Temat:

Obliczanie przełożeń przekładni planetarnych zębatych

mgr inż. Marian Bączkowski

nauczyciel

Zespołu Szkół Technicznych

w Radomiu

Obliczanie przełożeń zębatych przekładni planetarnych

Przekładnie planetarne są przekładniami, w których co najmniej jedno koło, nazywane kołem obiegowym lub satelitą ma oś ruchomą względem korpusu przekładni. Koła takie w czasie pracy obiegają dookoła innych kół, zwanych kołami stałymi. Przekładnie planetarne umożliwiają przenoszenie dużych mocy i uzyskiwanie dużych przełożeń przy stosunkowo małych wymiarach. Posiadają one szczególne właściwości, polegające na tym, że pośredniczące działanie pomiędzy kołem centralnym a wieńcem może spełniać więcej niż jeden satelita, co umożliwia zastosowanie zasady wewnętrznego podziału obciążenia, a także, że występuje w tych przekładniach zazębienie wewnętrzne, które ma szereg korzystnych własności, jak mały poślizg i możliwość przenoszenia znacznych względnych obciążeń przy miękkich zębach wieńca i twardych zębach satelitów i koła centralnego. Przekładnie te są również kilkakrotnie lżejsze od zwykłych przekładni o podobnych parametrach. Cechy te pozwalają na zastosowanie tego typu przekładni w zespołach turbinowych, pojazdach szynowych, napędach okrętowych, a także w automatycznych skrzyniach przekładniowych pojazdów samochodowych, obrabiarkach, bardzo dokładnych podzielnicach uniwersalnych, itd.

Wymiary geometryczne oraz wytrzymałość kół zębatych będących częściami tych przekładni oblicza się tak, jak dla zwykłych przekładni zębatych. Natomiast duży problem sprawia uczniom obliczanie przełożeń przekładni planetarnych. W tym artykule przedstawiono dwie metody obliczania przełożeń tych przekładni, przy czym niezbędne jest przyjęcie pewnych umownych oznaczeń w celu ułatwienia dokonywania obliczeń. I tak, przyjęto, że przełożenie przekładni zębatej, rozumiane jako stosunek prędkości kątowej koła napędzającego m do prędkości kątowej koła napędzanego n zapisywane będzie jako i_m,n . Ponieważ podstawowym parametrem wpływającym na przebieg obliczeń jest numer lub oznaczenie nieruchomego elementu przekładni celowym jest wprowadzenie tego numeru lub oznaczenia do zaproponowanego wyżej zapisu . Pełny zapis przełożenia uwzględniający powyższą uwagę może wyglądać następująco
, gdzie k jest wspomnianym parametrem.

Na poniższym rysunku przedstawiono typową przekładnię planetarną, która zbudowana jest z koła o uzębieniu wewnętrznym (wieńca) o liczbie zębów z₁, koła centralnego z₃, koła satelitarnego z₂ i jarzma j, na którym osadzone jest koło satelitarne (w praktyce, w przekładniach satelitarnych stosuje się najczęściej 2, 3 lub 4 satelity, co nie ma jednak wpływu na wartość przełożenia). Obok rzutu głównego przekładni narysowano 2 rzuty boczne, na których zaznaczono kierunki obrotu wszystkich elementów przekładni: pierwszy dla nieruchomego koła z₃, drugi dla nieruchomego jarzma j. Narysowanie tych dwóch rzutów przed rozpoczęciem obliczeń należy przyjąć i wpoić uczniom jako zasadę, umożliwiającą szybkie i prawidłowe obliczenie przełożenia przekładni.

Obliczenia przełożenia przekładni przeprowadzone zostaną z wykorzystaniem dwóch podstawowych metod: „chwilowego środka obrotu” oraz „myślowego unieruchomienia jarzma”, przy założeniu, że znane są liczby zębów kół zębatych, a elementem napędzającym jest koło z_{1 .}

Metoda „chwilowego środka obrotu”

Metoda ta opiera się na zasadzie obowiązującej w ruchu płaskim (a ruch kół zębatych i jarzma w przekładni zębatej planetarnej można rozpatrywać w jednej płaszczyźnie), która mówi, że prędkość liniową v dowolnego punktu A ciała poruszającego się ruchem płaskim obrotowym z prędkością kątową
względem nieruchomego w danej chwili punktu B można obliczyć jako iloczyn prędkości kątowej
i odległości r między punktami A i B, czyli v=
თr . W przypadku naszej przekładni chwilowym środkiem obrotu dla satelity z₂ jest punkt A. Prędkości punktów B i C względem punktu A obliczamy więc ze wzorów

,

natomiast względem punktu O mamy

stąd

, czyli
,

a po przekształceniu

zauważmy, że

stąd ostatecznie

Metoda „myślowego unieruchomienia jarzma”

W metodzie tej wykorzystuje się wzór umożliwiający wyeliminowanie z obliczeń jarzma, którego nie można określić znanym i potrzebnym w obliczeniach parametrem, jakim jest liczba zębów. Wzór ten ma postać następującą

(1)

Ponieważ wyprowadzenie tego wzoru jest dosyć skomplikowane, a sam wzór jest bardzo prosty proponuje się podanie go uczniom jako definicji bez dodatkowego uzasadniania. Wykorzystując ten wzór do obliczenia przełożenia narysowanej wyżej przekładni mamy

Jak widać, zastosowanie wzoru (1) sprawia, że obliczenie przełożenia przekładni planetarnej dokonuje się bardzo szybko i bez żadnych problemów. Dlatego wzór ten i metodę „myślowego unieruchomienia jarzma” warto stosować jako podstawową, natomiast metodę „chwilowego środka obrotu” można stosować dodatkowo w celu sprawdzenia poprawności uzyskanego z pierwszej metody wyniku. Z moich doświadczeń wynika, że rozwiązując konkretne zadanie zdecydowana większość uczniów wybiera właśnie taki model postępowania.

Poniżej przedstawiono przykład wykorzystania drugiej metody do obliczenia przełożenia przekładni planetarnej z dwoma satelitami osadzonymi na wspólnym wałku.

Praktyczne wykorzystanie umiejętności obliczania przełożeń przekładni planetarnych można zilustrować poniższym zadaniem.

Zadanie: obliczyć prędkość obrotową wału wejściowego maszyny roboczej MR, mając dane liczby zębów kół z₃ = 19 i z₉ = 95 oraz prędkość obrotową silnika n₃ = 1440

Rozwiązywanie zadania rozpoczynamy od narysowania dwóch rzutów bocznych przekładni oraz zaznaczenia na nich kierunków obrotu wszystkich ruchomych elementów.

Następnie obliczamy przełożenie między silnikiem a maszyną roboczą

i korzystając ze wzoru na przełożenie przekładni obliczamy prędkość obrotową wału wejściowego maszyny roboczej

We wstępie do niniejszego artykułu zwrócono uwagę na możliwość wykorzystania przekładni planetarnych w konstrukcji bardzo dokładnych podzielnic ze względu na możliwość uzyskania dużych przełożeń. Poniżej przedstawiono przykład takiej właśnie przekładni wraz z obliczeniem jej przełożenia dla przyjętych liczb zębów poszczególnych kół zębatych.

Przełożenie przekładni wynosi

Jeżeli elementem napędzającym będzie jarzmo j, a elementem napędzanym koło z_1, to

zauważmy, że jeżeli

np. z₁=101, z₂=100, z₃=99 i z₄=100
(kierunki obrotów j i z₁ przeciwne)

z₁=100, z₂=101, z₃=100 i . z₄=99
(kierunki obrotów j i z₁ zgodne)

W celu uzyskania jednakowej odległości osi w przypadku różnej sumy liczb zębów pary

z₁ i z₂ oraz z₃ i z₄ należy zastosować koła z przesuniętym zarysem (X+X lub X+O) lub też można zastosować różne wielkości modułów w poszczególnych parach, pamiętając jednak o zasadniczej zależności (warunku konstrukcyjnym) wyrażonej wzorem

W praktyce stosuje się reduktory z zazębieniem wewnętrznym w celu zmniejszenia wymiarów przekładni.

Na zakończenie przedstawiono kilka rysunków przekładni, które można wykorzystać do samodzielnego skonstruowania różnego rodzaju zadań przeznaczonych do rozwiązywania na lekcji, w ramach zadania domowego lub na sprawdzianie, którego celem będzie zbadanie umiejętności uczniów z zakresie obliczania przełożeń przekładni planetarnych zębatych.

Literatura:

1.Andrzej Rutkowski: „Części maszyn”, WSz i P, Warszawa 1994

2. Kazimierz Ochęduszko: „Koła zębate”, tom I. Konstrukcje, WNT, Warszawa 1985

3. J. Dietrich, W. Korewa, Z. Kornberger, K. Zygmunt: „Podstawy konstrukcji maszyn”,

cz. III, WNT, Warszawa 1966

2

---