„Matematyka jest
delikatnym kwiatem, który
rośnie nie na każdej glebie
i zakwita nie wiadomo
kiedy i jak..”
Jean Fabre
„Matematyka jest
delikatnym kwiatem, który
rośnie nie na każdej glebie
i zakwita nie wiadomo
kiedy i jak..”
Jean Fabre
WYKORZYSTANIE RÓWNAŃ
DO ROZWIĄZYWANIA ZADAŃ
TEKSTOWYCH – ROZTWORY
Solanki, syropy i inne roztwory
potrafią przyprawić o ból głowy.
Chemia
to
nie
jedyny
przedmiot
na
którym
przychodzi się z nimi zmierzyć,
często
na
matematyce
pojawiają się zadania tekstowe
dotyczące
roztworów.
Na
szczęście w większości zadania
tego
typu
rozwiązuje
się
stosując podobne algorytmy.
CO NALEŻY ZROBIĆ ABY
ROZWIĄZAĆ ZADANIE
TEKSTOWE.
1. Przeczytaj uważnie treść zadania
2. Oznacz niewiadomą w zadaniu
3. Przeanalizuj treść zadania
4. Ułóż równanie
5. Rozwiąż równanie
6. Sprawdź poprawność rozwiązania i jego
zgodność z treścią zadania
7. Sformułuj odpowiedź
ROZTWÓR.
Roztwór to mieszanina rozpuszczalnika
(najczęściej wody) i substancji rozpuszczanej.
Mówimy, że roztwór jest czteroprocentowy,
gdy masa substancji rozpuszczonej stanowi
4% masy całego roztworu.
Stężenie
procentowe
roztworu
można
obliczyć według wzoru:
p – stężenie procentowe roztworu
s – masa substancji rozpuszczonej
r – masa roztworu (r = masa rozpuszczalnika
+ s)
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 1.
W 3 l wody rozpuszczono 2 kg soli. Jakie jest
stężenie procentowe tak otrzymanej solanki?
Analiza zadania:
x – stężenie procentowe solanki
3 kg – masa wody
2 kg – masa soli
3 kg + 2 kg = 5 kg – masa roztworu
Rozwiązanie (korzystamy ze wzoru):
x = 40%
Odpowiedź: Stężenie tej solanki wynosi 40%.
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 2.
Ile soli należy wsypać do 1,5 l wody aby
otrzymać roztwór dziesięcioprocentowy?
Analiza zadania:
x – masa soli, którą trzeba wsypać
1,5 kg – masa wody
10% - stężenie roztworu
(1,5 + x) kg – masa roztworu
Rozwiązanie (korzystamy ze wzoru):
10% ∙ (1,5 + x) = x ∙ 100% | : 100%
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 2 – ciąg dalszy.
0,1 ∙ (1,5 + x) = x
0,15 + 0,1x = x | - 0,1x
0,15 = 0,9x | :0,9
Odpowiedź:
Aby
otrzymać
roztwór
dziesięcioprocentowy należy wsypać kg
soli.
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 3.
Ile wody należy dolać do 20 kg solanki
pięcioprocentowej, aby otrzymać solankę
czteroprocentową?
Analiza zadania:
x – masa wody, którą należy dolać
20 kg – masa „starego” roztworu
5% - stężenie „starego” roztworu
0,05 ∙ 20 kg – masa soli w „starym”
roztworze
(20 + x) kg – masa „nowego” roztwory
4% - stężenie „nowego” roztworu
0,04 ∙ (20 + x) kg – masa soli w „nowym”
roztworze
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 3 – ciąg dalszy.
Zauważmy, że w nowym roztworze zmienia
się tylko masa wody, masa soli pozostaje bez
zmian, na tej podstawie możemy zbudować
równanie:
0,04 ∙ (20 + x) = 0,05 ∙ 20
0,8 + 0,04x = 1
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 3 – ciąg dalszy.
Rozwiązanie równania:
0,8 + 0,04x = 1 | - 0,8
od obu stron równania
odejmuję 0,8
0,04x = 0,2 | :0,04
obie strony równania dzielę przez
0,04
x = 5 (kg)
Dla uproszczenia podczas rozwiązywania
równania nie zapisywaliśmy jednostek,
dlatego przy rozwiązaniu jednostka jest
zapisania w nawiasie ().
5 kg wody to oczywiście 5 l wody.
Odpowiedź: Aby otrzymać solankę
czteroprocentową należy dolać 5 l wody.
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 4.
Ile soli należy dosypać do 5 kg solanki
pięcioprocentowej
aby
otrzymać
solankę
dziesięcioprocentową?
Analiza zadania:
x – masa soli, którą trzeba dosypać
5 kg – masa starego roztworu
5% - stężenie starego roztworu
0,05 ∙ 5kg – masa soli w starym roztworze
(5 + x) kg – masa nowego roztworu
10% - stężenie nowego roztworu
0,1 ∙ (5 + x) kg – masa soli w nowym roztworze
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 4 – ciąg dalszy.
Masa soli w starym roztworze jest o x kg
mniejsza od masy soli w nowym roztworze,
na tej podstawie tworzymy równanie:
0,05 ∙ 5 + x = 0,1(5 + x)
0,25 + x = 0,5 + 0,1x
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
Zadanie 4 – ciąg dalszy.
Rozwiązanie równania:
0,25 + x = 0,5 + 0,1x
x – 0,1x = 0,5 - 0,25
0,9x = 0,25 | : 0,9
przenoszę niewiadome na
lewą, a liczby na prawą stronę
równania
Odpowiedź: Należy dosypać
kg soli, czyli około 28 dag.
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 5.
Do piętnastoprocentowego syropu dolano 10 kg
wody i otrzymano syrop dziesięcioprocentowy.
Jaka jest całkowita masa otrzymanego syropu?
x – masa nowego syropu
(x – 10) kg – masa starego syropu
15% - stężenie starego syropu
0,15 ∙ (x – 10) kg - masa cukru w starym
syropie
10% - stężenie nowego syropu
0,1x – masa cukru w nowym syropie.
Zmieniła się tylko ilość wody, więc możemy
porównać masę cukru w obu syropach.
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 5 – ciąg dalszy.
Ułożenie równania:
0,15 ∙ (x – 10) = 0,1x
0,15x – 1,5 = 0,1x
Rozwiązanie równania:
0,15x – 1,5 = 0,1x
0,15x – 0,1x = 1,5
0,05x = 1,5 | :0,05
x = 30 (kg)
Odpowiedź: Całkowita masa nowego syropu
wynosi 30 kg.
przenoszę niewiadome na
lewą, a liczby na prawą stronę
równania
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 6.
Z 15 kg syropu jednoprocentowego odparowano
wodę i otrzymano syrop półtoraprocentowy. Ile
wody odparowano?
Analiza zadania:
x – masa odparowanej wody
15 kg – masa starego syropu
1% - stężenie starego syropu
0,01 ∙ 15 kg – ilość cukru w starym syropie
(15 – x) kg – masa nowego syropu
1,5% - stężenie nowego syropu
0,015 ∙ (15 – x) kg – masa cukru w nowym
syropie
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 6 – ciąg dalszy.
Podobnie jak poprzednio porównujemy masę
substancji rozpuszczonej, bo ta się nie
zmieniła:
0,01 ∙ 15 = 0,015 ∙ (15 – x)
0,15 = 0,225 – 0,015x
Rozwiązanie równania:
0,015x = 0,225 – 0,15
0,015x = 0,075 | : 0,015
x = 5 (kg)
Odpowiedź: Odparowano 5 kg wody.
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 7.
Ile
kilogramów
roztworu
czterdziestoprocentowego należy zmieszać z 2
kilogramami
roztworu
trzydziestoprocentowego,
aby
otrzymać
roztwór trzydziestopięcioprocentowy?
Analiza zadania:
x – masa roztworu 40% którą należy dolać
0,4 ∙ x – masa substancji rozpuszczonej w
roztworze 40%
0,3 ∙ 2 kg – masa substancji rozpuszczonej w
roztworze
30%
0,35 ∙ (x + 2) kg – masa substancji
rozpuszczonej w
roztworze
35%
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 7 – ciąg dalszy.
Masa substancji rozpuszczonej w roztworze,
który mamy otrzymać, stanowi sumę mas
substancji rozpuszczonych z obu
zmieszanych roztworów, możemy zatem
zapisać następującą równość:
0,4x + 0,3 ∙ 2 = 0,35 ∙ (x + 2)
0,4x + 0,6 = 0,35x + 0,7
Rozwiązujemy równanie:
0,4x – 0,35x = 0,7 – 0,6
0,05x = 0,1 | :0,05
x = 2 (kg)
PRZYKŁADOWE ZADANIA.
ZADANIE 7 – ciąg dalszy.
Odpowiedź: Należy wziąć dwa kilogramy
roztworu czterdziestoprocentowego.
Powyższe
zadania
są
standardowymi
zadaniami
tekstowymi
dotyczącymi
roztworów. W oparciu o nie można
rozwiązywać podobne zadania – najczęściej
zmieniają się wyłącznie dane liczbowe.