RODZAJE JEDNORODNYCH
TRANSFORMACJI
STOSOWANYCH W KINEMATYCE
I DYNAMICE MANIPULATORÓW
ROBOTÓW
RODZAJE JEDNORODNYCH
TRANSFORMACJI
STOSOWANYCH W KINEMATYCE
I DYNAMICE MANIPULATORÓW
ROBOTÓW
Macierz wektor, lub macierz kolumnę jako
obraz dowolnego wektora
k
c
j
b
i
a
v
przestrzeni trójwymiarowej można przedstawić jako
w
z
y
x
lub
T
w
z
y
x
gdzie:
w
x
a
w
y
b
w
z
c
w – dowolna liczba skalująca – współczynnik skali
Przykładowo dowolna z następujących macierzy
5
.
0
0
.
10
0
.
5
5
.
12
lub
0
40
20
50
lub
1
20
10
25
jest macierzową reprezentacją wektora
k
j
i
v
20
10
25
Powyższe reprezentacje wektora
k
c
j
b
i
a
v
definiują położenie końca ramienia manipulatora robota.
W przypadku wektora promienia
k
r
j
r
i
r
r
z
y
x
można go przedstawić poprzez składowe
w
r
x
x
w
r
y
y
w
r
y
z
taką postać wektora nazywa się postacią jednorodną
W przypadku wektora o składowych wyrażonych
poprzez jednostki układu kartezjańskiego oraz
w = 1
Jeśli
w = 0
to wektor
r
reprezentuje tylko kierunek ramienia manipulatora
robota.
Innymi słowy kierunek jest wektorem, którego
koniec znajduje się w nieskończoności co oznacza,
że
2
2
2
z
y
x
r
r
r
Współczynnik skali wynosi wtedy
0
2
2
2
2
2
2
z
y
x
r
r
r
z
y
x
w
Zatem postać jednorodna kierunku jest następująca
0
z
y
x
r
Wektor
T
r
0
0
0
0
jest wektorem nieokreślonym
Dowolny wektor może być obracany (poddany
rotacji) lub przesuwany (poddany translacji) w
przestrzeni,
czyli
przekształcany
lub
transformowany (poddany transformacjom).
Transformacje będą przedstawiane za pomocą
macierzy o wymiarach 4x4 (PYTANIE:
DLACZEGO?).
Przykładowo wektor
k
c
j
b
i
a
v
może być przetransformowany (przekształcony) w wektor
k
f
j
e
i
d
u
za pomocą następującej operacji mnożenia macierzy jako
u = Hv
Powyższa
transformacja
odpowiada
przekształceniu wektora w przestrzeni poprzez
przesunięcie punktu. Transformacja ta polega na
przesunięciu punktu w kierunku osi x o odległość
a, w kierunku osi y odległość b, o c w kierunku osi
z, a zatem
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
,
,
H
c
b
a
c
b
a
Trans
Przykł
ad
Dany jest wektor
k
j
i
v
20
10
25
należy dokonać translacji tego wektora o 8
jednostek wzdłuż osi x, o 5 wzdłuż osi y oraz 0
jednostek wzdłuż osi z.
Macierz translacji jest równa
1
0
0
0
0
1
0
0
5
0
1
0
8
0
0
1
,
,
H
c
b
a
Trans
Wektor poddany translacji
1
20
15
33
1
20
10
25
1
0
0
0
0
1
0
0
5
0
1
0
8
0
0
1
Hv
u
Obrót albo rotacja dowolnego wektora wokół
każdej osi układu kartezjańskiego o kąt θ
odpowiada transformacji obrotu lub rotacji
Transformacja rotacji wokół osi x o kąt θ jest następująca:
1
0
0
0
0
cos
sin
0
0
sin
cos
0
0
0
0
1
,
H
x
Rot
Transformacja rotacji wokół osi y o kąt θ jest następująca:
1
0
0
0
0
cos
0
sin
0
0
1
0
0
sin
0
cos
,
H
y
Rot
Transformacja rotacji wokół osi z o kąt θ jest następująca:
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
cos
sin
0
0
sin
cos
,
H
z
Rot
Ogólnie jest możliwe dokonanie obrotu wokół
dowolnego wektora
K
, gdzie wektor
K
może mieć dowolne
współrzędne różne od x, y, z.
Transformacje taką oznacza się jako
,
K
Rot
Przykład
Dany jest wektor
k
j
i
v
8
3
5
należy dokona obrotu – rotacji tego wektora o θ =
90° wokół osi x
Macierz rotacji jest równa
1
0
0
0
0
90
cos
90
sin
0
0
90
sin
90
cos
0
0
0
0
1
90
,
H
0
0
0
0
0
x
Rot
Wektor
k
j
i
v
8
3
5
poddany rotacji jest następujący
1
3
8
5
1
8
3
5
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
Hv
u
W ogólnym przypadku jeśli układ współrzędnych
nie pokrywa się z układem odniesienia, to macierz
przekształceń (translacji lub rotacji) można zapisać
jako
1
0
0
0
T
z
z
z
z
y
y
y
y
x
x
x
x
p
n
m
l
p
n
m
l
p
n
m
l
Macierz T nazywa się macierzą przekształceń
wektora. Macierz ta jest postacią jednorodną
układu odniesienia po przekształceniu T.
Macierz T wynika z przekształceń wektora z
jednego układu współrzędnych do innego układu
współrzędnych.