Wykład 2

Miary zmienności

Standaryzacja 

Prof. Grzegorz Sędek

Krótkie przypomnienie

Rodzaj miary tendencji centralnej

Skala:

Modalna/
dominanta

Mediana

Średnia

nominalna







porządkowa







ilościowe







Krótkie przypomnienie

Rodzaj miary tendencji centralnej

Skala:

Modalna/
dominanta

Mediana

Średnia

nominalna







porządkowa







ilościowe







Miary zmienności 

(rozproszenia) wyników 

rozkładu

• Oprócz znajomości tendencji centralnej dla danego rozkładu wyników, 

podstawową własnością rozkładu jest zmienność (rozproszenie) 

wyników. 

• Oceny Studenta A:   4, 4, 4

 

• Oceny studenta B:     2, 4, 6

 

      

   Zmienność różnych właściwości/ 

cech, jako podstawa badań 

empirycznych.

     
Podstawowe miary zmienności: 
rozstęp
wariancja
odchylenie  standardowe

Miary zmienności

• Rozstęp jest rozumiany jako różnica między 

największym i najmniejszym pomiarem 

• Rozstęp dla studenta A =4-4= 0; dla studenta B = 6-

2=4

• Wariancja (variance) jest to suma kwadratów 

odchyleń wszystkich wyników od średniej dzielona 

przez liczbę wyników minus 1. 

                Wariancja = s

2

= (x

i  

- M)

2

/(N-1)

• Odchylenie standardowe (SD – standard deviation)
       to pierwiastek z wariancji.
                   SD = (s

2

 )

             

Oceny studenta A:   4, 

4, 4

 

Oceny studenta B:    2, 

4, 6

Kolejne kroki obliczania 

wariancji i odchylenia 

standardowego

1.   Obliczyć średnią (M = 4).
2. Obliczyć  odchylenia  od  średniej  (odjąć 

średnią od każdego wyniku: -2, 0, 2).

3.   Obliczyć kwadraty odchyleń od średniej 

(4, 0, 4)

4. Obliczyć  sumę  kwadratów  odchyleń  od 

średniej (4+0+4=8)

5. Obliczyć średnią kwadratów odchyleń od 

średniej  (poprzednią  sumę  podzielić 

przez liczbę przypadków minus 1; 8/2 = 

4).

                   Obliczyliśmy wariancję  

s

2

= 

4.

  

6.   Obliczamy odchylenie standardowe = 

pierwiastek z wariancji  

                      SD = 2.

Wariancja i odchylenie standardowe dla 

ocen studenta A = 0 (brak zmienności 

wyników) 

Oceny studenta A:   4, 

4, 4

 

Oceny studenta B:    2, 

4, 6

Wyniki 

surowe

Wynik –

średnia

Kwadrat 

różnicy

4

0

0

4

0

0

4

0

0

2

-2

4

4

0

0

6

2

4

Średnia=

4

Suma=0

Suma=0

Średnia=

4

Suma=0

Suma=8

Wpływ dodawania wartości stałej na 

miary tendencji centralnej i miary 

rozproszenia

• Dodanie wartości stałej do 

wszystkich wyników 
zmienia średnią, medianę i 
dominantę (modalną) o tę 
wartość. Nie zmienia 
wariancji i odchylenia 
standardowego. 

Np. aby zlikwidować liczby 

ujemne dla zbioru danych: 
2, 3, -3, -4, 2; dodano do 
wszystkich wyników 
wartość stałą 5, nowe 
dane:

      7, 8, 2, 1, 7

Statystyki

5

5

6

6

,00

5,00

2,00

7,00

2

7

3,24

3,24

10,50

10,50

7

7

Ważne
Braki danych

N

Średnia
Mediana
Dominanta
Odchylenie standardowe
Wariancja
Rozstęp

D1

D1_P_5

Wpływ mnożenia przez wartość stałą na 

miary tendencji centralnej i miary 

rozproszenia

•     Pomnożenie  wszystkich  wyników  przez  stałą  zmienia 

średnią,  medianę  i  dominantę  –  są  one  iloczynem 

poprzedniej wartości i stałej. 

•    Zmienia również wariancję (poprzednia wartość razy 

kwadrat stałej) oraz odchylenie standardowe (poprzednia 

wartość razy wartość bezwzględna stałej). 

• Analogiczne zmiany zachodzą w przypadku dzielenia 

wyników przez stałą.

• Weżmy np. kilka czasów reakcji wyrażonych w 

mikrosekundach  (800; 1600; 1800; 600) i zamieńmy je na 

sekundy (0,8; 1,6; 1,8; 0,6)

     

Dzielenie wszystkich wyników przez stałą - 

przykład

Statystyki

4

4

7

7

1200,00

1,2000

1200,00

1,2000

600

a

,60

a

588,78

,5888

346666,67

,3467

1200

1,20

Ważne
Braki danych

N

Średnia
Mediana
Dominanta
Odchylenie standardowe
Wariancja
Rozstęp

T1

T1_1000

Istnieje wiele wartości modalnych. Podano wartość najmniejszą.

a. 

Wyniki standardowe (standaryzowane) 

– wartości “z” 

• Wyniki w takiej postaci, w jakiej zostały pierwotnie uzyskane 

w badaniu, określa się mianem wyników surowych. Dla 
porównania wyników osiąganych na różnych skalach (np. 
porównania ocen przy różnych skalach oceniania, lub 
wyników testów o różnej ilości punktów) przekształca się 
wyniki surowe na wyniki wyrażone w jednostkach odchylenia 
standardowego  – są to wyniki standardowe (nazywane w 
SPSS standaryzowanymi), czyli tzw. wartości „z”. 

•       z

i

 = (x

i 

– M)/SD 

      M   – średnia (mean)
     SD – odchylenie standardowe (standard deviation)
      wartość standaryzowana “z” danego wyniku “x” =  wynik 

surowy (x

i

) minus średnia (M) dzielone przez odchylenie 

standardowe (SD) 

Hipotetyczne stopnie studenta SWPS w sesji :

6, 2, 4+, 3+, 4   

zamiana na wyniki standardowe

średnia  M = 4; 
wariancja  s

2

 = (4+4+0,25+0,25+0)/4 = 2,12

odchylenie standardowe SD = 1,46

wartości standaryzowane “z” poszczególnych wyników:
z

1 

= (6 – 4)/1,46 = 1,37  (dodatnia wartość “z”)

z

2 

 = (2 - 4)/1,46 = -1,37 (ujemna wartość “z”)

z

3 

= (4,5 - 4)/1,46 = 0,34 (lekko dodatnia wartość „z”)

z

4 

= (3,5 - 4)/1,46 = -0,34 (lekko ujemna wartość „z”)

z

5 

= (4 - 4)/1,46 = 0 (wynik równy średniej)

Właściwości wyników standardowych “z” 

dla danej próby wyników:

          średnia wyników „z” = 0; wariancja = 1
 
         wyniki „z” bliskie średniej M są bliskie 

wartości “0”,

         wyniki dokładnie równe średniej są równe 

zeru.

  
         wyniki “z” mniejsze od średniej M są ujemne
         wyniki “z” większe od średniej M są dodatnie