Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny
Wykład 8
1
Wrocław University of Technology
07-I-2012
Ruch harmoniczny 07.I.2012
SprÄ™\
ystość
Gdy du\
a liczba atomów znajduje się
bardzo blisko siebie, atomy zajmujÄ…
poło\
enia równowagi w trójwymiarowej
sieci. Atomy znajdujÄ… siÄ™ blisko siebie
dzięki występującym między nimi siłom
międzyatomowym. Działają one tak, jak
gdyby atomy połączone były małymi
sprÄ™\
ynkami, jak na rysunku obok. Sieć
jest niezwykle sztywna, co oznacza,
\
e te  międzyatomowe sprę\
ynki" sÄ…
bardzo mocne.
2
Ruch harmoniczny 07.I.2012
SprÄ™\
ystość
Wszystkie rzeczywiste ciała  sztywne" są w
jakimÅ› stopniu sprÄ™\
yste, co oznacza, \
e
mo\
na nieznacznie zmienić ich rozmiary,
rozciągając je, ściskając lub skręcając.
3
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Prawo Hooke a
NAPR
śENIE
=
MODUA

SPR
śYSTOŚCI
x
ODKSZTAA
CENIE
Zale\
ność odkształcenia od naprę\
enia dla
F "L
próbki ze stali. Próbka ulega odkształceniu
= E
trwałemu po przekroczeniu przez naprę\
enie
granicy sprÄ™\
ystości materiału. Próbka pęka S L
po osiągnięciu przez naprę\
enie wartości
odpowiadajÄ…cej naprÄ™\
eniu niszczÄ…cemu dla
badanego materiału.
4
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Ruch harmoniczny
Ka\
dy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywamy
ruchem okresowym.
5
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Ruch harmoniczny
6
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Ruch harmoniczny
W ruchu harmonicznym zale\
ność przemieszczenia x ciała względem
początku układu współrzędnych od czasu opisana jest wzorem:
x(t) = Acos(Ét + Åš)
gdzie:
x(t)  przemieszczenie w chwili czasu t,
A  amplituda,
É  czÄ™stość koÅ‚owa,
t  czas,
Åš  faza poczÄ…tkowa.
7
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Ruch harmoniczny
x(t) = Acos(Ét + Åš0) Åš0 = 0
k 2Ä„
É = =
m T
" (a) zmienia się A : stałe T
" (b) większe m : większe T
" (c) większe k : mniejsze T
8
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Ruch harmoniczny
Przemieszczenie
x(t) = Acos(Ét)
Prędkość
dx(t)
v(t) = = -ÉAsin(Ét)
dt
Przyspieszenie
dv(t)
a(t) = = -É2 Acos(Ét)
dt
9
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Ruch harmoniczny
dv(t)
a(t) = = -É2 1cos(4)
A42Ét
3
dt
x(t)
a(t) = -É2x(t)
W ruchu harmonicznym przyspieszenie jest proporcjonalne do przemieszczenia,
ale ma przeciwny znak, przy czym łączący obie wielkości współczynnik
proporcjonalności równy jest kwadratowi częstości kołowej.
10
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Siła w ruchu harmonicznym
Z drugiej zasady dynamiki Newtona
F = ma = m(-É2x)
Z drugiej strony wiemy, \
e
F = -kx
StÄ…d
k = É2x
Ruch harmoniczny jest to ruch, jaki wykonuje ciało o masie m, na które działa
siła proporcjonalna do przemieszczenia, ale o przeciwnym znaku.
11
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Ruch harmoniczny
ma = m(-É2x)
2
d x k
= - x
dt2 m
k
É = (rad/s)
m
RozwiÄ…zanie
x0
x(t) = Acos(Ét +Ć)
x(0) = AcosĆ = x0, Ć = arccos
A
f = É / 2Ä„ , T =1/ f ,
A
12
Częstość [Hz] Okres [s] Amplituda
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Energia w ruchu harmonicznym
Energia potencjalna
1 1
Ep = kx2 = kA2 cos2(Ét + Åš)
2 2
Energia kinetyczna
1 1
Ek = mv2 = kA2 sin2(Ét + Åš)
2 2
Energia mechaniczna
1 1
Ep + Ek = kA2 cos2(Ét + Åš)+ kA2 sin2(Ét + Åš)=
2 2
1 1
= kA2(cos2(Ét + Åš)+ sin2(Ét + Åš))= kA2
2 2
13
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Energia w ruchu harmonicznym
Energia mechaniczna ruchu harmonicznego jest stała, stąd
1 1 1 k
mv2 + kx2 = kA2 Ò! v = Ä… A2 - x2
2 2 2 m
Prędkość maksymalna występuje dla x = 0 i wynosi:
k
14
vmax = A = ÉA
m
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Wahadło matematyczne
( )
M = r × F = -L Fg sin¸
Z drugiej zasady dynamiki Newtona
- L(mg sin¸ )= Iµ
Ó!
- Lmg
µ = ¸
I
15
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Ruch harmoniczny tłumiony
Prosty oscylator tłumiony - klocek o masie m drga
w pionie zawieszony na sprÄ™\
ynie o stałej
sprÄ™\
ystości k. Do klocka przyczepiony jest pręt
zakończony łopatką (zakładamy, \
e oba te
elementy majÄ… znikomÄ… masÄ™) zanurzonÄ… w
cieczy. Gdy łopatka porusza się w górę i w dół,
ciecz wywiera na nią (i w konsekwencji na cały
układ drgający) siłę oporu. Z upływem czasu
energia mechaniczna układu klocek-sprę\
yna
maleje  przekształca się w energię termiczną
cieczy i Å‚opatki.
Siła oporu F0, jaką działa ciecz, jest proporcjonalna
do wartości prędkości v łopatki i klocka (takie
zało\
enie jest poprawne, gdy Å‚opatka porusza siÄ™
powoli):
16
F0 = -bv
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Ruch harmoniczny tłumiony dE/dt<0
Równanie ruchu harmonicznego tłumionego wynikające z prawa Newtona
przyjmuje postać:
- bv - kx = ma
2
d x dx
m + b + kx = 0
dt2 dt
Rozwiązanie tego równania ma postać:
Rodzaje tłumień:
- Małe
b < mk
(niedotłumienie)
x(t) = Ae-bt 2m cos(É't + Åš)
- Åšrednie
b = mk
(tłumienie krytyczne)
k b2
É'= -
- Du\
e
m 4m2 b > mk
(przetłumienie)
17
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Ruch harmoniczny tłumiony
18
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Drgania wymuszone
Taki oscylator wymuszony drga
z czÄ™stoÅ›ciÄ… koÅ‚owÄ… Éwym siÅ‚y
wymuszajÄ…cej, a jego
przemieszczenie x(t) dane jest
wzorem:
x(t) = Acos(Éwymt + Åš)
19
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Drgania wymuszone
Kiedy periodycznie zmieniajÄ…ca siÄ™ siÅ‚a wymuszajÄ…ca o czÄ™stoÅ›ci koÅ‚owej Éwym
jest przyło\
ona do harmonicznego oscylatora tłumionego, w rezultacie powstają
drgania wymuszone.
Siła wymuszająca:
Éwym=0.4É
Fwym = Fmaxcos(Éwymt)
Éwym=1.01É
By Dr. Dan Russell, Kettering University
Éwym=1.6É
20
Ruch harmoniczny 07.I.2012
Drgania wymuszone
Amplituda drgań wymuszonych:
Fmax
A =
2 2
(k - mÉwym)2 + b2Éwym
2
Kiedy k = mÉwym
wtedy A przyjmuje maksimum w
Éwym = k / m
REZONANS
A
21