1

Automatyka i podstawy 
pomiarów

Podstawowe elementy 

Dmytro
Svyetlichny
y

2

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Podstawowe elementy

Elementy  liniowe  klasyfikuje  się  najczęściej 
ze  względu  na  ich  właściwości  dynamiczne. 
Wyróżnić  można  sześć  grup  elementów 
podstawowych:

•  bezinercyjne (proporcjonalne), 

•  inercyjne, 

•  całkujące, 

•  różniczkujące, 

•  oscylacyjne, 

•  opóźniające. 

3

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy bezinercyjne 

(proporcjonalne) 

Ogólna 

postać 

równania 

elementu 

bezinercyjnego jest następująca:

gdzie 

y

  –  wielkość  wyjściowa, 

x

  –  wielkość 

wejściowa, 

k

 

– 

współczynnik 

proporcjonalności (wzmocnienia).
Transmitancja 

elementu 

jest 

równa 

współczynnikowi proporcjonalności:

kx

y 

 

 

 

k

s

x

s

y

s

G





4

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy bezinercyjne 

(proporcjonalne) 

Odpowiedź na wymuszenie skokowe              
   :

   

st

x

t

t

x

1



   

st

kx

t

t

y

1



kx

s

t

0

t

x   

y

x

st

5

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy bezinercyjne 

(proporcjonalne) 

Charakterystyki częstotliwościowe

0°





(



)

20lgk



L(



)

dB

k >1

6

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy inercyjne pierwszego 

rzędu

Ogólna  postać  równania  różniczkowego 
elementu inercyjnego pierwszego  rzędu jest 
następująca:

gdzie 

k

  –  współczynnik  proporcjonalności 

(wzmocnienia), 

T

  –  stała  czasowa  (ma 

wymiar czasu).
Skąd wynika transmitancja:

 

 

 

1







Ts

k

s

x

s

y

s

G

kx

y

dt

dy

T





7

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Odpowiedź na wymu-
szenie skokowe:

 





T

t

st

e

kx

t

y

/

1







kx

s

t

0

t

y

T

Odpowiedź na wymu-
szenie impulsowe:

 





T

t

st

e

kx

t

y

/

1







Odpowiedź na wymu-
szenie impulsowe:

 

T

t

st

e

T

kx

t

y

/





0

t

y

T

kx

st

Elementy inercyjne pierwszego 

rzędu

8

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy inercyjne pierwszego 

rzędu

Współczynnik proporcjonalności 

k

 jest równy 

stosunkowi ustalonej wartości wyjściowej do 
wartości  wejściowej.  Stała  czasowa 

T

 

natomiast jest równa czasu niezbędnemu do 
osiągnięcia  wielkością  wyjściową  swojej 
wartości ustalonej pod warunkiem jej zmiany 
z największą prędkością.

9

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Transmitancja 

widmowa 

elementu 

inercyjnego 

pierwszego 

rzędu 

jest 

następująca:

Stąd

Elementy inercyjne pierwszego 

rzędu

 

1





T

j

k

j

G





 

1

2

2





T

k

P





 

1

2

2







T

T

k

Q







10

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Wykres 

G(j



)

  ma  postać  półokręgu  o 

średnicy 

k

, ze środkiem w punkcie 

(k/2, j0)

.

Elementy inercyjne pierwszego 

rzędu

Q(



)

P(



)

k



= 0



= ∞

G(j



)



1



2

11

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Charakterystyki częstotliwościowe:

charakterystyki amplitudy: 

Elementy inercyjne pierwszego 

rzędu

T

j

e

T

k

T

j

k

j

G









arctg











2

2

1

1

)

(

2

2

1

)

(

T

k

A









2

2

2

2

1

lg

20

lg

20

1

lg

20

)

(

T

k

T

k

L

















12

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Charakterystyka fazy: 

Elementy inercyjne pierwszego 

rzędu

T

j

e

T

k

j

G







arctg

2

2

1

)

(







T







arctg

)

(





13

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy inercyjne pierwszego 

rzędu

14

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy inercyjne pierwszego 

rzędu

2

2

1

lg

20

lg

20

)

(

T

k

L











k

L

T

lg

20

)

(

:

1









T

k

L

T







lg

20

lg

20

)

(

:

1







-20 

dB/de

c

1

,

10 



T

k

1



T



15

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy całkujące

Ogólna  postać  równania  różniczkowego 
elementu całkującego jest następująca:

                           lub

Skąd wynika transmitancja:

kx

dt

dy



,

0

dt

x

k

y

t





sT

s

k

s

G

1

)

(





16

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Odpowiedź na wymuszenie skokowe:

kx

s

t

0

t

y

1,

0

 

t

kx

t

y

st



Elementy całkujące

Odpowiedź na wymuszenie impulsowe?

17

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy różniczkujące 

Idealny element różniczkujący. 

Równanie 

idealnego 

elementu 

różniczkującego jest następujące:

                           
Skąd wynika transmitancja:

ks

s

G



)

(

dt

dx

k

y 

Odpowiedź na wymuszenie skokowe?

Jest to funkcją Diraca pomnożoną przez k. 

18

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Rzeczywiste elementy  

różniczkujące 

Ogólna postać równania rzeczywistego 
elementu różniczkującego:

                           
Skąd wynika transmitancja:

dt

dx

k

y

dt

dy

T





1

)

(





Ts

ks

s

G

19

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Odpowiedź na wymuszenie skokowe:

 

T

t

st

e

kx

t

y

/





0

t

y

st

kx

Rzeczywiste elementy  

różniczkujące

20

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy oscylacyjne 

Równanie różniczkowe elementu 
oscylacyjnego :

                           
Transmitancja:

gdzie 

k

 

– 

jest 

współczynnikiem 

proporcjonalności, 

T

1

  i 

T

2

  są  stałymi 

czasowymi elementu. 

kx

y

dt

dy

T

dt

y

d

T







2

2

2

2

1

1

)

(

2

2

2

1







s

T

s

T

k

s

G

21

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy oscylacyjne 

Często spotyka się również następująca postać 
równania 

różniczkowego, 

która 

ułatwia 

interpretację 

przebiegów 

przejściowych 

elementu oscylacyjnego :

      

gdzie 



0

=1/T

1

  –  pulsacja  oscylacji  własnych 

elementu, 



=T

2

/2T

1

 – zredukowany (względny) 

współczynnik tłumienia elementu.

Transmitancja:

x

k

y

dt

dy

dt

y

d

2

0

2

0

0

2

2

2













2

0

0

2

2

0

2

)

(













s

s

k

s

G

22

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy oscylacyjne

Pierwiastki mianownika tej funkcji są:

Możliwe  są  dwa  przypadki  ze  względu  na 
znak 

różnicy 

występującej 

pod 

pierwiastkiem. Jeżeli ta różnica jest dodatnia 
lub  równa  zeru 



≥1

,  to  układ  zachowuje  się 

jak  element  inercyjny  drugiego  rzędu.  Jeżeli 
natomiast 



<1

,  to 

s

1,2

=-



0



j



,  i  odpowiedź 

na  wymuszenie  skokowe 

x(t)=1(t)x

st

  bezie 

mieć charakter oscylacyjny: 





1

2

0

2

,

1















s































t

e

kx

t

y

t

st

sin

1

)

(

0

0

2

0

1



















0

arctg



23

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Charakterystykę 

częstotliwościową 

otrzymamy  podstawiając  w  równaniu 

s=j



, 

otrzymujemy w postaci:

Elementy oscylacyjne













0

2

2

0

2

0

2

)

(

j

k

j

G







24

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy oscylacyjne

1

,

9

,

9

,

5

0











k

25

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy oscylacyjne

1

,

9

,

9

,

5

0











k

26

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Elementy opóźniające 

Równanie elementu opóźniającego na 
postać:

Transmitancja:

gdzie 



 –czas opóźnienia. 

  







 t

x

t

y

 

s

s

G





exp

)

(

27

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Wyznaczanie 

transmitancji 

podstawowych 

połączeń elementów 

28

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Połączenie szeregowe 

Transmitancja szeregowego połączenia 
elementów równa się iloczynowi 
transmitancji tych elementów: 

G

1

G

2

G

n

x

y

   

 

 









n

i

i

n

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

1

2

1

)

(



29

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Połączenie równoległe 

Transmitancja 
równoległego 
połączenia elementów 
jest równa 
algebraicznej sumie (z 
uwzględnieniem 
znaków) transmitancji 
tych elementów: 

 

 

 

 















n

i

i

n

s

G

s

G

s

G

s

G

s

G

1

2

1

)

(



G

1

G

2

G

n

x

y

30

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Połączenie ze sprzężeniem 

zwrotnym 

Transmitancja  połączenia  ze  sprzężeniem 
zwrot-nym jest równa ułamku, licznik którego 
jest  równy  transmitancji  głównej  gałęzi,  a 
mianownik  jest  równy  1±  transmitancja 
całego  obwodu.  Przy  czym  +  odpowiada 
ujemnemu sprzężeniu zwrotnemu. 

 

   

s

G

s

G

s

G

s

G

2

1

1

1

)

(





G

1

G

2

x

y

31

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Przeniesienie węzłów 

informacyjnych 

(zaczepowych) i 

sumujących przez 

elementy 

32

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Przeniesienie węzłów 

informacyjnych 

G

1

G

2

G

3

G

1

G

2

G

1

 

G

3

G

1

G

2

G

3

/G

2

33

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Przeniesienie węzłów 

sumujących

G

1

G

2

G

3

G

1

G

2

/G

1

G

3

G

1

G

2

G

3

G

3

34

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Przykład

G

1

G

2

G

3

G

4

G

5

35

Automatyka i podstawy pomiarów

  Dmytro 

Svyetlichnyy

Akademia Górniczo-Hutnicza, Zakład Komputerowego Modelowania Procesów Metalurgicznych

Przykład

G

1

G

2

G

3

G

4

/G

3

G

5

/G

1





4

2

1

5

3

2

3

2

1

3

4

1

5

3

2

1

3

2

1

1

/

/

1

)

(

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

s

G











