„Bóg jest matematykiem.”

Jan Kepler

TRÓJKĄTY PODOBNE.

Trójkąty mają wiele ciekawych własności i już 
od  starożytności  uważane  są  za  niezwykłe 
figury.  Trójkąty  zasługują  na  szczególną 
uwagę 

także 

przy 

rozpatrywaniu 

ich 

podobieństwa,  wystarczy  bowiem  sprawdzić 
jedną  z  trzech  cech  podobieństwa  trójkątów, 
aby  stwierdzić  czy  dane  dwa  są  do  siebie 
podobne, czy też nie.

TRÓJKĄTY PODOBNE.

Aby  stwierdzić,  czy  trójkąty  są  do  siebie 
podobne wystarczy sprawdzić:

• czy odpowiednie boki są proporcjonalne

•  czy  dwa  kąty  w  jednym  trójkącie  mają 
takie  same  miary  jak  dwa  kąty  w  drugim 
trójkącie

•  czy  oba  trójkąty  mają  chociaż  jeden  kąt  o 
takiej  samej  mierze  i  czy  boki  tworzące 
ramiona tego kąta są proporcjonalne.
Podpunkty 

te 

nazywamy 

cechami 

podobieństwa trójkątów.

CECHA BBB (BOK – BOK – 

BOK).

Jeśli długości boków jednego trójkąta są 

proporcjonalne do odpowiednich boków 

drugiego trójkąta, to trójkąty te są podobne.

CECHA KK (KĄT- KĄT).

Jeśli dwa kąty jednego trójkąta są równe 

dwóm kątom drugiego trójkąta, to trójkąty te 

są podobne.

CECHA BKB (BOK – KĄT – 

BOK).

Jeśli kąt w jednym trójkącie jest równy 

pewnemu kątowi w drugim trójkącie, a 

ponadto długości odpowiednich boków 

leżących przy tych kątach są proporcjonalne, 

to trójkąty są podobne.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 1.
Czy narysowane poniżej trójkąty są podobne?

Korzystamy  z  cechy  bbb,  czyli  sprawdzamy 
stosunek odpowiednich boków (najdłuższy do 
najdłuższego, najkrótszy do najkrótszego…):

Te trójkąty są podobne na mocy cechy bbb.

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 2.
Które  z  narysowanych  poniżej  trójkątów  są 
podobne?

Skorzystamy  z  cechy  kk,  w  tym  celu 
obliczymy brakujące miary kątów:
I: 180° - 110° - 50° = 20°
II: 180 – 110° - 20° = 50°
III = 180° - 50° - 30° = 100°
Trójkątami podobnymi są I i II na mocy cechy 
kk (mają takie same kąty).

PRZYKŁADY.

PRZYKŁAD 3.
Czy 

narysowane 

poniżej 

trójkąty 

są 

podobne?

Skorzystamy  z  cechy  bkb.  Łatwo  można 
zauważyć, że kąt między bokami o długości 3 
i 2 w trójkącie II ma miarę 70° więc pierwszy 
warunek  cechy  jest  spełniony.  Sprawdzamy 
stosunek boków:

Trójkąty te są podobne na mocy cechy bkb.

FAKT 1.

Aby stwierdzić, czy dwa trójkąty prostokątne 

są podobne, wystarczy znaleźć kąt ostry w 

jednym trójkącie, który ma taką samą miarę 

jak kąt ostry w drugim trójkącie.

FAKT 2.

Wysokość trójkąta prostokątnego 

opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ten 

trójkąt na dwa trójkąty podobne do niego.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1.
Trójkąty  na  rysunkach  są  podobne.  Oblicz 
pole każdego z nich.

Do obliczenia pól powierzchni tych trójkątów 
potrzebujemy  wysokości  w  trójkącie  ABC  i 
brakującej części podstawy w trójkącie DEF.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1 – ciąg dalszy.

Trójkąt  prostokątny  K  jest  podobny  do 
trójkąta  N  (na  podstawie  faktu  1),  zachodzi 
więc proporcja:

6h = 16 |: 6
h = 

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1 – ciąg dalszy.

Podobnie trójkąt L jest podobny do trójkąta 
N, a zatem:

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1 – ciąg dalszy.
Po  zamienieniu  pierwszego  licznika  na 
ułamek niewłaściwy i wymnożeniu „na krzyż” 
otrzymujemy równość:

x = 12
Mamy  już  wszystkie  niezbędne  do  policzenia 
pól dane.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 1 – ciąg dalszy.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 2.
Czy  trójkąty  prostokątne  LIS  i  MIŚ  są 
podobne? Uzasadnij odpowiedź.

Kąty  MIŚ  i  LIS  mają  równe  miary  jako  kąty 
wierzchołkowe,  a  więc  w  oparciu  o  fakt  1  te 
trójkąty są podobne.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3.
2500  lat  temu  Tales  z  Miletu  zadziwiał 
współtowarzyszy  tym,  że  potrafił  obliczyć 
odległość  statku  od  brzegu.  Dziś  Jaś  zadziwił 
kolegów  tym,  że  obliczył  szerokość  rzeki. 
Poniższy  rysunek  przedstawia  jego  pomiary. 
Jak szeroka jest rzeka?

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 3 – ciąg dalszy.
Widoczne  na  rysunku  trójkąty  są  podobne 
(tak  samo  jak  te  z  zadania  2).  Jeśli 
oznaczymy 

szerokość 

rzeki 

przez 

x 

dostaniemy proporcje:

Odpowiedź: Rzeka ma szerokość        metra.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 4.
Cień  drzewa  ma  długość  7,2  m,  a  cień 
człowieka  o  wzroście  160  cm  ma  długość 
0,96 m. Jaka jest wysokość drzewa?
Naszkicujmy rysunek pomocniczy:

Promienie  słońca  padają  pod  tym  samym 
kątem  do  podłoża,  więc  narysowane  trójkąty 
są 

podobne. 

Aby 

obliczyć 

wysokość 

układamy i rozwiązujemy proporcje.

PRZYKŁADOWE ZADANIA.

ZADANIE 4 – ciąg dalszy.

0,96x = 11,52 |: 0,96
x = 12 (m)
Odpowiedź: Drzewo ma wysokość 12 m.