JOANNA KONIECZNA-
SAŁAMATIN
Statystyka dla
socjologów
Collegium
Civitas
Zależność liniowa
(regresja II rodzaju dla dwóch
zmiennych)
podręcznik, str. 261 (Rozdział 10)
JOANNA KONIECZNA-
SAŁAMATIN
Statystyka dla
socjologów
Collegium
Civitas
Zależność liniowa
(regresja II rodzaju dla dwóch
zmiennych)
podręcznik, str. 261 (Rozdział 10)
JOANNA KONIECZNA-
SAŁAMATIN
Statystyka dla
socjologów
Collegium
Civitas
Przykład
Niech zmienna X oznacza staż pracy (w latach), a zmienna Y – wiek
(również w latach).
Mamy 5 – osobową populację, dla której wartości zmiennych X i Y
przedstawia tabela:
Lp.
X
Y
1
12
30
2
2
25
3
4
20
4
10
40
5
15
35
E(X|
Y)
12
2
4
10
15
Regresja średnich ma tyle
wartości, ile zmienna Y.
W tym przypadku – jest tyle
wartości, ile osób w populacji.
MODEL NICZEGO NIE
UPRASZCZA, więc nie
wiadomo, po co go stosować
JOANNA KONIECZNA-
SAŁAMATIN
Statystyka dla
socjologów
Collegium
Civitas
Przykład
X - staż pracy (w latach), a zmienna Y – wiek (również w latach).
Lp.
X
Y
1
12
30
2
2
25
3
4
20
4
10
40
5
15
35
15
20
25
30
35
40
45
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Rozwiązaniem jest zastosowanie modelu liniowego
JOANNA KONIECZNA-
SAŁAMATIN
Statystyka dla
socjologów
Collegium
Civitas
Przykład
X - staż pracy (w latach), a zmienna Y – wiek (również w latach).
Lp.
X
Y
1
12
30
2
2
25
3
4
20
4
10
40
5
15
35
15
20
25
30
35
40
45
0
2
4
6
8
10
12
14
16
f(x) = 0,5x − 6,4
Prosta ma spełniać warunek minimalizacji średniego kwadratu błędu
JOANNA KONIECZNA-
SAŁAMATIN
Statystyka dla
socjologów
Collegium
Civitas
Regresja liniowa (najmniejszych
kwadratów)
Linear regression (least square regression)
Y
b
a
X
Y
X
Y
X
Y
|
|
ˆ
Y
b
a
Y
X
Y
X
Y
X
|
|
ˆ
X
X
Y
,
ˆ
Y
Y
X
,
ˆ
)
(
)
,
(
2
|
Y
D
Y
X
c
b
Y
X
)
(
)
,
(
2
|
X
D
Y
X
c
b
X
Y
)
(
)
(
|
|
Y
E
b
X
E
a
Y
X
Y
X
)
(
)
(
|
|
X
E
b
Y
E
a
X
Y
X
Y
JOANNA KONIECZNA-
SAŁAMATIN
Statystyka dla
socjologów
Collegium
Civitas
Przykład
X - staż pracy (w latach), a zmienna Y – wiek (również w latach).
Lp.
X
Y
1
12
30
2
2
25
3
4
20
4
10
40
5
15
35
Wyznaczmy regresję liniową X od Y
Interpretacja współczynników równania:
0,5 – jeśli porównamy 2 osoby różniące się wiekiem o 1 rok, to
przewidujemy, że osoba starsza będzie miała staż pracy dłuższy o
0,5 roku;
-6,4 – hipotetyczny przewidywany staż pracy osoby, której wiek
wynosiłby 0 lat.
Y
b
a
X
Y
X
Y
X
Y
|
|
ˆ
Y
X
Y
5
,
0
4
,
6
ˆ
JOANNA KONIECZNA-
SAŁAMATIN
Statystyka dla
socjologów
Collegium
Civitas
Przykład
X - staż pracy (w latach), a zmienna Y – wiek (również w latach).
Lp.
X
Y
1
12
30
2
2
25
3
4
20
4
10
40
5
15
35
Każda zmienna zostaje poddana standaryzacji, a dopiero potem
wyznaczane jest równanie regresji. Równanie regresji w wersji
standaryzowanej ma wyraz wolny równy 0. Dlaczego?
Ze względu na to, że „wyraz wolny” w
równaniu regresji stwarza niekiedy
trudności interpretacyjne, stosuje się
często
standaryzowaną postać równania
regresji
Y
X
Y
5
,
0
4
,
6
ˆ
JOANNA KONIECZNA-
SAŁAMATIN
Statystyka dla
socjologów
Collegium
Civitas
Standaryzowana postać równania
regresji
U – standaryzowana zmienna X (staż pracy)
W – standaryzowana zmienna Y (wiek)
Lp.
X
Y
U
W
1
12
30
0,69634
7
0
2
2
25
-1,35173 -0,70711
3
4
20
-0,94212 -1,41421
4
10
40
0,28673
1
1,41421
4
5
15
35
1,31077
1
0,70710
7
Interpretacja równania w wersji standaryzowanej:
Współczynnik stojący przy zmiennej zależnej, to współczynnik korelacji
(Pearsona)
Jeśli porównamy 2 osoby różniące się wiekiem o 1 odchylenie standardowe, to
przewidujemy, że osoba starsza będzie się miała staż pracy dłuższy o 0,72
odchylenia standardowego.
Y
X
Y
5
,
0
4
,
6
ˆ
W
U
W
72
,
0
ˆ
JOANNA KONIECZNA-
SAŁAMATIN
Statystyka dla
socjologów
Collegium
Civitas
Miernik siły zależności przy regresji
liniowej
(Kwadrat współczynnika korelacji liniowej)
Lp.
X
Y
1
12
30
2
2
25
3
4
20
4
10
40
5
15
35
Miernik ten pokazuje, jaką część zróżnicowania zmiennej X udało się
odtworzyć za pomocą modelu liniowego.
A zatem mierzy on:
• liniowość zależności
• siłę zależności liniowej
)
(
)
ˆ
(
)
(
)
ˆ
(
)
(
2
2
2
2
2
2
,
X
D
X
D
X
D
X
X
E
X
D
Y
Y
Y
X
)
(
)
(
)
,
(
2
2
2
2
,
Y
D
X
D
Y
X
c
Y
X