MECHANIKA  2 

Wykład Nr 4

KINEMATYKA

Ruch złożony i ruch 

względny

Ruch złożony punktu M 

względem układu OXYZ jest 

to ruch, w skład którego 

wchodzą



ruch układu ruchomego 

O’xyz względem 

nieruchomego układu OXYZ;



ruch punktu M względem 

układu O’xyz.

Ruch punktu M 
względem 
nieruchomego 
układu OXYZ 
nazywamy ruchem 
bezwzględnym.

Ruch punktu M 
względem 
ruchomego układu 
O’xyz nazywamy 
ruchem 
względnym.

Ruch układu 
ruchomego O’xyz 
względem układu 
OXYZ nazywamy 
ruchem unoszenia.

Równania ruchu złożonego

•Wektor położenia punktu M w ruchu bezwzględnym:

•Wektor położenia punktu M w ruchu względnym:

•Wektor położenia układu O’xyz w ruchu 
unoszenia:

Mamy

gdzie:

(1)

przy czym:

Prędkość w ruchu złożonym

Po zróżniczkowaniu 
równania (1):

gdzie
:

oraz

Prędkość w ruchu złożonym

Oznaczenia:

Prędkość 
względna:

Prędkość unoszenia w ruchu 
postępowym układu O’xyz:

Pochodne wersorów:

ω



– prędkość kątowa 
układu ruchomego 
O’xyz

W konsekwencji:

Ostatecznie:

Wprowadźmy oznaczenie:

– całkowita prędkość unoszenia 
układu O’xyz

Prędkość w ruchu złożonym

Prędkość w ruchu złożonym

Prędkość bezwzględna punktu M w 
ruchu złożonym jest wypadkową 
prędkości unoszenia i prędkości 
względnej.

Przyspieszenie w ruchu złożonym

Po zróżniczkowaniu 
równania       :

gdzi
e:

oraz

– przyspieszenie unoszenia w 
ruchu postępowym układu 
ruchomego O’xyz

– składowa styczna 
przyspieszenia unoszenia 
w ruchu obrotowym 
układu O’xyz

(2)

Przyspieszenie w ruchu złożonym

gdzie:

– składowa normalna 
przyspieszenia unoszenia 
w ruchu obrotowym układu 
O’xyz:

w

a



A 
zatem:

– przyspieszenie 
względne punktu 
M

w

v







Przyspieszenie w ruchu złożonym

c

a



Podstawiając do (2) 
otrzymujemy:

– przyspieszenie 
unoszenia

– przyspieszenie 
Coriolisa

Przyspieszenie w ruchu złożonym

Przyspieszenie bezwzględne punktu M 
w ruchu złożonym jest równe sumie 
wektorowej przyspieszenia unoszenia, 
przyspieszenia względnego oraz 
przyspieszenia Coriolisa.

Przyspieszenie w ruchu złożonym

Przyspieszenie Coriolisa nie 

występuje gdy:

1)ruch unoszenia jest ruchem 

postępowym (ω=0);

2)wektor prędkości obrotowej 

jest równoległy do wektora 
prędkości względnej (ω || v

w

);

3)szybkość względna jest równa 

zeru (v

w

=0).

Przykład 1.

Punkt  M  porusza  się 

względem  punktu  A 

ze stałą prędkością v, 

wzdłuż 

pręta 

o 

długości 

l. 

Pręt 

obraca 

się 

wokół 

punktu  O  ze  stałą 

prędkością  kątową  . 

Wyznaczyć  prędkość 

bezwzględną, 

przyśpieszenie 

bezwzględne, 

szybkość 

bezwzględną 

i 

przyspieszenie 

Coriolisa punktu M.

ROZWIĄZANIE

• Układ OXY – układ 
nieruchomy.

• Układ Axy – układ ruchomy

X

Y

i



j



j

e



i

e



x

y

w

r

u

r

0

A

M

M

r

φ







M

w

u

r

r

r









M

v

ROZWIĄZANIE



M

v



ω





M

a



w

v

ROZWIĄZANIE



c

a

Przykład 2.

Wagon miał 3 m szerokości. W czasie t = 
2 s od jednej krawędzi do drugiej, 
prostopadle do osi toru, przebiegła 
myszka, poruszając się ruchem 
jednostajnym. W tym czasie wagon 
przesunął się ruchem jednostajnym 
prostoliniowym na odległość 4 m. Znaleźć 
wektor przemieszczenia i prędkości 
myszki względem torów. 

0



u

v





w

u

, r

r





w

r

u

r

0

M

r

ROZWIĄZANIE



w

v







M

M

M

v

v



r



M

s

W chwili t = 2 s:

Przyspieszenie Coriolisa na 

powierzchni Ziemi

Wiele zjawisk 
zachodzących na 
powierzchni 
Ziemi jest 
związanych z jej 
obrotem wokół 
własnej osi, a co 
za tym idzie, z 
występowaniem 
przyspieszenia 
Coriolisa.

Przyspieszenie Coriolisa na 

powierzchni Ziemi

Przykłady:

• Na półkuli północnej kierunek ruchu 
prądów morskich i wiatrów jest 
odchylony w prawo (przeciwnie niż na 
półkuli południowej).

• Przy prawym brzegu Wisły i Odry 
poziom wody jest wyższy.

• Gdy pociąg porusza się z południa na 
północ po południku, to bardziej 
zużywają się prawe szyny niż lewe.