Wykład
5
Zasady zmienności w dynamice
punktu
materialnego
Wykład 5
Zasady pędu, energii kinetycznej i krętu są
związane z II prawem dynamiki NEWTONA.
Wykład
5
Zasady zmienności w dynamice
punktu
materialnego
Wykład 5
Zasady pędu, energii kinetycznej i krętu są
związane z II prawem dynamiki NEWTONA.
Pęd PM1
5.1 Pęd punktu
materialnego
(ilość ruchu PM)
v
m
p
z
z
y
y
x
x
e
p
e
p
e
p
p
p
y
z
O
x
Moduł wektora pędu:
);
p
p
p
(
p
p
2
z
2
y
2
x
Jednostka pędu:
]
s
N
[
]
s
m
kg
[
]
p
[
Pęd
PM2
v
m
Zasada pędu
PM1
F
a
m
p
const
m
dla
),
v
m
(
dt
d
p
Różniczkowa zasada zmiany wektora
pędu:
Pochodna po czasie wektora pędu PM
jest równa wektorowi siły działającej na
ten punkt.
i
i
i
)
R
F
(
F
:
gdzie
F
p
Związek wektora pędu PM z siłą działającą
na ten punkt i z II prawem dynamiki Newtona
Różniczkową zasadę zmiany pędu możemy również przedstawić:
;
Q
p
p
dt
F
p
d
dt
F
p
d
1
2
t
t
t
t
2
1
2
1
2
1
t
t
dt
F
Q
-impuls siły lub popęd (t
1
t
2
)
Q
)
v
v
(
m
Q
p
p
1
2
1
2
lub
Całkowa zasada zmiany pędu:
Zmiana wektora pędu w skończonym przedziale czasu (t
2
-t
1
)
jest równa impulsowi wektora siły w tym przedziale.
Zasada pędu
PM2
W szczególności,
jeśli
:
0
F
;
const
p
p
0
p
p
const
p
0
p
2
1
1
2
lub
Zasada zachowania pędu punktu materialnego:
Jeżeli wypadkowy wektor sił działających na PM
jest równy zeru to wektor pędu jest stały.
Uwaga:
w praktyce może mieć miejsce sytuacja, np.:
0
F
,
0
F
,
0
F
z
y
x
wówcz
as
;
const
p
,
const
p
const
v
m
p
z
y
x
x
ale
Zasada pędu PM3
5.2 Praca i moc siły, energia kinetyczna PM
A
1
A
2
A
F
0
x
z
y
1
r
2
r
r
1
2
r
r
r
)
A
A
(
łuk
s
2
1
]
F
,
F
,
F
[
F
z
y
x
Praca siły
1
Praca siły
Praca
siły 2
|;
ds
|
|
r
d
|
,
ds
s
,
r
d
r
:
A
A
1
2
1[N]1[m]=1[J]
2
1
2
1
A
A
A
A
z
y
x
dz
F
dy
F
dx
F
r
d
F
L
:
A
A
drodze
na
F
sił
aca
Pr
2
1
[Nm]
Moc siły
Moc siły
dt
)
z
F
y
F
x
F
(
dz
F
dy
F
dx
F
dL
z
y
x
z
y
x
Pracę wykonaną przez siłę w ciągu jednostki
czasu nazywamy
mocą tej siły
.
Moc oznaczamy przez
N
]
W
[
cos
v
F
v
F
dt
dL
N
Energia kinetyczna i zasada równoważności pracy
i energii kinetycznej
2
1
2
1
A
A
v
v
;
r
d
F
v
d
v
m
dt
v
)
F
dt
v
d
m
(
dt)
v
r
(d
L
E
E
lub
L
mv
2
1
mv
2
1
1
2
2
1
2
2
Energia kinetyczna p.m.:
2
mv
2
1
E
Zasada równoważności:
Zmiana energii kinetycznej PM w skończonym
przedziale czasu jest
równa sumie prac, które wykonały w tym samym
czasie wszystkie siły działające na ten punkt.
Energia
kinetyczna
Zasada zachowania energii mechanicznej PM
Zasada zachowania jest szczególnym przypadkiem zasady
równoważności pracy i energii kinetycznej PM
•Załóżmy, że w pewnym obszarze przestrzeni działa pole sił:
)
z
,
y
,
x
(
F
F
•Jeśli w każdym punkcie przestrzeni
to takie pole nazywamy
jednorodnym.
const
)
z
,
y
,
x
(
F
V=V(x,y,z) - jest potencjałem pola sił lub energią potencjalną PM
Zas. zachow.
E
M
PM1
•Jeśli:
z
V
F
,
y
V
F
,
x
V
F
.
,
V
d
gra
F
z
y
x
tzn
to takie pole nazywamy
potencjalnym.
•Wtedy pracę L w potencjalnym polu sił przedstawimy:
2
1
2
1
A
A
2
1
A
A
V
V
dV
)
dz
z
V
dy
y
V
dx
x
V
(
L
Wniosek:
Praca w potencjalnym polu sił nie zależy
od drogi lecz tylko od położenia
początkowego i końcowego.
Zasada zachowania energii mechanicznej PM:
Po podstawieniu powyższego wzoru na pracę L do prawej strony wzoru
wyrażającego zasadę równoważności pracy i energii kinetycznej otrzymamy:
const
V
E
V
E
2
2
1
1
E
m
= E + V
-nazywamy energią mechaniczną
Zas. zachow. E
M
PM2
5.3 Kręt (moment pędu) punktu
materialnego
0
x
y
z
0
k
r
A
v
m
v
m
r
k
0
0
0
M
F
r
)
v
m
r
(
dt
d
k
Zasada zmiany krętu p.m.:
0
0
M
k
Zasada zachowania krętu p.m.:
Jeśli
0
M
0
dla t0 to mamy
const
k
0
Kręt i zasada krętu
PM
Przykład 1.
W celu zmierzenia ciężaru zestawu wagonów wstawiono między lokomotywą
a pierwszym wagonem dynamometr. W ciągu czasu t
1
=2[min] dynamometr
wskazywał średnio siłę F=100,8[T]. W tym czasie pociąg ze stanu spoczynku
nabrał prędkości v
1
=57,6[km/h]. Współczynnik tarcia
=0,02. Obliczyć ciężar
zestawu wagonów.
Przykład
1/1
N
x
F
G
T
y
Przykład
1/2
1
0
t
t
dt
)
N
G
T
F
(
Q
Q
)
v
v
(
m
lub
Q
p
p
0
1
0
1
Rozwiązanie:
Z zasady zmiany pędu w postaci całkowej mamy:
W postaci skalarnej na oś x (t
o
=0, m=G/g):
;
gt
v
Fgt
G
t
)
G
F
(
v
g
G
1
1
1
1
1
Obliczenia: t
1
= 120[s], v=16[m/s], F=100,8[T];
G=3000,7[T]
Przykład 2.
Obliczyć pracę punktu materialnego w polu grawitacyjnym w
pobliżu Ziemi między położeniami A
0
i A
1
. Wyznaczyć energię
potencjalną punktu materialnego.
x
y
z
O
A
0
A
1
z
0
z
1
Q
]
mg
,
0
,
0
[
Q
;
mg
Q
1
0
1
0
z
z
1
0
A
A
z
)
z
z
(
mg
mgdz
dz
Q
L
);
z
(
V
C
mgz
V
mg
z
V
Q
,
C
)
y
(
V
0
y
V
Q
,
C
)
x
(
V
0
x
V
Q
3
z
2
y
1
x
Przykład
2
Przykład 3.
Obliczyć energię potencjalną siły sprężystej w
sprężynie o sztywności k.
O
kx
)
x
(
S
]
0
S
,
0
S
,
kx
S
[
S
z
y
x
2
x
kx
2
1
V
,
S
dx
dV
-kx
S
x
x
Przykład
3
O
x
S
y
x
Przykład
4
Przykład 4.
Punkt
M
porusza się dokoła nieruchomego środka pod działaniem
siły przyciągającej do tego środka. Znaleźć prędkość
v
2
w punkcie
toru najbardziej oddalonym od środka, jeżeli prędkość punktu
w miejscu najbliższym środka wynosi
v
1
=3[m/s],
a promień
r
2
jest
5
razy większy od
r
1
.
M
1
M
2
M
v
1
v
2
F
r
1
r
2
0
Momenty
bezwładności
5.4. Podstawy teorii
momentów bezwładności
Środek masy i środek ciężkości UPM i CS
Założenia:
•Weźmy pod uwagę układ n punktów materialnych o
masach m
i
(i=1,...,n)
•Położenie tych punktów w stosunku do punktu
odniesienia O określone jest wektorami r
i
• Wprowadźmy umownie punkt C, którego
położenie
określone jest związkiem:
Punkt C nazywamy
środkiem masy
UPM.
m
1
m
2
m
n
x
y
z
O
r
1
r
2
r
n
n
i
i
n
i
i
i
c
m
r
m
r
1
1
C
r
C
masa punktu C:
n
i
i
m
m
1
Środek masy UPM1
Środek masy UPM2
];
z
,
y
,
x
[
r
c
c
c
c
;
m
z
m
z
;
m
y
m
y
;
m
x
m
x
n
i
i
i
c
n
i
i
i
c
n
i
i
i
c
1
1
1
Pojęcie
środka masy
ma charakter ogólny i może być
zastosowane do dowolnego UPM, niezależnie od tego
czy układ jest sztywny czy nie, czy jest w ruchu czy w
spoczynku oraz czy znajduje się w polu sił.
Środek masy UPM w układzie Oxyz
Środek masy CS1
O
x
y
z
m
dm
r
r
m
c
;
m
xdm
x
m
c
;
m
ydm
y
m
c
;
m
zdm
z
m
c
Środek masy ciała sztywnego ciągłego
C
r
c
Gęstość
CS2
const.
V
m
V
Gęstość CS
jednorodnego:
Gęstość CS dwuwymiarowego:
(powłoki, cienkie płyty)
2
m
kg
dA
dm
A
m
kg
dL
dm
L
Gęstość CS jednowymiarowego:
(pręty, liny, belki) :
3
m
kg
dV
dm
V
Gęstość CS dowolnego:
Gęstość CS ciągłego
Na obiekty znajdujące się w polu przyciągania Ziemi, działają
siły ciążenia. Siły te zastępujemy wypadkową siłą ciężkości.
Przy założeniu, że rozmiary obiektu są małe w porównaniu do
rozmiarów Ziemi można siły ciężkości uznać za równoległe i
wyznaczyć środek równoległych sił ciężkości. Punkt taki
nazywamy środkiem ciężkości obiektu (UPM lub CS).
Ciężar właściwy CS:
dV
dQ
Środek
ciężkości
Środek ciężkości
g
m
Q
Q
r
Q
r
i
i
n
i
i
n
i
i
i
c
:
gdzie
,
1
1
Środek ciężkości
UPM:
Wzory na środek masy CS upraszczają się gdy
mamy do czynienia z ciałem jednorodnym tzn.
takim,
w
którym
masa
jest
rozłożona
równomiernie w całej jego objętości.
Środek masy CS
jednorodnego
;
V
xdV
x
V
c
;
V
ydV
y
V
c
;
V
zdV
z
V
c
Środek masy CS jednorodnego
• Ze wzorów na środek masy wynika, że
jego
położenie w jednorodnym CS zależy tylko
od
jego geometrii.
Podsumowani
e
Podsumowanie
Ogólne własności jednorodnego CS:
• Jeżeli ciało ma płaszczyznę symetrii to środek
masy leży na tej płaszczyźnie.
• Jeżeli ciało ma oś symetrii to środek masy leży na
tej osi.
• Jeżeli ciało ma środek symetrii to środek masy
leży w tym środku.
Momenty
statyczne
Momentem statycznym
UPM względem płaszczyzny
nazywamy sumę iloczynów mas każdego punktu przez
ich odległości od tej płaszczyzny.
5.5 Momenty statyczne
V
xy
i
n
i
i
xy
zdm
S
z
m
S
:
c.s.
Dla
:
u.p.m.
Dla
1
Np. względem płaszczyzny 0xy:
;
m
S
x
yz
c
;
m
S
y
xz
c
;
m
S
z
xy
c
m
1
z
1
m
2
z
2
m
n
z
n
m
3
z
3
Współrzędne środka masy można określić za
pomocą momentów statycznych względem
płaszczyzn układu Oxyz:
Momenty stat. a środek
masy
Momenty statyczne a środek masy
x
z
y
0
m
1
A
1
m
2
A
2
m
i-1
A
i-1
Momenty
bezwładności
z
i
y
i
x
i
m
i
r
i
A
i
A
i
[ x
i
, y
i
, z
i
]
n
1,2,...,
i
;
2
2
2
i
i
i
i
i
z
y
x
r
r
x
y
z
0
10.3 Momenty bezwładności
Momenty bezwł. wzgl.
płaszczyzn
Momenty bezwładności względem
płaszczyzn Oxyz
;
m
x
I
m
y
I
m
z
I
i
i
i
yz
i
i
i
xz
i
i
i
xy
2
2
2
;
;
Dla UPM:
;
dm
x
I
;
dm
y
I
dm
z
I
m
yz
m
xz
m
xy
2
2
2
;
Dla CS:
Momenty bezwł. wzgl.
osi
Momenty bezwładności względem osi 0xyz
;
m
)
y
x
(
I
m
)
z
x
(
I
m
)
z
y
(
I
i
i
2
i
2
i
z
i
i
2
i
2
i
y
i
i
2
i
2
i
x
;
;
Dla UPM:
m
z
m
y
m
x
;
dm
)
y
x
(
I
dm
)
z
x
(
I
dm
)
z
y
(
I
2
2
2
2
2
2
;
;
Dla CS:
Moment bezwł. wzgl.
bieguna
Moment bezwładności względem bieguna 0
i
i
i
i
i
i
i
i
m
r
m
)
z
y
x
(
I
2
2
2
2
0
Dla UPM:
m
m
dm
r
dm
)
z
y
x
(
I
2
2
2
2
0
Dla CS:
Wzajemne
zależności
0
0
I
,
I
,
I
,
I
,
I
,
I
,
I
z
y
x
yz
xz
xy
yz
xz
z
yz
xy
y
xz
xy
x
I
I
I
,
I
I
I
,
I
I
I
)
I
I
I
(
I
I
I
I
I
z
y
x
yz
xz
xy
2
1
0
0
lub
Ważne zależności
Momenty
dewiacyjne
zy
yz
zx
xz
yx
xy
D
D
,
D
D
,
D
D
Momenty dewiacyjne (mieszane) w układzie Oxyz
0
yz
xz
xy
D
,
D
,
D
i
i
i
i
i
i
yz
i
i
i
xz
i
i
i
xy
m
z
y
D
,
m
z
x
D
,
m
y
x
D
Dla UPM:.:
m
yz
m
xz
m
xy
yzdm
D
,
xzdm
D
,
xydm
D
Dla CS:
Macierz
bezwładności
I =
z
zy
zx
yz
y
yx
xz
xy
x
I
D
D
D
I
D
D
D
I
I
-
opisuje własności bezwładnościowe CS lub UPM.
Macierz bezwładności (tensor
bezwładności)
x
y
z
0
Moment bezwł.
względem l
l
l
l
l
– dowolna prosta
przechodząca
przez początek układu 0
dm
h
m
l
l
dm
h
I
dm
h
dI
2
2
)
z
,
l
(
),
y
,
l
(
),
x
,
l
(
Moment bezwładności względem dowolnej osi l
Moment bezwł. względem l
c.d.
;
cos
cos
D
cos
cos
D
cos
cos
D
cos
I
cos
I
cos
I
I
yz
xz
xy
z
y
x
l
2
2
2
2
2
2
Po przekształceniach moment bezwładności
względem osi
l
l
wynosi
wynosi
:
:
Osie główne centralne
Jeżeli tak zorientujemy w przestrzeni osie układu
Cxyz
,
że
D
xy
=D
xz
=D
yz
=0
,
to takie osie nazywamy
głównymi
centralnymi.
Układ takich osi oznaczamy:
C123
.
Osie główne centralne i momenty bezwładności
względem nich
Lokując początek układu współrzędnych w środku
masy ciała mamy
centralny
układ osi Cxyz.
Główne centralne momenty
bezwładności
Momenty bezwładności względem
osi głównych centralnych
oznaczamy odpowiednio:
I
1
, I
2
, I
3
i nazywamy
głównymi centralnymi momentami bezwładności
c.s.
2
3
2
2
2
1
cos
I
cos
I
cos
I
I
l
Moment bezwładności względem dowolnej osi
l
, wyrażony
w układzie
głównym centralnym C123
ma postać:
Twierdzenie
Steinera
Twierdzenie Steinera
Moment bezwładności CS względem dowolnej osi
l
1
jest równy sumie momentu bezwładności
względem osi do niej równoległej
l
przechodzącej
przez środek masy tego ciała oraz iloczynu masy
ciała i kwadratu odległości między tymi osiami.
l
l
1
d
C
m
Momenty bezwładności względem osi równoległych
2
1
d
m
I
I
l
l