1. CEL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie równania powierzchni zwierciadła cieczy w naczyniu wirującym na podstawie dokonanych pomiarów w funkcji napełnienia i prędkości obrotwej oraz porównanie z wynikami obliczeń teoretycznych.

2 . WPROWADZENIE TEORETYCZNE

Stan względnego spoczynku zachodzi wtedy, gdy ciecz wraz z naczyniem znajduje się w ruchu ze stała prędkością bądź ze stałym przyspieszeniem. Inaczej mówiąc, stan ten zachodzi wtedy, gdy żaden z elementów cieczy nie przemieszcza się względem siebie ani naczynia.

Stan względnego spoczynku cieczy opisuje układ równań różniczkowych Eulera:

; (1)

Mnożąc te równania odpowiednio przez dx , dy , dz i dodając stronami otrzymujemy :

(2)

gdzie : ρ -gęstość płynu ,

X , Y , Z -składowe jednostkowej siły masowej R ( X , Y , Z ) ,

dp -różniczka zupełna funkcji ciśnienia p = p(x , y , z) .

Równanie to jest podstawowym równaniem równowagi cieczy w stanie względnego spoczynku i podaje związek pomiędzy ciśnieniem w dowolnym punkcie cieczy a siłami działającymi na ciecz. Powierzchnią jednakowego ciśnienia nazywa się miejsce geometryczne punktów o jednakowym ciśnieniu. Wynika stad, że dla powierzchni izobarycznej p = p ( x, y, z ) = const. , wiec dp = 0; podstawiając to do równania i zakładając, że ρ > 0 otrzymuje się:

(3)

Równanie (3) jest równaniem powierzchni izobarycznej . Powierzchnią izobaryczną jest np. powierzchnia swobodna cieczy .

Równanie (3) jest iloczynem skalarnym wektorów : R (X , Y , Z) jednostkowej siły masowej i wektora N (dx , dy , dz) leżącego na powierzchni izobarycznej .

Podczas obrotu naczynia z cieczą dookoła pionowej osi na każdy element cieczy działają siły masowe :

ciążenia - mg

i odśrodkowa -
.

W związku z tym jednostkowa siła masowa ciążenia będzie równa g ,a jednostkowa siła masowa odśrodkowa
.

Dla naszego przypadku składowe siły R wynoszą :

(4)

Podstawiając (4) do równania powierzchni izobarycznej (3) otrzymujemy :

Po scałkowaniu:

(5)

Jest to równanie rodziny krzywych różniących się stałą c , opisujących wszystkie możliwe powierzchnie izobaryczne dla omawianego stanu względnego spoczynku cieczy.

Równanie (5) można przedstawić we współrzędnych walcowych:

(6)

gdzie:

- promień,

- najniższa wartość rzędnej paraboli (w osi naczynia)

3. OPIS I SCHEMAT STANOWISKA

Na poziomej płycie obrotowej znajduje się urządzenie służące do zamocowania naczynia walcowego z pleksiglasu . Model ma regulowaną liczbę obrotów, za pomocą sprzęgła pomiędzy wałem silnka a płytą obrotową do której jest przymocowane naczynie.

Układ silnik - sprzęgło - płyta nadaje ruch wirowy naczyniu z cieczą . Wodowskaz szpilkowy , przesuwny w płaszczyżnie poziomej i pionowej pozwala na odczytanie współrzędnych punktów tworzących zwierciadło cieczy.

Schemat modelu , przy pomocy którego wykonywaliśmy ćwiczenie jest pokazany na poniższym rysunku:

1 - wodowskaz szpilkowy; 2 - naczynie cylindryczne; 3 - sprzęgło; 4 - obrotowa płyta; 5 - silnik; h - głębokość napełnienia naczynia w spoczynku; H - wysokość naczynia.

4 . SPOSÓB WYKONANIA ĆWICZENIA

Naczynie o znanej średnicy D napełniamy badaną cieczą do zadanej wysokości h , ustawiamy odpoewiednią prędkość poprzez odpowiednie usytuowanie silnika względem tarczy sprzęgła. Następnie włączamy silnik , a po ustaleniu się ruchu dokonujemy wodowskazem szpilkowym pomiarów współrzędnych punktów tworzących powierzchnię swobodną cieczy. Prędkość obrotową wyznaczamy na podstawie obrotomierza i zmierzonego czasu 100 obr/min. Pomiary wykonujemy dla dwóch rożnych wysokości napełnienia naczynia: h = 5,5 cm, h = 11 cm; oraz dwóch różnych prędkości obrotowych dla tych napełnień: 1,5 cm, 2,5 cm (2 cm).

Otzrymane wyniki zestawiamy w poniższych tabelach i sporządzamy wykresy gdzie za pomocą funkcji w programie Excel, wykorzystującej metodę najmniejszych kwadratów, znajdujemy równania tych krzywych. Otrzymane wyniki naniesine są na odpowiednich wykresach.

Korzystając z równania (6) oraz ze znalezionej współrzędnej r zwierciadła cieczy wyznaczamy analtycznie rzędną z zwierciadła.

Przykładowe obliczenia:

Prędkość kątowa ω:

gdzie:

n - prędkość obrotowa,

n₁ = 100 - liczba obrotów,

t_śr - średni czas wykonania 100 orotów.

Rzędnej z paraboli zwierciadła:

z_o = 5,8 cm - wyznaczone na podstawie równania doświadczalnego

Pozostałe wyniki zostały zamieszczone w tabelach. A punkty i równania tych parabol naniesione na te same wykresy co wyniki dośwadczalne.

Następnie wyznaczamy analitycznie max. prędkość katową ω_max1, przy której woda nie wylewa się z naczynia.

Przykładowe obliczenia:

R = 9,5 cm - promień naczynia,

H = 22,0 cm - calkowita wysokość naczynia,

H - wysokość napełnienia naczynia.

dla

- w naszym ćwiczeniu takie napełnienie nie wystepowało.

dla

dla

Kolejnym punktem naszego doświadczenia było wyznaczenie teoretycznej predości kątowej ω_max2, przy której zwierciadło wody będzie styczne do dna naczynia.

Przykładowe obliczenia:

Korzystając z zależności (4) i
otrzymujemy

skąd:

Ponieważ objętość paraboloidy obrotowej równa jest połowie objętości opisanego na niej walca i równa się zarazem objętości wody w naczyniu:

to aby zwierciadło wody było styczne do dna musi być spełniony warunek
.

h = 5,5 cm; v = 2,5cm						h = 5,5 cm; v = 1,5cm
r [cm]	h [cm]	z [cm]	t1 [s]	t2 [s]	tśr [s]	r [cm]	h [cm]	z [cm]	t1 [s]	t2 [s]	tśr [s]
-8,9	11,21	13,37	29,09	28,59	28,84	-8,4	8,72	10,20	30,65	30,68	30,67
-8	7,54	9,69				-7,1	4,68	5,89
-7,1	4,88	6,40				-6,5	3,13	4,14
-6,5	2,75	4,42				-5,4	0,42	1,34
-5,5	0,04	1,52	n1 [obr]	n [obr/s]	ω [rad/s]	-5,1	-0,02	0,67	n1 [obr]	n [obr/s]	ω [rad/s]
4,4	0,03	-1,12										4,5	-0,14	-0,57
6,2	2,36	3,50	100	3,47	21,79	5,1	1,27	0,67	100	3,26	20,49
6,9	5,9	5,72				5,5	2,21	1,57
7,5	7,67	7,81				5,9	3,24	2,55
8,4	10,52	11,27	ωmax1 [rad/s]			6,4	4,42	8,62		3,86
8,5	11,86	11,68	30,93			6,9	5,52	10,05		5,29
			ωmax2 [rad/s]			7,4	6,96	11,58		6,82
			15,46			7,8	8,32	12,88		8,12
						8,1	10,19	9,14
						8,5	11,53	10,56

h = 11 cm; v = 2cm						h = 11 cm; v = 1,5cm
r [cm]	h [cm]	z [cm]	t1 [s]	t2 [s]	tśr [s]	r [cm]	h [cm]	z [cm]	t1 [s]	t2 [s]	tśr [s]
-9,1	18,05	19,40	29,72	29,76	29,74	-9,1	17,13	18,84	30,72	30,77	30,745
-7,5	12,57	13,36				-7,4	11,74	12,87
-5,4	6,67	7,19				-6,1	7,43	9,13
-2,1	1,28	1,56				-3,3	3,13	3,53
0	0,56	0,56	n1 [obr]	n [obr/s]	ω [rad/s]	-0,2	1,21	1,22	n1 [obr]	n [obr/s]	ω [rad/s]
1,2	1,09	0,89										1,6	1,95	2,49
2	1,75	1,47	100	3,36	21,13	2,2	2,62	2,98	100	3,25	20,44
2,8	2,82	2,34				3	3,36	3,87
4,3	5,32	4,77				3,6	4,27	4,71
5	6,86	6,25	ωmax1 [rad/s]			4,3	5,36	5,89
5,7	8,67	7,95	21,87			4,9	6,89	7,06
7	12,25	11,71	ωmax2 [rad/s]			5,7	8,68	8,87
7,5	13,51	13,36	21,87			6,6	10,95	11,22
8	15,87	15,12				7,4	13,32	13,61
8,5	17,68	17,00				8,4	16,18	16,97
9	19,82	18,99				9	18,95	19,19

5

4

3

2

1

h

ω

H

---