Egzamin 1 WST
P DO RÓWNAC
RÓŻNICZKOWYCH 25.06.2013
ImiÄ™ i nazwisko:
W poniższym teście, jeśli podana odpowiedz
jest poprawna (Państwa zdaniem), to zaznaczamy ją
T N
następująco: , w przeciwnym wypadku: . Za każdą poprawną odpowiedz
otrzymujemy +1 punkt,
za każdą błędną odpowiedz
-0.5 punktu, za brak odpowiedzi 0 punktów. Ostatnie trzy pytania
punktowane są inaczej (od 0 do 3 lub 4 punktów).
Punktacja: [15,18) punktów - ocena 3, [18,21) punktów - ocena 3.5, [21,25) punktów- ocena 4, [25,28)
punktów- ocena 4,5, [28,30] punktów - ocena 5. Powodzenia.
Równanie y (x) + y (x) = 1 jest równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu;
Funkcje: t exp(2t) i exp(2t) są liniowo niezależne;
Równanie y (x) + y(x) = 1 jest równaniem o rozdzielonych zmiennych;
Od funkcji spełniającej równanie różniczkowe drugiego rzędu żądamy, aby była klasy C2;

Równanie y (x) = y(x), dla warunków początkowych położonych na osi x, posiada dokładnie jedno rozwiązanie;
Równanie x = Ax, gdzie A jest macierzÄ… o staÅ‚ych współczynnikach wymiaru n × n, posiada dokÅ‚adnie jedno
globalne rozwiÄ…zanie x : R Rn;

x = y
Równanie różniczkowe x - x - 3x = 0 jest równoważne układowi równań ;
y = 3x + y
Jedynym ograniczonym w +" rozwiązaniem równania x = 2 - x jest funkcja x(t) = 2;
Zagadnienie x = f(t, x), x(t0) = x0 posiada jednoznaczne rozwiązanie, jeśli funkcja f jest ciągła;
Równanie x (t) = 0, t " R, posiada nieskończenie wiele rozwiązań okresowych;
Funkcja y(t) jest rozwiązaniem zagadnienia: y = t2 + y2, y(1) = 2. Wówczas y (1) = -5;
Równanie (cos x - x sin x)ydx + (x cos x - 2y)dy = 0 jest zupełne;
"
Zagadnienie x = t x - 1, x(3) = 5 posiada dokładnie jedno rozwiązanie określone na pewnym otoczeniu punktu
t = 3;
t
Funkcja x(t) = -x0 exp p(s)ds jest rozwiÄ…zaniem zagadnienia: x = p(t)x, x(t0) = -x0;
t0
Jeżeli funkcje u(x, y), v(x, y) są funkcjami harmonicznymi w pewnym obszarze, to funkcja w(x, y) = au(x, y) +
bv(x, y) + c, gdzie a, b, c " R, jest funkcjÄ… harmonicznÄ… w tym obszarze;
Równanie różniczkowe Laplace a, to równanie różniczkowe cząstkowe liniowe drugiego rzędu postaci: u(x) = 0,
gdzie funkcja u : Rn ‡" U Rn jest klasy C2(U);
Równanie uxx - 4uxy + 4uyy + 3uy = 0 jest paraboliczne;
Równanie przewodnictwa cieplnego jest paraboliczne;
Równanie falowe w przypadku jednowymiarowym nazywane jest również równaniem struny;
Rozwiązań podstawowych równania Laplace a poszukujemy w postaci rozwiązań radialnych;
1. (3 punkty) Rozważmy macierz A o staÅ‚ych współczynnikach wymiaru n × n. Podaj definicjÄ™ etA. Wykaż, że etA
jest rozwiązaniem równania x = Ax.
2. (3 punkty) Wykaż (przyjmując odpowiednie założenia o funkcji f oraz o punktach t0 i x0), że zagadnienie

t
x = f(t, x), x(t0) = x0 można zapisać w równoważnej postaci całkowej x(t) = x0 + f(s, x(s))ds.
t0
Å»
3. (4 punkty) Niech u bÄ™dzie funkcjÄ… harmonicznÄ… na pewnym obszarze ograniczonym D ‚" R2, klasy C1 w D.
"u
Wykaż, że jeśli: (1) u|"D = 0, to u a" 0 oraz (2) = 0, to u a" const.
"n |"D