Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
Wykład 8
1
Wrocław University of Technology
07-I-2012
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Sprę\
ystość
Gdy du\
a liczba atomów znajduje się
bardzo blisko siebie, atomy zajmują
poło\
enia równowagi w trójwymiarowej
sieci. Atomy znajdują się blisko siebie
dzięki występującym między nimi siłom
międzyatomowym. Działają one tak, jak
gdyby atomy połączone były małymi
sprę\
ynkami, jak na rysunku obok. Sieć
jest niezwykle sztywna, co oznacza,
\
e te  międzyatomowe sprę\
ynki" są
bardzo mocne.
2
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Sprę\
ystość
Wszystkie rzeczywiste ciała  sztywne" są w
jakimś stopniu sprę\
yste, co oznacza, \
e
mo\
na nieznacznie zmienić ich rozmiary,
rozciągając je, ściskając lub skręcając.
3
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Prawo Hooke a
NAPR
śENIE
=
MODUA

SPR
śYSTOŚCI
x
ODKSZTAA
CENIE
Zale\
ność odkształcenia od naprę\
enia dla
F "L
próbki ze stali. Próbka ulega odkształceniu
= E
trwałemu po przekroczeniu przez naprę\
enie
granicy sprę\
ystości materiału. Próbka pęka S L
po osiągnięciu przez naprę\
enie wartości
odpowiadającej naprę\
eniu niszczącemu dla
badanego materiału.
4
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Ruch harmoniczny
Ka\
dy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywamy
ruchem okresowym.
5
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Ruch harmoniczny
6
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Ruch harmoniczny
W ruchu harmonicznym zale\
ność przemieszczenia x ciała względem
początku układu współrzędnych od czasu opisana jest wzorem:
x(t) = Acos(�t + Ś)
gdzie:
x(t)  przemieszczenie w chwili czasu t,
A  amplituda,
�  częstość kołowa,
t  czas,
Ś  faza początkowa.
7
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Ruch harmoniczny
x(t) = Acos(�t + Ś0) Ś0 = 0
k 2Ą
� = =
m T
" (a) zmienia się A : stałe T
" (b) większe m : większe T
" (c) większe k : mniejsze T
8
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Ruch harmoniczny
Przemieszczenie
x(t) = Acos(�t)
Prędkość
dx(t)
v(t) = = -�Asin(�t)
dt
Przyspieszenie
dv(t)
a(t) = = -�2 Acos(�t)
dt
9
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Ruch harmoniczny
dv(t)
a(t) = = -�2 1cos(4)
A42�t
3
dt
x(t)
a(t) = -�2x(t)
W ruchu harmonicznym przyspieszenie jest proporcjonalne do przemieszczenia,
ale ma przeciwny znak, przy czym łączący obie wielkości współczynnik
proporcjonalności równy jest kwadratowi częstości kołowej.
10
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Siła w ruchu harmonicznym
Z drugiej zasady dynamiki Newtona
F = ma = m(-�2x)
Z drugiej strony wiemy, \
e
F = -kx
Stąd
k = �2x
Ruch harmoniczny jest to ruch, jaki wykonuje ciało o masie m, na które działa
siła proporcjonalna do przemieszczenia, ale o przeciwnym znaku.
11
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Ruch harmoniczny
ma = m(-�2x)
2
d x k
= - x
dt2 m
k
� = (rad/s)
m
Rozwiązanie
x0
x(t) = Acos(�t +Ć)
x(0) = AcosĆ = x0, Ć = arccos
A
f = � / 2Ą , T =1/ f ,
A
12
Częstość [Hz] Okres [s] Amplituda
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Energia w ruchu harmonicznym
Energia potencjalna
1 1
Ep = kx2 = kA2 cos2(�t + Ś)
2 2
Energia kinetyczna
1 1
Ek = mv2 = kA2 sin2(�t + Ś)
2 2
Energia mechaniczna
1 1
Ep + Ek = kA2 cos2(�t + Ś)+ kA2 sin2(�t + Ś)=
2 2
1 1
= kA2(cos2(�t + Ś)+ sin2(�t + Ś))= kA2
2 2
13
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Energia w ruchu harmonicznym
Energia mechaniczna ruchu harmonicznego jest stała, stąd
1 1 1 k
mv2 + kx2 = kA2 �! v = ą A2 - x2
2 2 2 m
Prędkość maksymalna występuje dla x = 0 i wynosi:
k
14
vmax = A = �A
m
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Wahadło matematyczne
( )
M = r � F = -L Fg sin�
Z drugiej zasady dynamiki Newtona
- L(mg sin� )= I�
Ó!
- Lmg
� = �
I
15
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Ruch harmoniczny tłumiony
Prosty oscylator tłumiony - klocek o masie m drga
w pionie zawieszony na sprę\
ynie o stałej
sprę\
ystości k. Do klocka przyczepiony jest pręt
zakończony łopatką (zakładamy, \
e oba te
elementy mają znikomą masę) zanurzoną w
cieczy. Gdy łopatka porusza się w górę i w dół,
ciecz wywiera na nią (i w konsekwencji na cały
układ drgający) siłę oporu. Z upływem czasu
energia mechaniczna układu klocek-sprę\
yna
maleje  przekształca się w energię termiczną
cieczy i łopatki.
Siła oporu F0, jaką działa ciecz, jest proporcjonalna
do wartości prędkości v łopatki i klocka (takie
zało\
enie jest poprawne, gdy łopatka porusza się
powoli):
16
F0 = -bv
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Ruch harmoniczny tłumiony dE/dt<0
Równanie ruchu harmonicznego tłumionego wynikające z prawa Newtona
przyjmuje postać:
- bv - kx = ma
2
d x dx
m + b + kx = 0
dt2 dt
Rozwiązanie tego równania ma postać:
Rodzaje tłumień:
- Małe
b < mk
(niedotłumienie)
x(t) = Ae-bt 2m cos(�'t + Ś)
- Średnie
b = mk
(tłumienie krytyczne)
k b2
�'= -
- Du\
e
m 4m2 b > mk
(przetłumienie)
17
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Ruch harmoniczny tłumiony
18
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Drgania wymuszone
Taki oscylator wymuszony drga
z częstością kołową �wym siły
wymuszającej, a jego
przemieszczenie x(t) dane jest
wzorem:
x(t) = Acos(�wymt + Ś)
19
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Drgania wymuszone
Kiedy periodycznie zmieniająca się siła wymuszająca o częstości kołowej �wym
jest przyło\
ona do harmonicznego oscylatora tłumionego, w rezultacie powstają
drgania wymuszone.
Siła wymuszająca:
�wym=0.4�
Fwym = Fmaxcos(�wymt)
�wym=1.01�
By Dr. Dan Russell, Kettering University
�wym=1.6�
20
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Drgania wymuszone
Amplituda drgań wymuszonych:
Fmax
A =
2 2
(k - m�wym)2 + b2�wym
2
Kiedy k = m�wym
wtedy A przyjmuje maksimum w
�wym = k / m
REZONANS
A
21