Wprowadzanie wyrażeń
Wykorzystanie poprzednio uzyskanych wyników:
- % lub Out[-1]  poprzedni wygenerowany rezultat;
- %% lub Out[-2]  przedostatni wygenerowany rezultat;
- %n lub Out[n]  rezultat z linii Out[n],
- In[n]  ponowne obliczenie n-tej formuły,
- InString[n]  wypisanie tekstu n-tej formuły;
Sekwencje operacji:
- wyr1;wyr2;wyr3  wykonuje szereg operacji podajÄ…c rezultat ostatniej,
- wyr1;wyr2;  wykonuje szereg operacji nie wysyłając rezultatu na ekran,
- wyr1;  wykonuje operację nie wyświetlając wyniku.
Wprowadzanie wyrażeń
Data i czas:
- Date[ ]  podaje aktualną datę rok, miesiąc, dzień, godzina, minuta, se-
kunda,
- Date[h] podaje aktualną datę w strefie czasowej przesuniętej o h godzin
wzgl. Greenwich,
- TimeZone[ ] podaje strefÄ™ czasowÄ… ustawionÄ… w systemie,
- AbsoluteTime[ ]  liczba sekund od 1.01.1900,
- SessionTime[ ]  liczbą sekund od rozpoczęcia aktualnej sesji programu,
- Timing[wyr]  oblicza wyr i zwraca listę zawierającą czas obliczeń i wynik,
- Pause[n]  przerwa w pracy progeamu na n sekund;
- FromDate[data] dokonuje konwersji daty na czas bezwzględny,
- ToDate[czas]  dokonuje konwersji czasu bezwzględnego na datę.
Przykład 1. p={2006,11,20,0,0,0}; k=p+{1,0,0,0,0,0}; FromDate[k]-FromDate[p]
s=FromDate[{2007, 11, 20, 12, 0, 0}]; ToDate[Random[Integer,{0, s}]]  wy-
generowanie losowej daty
Timing[N[Pi,100];]  sprawdzenie, jak długo Mathematica liczny Ą.
1
Wprowadzanie wyrażeń
Zapis wyrażeń w innych formatach:
- InputForm[wyr]  zapisuje wyr w formie  wprowadzenia ,
- OutputForm[wyr]  wypisuje wyr w formie podawania wyników,
- TextForm[wyr]  zapisuje wyr w formacie tekstowym,
- TeXForm[wyr]  zapisuje wyr w formacie TEX-a,
- FortranForm[wyr]  zapisuje wyr w formacie języka Fortran,
- CForm[wyr]  zapisuje wyr w formacie języka C.
Informacje o obiektach:
- ?Nazwa  ogólne informacje o obiekcie  Nazwa ,
- ??Nazwa  rozszerzone informacje o obiekcie  Nazwa ,
- ?A*  informacja o obiektach zaczynajÄ…cych siÄ™ od A.
Wczytanie pakietu:
- << nazwa  wczytanie pakietu nazwa.
Przykład 2. In[1]:= RSolve[{a[1]==1,a[2]==1,a[n+2]==a[n+1]-a[n]},{a[n]},n]
1 Liczby i zmienne
Typy liczb
W programie można wykorzystać nast. typy liczb:
- Integer,
- Rational,
- Real,
- Complex.
Użyteczne komendy:
- Head[liczba]  sprawdzanie typu  liczba ,
- Numerator[w]  sprawdzenie licznika ułamka określającego liczbę w,
- Denominator[w]  sprawdzenie mianownika ułamka określającego liczbę
w,
- IntegerQ[x]  sprawdza, czy x jest liczbÄ… wymiernÄ…,
- EvenQ[x], OddQ[x]  sprawdzanie, czy x jest liczbÄ… parzystÄ…/nieparzystÄ…,
2
- PrimeQ[x]  sprawdzanie, czy x jest liczbÄ… pierwszÄ…,
- Positive[x], Negative[x]  sprawdzanie, czy x jest liczbÄ… dodatniÄ…/ujemnÄ…,
- NonNegative[x]  sprawdzanie, czy x jest liczbÄ… nieujemnÄ…,
- NumberQ[zmienna]  sprawdzanie, czy podana zmienna jest liczbÄ… (do-
wolnego typu).
Typy liczb
Przykład 3. In[1]:= x=Random[Integer,0,20]; {PrimeQ[x],EvenQ[x]}
Out[1]:= ???
In[2]:={Positive[-1],Positive[0],Positive[1]}
Out[2]:= ???
Konwersja między typami liczb
Użyteczne funkcje:
- N[wyr] lub wyr//N  przybliżona wartość numeryczna wyr,
- N[wyr,n]  jak wyżej, ale z dokładnością do n-cyfr,
- Rationalize[x]  podaje liczbę wymierną przybliżającą x,
- Rationalize[x,dx]  jak wyżej, ale z dokładnością dx.
Przykład 4. In[1]:= N[E,12]
Out[1]:= ???
In[2]:=N[9/8]
Out[2]:= ???
In[3]:= Rationalize[%]
Out[3]:= ???
In[4]:= Rationalize[N[E],10'"(-5)]
Out[4]:= ???
In[5]:= Rationalize[N[E],0]
Out[5]:= ???
Systemy liczbowe
Użyteczne funkcje:
- IntegerDigits[n]  podaje listę zawierającą cyfry dziesiętne n,
- IntegerDigits[n,b]  jak wyżej, ale w systemie o podstawie b,
- RealDigits[x]  podaje złożoną z listy cyfr zapisu x w syst. dziesiętnym
oraz liczbę cyfr przed kropką dziesiętną,
- Rationalize[x,dx]  jak wyżej, ale w systemie o podstawie b,
3
- BaseForm[x,b]  zapisuje x w systemie o podstawie b,
- b'"'"(liczba)  zapis liczba w syst. dzies.
Przykład 5. In[1]:= IntegerDigits[2007,16]
Out[1]:= ???
In[2]:=RealDigits[1987.351]
Out[2]:= ???
In[3]:= Rationalize[%]
Out[3]:= ???
In[4]:= BaseForm[2007,12]
Out[4]:= ???
In[5]:= 2'"'"(100010011)
Out[5]:= ???
Operacje arytmetyczne
Użyteczne funkcje:
x
- x'"y lub Power[x,y]  xy, x/y lub Divide[x,y]  , x*y lub Times[x,y] 
y
x · y, x+y lub Plus[x,y]  x + y, -x  -x,
- x+=y lub AddTo[x,y]  dodaje do zmiennej x wartość y  x = x + y, x-=y
lub SubstractFrom[x,y]  odejmuje od zmiennej x wartość y  x = x - y,
x*=y lub TimesBy[x,y]  mnoży zmiennÄ… x przez wartość y  x = x · y,
x
x/=y lub DivideBy[x,y]  dzieli zmienną x przez wartość y  x = ,
y
- x++ lub Increment[x], ++x lub PreIncrement[x]  zwiększenie zmiennej
x o 1,
- x  lub Decrement[x],   x lub PreDecrement[x]  zmniejszenie zmiennej
x o 1,
Przykład 6. In[1]:= 460/68 Out[1]:= ???
In[2]:=460./68 Out[2]:= ???
In[3]:= 460/68 //N Out[3]:= ???
In[4]:= x=0; P rint[T able[x+ = 2, {i, 1, 3}]] Out[4]:= ???
In[5]:= x=2; y=x++; {x,y} Out[5]:= ???
In[6]:= x=2; y=++x; {x,y} Out[6]:= ???
Definiowanie zmiennych
Użyteczne funkcje:
- x=wart  przypisanie wart zmiennej x, x=y=wart  przypisanie wart za-
równo x jak i y, x=. lub Clear[x]  anulowanie jakiejkolwiek wart. przypi-
sanej x,
- x y  oznacza x · y, xy  oznacza zmiennÄ… xy, 2x  oznacza 2 · x, x'"2y
oznacza x2y, ale nie x2y,
4
- wyr/.x- > wart  podstawienie w wyr w miejsce x wart, wyr/.{x- >
xwar, y- > ywar}  wykonanie dwu podstawień jednocześnie,
Przykład 7. In[1]:= x=5;y=6;x,y Out[1]:= ???
In[2]:= Clear[x]; x,y Out[2]:= ???
In[3]:= v = x'"3 - x + 1 Out[3]:= ???
In[4]:= v/.x- > 2 Out[4]:= ???
In[5]:= v/.x- > 1 - y Out[5]:= ???
In[6]:= x=4; v Out[6]:= ???
In[7]:= x=.; v Out[7]:= ???
In[8]:= 1 + x + x'"2/.x- > 1 + a Out[8]:=???
In[9]:= {f[1],f[2],f[3]}/.f[2]- > a Out[9]:=???
In[10]:= {f[1],f[2],f[3]}/. f[x-]- > x'"2 - 1 Out[10]:=
Precyzja obliczeń
Użyteczne funkcje:
- Precision[x]  podaje liczbÄ™ cyfr znaczÄ…cych w x,
- Accuracy[x]  podaje liczbÄ™ cyfr po kropce dzies. w x,
- $MachinePrecision  podaje dokładność komputera,
- MachinePrecisionQ[x]  sprawdza, czy x jest podane z dokładnością kom-
putera.
Przykład 8. In[1]:= s=Random[Real,{0,100},Random[Integer,{10,30}]] Out[1]:=
???
In[2]:= {Precision[s],Accuracy[s]} Out[2]:= ???
In[3]:= $MachinePrecision Out[3]:= ???
In[4]:= MachinePrecisionQ[s] Out[4]:= ???
Kontrola długości wyników
Użyteczne funkcje:
- wyr;  obliczenie wyr bez wyświetlenia wyników,
- wyr//Short lub Short[wyr]  oblicza wyr podajÄ…c wynik w 1 linii,
- Short[wyr,n]  jak wyżej, ale wynik n liniach,
- Length[wyr]  podaje długość wyr.
Przykład 9. In[1]:= a=Expand[(x'"2 + y'"2 + 5)'"(10)]; Out[1]:=
In[2]:= Length[a] Out[2]:= ???
In[3]:= a//Short Out[3]:= ???
5
Porównania i podstawienia
Użyteczne funkcje:
- x=y lub Set[x,y]  przypisanie zmiennej x wartości y,
- x==y lub Equal[x,y]  sprawdzenie, czy x i y są równe,
- x===y lub SameQ[x,y]  sprawdzenie, czy x i y sÄ… identyczne,
Przykład 10. In[1]:= x=7 Out[1]:= ???
In[2]:= x Out[2]:= ???
In[3]:= x==6 Out[3]:= ???
In[4]:= 9x-8==9x-8 Out[4]:= ???
In[5]:= z==3 Out[5]:= ???
In[6]:= z===3 Out[6]:= ???
Uwaga 1. Różnica między == oraz ===: Pierwsze daje w wyniku  true
lub  false tylko wtedy, gdy wyrażenia mają konkretną wartość liczbową lub
identyczną postać. Drugie (===) sprawdza, czy wyrażenia są identyczne bez
względu na wartości liczbowe, które się do nich podstawi. Stąd też == używane
jest do zapisu równań.
Operatory logiczne i relacje
Użyteczne funkcje:
- x==y lub Equal[x,y]  równość,
- x!=y lub Unequal[x,y]   różność ,
- x >= y lub GreaterEqual[x,y]  większe lub równe,
- x <= y lub LessEqual[x,y]  większe lub równe,
- x===y lub SameQ[x,y]  identyczne,
- x=!=y lub UnsameQ[x,y]  nieidentyczne,
- x==y==z  wszystkie zmienne równe,
- x!=y!=z  wszystkie zmienne różne,
- !p lub Not[p]  negacja p,
- p && q && ... lub And[p,q,...]  koniunkcja,
- p||q||... lub Or[p,q,...]  alternatywa,
- Implies[p,q]  p =Ò! q,
- Xor[p,q,...]  wykluczenie,
- If[p,prawda,fałsz]  wykonuje: prawda, jeśli p==True, fałsz, jeśli p==False;
- LogicalExpand[wyr]  rozwinięcia wyrażenia logicznego.
6
Operatory logiczne i relacje
Przykład 11. In[1]:= x'"2!=0!=0 Out[1]:= ???
In[2]:= 28 > 19 < 20 >= 20 > 0 <= 1 Out[2]:= ???
In[3]:= x >= 6 Out[3]:= ???
In[4]:= 2 <= 3||5 < 0 Out[4]:= ???
In[5]:= (p||q)&&(r||p) Out[5]:= ???
In[6]:= LogicalExpand[%] Out[6]:= ???
2 Analiza
Wielomiany
- PolynomialQ[wyr,x]  sprawdzenie, czy wyr jest wielomianem zmiennej x,
- PolynomialQ[wyr,{x,y,. . . }] - sprawdzenie, czy wyr jest wielomianem zmien-
nych x,y,. . . ,
- Variables[viel]  podaje listÄ™ zmiennych wielomianu viel,
- Length[viel]  podaje liczbę składników wielomianu viel,
- Exponent[viel,x]  podaje najwyższy wykładnik zmiennej x w wielomianie
viel,
- Coefficient[viel,wyr]  podaje współczynnik przy wyr w wielomianie viel,
- Coefficient[viel,x,n]  podaje współczynnik przy xn,
- Coefficient[viel,x,0]  podaje wyraz wolny wielomianu viel,
- CoefficientList[viel,x]  podaje listę współczynników (od x0) stojących w
wielomianie viel przy kolejnych potęgach zmiennej x,
- PolynomialQuotient[p(x),q(x),x]  część całkowita z dzielenia wielomianu
p przez wielomian q,
- PolynomialRemainder[p(x),q(x),x]  reszta z dzielenia wielomianu p przez
wielomian q,
- PolynomialGCD[viel1,viel2]  nwd wielomianów viel1,viel2,
- PolynomialGCD[viel1,viel2]  nww wielomianów viel1,viel2,
- PolynomialMod[viel,c]  redukcja viel modulo c,
- Factor[viel]  rozkład wielomianu viel na czynniki,
- FactorList[viel]  j.w. w postaci listy,
- Decompose[viel]  rozkład wielomianu jako złożenie dwóch wielomianów.
7
Wielomiany
Przykład 12. In[1]:= wiel=Expand[(x - 1)(y + 2)(z + 1)'"2] Out[1]:=
???
In[2]:= Length[wiel] Out[2]:= ???
In[3]:= CoefficientList[wiel,z] Out[3]:= ???
In[4]:= {PolynimialQuotient[x'"3 - 2, x - 1, x],PolynimialRemainder[x'"3 -
2, x - 1, x]} Out[4]:= ???
In[5]:= PolynomialGCD[x'"3+2x'"2-x-2, (x-1)'"2(x+3)(x-5)] Out[5]:=
???
In[6]:= PolynomialMod[x'"2 + 1, x - 1] Out[6]:= ???
In[7]:= Factor[wiel] Out[7]:=???
In[8]:= Decompose[x'"6 + x'"3 + 1, x], Out[8]:=???
Przekształcanie wyrażeń
- Expand[wyr]  wykonuje działania (wymnaża, podnosi do potęgi), (w
przypadku ułamka jedynie licznik,
- ExpandAll[wyr]  jak wyżej, ale do całości,
- ExpandNumerator[wyr], ExpandDenominator[wyr]  rozwija licznik/mianownik
funkcji wymiernej,
- PowerExpand[wyr]  zamienia (xy)n na xnyn oraz (xa)b na xab,
- Factor[wyr]  rozkłada wyr na iloczyn czynników,
- Together[wyr]  sprowadzenie do wspólnego mianownika,
- Apart[wyr]  rozkład wyr na ułamki proste
- Cancel[ulamek]  skraca ułamek ulamek,
- Collect[wyr,x]  grupuje współczynniki wg potęg x,
- Simplify[wyr]  uproszczenie, sprowadzenie wyr do najprostszej postaci,
- Expand[wyr,Trig- >True]  wyraża potęgi funkcji trygonometrycznych
przez funkcje wielokrotności kąta,
- Factor[wyr,Trig- >True]  instrukcja odwrotna do poprzedniej,
- TrigFactor[wyr]  zamienia sumÄ™ funkcji trygonometrycznych na iloczyn
funkcji trygonometrycznych, (pakiet Algebra Trigonometry )
- TrigReduce[wyr] zamienia funkcję trygonometryczną wielokrotności kąta
na iloczyn funkcji trygonometrycznych tego kÄ…ta, (pakiet Algebra Trigonometry )
8
Przekształcanie wyrażeń
Przykład 13. In[1]:= v = (x + 1)'"2(2 - x)/((x + 3)(x + 2)'"2) Out[1]:=
???
In[2]:= Expand[v] Out[2]:= ???
In[3]:= ExpandAll[v] Out[3]:= ???
In[4]:= Together[%] Out[4]:= ???
In[5]:= Apart[%] Out[5]:= ???
In[6]:= Factor[%] Out[6]:= ???
In[7]:= w=Expand[(x + 2)(x + y)'"2] Out[7]:=???
In[8]:= Collect[w,x] Out[8]:=???
In[9]:= p=Expand[(Cos[x])'"2,Trig- >True] Out[9]=???
In[10]:= Factor[p,Trig- >True] Out[10]=???
In[11]:= TrigFactor[Sin[2*x]+Sin[4*x]] Out[11]=???
In[12]:= TrigReduce[Sin[4*x]] Out[12]=???
Wybrane funkcje i stałe
"
- Sqrt[x]  x,
- Exp[x]  ex,
- Log[x]  ln x,
- Log[x,b]  logb x,
- Sin[x], Cos[x], Tan[x], Cot[x]  funkcje trygonometryczne,
- ArcSin[x], ArcCos[x], ArcTan[x], ArcCot[x]  funkcje cyklometryczne,
- n! lub Factorial[n]  n!,
- Abs[x]  |x|,
- Max[x,y,. . . ], Min[x,y,. . . ]  maksimum i minimum zbioru {x,y, ldots},
- Pi  Ä„,
- E  e ,
- Degree  Ä„/180,
"
- I  i = -1,
- Infinity  ",
"
1+ 5
- GoldenRatio  złoty podział Ć = ,
2
- EulerGamma  stała Eulera ł 0.5772156.
9
Rozwiązywanie równań
- Solve[row,x]  podaje rozwiązanie równania row względem niewiadomej x,
- Solve[{row1,row2,. . . },{x,y,. . . }]  rozwiązanie układu równań względem
podanych niewiadomych,
- x/.rozw  utworzenie listy wszystkich rozwiązań,
- wyr/.rozw  podstawienie rozwiązań do wyr,
- Solve[ukl]  rozwiązuje ukl względem wszystkich występujących w nim
niewiadomych,
- Eliminate[{l1==r1,l2==r2,. . . },{x,. . . }]  eleminacja podanych zmiennych
z układu,
- Reduce[{l1==r1,l2==r2,. . . },{x,. . . }]  uproszczenie układu,
- SolveAlways[rownania,zmienne]  podaje wartości parametrów występu-
jących w równaniach, dla których równania są spełnione dla dowolnych
wartości zmiennych,
- NSolve[row,x]  numeryczne rozwiązanie równania,
- NSolve[{row1,row2,. . . },{x,y,. . . }]  numeryczne rozwiązanie układu rów-
nań względem podanych niewiadomych,
- FindRoot[row,{x,x0}]  numeryczne rozwiązanie równania startujące z x0,
- FindRoot[funk==0,{x,{x0,x1}}]  numeryczne poszukiwanie pierwiastka
funkcji.
Rozwiązywanie równań
Przykład 14. In[1]:= x'"2 - 2x - a == 0 Out[1]:= ???
In[2]:= Solve[%,x] Out[2]:= ???
In[3]:= Solve[2x'"2 + 3x - 5 == 0, x] Out[3]:= ???
In[4]:= x'"2 - 2/.% Out[4]:= ???
In[5]:= Solve[{x+y==1,x+3y==2},{x,y}] Out[5]:= ???
In[6]:= Solve[{x'"2 + y'"2 == 9, 2x - y == 5}, {x, y}] Out[6]:= ???
In[7]:= w[x-] := x'"3+x+1;Solve[{w[x]==0,Modulus==5},x] Out[7]:=???
In[8]:= Eliminate[{2x+y+z==5,x+3y-2z==0},y] Out[8]:=???
In[9]:= Solve[{2x==a,x==b},x] Out[9]=???
In[10]:= Reduce[{2x==a,x==b},x] Out[10]=???
In[11]:= NSolve[x'"4 + x'"2 + x == 0, x] Out[11]=???
In[12]:= FindRoot[Sin[x]==Exp[x],{x,1}] Out[12]=???
In[13]:= FindRoot[Sin[x]==Exp[x],{x,-1}] Out[13]=???
10
Granice
- Limit[funk,x- > x0]  granica funkcji funk w x0,
- Limit[funk,x- > x0, Direction- > 1]  prawostronna granica funkcji funk
w x0,
- Limit[funk,x- > x0, Direction- > -1]  lewostronna granica funkcji funk
w x0,
Przykład 15. In[1]:= f[x-] := Sin[x]/x; Limit[f[x],x- > 0] Out[1]:=
???
In[2]:= Limit[Exp[-x],x- > Infinity] Out[2]:= ???
In[3]:= Limit[Sin[1/x],x- > 0] Out[3]:= ???
In[4]:= Limit[Exp[1/(1 - x'"2)],x- > 1,Direction- > -1] Out[4]:=
???
In[5]:= Limit[Exp[1/(1 - x'"2)],x- > 1,Direction- > 1] Out[5]:= ???
Różniczkowanie
- D[f,x]  pochodna (cząstkowa) funkcji f względem x,
- D[f,x1,x2,...]  mieszana pochodna cząstkowa funkcji f względem x1,x2,...,
- D[f,{x,n}]  n-ta pochodna (cząstkowa) funkcji f względem x,
- D[f,x,NonConstants- >{y1,y2,...}]  pochodna funkcji f względem x uwzględ-
niając, że y1,y2,... zależą od x,
- Dt[f]  różniczka zupełna funkcji f,
- Dt[f,x]   pochodna zupełna funkcji f (zakłada, że wszystkie symbole
poza liczbami zależą od zmiennej x,
- Dt[f,x,Constants- >{c1,c2,...}]  pochodna zupełna funkcji f z uwzględ-
nieniem, że c1,c2,... są stałymi.
Przykład 16. In[1]:= Dt[x'"n,x] Out[1]:= ???
In[2]:= D[ArcTan[x],x] Out[2]:= ???
In[3]:= D[x'"x,x] Out[3]:= ???
In[4]:= D[2*x*y+x'"2,x,NonConstants- >{y}] Out[4]:= ???
In[5]:= SetAttributes[c,Constant]; Dt[c+2*a*c*x,x] Out[5]:= ???
In[6]:= D[f[x'"3,Log[y]],x] Out[6]:= ???
11
Całkowanie
- Integrate[f,x]  całka nieoznaczona funkcji f względem x,
- Integrate[f,{x,x0,x1}]  całka oznaczona funkcji f względem x,


x1 y1
- Integrate[f,{x,x0,x1},{y,y0,y1}]  całka iterowana fdy dx,
x0 y0
- NIntegrate[f,{x,x0,x1}]  wartość numeryczna całki,
- NIntegrate[f,{x,x0,xp1,xp2,...,xpn,x1}]  wartość numeryczna całki liczona
jako suma po przedziałach (x0,xp1),...,(xpn,x1),
- NIntegrate[f,{x,x0,x1},{y,y0,y1}]  wartość numeryczna całki iterowanej.
Przykład 17. In[1]:= Integrate[x'"3,x] Out[1]:= ???
In[2]:= Integrate[Exp[-x'"2],x] Out[2]:= ???
In[3]:= Integrate[Sin[x], {x,0,Pi}] Out[3]:= ???
In[4]:= Integrate[x*y+y'"2,{x,0,1},{y,0,x}] Out[4]:= ???
In[5]:= Integrate[Sin[Sin[x]],x] Out[5]:= ???
In[6]:= NIntegrate[Exp[-x],{x,0,Infinity}] Out[6]:= ???
In[7]:= NIntegrate[1/(Sin[x]'"2),{x,0,Pi/4}] Out[7]:= ???
In[8]:= Integrate[1/(Sin[x]'"2),x] Out[8]:= ???
In[9]:= NIntegrate[z+1/z,{z,-1-I,1-I,1+I,-1+I,-1-I}] Out[9]:= ???
Poszukiwanie ekstremów
- ConstrainedMin[f,nier,{x,y,...}]  poszukiwanie minimum funkcji f w za-
danym obszarze,
- ConstrainedMax[f,nier,{x,y,...}]  poszukiwanie maksimum funkcji f w za-
danym obszarze,
- LinearProgramming[c,m,b]  poszukuje x minimalizujÄ…cego iloczyn cx i
spełniającego warunki mx >= b oraz x >= 0,
- FindMinimum[f,{x,x0}]  poszukuje minimum lokalnego startujÄ…c z x0,
- FindMinimum[f,{x,x0,x1}]  poszukuje minimum lokalnego używając x0,x1
jako dwu pierwszych wartości,
- FindMinimum[f,{x,x0,x1,x2}]  poszukuje minimum lokalnego wychodzÄ…c
od x0 i przerywając, jeśli x wyjdzie poza [x1,x2].
Przykład 18. In[1]:= f[x-] := x'"3+x'"2-12x; Plot[f[x],{x,-5,5}] Out[1]:=
???
In[2]:= FindMinimum[f[x],{x,2}] Out[2]:= ???
In[3]:= g[x-] := -f[x]; FindMinimum[g[x],{x,-4}] Out[3]:= ???
12
Liczby zespolone
- x+I y  liczba zespolona x+yi,
- Re[z]  część rzeczywista liczby z,
- Im[z]  część urojona liczby z,
- Conjugate[z]  sprzężenie liczby z z,
- Abs[z]  moduł liczby z,
- Arg[z]  argument liczby z " (-Ä„, Ä„],
- ComplexExpand[wyr]  przekształca wyrażenie wyr,
- ComplexExpand[wyr,{x,y,. . . }]  przekształca wyrażenie wyr zakładając,
że {x,y,. . . } są zespolone, pozostałe rzeczywiste,
- TargetFunctions  docelowa postać {Re,Im,Abs,Conjugate,Sign}.
Przykład 19. In[1]:= ComplexExpand[Cos[x+I*y] Out[1]:= ???
In[2]:=ComplexExpand[z,{z},TargetFunctions- >{Conjugate}] Out[2]:=
???
3 Algebra
Listy
- Table[f[i],{i,n}]  tworzy list e długości n o elementach f[i],
- Table[f[i],{i,n1,n2}]  tworzy listÄ™ o elementach f[i] dla i " {n1, n2},
- Table[f[i],{i,n1,n2,di}]  jak wyżej, ale ze skokiem di,
- Array[a,n]  tworzy listę długości n postaci {a[1],. . . ,a[n]},
- Range[n]  tworzy listÄ™ {1,. . . ,n},
- Range[n1,n2]  tworzy listÄ™ postaci {n1,n1+1,. . . ,n2},
- Range[n1,n2,d]  jak wyżej, ale ze skokiem d,
- Map[instr,lista]  stosuje instrukcję instr do każdego elementu listy,
- MapAt[instr,lista,i]  jak wyżej, ale tylko dla i-tego elementu,
Przykład 20. In[1]:= {1, 2, 3}'"3 - 1 Out[1]:= ???
In[2]:= b={0,3,2}; (b+1)/(b-4) Out[2]:= ???
In[3]:= Range[0.2,3.1] Out[3]:= ???
In[4]:= Table[i/10,{i,10,50,10}] Out[4]:= ???
In[5]:= a[1] = 1; a[2] = 1; a[n-] := a[n] = a[n-1]+a[n-2]; T able[a[i], {i, 1, 7}]
In[6]:= licz={1,3,4};Apply[Times,licz] Out[6]:= ???
In[7]:= f[x-] := x'"3 - 1;MapAt[f,licz,2] Out[7]:= ???
13
Wektory, macierze
- Table[f[i,j],{i,m},{j,n}]  tworzy macierz m × n o elementach f[i,j],
- Array[a,{m,n}]  tworzy macierz m × n z elementami a[i,j],
- IdentityMatrix[n]  generuje macierz jednostkowÄ… stopnia n,
- DiagonalMatrix[lista]  tworzy macierz przekÄ…tniowÄ… o elementach z listy,
- A[[i]] Part[A,i]  i-ty wiersz macierzy A,
- A[[i,j]] Part[A,i,j]  element A[i,j],
- Det[a]  wyznacznik macierzy A,
- Inverse[A]  maceirz odwrotna,
- Transpose[A]  macierz transponowana,
- Minors[A,k]  podaje listę wszyskich minorów stopnia k macierzy A,
- CharacteristicPolynomial[A,x]  wielomian charakterystyczny macierzy A
(ze zmiennÄ… x),
- Eigenvalues[A]  wyznacza wartości własne macierzy A,
- Eigenvectors[A]  wyznacza wektory własne macierzy A,
- Eigensystem[A]  podaje listę zawierającą wartości i wektory własne ma-
cierzy A.
Wektory, macierze
Przykład 21. In[1]:= u={x,y,z};u[[2]] Out[1]:= ???
In[2]:= p*u+q; Out[2]:= ???
In[3]:= {x,y}.{a,b} Out[3]:= ???
In[4]:= m={{a,b},{c,d}};//MatrixForm[m] Out[4]:= ???
In[5]:= m[[1,2]] Out[5]:= ???
In[6]:= n={{2,3,4},{0,1,2}}; m.n Out[6]:= ???
In[7]:= v={x,y};m.v Out[7]:= ???
In[8]:= v={x,y};v.m Out[8]:= ???
In[9]:= m=Table[1/(i+j+1),{i,3},{j,3}] Out[9]:= ???
In[10]:= n=m+IdentityMatrix[3] Out[10]:= ???
In[11]:= m1=Inverse[m] Out[11]:= ???
In[12]:= Minors[m,2] Out[12]:= ???
In[13]:= a={{1,0,-1},{0,1,2},{1,1,-1}};wiel=CharacteristicPolynomial[a] Out[13]:=
???
In[14]:= Solve[wiel==0,x] Out[14]:= ???
In[15]:= Eigenvalues[a] Out[15]:= ???
In[16]:= Eigensystem[a] Out[16]:= ???
14
4 Grafika
Wykresy  podstawy
- Plot[f,{x,x1,x2}]  wykres funkcji w [x1,x2],
- Plot[{f1,f2,...},{x,x1,x2}]  jak wyżej, ale dla listy funkcji {f1,f2,...},
- Plot[f,{x,x1,x2},opcja- > wart}]  jak wyżej, ale z opcjami:
 AspectRatio  stosunek wysokości do szerokości: domyślnie 1/Gol-
denratio, Automiatic  ustawia według wielkości zakresów x i y,
 Axes  określa, czy rysunek zawiera osie, domyślnie True,
 AxesLabel opisuje osie, domyślnie None, yopis  opisuje oś OY, {xopis,yopis}
 obie osie,
 AxesOrigin określa punkt przecięcia osi, domyślnie Automatic
 Frame  rysuje ramkę wokół wykresu, domyślnie None,
 FrameLabel  umieszcza opis wokół ramki, domyślnie None,
 Ticks  oznaczenie współrzędnych na osiach, domyślnie Automatic,
 Gridlines  siatka współrzędnych,
 PlotRange  zakres wartości funkcji, domyślnie: Automatic, cały za-
kres: All.
- Show[wykres]  przerysowuje wykres,
- Show[wykr1,wykr2,...]  jak wyżej, ale listę wykresów,
- Show[GraphicsArray[{{w1,w2,...},...}]],  tworzy tablicę wykresów,
- ParametricPlot[{fx,fy},{t,t1,t2}]  tworzy wykres krzywej parametrycz-
nej,
- ParametricPlot[{{fx,fy},{gx,gy},...},{t,t1,t2}]  jak wyżej, dla listy krzy-
wych,
- ParametricPlot[{fx,fy},{t,t1,t2},AspectRatio- >Automatic]  z zach. kształ-
tów,
- ParametricPlot3D[{fx,fy,fz},{t,t1,t2}]  wykres krzywej przestrzennej.
Wykresy  podstawy
Przykład 22. In[1]:= Plot[{Cos[x],Cos[2x]},{x,0,2Pi}] Out[1]:= ???
In[2]:= Plot[x'"2,{x,0,1},AxesLabel- >{ x , x2 }] Out[2]:= ???
In[3]:= Schow[%,Gridlines- >Automatic,AspectRatio- >1,PlotLabel- > Rysunek ]
Out[3]:= ???
In[4]:= r1=Plot[Gamma[1,x],{x,0.1,5}]; r2=Plot[Gamma[2,x],{x,0.1,5}]; r3=Plot[Gamma[3,x],{x,0.1,5}];
r4=Show[r1,r2,r3] ; Out[4]:= ???
15
In[5]:= Show[GraphicsArray[{{r1,r2},{r3,r4},GraphicsSpacing- >{3mm,4mm}],
Out[5]:= ???
In[6]:=ParametricPlot[{Sin[t],Cos[t]},{t,0,2Pi}] Out[6]:= ???
In[7]:=ParametricPlot[{Sin[t],Cos[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio- >Automatic]
Out[7]:= ???
Obiekty graficzne
Graphics[obiekt,opcje]  rysuje obiekty typu:
" Circle[{x,y},r]  oktÄ…g,
" Circle[{x,y},r1,r2]  elepsa o osiach r1,42,
" Circle[{x,y},r,{theta1,theta2}]  okrąg między kątem theta1 a theta2, (po-
dobnie dla elipsy),
" Disk[{x,y},r]  dysk, (wycinki koła i elipsy podobnie)
" Rectangle[{xmin,ymin},{xmax,ymax}]  zamalowany prostokÄ…t,
" Polygon[{{x1,y2},{x2,y2},...{xn,yn}}]  zamalowany wielokÄ…t,
" Point[{x,y}]  punkt,
" Line[{{x1,y1},{x2,y2},...}]  Å‚amana,
" Text[tekst,{x,y}]  tekst wycentrowany względem (x,y),
Przykład 23. In[1]:= Show[Graphics[Point[{3,4}],Axes- >True]] Out[1]:=
???
Wykresy powierzchni
Graphics[obiekt,opcje]  rysuje obiekty typu:
- Plot3D[f,{x,x1,x2},{y,y1,y2}]  wykres funkcji f,
- ParametricPlot3D[{fx,fy,fz},{t,t1,t2},{u,u1,u2}]  powierzchnia dana pa-
rametrycznie,
- ParametricPlot3D[{fx,fy,fz,s},...]  cieniuje wykres w zależności od s.
Przykład 24. In[1]:= ParametricPlot3D[{Cos[t](3+Cos[u]),Sin[t](3+Cos[u]),Sin[u]},
{t,0,2Pi},{u,0,2Pi}, Boxed- >False] Out[1]:= ???
16