C16  ćwiczenia MECHANIKA BUDOWLI I KMB WIL PG
rok akademicki 2003/2004, semestr letni (4)
M. Abramski, J. Górski, P. Iwicki, M. K. Jasina, M. Skowronek, M. Szafrański, R. Pankau, W. Werochowski, W. Witkowski
Ćwiczenie 6
Zad. 6.1
Sporządzić wykresy sił wewnętrznych powstałych w układzie ramowym na skutek wmontowania
pręta A-1 dłuższego o "l = 3cm . EI = 1400 kNm2 = const
Rys. 6.1.1
Stopień statycznej niewyznaczalności (n=2).
Układ podstawowy metody sił:
Rys. 6.1.2
Układ podstawowy poddany działaniu nadliczbowej X1 = 1
Rys. 6.1.3
Układ podstawowy poddany działaniu nadliczbowej X2 = 1
Rys. 6.1.4
C16cwiczenia-06.doc [1]
C16  ćwiczenia MECHANIKA BUDOWLI I KMB WIL PG
rok akademicki 2003/2004, semestr letni (4)
M. Abramski, J. Górski, P. Iwicki, M. K. Jasina, M. Skowronek, M. Szafrański, R. Pankau, W. Werochowski, W. Witkowski
Kąt obrotu w pkt. A w poszczególnych stanach:
- oddziaływanie zewnętrzne (imperfekcja) �10 = "l �" NA-1(1) = 0
MM1 1 1 2 1
1
- X1 = 1: �11 = ds = �" �"1�"3�" �"1 =
+"
EI EI 2 3 EI
L
MM2 1 1 1 1
1
- X2 = 1 : �12 = ds = �" �"1�"3�" �"1 =
+"
EI EI 2 3 2EI
L
Zmiany katów obrotu p. 1 w poszczególnych stanach
1
- oddziaływanie zewnętrzne (imperfekcja) �20 ="l �" NA-1(2) = 0,03�" = 0,01 m
3
M2M1 1
- X1 = 1: �21 = ds =
+"
EI 2EI
L
M2M2 1 1 2 2
- X2 = 1 : �22 = ds = �" 2�" �"3�"1�" �"1 =
+"
EI EI 2 3 EI
L
Równania zgodności przemieszczeń:
(1) �10 + �11 �" X1 + �12 �" X2 = 0 �! 2X1 + X2 = 0
(2) �20 + �21 �" X1 + �22 �" X2 = 0 �! X1 + 4X2 = -28
Stąd X1 = 4 kNm, X2 = -8 kNm
Rozwiązanie: układ podstawowy poddany obc. zewnętrznemu i nadliczbowej:
Rys.6.1.5
C16cwiczenia-06.doc [2]
C16  ćwiczenia MECHANIKA BUDOWLI I KMB WIL PG
rok akademicki 2003/2004, semestr letni (4)
M. Abramski, J. Górski, P. Iwicki, M. K. Jasina, M. Skowronek, M. Szafrański, R. Pankau, W. Werochowski, W. Witkowski
Zad. 6.2
Obliczyć siły w prętach podpierających sztywną tarczę
Rys. 6.2.1
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny.
Układ podstawowy metody sił:
Rys. 6.2.2
Rozwiązanie w układzie podstawowym
Siły w prętach układu podstawowego wywołane obciążeniem zewnętrznym:
Rys. 6.2.3
Siły w prętach układu podstawowego wywołane obciążeniem X1 = 1:
Rys. 6.2.4
C16cwiczenia-06.doc [3]
C16  ćwiczenia MECHANIKA BUDOWLI I KMB WIL PG
rok akademicki 2003/2004, semestr letni (4)
M. Abramski, J. Górski, P. Iwicki, M. K. Jasina, M. Skowronek, M. Szafrański, R. Pankau, W. Werochowski, W. Witkowski
Obliczenie przemieszczeń w układzie podstawowym przy pomocy tabelki:
Rys. 6.2.5
Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- wywołane obciążeniem zewnętrznym:
4
SoiS1i Pl
�10 = li = -
"
EAi EA
i=1
- wywołane nadliczbową X1 = 1:
4
S1iS1i 6l
�11 = li =
"
EAi EA
i=1
P
Z równania zgodności przemieszczeń �1 = �10 + �11X1 = 0 otrzymujemy X1 =
6
Rozwiązanie:
Rys. 6.2.6
Rozwiązanie otrzymujemy z superpozycji: Si = S0i + S1i �" X1
P
S1 =
6
P 5
S2 = P 2 - �" 2 = P 2
6 6
P 7
S3 =-P - �"1 =- P
6 6
P
S4 = 2
6
C16cwiczenia-06.doc [4]
C16  ćwiczenia MECHANIKA BUDOWLI I KMB WIL PG
rok akademicki 2003/2004, semestr letni (4)
M. Abramski, J. Górski, P. Iwicki, M. K. Jasina, M. Skowronek, M. Szafrański, R. Pankau, W. Werochowski, W. Witkowski
Zad. 6.3
Sporzadzić wykresy M i Ms w dz
wigarze załamanym w planie. GIs = 6EI .
Rys. 6.3.1
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny.
Układ podstawowy metody sił:
Rys. 6.3.2
Rozwiązanie w układzie podstawowym
Układ podstawowy poddany działaniu obciążenia zewnętrznego:
Rys. 6.3.3
Układ podstawowy poddany działaniu nadliczbowej X1 = 1:
Rys. 6.3.4
C16cwiczenia-06.doc [5]
C16  ćwiczenia MECHANIKA BUDOWLI I KMB WIL PG
rok akademicki 2003/2004, semestr letni (4)
M. Abramski, J. Górski, P. Iwicki, M. K. Jasina, M. Skowronek, M. Szafrański, R. Pankau, W. Werochowski, W. Witkowski
Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- wywołane obciążeniem zewnętrznym:
Ą#2 ń#
�# ś#
M0M1 M0M1 1 ql2 5 1 ql2 2 1 ql2
�10 = ds + ds = �" �" �"l �" �"(-2l) + �"l �"ś# - �" 2lĄ# + �" �"l �" =
(-2l
)
ó#3 ź#�"
+"+"
EI GIs EI 2 8 2 2 3 GIs 2
�# #
LL Ł#Ś#
gl4 5 1 ql4 11 ql4
�# ś#
=- + - =- �"
ś#12 ź#
EI 3 6EI 12 EI
�# #
- wywołane nadliczbową X1 = 1:
MM1 MM1 1 1 2 1 2 1
Ą#2�"
1 1
�11 = ds + ds = �" �"l �"l �" l + 2�" �" 2l �"l �" �" 2lń# + �" 2l �"l �" 2l =
+"+" ó#Ą#
EI GIs EI 2 3 2 3 GIs
Ł#Ś#
LL
l3 2 8 4l3 4l3
�# ś#
= + + =
ś# ź#
EI 3 3 6EI EI
�# #
11
Z równania zgodności przemieszczeń �1 = �10 + �11X1 = 0 otrzymujemy X1 = ql
48
Reakcje podporowe otrzymujemy z superpozycji:
11
RA = ql
48
ql 11 13
RB = - ql = ql
2 48 48
11 13
RC = ql - ql = ql
24 24
ql 11 1
RD =- + ql =- ql
2 24 24
Rozwiązanie:
Rys. 6.3.5
C16cwiczenia-06.doc [6]
C16  ćwiczenia MECHANIKA BUDOWLI I KMB WIL PG
rok akademicki 2003/2004, semestr letni (4)
M. Abramski, J. Górski, P. Iwicki, M. K. Jasina, M. Skowronek, M. Szafrański, R. Pankau, W. Werochowski, W. Witkowski
Zad. 6.4
Sporzadzić wykresy M dla rusztu belkowego. EI = const .
Rys. 6.4.1
Układ jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalny.
Układ podstawowy metody sił: rozdzielenie obu części układu, siła wzajemnego oddziaływania
(reakcja) jest nadliczbową X1
Rys. 6.4.2
Rozwiązanie w układzie podstawowym
Układ podstawowy poddany działaniu obciążenia zewnetrznego:
Rys. 6.4.3
C16cwiczenia-06.doc [7]
C16  ćwiczenia MECHANIKA BUDOWLI I KMB WIL PG
rok akademicki 2003/2004, semestr letni (4)
M. Abramski, J. Górski, P. Iwicki, M. K. Jasina, M. Skowronek, M. Szafrański, R. Pankau, W. Werochowski, W. Witkowski
Układ podstawowy poddany działaniu nadliczbowej X1 = 1:
Rys. 6.4.4
Przemieszczenia w układzie podstawowym:
- wywołane obciążeniem zewnętrznym:
�# ś#
M0M1 1 1 ql2 3 ql4
�10 = ds = �" �"l �"ś# - �" �"l = -
ź#
+"
EI EI 3 2 4 8EI
L �# #
- wywołane nadliczbową X1 = 1:
MM1 1 1 2 1 l 2 l l3
Ą#ń#
1
�11 = ds = �" �"l �"l �" �"l + 2�" �"l �" �" �" =
+" ó#2 3 2 2 3 2Ą# 2EI
EI EI
Ł#Ś#
L
ql
Z równania zgodności przemieszczeń �1 = �10 + �11X1 = 0 otrzymujemy X1 =
4
Rozwiązanie:
Rys. 6.4.5
C16cwiczenia-06.doc [8]