Egzamin 0 WST
P DO RÓWNAC
RÓŻNICZKOWYCH 19.06.2013
ImiÄ™ i nazwisko:
W poniższym teście, jeśli podana odpowiedz
jest poprawna (Państwa zdaniem), to zaznaczamy ją
T N
następująco: , w przeciwnym wypadku: . Za każdą poprawną odpowiedz
otrzymujemy +1 punkt,
za każdą błędną odpowiedz
-0.5 punktu, za brak odpowiedzi 0 punktów. Ostatnie trzy pytania
punktowane są inaczej (od 0 do 2,3 lub 5 punktów).
Punktacja: [15,18) punktów - ocena 3, [18,21) punktów - ocena 3.5, [21,25) punktów- ocena 4, [25,28)
punktów- ocena 4,5, [28,30] punktów - ocena 5. Powodzenia.
Równanie u = u jest równaniem różniczkowym cząstkowym;
Równanie przewodnictwa cieplnego nazywane jest również równaniem dyfuzji;
Równanie Laplace a jest szczególnym przypadkiem równania Poissona;
Równanie Tricomiego yuxx + uyy = 0 jest eliptyczne dla y > 0;

x = y
Równanie różniczkowe x = 2x + x jest równoważne układowi równań ;
y = x + 2y

xy x2y
Równanie dx + xy - dy = 0 jest zupełne;
ey ey
Wiemy, że funkcja µ(x) = x jest czynnikiem caÅ‚kujÄ…cym pewnego równania. Wówczas funkcja µ(x) = 5x też jest
czynnikiem całkującym tego równania;
1
Jednym z rozwiązań równania t2x = -x jest funkcja h(t) = exp( ), t > 0;
t
Jeżeli f jest funkcją ciągłą, to zagadnienie x = f(t, x), x(t0) = x0 można zapisać w równoważnej postaci całkowej

t
x(t) = x0 + f(s, x(s))ds;
t0
Od funkcji spełniającej równanie różniczkowe pierwszego rzędu żądamy, aby była funkcją zespoloną;
Jedynym ograniczonym rozwiązaniem równania x = x - 2 jest funkcja x(t) = 2;
Zagadnienie początkowe x = ax +bx, x(0) = x0, x (0) = x1, a, b " R, ma dokładnie jedno rozwiązanie globalne;
"
Zagadnienie x = t x - 1, x(3) = 1 posiada dokładnie jedno rozwiązanie określone na pewnym otoczeniu punktu
t = 1;
Zagadnienie początkowe dla równania różniczkowego liniowego pierwszego rzędu x = p(t)x + q(t), x(t0) = x0,
t " (a, b), ma dla dowolnych funkcji ciągłych p, q : (a, b) R dokładnie jedno rozwiązanie globalne;


t
Funkcja x(t) = x0 exp - p(s)ds jest rozwiÄ…zaniem zagadnienia: x = -p(t)x, x(t0) = x0;
t0
Funkcje sin(2t) i cos(2t) są bazą liniowej przestrzeni rozwiązań równania x + 4x = 0;
3 1
Funkcja u(x, y) = - (x4 + y4) + 3x2y2 + xy jest harmoniczna w R2;
5 2
Niejednorodne równanie przewodnictwa cieplnego jest postaci: ut-"u = f, gdzie f = f(x, t) jest zadaną funkcją;
Równanie Laplace a w przypadku jednowymiarowym nazywane jest również równaniem struny;
x
Zagadnienie x = , x(2) = 0 posiada rozwiązanie określone na całej prostej rzeczywistej;
t-1
1. (2 punkty) Rozważmy równanie: x +p(t)x +q(t)x = 0, t " (a, b). Niech x1(t) i x2(t) będą dwoma rozwiązaniami
tego równania na przedziale (a, b). Podać warunek jaki muszą spełniać te rozwiązania, aby zbiór wszystkich
funkcji postaci C1x1(t) + C2x2(t), C1, C2 " R, był zbiorem wszystkich rozwiązań rozważanego równania.
WRR Egzamin, Strona 2 z 2 19.06.2013
2. (3 punkty) Podać twierdzenie dotyczące rozwiązania następującego zagadnienia początkowego dla równania
struny:
Å„Å‚
utt
òÅ‚ - c2uxx = 0, t 0, x " R
u(0, x) = g(x) x " R .
ół
ut(0, x) = h(x) x " R
Wykorzystując powyższe twierdzenie znajdz
postać rozwiązania zagadnienia (wykonaj obliczenia i podaj wzór):
Å„Å‚
utt
òÅ‚ - uxx = 0, t 0, x " R
u(0, x) = x x " R .
ół
ut(0, x) = 4x x " R
3. (5 punktów) Rozważmy równanie jednorodne x = A(t)x, gdzie A(t) = [ai,j(t)]i,j=1,...,n, aij : (a, b) R są
funkcjami ciagłymi, x : (a, b) Rn. Wykaż, że zbiór wszystkich rozwiązań równania jednorodnego x = A(t)x
tworzy n-wymiarową przestrzeń liniową E (należy pokazać, że E jest przestrzenią liniową oraz dimE = n).