ZARZĄDZANIE 

PORTFELEM 

INWESTYCYJNYM

Matematyka finansowa

Procent prosty

)

360

1

(

0

t

i

K

K

n









Gdzie:
K

n

 – kapitał końcowy;

K

0

 – kapitał początkowy;

i – stopa procentowa;
t – czas (np. okres lokaty, pożyczki). 

Procent prosty

Jeżeli w trakcie pożyczki nastąpiła 
zmiana
oprocentowania, to stosujemy 
następujący wzór:

)

360

360

360

1

(

2

2

1

1

0

n

n

n

t

i

t

i

t

i

K

K

























Gdzie:
i

1 

- i

n  

- zmienne stopy procentowe;

t

1 

- t

n

 – długość obowiązywania danych stóp 

procentowych.

Procent składany

n

n

i

K

K

)

1

(

0







m

n

n

m

i

K

K









)

1

(

0

Gdzie:
i – stopa procentu składanego;
n – liczba lat;
m – liczba podokresów (np. miesięcy, 
kwartałów), a więc kapitalizacji w roku.

Procent składany















































































n

n

n

m

n

n

n

m

n

m

n

m

i

m

i

m

i

K

K

1

1

1

2

2

1

1

2

2

1

1

0

Gdzie:
i

1 

- i

n

 – zmienne stopy procentowe;

m

1 

– m

n 

liczba podokresów (kapitalizacji) dla długości 

obowiązywania danej stopy procentowej;
n

1 

– n

n 

liczba lat dla długości obowiązywania danej 

stopy procentowej.

Jeżeli z okresu na okres zmienia się stopa 
procentowa, wtedy stosujemy następujący wzór: 

1

)

1

(







m

nom

efo

m

r

r

Gdzie: 
r

efo

 – efektywna roczna stopa 

procentowa od odsetek;
r

nom 

– roczna stopa nominalna; 

m – liczba okresów kapitalizacji 
w roku.

Efektywna roczna 

stopa procentowa od 

odsetek z lokaty

Stopa efektywna przy 

kosztach prowizji

r

p

 = p(1+r

nom

)

r

ef

 = r

p

 + r

o

1

)

1

(







m

nom

efo

m

r

r

Realna roczna stopa 

zwrotu

Zależność między nominalną stopą zwrotu, 
realną stopą zwrotu i stopą inflacji 
przedstawia równanie Fishera:

1 + r

nom

 = (1 + r

real

) × (1 + i)

Gdzie:
r

nom 

– stopa nominalna (w jednym okresie);

r

real

 – stopa realna (w jednym okresie);

i – stopa inflacji (w jednym okresie).

Zatem:

i

i

r

r

nom

real







1

Procent składany

 kapitalizowany z góry

Odsetki w tego typu lokacie obliczane są i 
kapitalizowane z góry.

n

n

i

K

K

)

1

(

0





Dyskonto 

handlowe

 Odsetki handlowe

 Dyskonto handlowe

 Rachunek „w stu”

Dyskonto 

matematyczne

 Odsetki matematyczne 

(proste)

 Dyskonto matematyczne

 Rachunek „od sta”

360

t

i

K

O

n







)

360

1

(

0

t

i

K

K

n









360

1

0

t

i

K

K

n







360

0

t

i

K

O







)

360

1

(

0

t

i

K

K

n









360

1

0

t

i

K

K

n







Rachunek rentowy 

(annuitetowy) dla 

procentu składanego 

(wzory)

Renta płatna z dołu (płatność z dołu)

Renta płatna z góry (płatność z 
góry)

i

i

a

K

i

i

a

K

n

n

n



















)

1

(

1

1

)

1

(

0

i

i

i

a

K

i

i

i

a

K

n

n

n



























)

1

(

1

)

1

(

1

)

1

(

)

1

(

0

Wyjaśnienie oznaczeń

K

n

 – wartość przyszła renty (annuity), w 

literaturze często oznaczana jako FV

i,n

K

0

 – wartość bieżąca renty (annuity), w 

literaturze często oznaczana jako PV

i,n 

i – stopa procentowa lub dyskontowa (dla 
jednego okresu), w literaturze często 
oznaczana jako r
n – liczba płatności (okresów)
a – wielkość cyklicznej płatności (annuity, 
renty), w literaturze często oznaczana jako 
PMT

Równanie bankierów 

(uproszczone) 

Równanie bankierów stanowi różnicę między 
kapitałem początkowym, a sumą wypłat 
rentowych na koniec okresu.

i

i

a

i

K

K

K

R

n

n

n

n

1

)

1

(

)

1

(

0

2

1



















K

n 

w procencie 

składanym

K

n

 w rachunku 

rentowym (dla 
płatności z 
dołu)

Gdzie:
K

n1

 – kapitał początkowy 

sprowadzony na koniec okresu
K

n2

 – suma wypłat rentowych 

sprowadzona na koniec okresu
R – różnica między K

n1 

i K

n2

Wartość bieżąca netto 

NPV (Net Present 

Value)

Wartość bieżąca netto (NPV)  mierzy nadwyżkę sumy 
zdyskontowanych wpływów nad sumą zdyskontowanych 
wydatków. Liczona jest według wzoru:













































n

i

i

i

n

i

i

i

n

n

r

CF

r

CF

I

NPV

r

CF

r

CF

r

CF

I

NPV

0

1

0

2

2

1

0

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

1

Gdzie:
CF

i 

– wielkość wolnej gotówki w i-tym okresie (przepływ 

pieniężny i-tego okresu);
r – stopa dyskontowa w okresie;
I

0

 – początkowe wydatki inwestycyjne;

n – okres eksploatacji inwestycji. 

Wewnętrzna stopa 

zwrotu IRR (Internal 

Rate of Return)

Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) jest to taka stopa 
dyskontowa, dla której wartość bieżąca netto (NPV) jest 
równa zero. IRR oznacza średnią stopę zwrotu z inwestycji w 
jednym okresie. Jeśli inwestycja jest realizowana w okresach 
rocznych, IRR będzie wówczas średnią roczną stopą zwrotu z 
inwestycji.













































n

i

i

i

n

i

i

i

n

n

IRR

CF

IRR

CF

I

r

CF

r

CF

r

CF

I

0

1

0

2

2

1

0

)

1

(

)

1

(

0

)

1

(

)

1

(

1

0

r=IRR