Zmienne losowe  

skokowe

dr Tomasz Kowalski

Wykład 23

Slajd  2 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Definicja zmiennej losowej

Zmienną losową  X  nazywa się funkcję, która 
zdarzeniom elementarnym  pewnej przestrzeni 

probabilistycznej    przyporządkowuje liczby 

rzeczywiste. 

Zapisujemy wtedy:

 X:   R.









X(

X(





)

)

Slajd  3 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Jeżeli każdemu 
wynikowi (zdarzeniu) przyporządkujemy sumę 
uzyskanych oczek, to mamy do czynienia ze 
zmienną losową X:   R.

 





{( ,

) ;

, ,..., ,

, ,..., }

x y

x

y

i

j

i

j

1 2

6

1 2

6

( , )

.

i

j

i

j

X x y

x

y

= +

Zmienna ta przyjmuje wartości naturalne od 2 do 12.

Slajd  4 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

 Dokonujemy losowego wyboru punktu z odcinka 
[0; 1]. Każdej wylosowanej liczbie 
przyporządkowujemy jej kwadrat. Wówczas mamy 
do czynienia ze zmienną losową

X:   R.

[0;1]

W=

2

( )

.

X x

x

=

Zmienna ta przyjmuje każdą wartość z 
przedziału [0; 1]

Slajd  5 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Rodzaje zmiennych 

losowych

Zmienną losową nazywamy dyskretną lub 
skokową, jeżeli zbiór jej wartości jest skończony 
lub daje się ustawić w ciąg.

Jeżeli zmienna losowa przyjmuje każdą wartość z 
pewnego przedziału, to nazywamy ją zmienną 
losową ciągłą.

Każda zmienna określona na przestrzeni 
probabilistycznej o skończonej liczbie elementów 
jest więc dyskretna.

Slajd  6 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Rozkład zmiennej losowej 

dyskretnej

Rozkładem zmiennej losowej dyskretnej nazywa się 
zbiór par   utworzonych z wartości tej zmiennej i 
prawdopodobieństw, z jakimi są one przyjmowane. 

Slajd  7 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

 Rozpatrzmy zmienną losową X, która rzutowi dwiema 
monetami przypisuje liczbę uzyskanych orłów: 

0

1

2

RR

RO

OR

OO

¼

¼

¼

¼



Slajd  8 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

0

1

2

¼

½

¼

RR

RO

OR

OO

¼

¼

¼

¼



Rozkład zmiennej 

losowej X

 Rozpatrzmy zmienną losową X, która rzutowi dwiema 
monetami przypisuje liczbę uzyskanych orłów: 

Slajd  9 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

 Rozkład tej zmiennej losowej można 
przedstawić w postaci tabelki: 

0

1

2

¼

½

¼

Rozkład zmiennej 

losowej X

Wartości 

przyjmowane 

przez X

Prawdopodobieńst

wo

¼

¼

½

0

1

2

Slajd  10 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

Rzucamy trzema monetami. Niech  X  będzie 
zmienną losową, która otrzymanemu wynikowi 
doświadczenia przypisuje liczbę uzyskanych orłów. 
Zmienna przyjmuje więc wartości: 0, 1, 2, 3,  przy 
czym wartość  k osiągana jest z 
prawdopodobieństwem, które można obliczyć 
stosując wzór Bernoulli’ego:

3

.

3

1

1

(

)

2

2

k

k

P X k

k

-

� �� � � �

= =

�

�

� �� � � �

� � � �

� �

Slajd  11 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

Zdarzenia

(r,r,r)

(o,r,r), (r,o,r), 

(r,r,o)

(o,o,r),(o,r,o), 

(r,o,o)

(o,o,

o)

Wartości przyj-

mowane przez X

0

1

2

3

Liczba zdarzeń, 

którym 

przypisano te 

wartości

1

3

3

1

Prawdopodobień

stwo

1
8

1
8

3

8

3

8

Slajd  12 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

Wartości przyj-

mowane przez X

0

1

2

3

Prawdopodobień

stwo

1
8

1
8

3

8

3

8

Slajd  13 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

Wartości przyj-

mowane przez X

0

1

2

3

Prawdopodobień

stwo

1
8

1
8

3

8

3

8

Slajd  14 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Rozkład zmiennej losowej

Funkcję przypisującą wszystkim wartościom zmiennej 
skokowej X  prawdopodobieństwa, z jakimi są te 
wartości przyjmowane, nazywamy funkcją rozkładu 
prawdopodobieństwa tej zmiennej. 

Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej 
skokowej przedstawiany jest najczęściej w postaci 
dwuwierszowej tabelki:

k

x  

1

x

 

2

x

 

…

 

n

x

 

…

 

k

p  

1

p

 

2

p

 

…

 

n

p

 

…

 

 

Liczby x

1

, x

2

, …,x

n

 nazywamy punktami skokowymi 

zmiennej X, a  prawdopodobieństwa p

1

, p

2

, …,p

n

 – 

skokami.

1.

k

k

p =

�

Prawdopodobieństwa te są liczbami 
dodatnimi i spełniają tzw. warunek 
unormowania:

Slajd  15 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Histogram rozkładu

Wykresem funkcji prawdopodobieństwa w 
prostokątnym układzie współrzędnych jest zbiór 
punktów: (x

1

, p

1

), (x

2

, p

2

),…, (x

n

, p

n

). 

Jeżeli każdy z tych punktów połączyć odcinkiem  z 
punktem odpowiednio: (x

1

, 0), (x

2

, 0),…, (x

n

, 0). , to 

otrzymamy tzw. histogram funkcji 
prawdopodobieństwa.

Slajd  16 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

 Rozkład zmiennej losowej X dany jest w postaci 
tabelki:

x

k

1

2

3

p

k

¼

½

¼

Sprawdzić, czy prawdopodobieństwa spełniają warunek 
unormowania. Sporządzić wykres funkcji 
prawdopodobieństwa oraz histogram tego rozkładu.

1 1 1

1

4 2 4

k

k

p = + + =

�

Warunek unormowania:

jest 
spełniony.

Slajd  17 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

 Rozkład zmiennej losowej X dany jest w postaci 
tabelki:

x

k

1

2

3

p

k

¼

½

¼

Sprawdzić, czy prawdopodobieństwa spełniają warunek 
unormowania. Sporządzić wykres funkcji 
prawdopodobieństwa oraz histogram tego rozkładu.

Wykres funkcji 
prawdopodobieńst
wa:

1

2

3

X

¼

½

p

Slajd  18 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

 Rozkład zmiennej losowej X dany jest w postaci 
tabelki:

x

k

1

2

3

p

k

¼

½

¼

Sprawdzić, czy prawdopodobieństwa spełniają warunek 
unormowania. Sporządzić wykres funkcji 
prawdopodobieństwa oraz histogram tego rozkładu.

Histogram 
rozkładu:

1

2

3

X

¼

½

p

Slajd  19 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Dystrybuanta zmiennej losowej

Każdej zmiennej losowej X można przypisać 
funkcję określoną w zbiorze liczb rzeczywistych 
wzorem:

F(x) = p(X < x),

którą nazywamy dystrybuantą zmiennej losowej X. 

Wartość dystrybuanty zmiennej losowej w punkcie x 
jest prawdopodobieństwem wszystkich tych zdarzeń 
elementarnych, którym zmienna losowa przypisała 
wartość mniejszą niż x.

Slajd  20 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Własności dystrybuanty

1.  Dla każdego xR mamy 0  F(x)  1.

2. lim ( )

(

) 0, lim ( )

(

) 1.

x

x

F x

F

F x

F

�- �

�+�

= - � =

= +� =

3.  F jest funkcją niemalejącą.

4.  F  jest funkcją (co najmniej) lewostronnie 

ciągłą w każdym punkcie.

Slajd  21 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Dystrybuanta zmiennej losowej 

skokowej

Dystrybuantą zmiennej losowej skokowej X jest 
funkcja F określona wzorem

gdzie sumowanie odbywa się po tych k, dla 
których  x

k

 spełniają nierówność x

k

 < x.

(

)

:

( )

,

k

k x

x

k

F x

P X x

p

<

=

< =

�

Slajd  22 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

 Rozkład zmiennej losowej X dany jest w postaci 
tabelki:

x

k

1

2

3

p

k

½

¼

¼

Sporządzić histogram tego rozkładu oraz wykres 
dustrybuanty.

Histogram 
rozkładu:

1

2

3

X

¼

½

p

Slajd  23 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

Histogram 
rozkładu:

1

2

3

X

¼

½

p

Dystrybuanta 
rozkładu:

1

2

3

X

½

p

1

Gdy x  1,  to  w 

przedziale  (–; x) nie 

ma punktów 
skokowych, zatem F(x) 
= 0.

1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 3

Slajd  24 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

Histogram 
rozkładu:

1

2

3

X

¼

½

p

Dystrybuanta 
rozkładu:

1

2

3

X

½

p

1

Gdy 1 < x  2,  to  w 

przedziale  (–; x) jest 

jeden punkt skokowy, 
któremu odpowiada 
prawdopodobieństwo 
½ zatem F(x) = ½.

1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 3

Slajd  25 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

Histogram 
rozkładu:

1

2

3

X

¼

½

p

Dystrybuanta 
rozkładu:

1

2

3

X

½

p

1

Gdy 2 < x  3,  to  w 

przedziale  (–; x) są 

dwa punkty skokowe, 
którym odpowiada 
łączne 
prawdopodobieństwo 
3/4   zatem F(x) = 3/4.

1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 3

Slajd  26 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

Histogram 
rozkładu:

1

2

3

X

¼

½

p

Dystrybuanta 
rozkładu:

1

2

3

X

½

p

1

Gdy  x > 3,  to  w 
przedziale  (–; x) są 

trzy punkty skokowe, 
którym odpowiada 
łączne 
prawdopodobieństwo 1   
zatem F(x) = 1.

1 4 4 4 4 4 2 4 4 4 4 4 3

Slajd  27 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

1

2

3

X

½

p

1

Zauważmy, że dystrybuanta zmiennej losowej 
skokowej jest funkcją skokową (schodkową). 
Dystrybuanta jest wszędzie ciągła z wyjątkiem 
punktów skokowych. W każdym punkcie 
skokowym  zachodzi warunek  

 co można zinterpretować następująco: Skok 
wartości funkcji w punkcie x

k

 odpowiada 

prawdopodobieństwu p

k

.

lim ( )

( )

k

k

x xk

p

F x

F x

+

�

=

-

Slajd  28 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Uwaga

Histogram 
rozkładu:

1

2

3

X

¼

½

p

Dystrybuanta 
rozkładu:

1

2

3

X

½

p

1

1,

1

1

2,

1

2

2

3,

1

,

1

2

1

0

dla

dla

dla

( )

...........

..........

dla

...

1

dla

.

n

n

n

n

x x

p

x

x x

p

p

x

x x

F x

x

x x

p

p

p

x x

-

-

�

�

�

< �

�

�

+

< �

�

=�

�

�

< �

+ + +

�

>

�

�

Załóżmy, że X jest zmienną 
losową przyjmującą skończoną 
liczbę wartości, 
uszeregowanych rosnąco:  x

1

, 

x

2

, …,x

n

    z 

prawdopodobieństwami p

1

, p

2

, 

…,p

n

.

Wówczas:

Slajd  29 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Rozkład a dystrybuanta

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej 
losowej skokowej X i jej dystrybuanta są ze sobą 
ściśle związane. 

Na podstawie funkcji rozkładu można określić 
dystrybuantę oraz na odwrót: na podstawie 
dystrybuanty można wyznaczyć rozkład zmiennej.

Slajd  30 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

Dana jest dystrybuanta pewnej zmiennej losowej 
skokowej X: 

( )

0

dla

1,

1

dla 1

2,

2
3

dla 2

4,

4

1

dla

4.

x

x

F x

x

x

�

�

�

�

< �

�

=�

�

< �

�

�

>

�

Sporządzić wykres tej dystrybuanty. Wyznaczyć 
rozkład zmiennej X  i sporządzić jego histogram.

-1

1

2

3

4

5

6

X

p

½

1

Slajd  31 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

-1

1

2

3

4

5

6

X

p

½

1

Punktami skokowymi dystrybuanty są: x

1

 = 1,  x

2

 = 2,  

x

3

 = 4 . Skoki wartości funkcji w tych punktach są 

równe prawdopodobieństwom,  z jakimi wartości te są 
przyjmowane. 

x

k

1

2

4

p

k

Rozkład zmiennej X:

Skok 
½

½

Skok 
¼

¼

Skok 
¼

¼

Slajd  32 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

x

k

1

2

4

p

k

Rozkład zmiennej X:

½

¼

¼

1

2

3

4 X

p

½

¼

Histogram 
rozkładu:

Slajd  33 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Wartość oczekiwana zmiennej 

losowej

Załóżmy, że X jest zmienną losową przyjmującą wartości 
x

1

, x

2

, …,x

n

  z prawdopodobieństwami p

1

, p

2

, …,p

n

.

Wartością oczekiwaną tej zmiennej nazywamy liczbę 
oznaczaną przez E(X) równą

( )

.

k k

k

E X

x p

=

�

Slajd  34 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

 Rozkład zmiennej losowej X dany jest w postaci 
tabelki:

x

k

1

2

3

p

k

½

¼

¼

Obliczyć E(X). Zinterpretować tę liczbę na 
histogramie.

( )

k k

k

E X

x p

=

=

�

1

1

2

�

1

2

4

+ �

1

3

4

+ � =

2 2 3 7
4 4 4 4

= + + =

Slajd  35 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

 Rozkład zmiennej losowej X dany jest w postaci 
tabelki:

x

k

1

2

3

p

k

½

¼

¼

Obliczyć E(X). Zinterpretować tę liczbę na 
histogramie.

Histogram 
rozkładu:

1

2

3

X

¼

½

p

Uwaga. 
Liczba E(X) pokazuje, w 
którym punkcie osi poziomej 
należy podeprzeć histogram, 
aby znajdował się on w stanie 
równowagi.

7

( )

4

E X =

7

4

Slajd  36 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Własności wartości 

oczekiwanej:

Jeżeli X i Y są dowolnymi zmiennymi 
skokowymi oraz a i b dowolnymi liczbami, to

E(aX + bY) = a E(X) + b 
E(Y).

W 
szczególności
:

1. E(a) = a.

2. E(aX) = a E(X).

3. E(aX + b) = a E(X) + 
b.

4. E(X + Y) = E(X) + 
E(Y).

5. E(X – E(X)) = 0.

Slajd  37 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Wariancja zmiennej 

losowej

Liczbę E(X – E(X))

2

  nazywamy wariancją 

zmiennej  X  i oznaczamy przez D

2

(X). 

Liczba ta jest nieujemna. 

Pierwiastek z wariancji  nazywamy odchyleniem 
standardowym zmiennej losowej X. 

Slajd  38 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Wariancja zmiennej 

losowej

Wariancja zmiennej losowej  X  wyraża się 
wzorem 

D

2

(X) = E(X 

2

) – (E(X))

2

,

gdzie  E(X) oznacza wartość oczekiwaną zmiennej 
 X , 

a w przypadku zmiennej skokowej:

2

2

(

)

.

k k

k

E X

x p

=

�

Slajd  39 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję 
zmiennej losowej X o rozkładzie danym za pomocą 
tabelki:

k

x  

0 

1 

2 

3 

k

p  

1
3

 

1
4

 

1
4

 

1

6

 

 

Mnożąc wartości przyjmowane przez zmienną losową 
skokową przez odpowiednie prawdopodobieństwa, a 
następnie sumując tak otrzymane iloczyny mamy

1

1

1

1 3 6 6 15 5

( ) 0

1

2

3

3

4

4

6

12

12 4

E X

+ +

= � + � + � + � =

=

=

Slajd  40 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

Wyznaczyć wartość oczekiwaną i wariancję 
zmiennej losowej X o rozkładzie danym za pomocą 
tabelki:

k

x  

0 

1 

2 

3 

k

p  

1
3

 

1
4

 

1
4

 

1

6

 

 

Podnosząc do kwadratu każdą z wartości x

k

, mnożąc 

przez odpowiednie prawdopodobieństwa, a następnie 
sumując tak otrzymane iloczyny mamy

2

2

2

2

2

1

1

1

1 3 12 18 33 11

(

) 0

1

2

3

.

3

4

4

6

12

12

4

E X

+ +

= � + � + � + � =

=

=

(

)

2

2

2

2

11

5

44 25 19

( )

(

)

( )

( )

.

4

4

16

16

D X

E X

E X

-

=

-

= -

=

=

Tym samym

Slajd  41 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Własności wariancji

Jeżeli X jest dowolną zmienną skokową oraz a i 
b dowolnymi liczbami, to

1. D

2

(a) = 0.

2. D

2

(aX) = a

2

 D

2

(X).

3. D

2

(aX + b) = a

2

 D

2

(X).

4. D

2

(X + Y) = D

2

(X) + 

D

2

(Y).

Jeżeli X i Y są dowolnymi niezależnymi 
zmiennymi skokowymi, to

Slajd  42 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Rozkład zero-jedynkowy

Zmienna losowa  X  ma rozkład zero-jedynkowy, 
jeżeli przyjmuje dwie wartości: x

1

 = 1 i x

2

 = 0 z 

prawdopodobieństwami odpowiednio: p

1

 = p,  p

2

 = 1– 

p. 

( )

E X

p

=

2

( )

(1

)

D X

p

p

=

-

Slajd  43 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Rozkład zero-jedynkowy

1 X

0

½

Taki rozkład ma np. zmienna przypisana 
jednokrotnemu rzutowi symetryczną monetą i 
przyjmująca wartość 0, gdy wypadła reszka, oraz 
wartość 1, gdy wypadł orzeł. Wtedy  p = 1 – p = ½. 

1

( )

2

E X

p

= =

2

1 1 1

( )

(1

)

2 2 4

D X

p

p

=

-

= � =

½

Slajd  44 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Rozkład Bernoulli’ego

Zmienna losowa  X  ma rozkład Bernoulli’ego o 
parametrach  n  i  p, jeżeli przyjmuje ona wartości  x

k

 

= 0, 1, 2, 3, …, n   z  prawdopodobieństwami:

(

)

(1

)

k

n k

k

n

p

P X k

p

p

k

-

� �

=

= =

� � -

� �

� �

Taki rozkład ma zmienna losowa przyjmująca 
wartości równe liczbie sukcesów w schemacie  n  
prób Bernoulli’ego.     .

E X

np

( ) 

D X

np

p

2

1

( )

(

)





Slajd  45 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Rozkład Bernoulli’ego

1

2

3

4 X

p

 0

2

Histogram rozkładu 
przy n = 4  i  p = ½.

1

( )

4

2

2

E X

np

=

= � =

2

1 1

( )

(1

) 4

1

2 2

D X

np

p

=

-

= � � =

Slajd  46 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Rozkład Poissona

Zmienna losowa  X  ma rozkład Poissona o 
parametrze 



 > 0, jeżeli przyjmuje wartości  x

k

 = 0, 1, 

2, 3, …, n, … z prawdopodobieństwami

(

)

.

!

k

k

p

P X k

e

k

l

l

-

=

= =

�





)

(X

E





)

(

2

X

D

Slajd  47 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Rozkład Poissona

Liczbę dzieci, które rodzą się określonego dnia w 
pewnym mieście N, można opisać zmienną losową  X  o 
rozkładzie Poissona o parametrze 



 = 2. Sporządzić 

histogram rozkładu. Podać wartość oczekiwaną i 
wariancję liczby urodzin.

2

2

(

)

.

!

k

k

p

P X k

e

k

-

=

= =

�

Ponieważ 



 = 2, to

Podstawiając w tym wzorze  kolejno  k = 0, 1, 2, 3, … i 
przyjmując       

___________

otrzymamy 

2

0,1353

e

-

=

x

k

0

1

2

3

4

5

6

…

p

k

0,14 0,27 0,27 0,18 0,09 0,04 0,01

...

Slajd  48 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Rozkład Poissona

x

k

0

1

2

3

4

5

6

…

p

k

0,14 0,27 0,27 0,18 0,09 0,04 0,01

...

1

2

3

4

5

6 X

p

0

 
0,1

 
0,2

2

( )

2

E X

l

= =

2

( )

2

D X

l

= =

Slajd  49 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Rozkład Bernoulli’ego a rozkład 

Poissona

Dla dużych n występuje zbieżność rozkładu 
Bernoulliego do rozkładu Poissona z parametrem 

!

k

e

q

p

k

n

k

k

n

k























gdzie  = np.
Przybliżenie to jest w miarę dokładne, gdy n  50  

(czasem przyjmuje się, że n  100 ) i p  0,1 oraz  

= np  10.

Slajd  50 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania co najwyżej 
trzech osób leworęcznych w 200 losowaniach, jeśli 
wiadomo, że prawdopodobieństwo spotkania osoby 
leworęcznej w pewnej populacji ludzi wynosi 0,05.

Ponieważ n = 200  50 ,  p = 0,05  0,1 oraz  = np 

=10  10, to można przyjąć, że mamy tu do 

czynienia z rozkładem Poissona.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

0

3

0

1

2

3

P

k

P k

P k

P k

P k

� � =

= +

= +

= +

=

(

)

,

!

k

P k

e

k

l

l

l

-

=

czyli

(

)

10

10

,10

!

k

P k

e

k

-

=

Slajd  51 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe

Przykład

(

)

0

1

2

3

10

10

10

10

10

10

10

10

0

3

0!

1!

2!

3!

P

k

e

e

e

e

-

-

-

-

� � =

+

+

+

=

10

10

10

10

10

10

10

10

100

1000

500

10

10

50

2

6

3

e

e

e

e

e

e

e

e

-

-

-

-

-

-

-

-

=

+

+

+

=

+

+

+

=

10

10

683

683

683

683

0,011

3

3 20589 61767

3

e

e

-

=

=

�

=

�

�

�

Ostatecznie szukane prawdopodobieństwo wylosowania co 
najwyżej trzech osób leworęcznych wynosi 0,011.

Slajd  52 / 52

Tomasz Kowalski. Matematyka. Wykład 23. Zmienne losowe 

skokowe