

2

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

1

2

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

















































































































































n

s

n

n

n

n

x

x

E

x

x

E

n

x

x

x

x

x

x

x

x

E

n

x

x

x

x

E

n

x

x

x

x

x

x

E

n

s

E

x

x

x

x

x

x

n

s

n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

n

n









x

x

x





 

 

Estymator wariancji wartości średniej:

 

 



 















n

i

i

x

x

n

n

x

s

n

x

s

1

2

2

2

1

1

1

Estymator odchylenia standardowego wartości 
średniej:





1

2 





n

s

s

 



 













n

i

i

x

x

n

n

x

s

1

2

2

1

1

Estymator błędu ochylenia standardowego:

 

 

Estymatory nieobciążone i zgodne 

skośności i kurtozy

 









 

















3

ˆ

3

2

1

1

2

)

1

(

ˆ

4

1

4

3

1

3







































n

i

i

n

i

i

x

x

n

n

n

n

n

E

n

n

x

x

n

E

 

 

Obliczanie mediany z serii pomiarów 

wielkości prostej

n

x

x

x









2

1

1. Sortujemy wyniki pomiarów od najmniejszego do 

największego,

2. Jeżeli liczba pomiarów (n) jest nieparzysta to 

mediana (x

m

) jest środkowym wynikiem pomiaru o 

numerze (n+1)/2

3. Jeżeli liczba pomiarów jest parzysta to mediana jest 

średnią arytmetyczną największego wyniku z 
“lewej” i najmniejszego z “prawej” połowy.





2

/

1





n

m

x

x





2

/

1

2

/

1

2

/









n

n

m

x

x

x

 

 

Wielowymiarowy rozkład 

normalny

 









 



 





































































x

A

x

x

x

a

x

f

x

x

x

f

T

n

n

i

n

j

j

j

i

i

ij

n

n

2

1

exp

2

)

det(

2

1

exp

2

)

det(

)

(

)

,...,

,

(

2

/

1

1

2

/

2

1

A

A

 

 

 

 

Przenoszenie błędów 

(rachunek błędów)

Niech x=(x

1

,x

2

,...,x

n

) będzie n-wymiarową 

zmienną losową złożoną z niezależnych 
składników o rozkładach normalnych z 
wariancjami 

1

2

, 

2

2

,..., 

n

2

. Wtedy funkcja 

skalarna y=f(x) tej zmiennej losowej jest 
zmienną losową opisywaną w przybliżeniu 
rozkładem normalnym o następującej 
wariancji:

2

x

2

n

2

x

2

2

2

x

2

1

2

y

n

2

1

x

f

x

f

x

f



































































 

 

Jeżeli elementy x są skorelowane to we wzorze 
występuje pełna macierz wariancji-kowariancji

j

i

j

i

i

x

x

x

x

n

1

i

i

1

j

j

i

2
x

2

n

1

j

i

j

i

n

1

i

j

n

1

j

i

2

y

r

x

f

x

f

2

x

f

)

x

,

x

cov(

x

f

x

f





















































































































 

 

Szacowanie błędu “z góry”

n

x

n

x

x

y

r

x

f

r

x

f

r

x

f

r























2

1

2

1

gdzie r

y

 jest oszacowanym maksymalnym błędem 

wielkości y a r

xi

 jest oszacowanym maksymalnym 

błędem wielkości x

i

.

 

 

Rozkład wariancji z próby (rozkład 



2

)

Pobieramy próbę x

1

,x

2

,...,x

n

 z rozkładu 

normalnego o a=0 i =1. Dystrybuanta 

rozkładu zmiennej x

2

=x

1

2

+x

2

2

+...+x

n

2

 jest 

dana następującą funkcją:

du

u

u

n

F

n

n











 





















2

1

exp

2

2

1

1

)

(

2

0

1

2

1

2





gdzie (y) jest funkcją gamma Eulera (silnią 

uogólnioną na liczby rzeczywiste). 













0

)

1

(

dt

e

t

x

t

x

 

 











 





















u

2

1

exp

u

2

n

2

1

1

)

(

f

1

n

2

1

n

2

Zatem sam rozkład wariancji jest dany następującą 
funkcją