Rezonans w obwodach elektrycznych

Po omówieniu pracy dwójników idealnych należy zająć się praca dwójników zawierających elementy L i C w stanach charakterystycznych. Stanami takimi są rezonanse elektryczne.

2.1 Pojęcia podstawowe

Rezonans jest to taki stan pracy obwodu elektrycznego, w którym reaktancja wypadkowa obwodu lub jego susceptancja wypadkowa jest równa zeru.

Obwodami rezonansowymi są nazywane obwody elektryczne, w którym występuje zjawisko rezonansu.

W stanie rezonansu napięcie i prąd na zaciskach rozpatrywanego obwodu są zgodne w fazie, tzn. argument impedancji zespolonej obwodu lub admitancji zespolonej jest równy zeru (ϕ=0).

Obwód będący w stanie rezonansu nie pobiera ze źródła mocy biernej, a mówiąc ściśle następuje zjawisko kompensacji mocy. Moc bierna indukcyjna pobierana przez obwód jest równa mocy biernej pojemnościowej. Ponieważ, jak wiadomo, znaki mocy biernej, indukcyjnej i pojemnościowej są przeciwne, dlatego w warunkach rezonansu całkowita moc bierna obwodu też jest równa zeru.

Częstotliwość, przy której reaktancja wypadkowa lub susceptancja wypadkowa obwodu jest równa zeru, jest nazywana częstotliwością rezonansową i oznaczana f_r. Obwód elektryczny osiąga stan rezonansu, jeśli częstotliwość doprowadzonego do obwodu napięcia sinusoidalnego jest równa częstotliwości rezonansowej.

W zależności od sposobu połączenia elementów R,L,C, w obwodzie może wystąpić zjawisko rezonansu napięć lub zjawisko rezonansu prądów.

2.2 Rezonans napięć

Rezonans występujący w obwodzie o szeregowym połączeniu elementów R, L, C, charakteryzujący się równością reaktancji indukcyjnej i reaktancji pojemnościowej nazywamy rezonansem napięć lub rezonansem szeregowym.

Załóżmy, że do dwójnika szeregowego RLC doprowadzono napięcie sinusoidalne o wartości skutecznej zespolonej równej U i o pulsacji ω= 2πf. Dla rozpatrywanego obwodu słuszne są zależności:

U_R=RI

U_L=jX_LI

U_C=-jX_CI

napięcie na zaciskach dwójnika można przedstawić zależnością:

U=U_R+U_L+U_C =[R+j(X_L-X_C)]I =Z I

Rys 2.1

1. schemat obwodu

2. wykres wektorowy dla obwodu w stanie rezonansu

Zgodnie z podaną definicją, rezonans napięć wystąpi wówczas, gdy X=0, tzn.

czyli:

Częstotliwość, przy której jest spełniony ten warunek, nazywa się częstotliwością rezonansowa szeregowego obwodu rezonansowego

W stanie rezonansu szeregowego słuszne są więc następujące zależności:

Z = R

U = U_R

U_L + U_C =0

U_L = U_C

W wyniku powyższych rozważań stwierdzamy, że w stanie rezonansu napięć:

• reaktancja pojemnościowa równa się reaktancji indukcyjnej

• impedancja obwodu jest równa rezystancji, a zatem argument impedancji zespolonej jest równy zeru, a oznacza iż wartość współczynnika mocy cos ϕ =1

• napięcie na indukcyjności jest równe co do modułu napięciu na pojemności, a suma geometryczna tych napięć jest równa zeru

• wobec X=0, prąd w obwodzie może osiągnąć bardzo dużą wartość, gdyż przy małej rezystancji R, źródło pracuje w warunkach zbliżonych do stanu zwarcia

Wprowadzimy kilka pojęć charakteryzujących obwód rezonansowy.

Impedancją falową ρ nazywamy reaktancję indukcyjną lub pojemnościową obwodu przy częstotliwości rezonansowej, czyli

Dla obwodu szeregowego RLC będącego w warunkach rezonansu napięć, dobroć

czyli

Jeżeli uwzględnimy impedancję falową ρ (107) , to otrzymamy ostatecznie

W stanie rezonansu napięcie na rezystancji jest równe napięciu doprowadzonemu do obwodu, tzn. U_R=U. Z tego wynika , że dobroć obwodu Q określa, ile razy napięcie na indukcyjności lub napięcie na pojemności jest większe od napięcia na zaciskach obwodu.

Jeśli rezystancja obwodu rezonansowego jest mała, to dobroć obwodu jest duża i napięcie na elementach reaktancyjnych znacznie przekracza wartość napięcia doprowadzonego. Należy więc liczyć się ze zjawiskiem przepięcia. Obwód szeregowy RLC może znajdować się w warunkach bliskich rezonansu. Wówczas częstotliwość źródła f (lub pulsacja ω) jest różna od częstotliwości rezonansowej f_r . Mówimy, że obwód jest odstrojony od rezonansu lub posługujemy się pojęciem rozstrojenia.

Rozstrojeniem bezwzględnym ζ nazywamy stosunek reaktancji obwodu do jego rezystancji, czyli

Z tego wynika że:

W miarę zbliżania się wartości pulsacji ω do ω_r rozstrojenie bezwzględne maleje tez kąt ϕ.

Rozstrojeniem względnym δ nazywamy stosunek reaktancji obwodu do jego impedancji falowej, czyli

Wyrazimy rozstrojenie względne w nie co innej postaci. Korzystając ze wzoru na ρ, możemy wyrazić indukcyjność L i pojemność C w zależności od częstotliwości rezonansowej i impedancji falowej, czyli

Reaktancja obwodu szeregowego RLC

a po podstawieniu wzorów na L i na C

Po uwzględnieniu wzoru definicyjnego na δ, otrzymamy

Stosunek częstotliwości źródła do częstotliwości rezonansowej oznaczymy przez

wobec tego ostatecznie

W miarę zbliżania się wartości częstotliwości f do f_r rozstrojenie względne maleje do zera.

Korzystając z przytoczonych wzorów, można uzyskać następujący związek między rozstrojeniem bezwzględnym a rozstrojeniem względnym.

Dobrą ilustracja zjawisk zachodzących w warunkach rezonansu i w jego pobliżu są tzw. krzywe rezonansowe, przedstawiające przebieg wielkości występujących w obwodzie rezonansowym w funkcji częstotliwości.

Na rysunku poniżej pokazano charakterystyki X_L, X_C, Z,ϕ,I w funkcji częstotliwości f.

Z rysunku wynika, że w miarę zbliżania się do częstotliwości rezonansowej f _r impedancja obwodu maleje do wartości R, prąd zwiększa się do wartości maksymalnej , kat fazowy ϕ zbliża się do zera.

Rys. 2.2 Charakterystyki częstotliwościowe X_L, X_C, Z, ϕ, I

2.3 REZONANS PRĄDÓW

Rezonans występujący w obwodzie o równoległym połączeniu elementów R,L,C charakteryzujący się równością susceptancji indukcyjnej i susceptancji pojemnościowej, nazywamy rezonansem prądów lub rezonansem równoległym.

W obwodzie rezonansu prądów, przedstawionym na Rys.2.4 a) , rezystancja R odwzorowuje straty zarówno w kondensatorze, jak i w cewce. Przyjmujemy więc dla cewki i dla kondensatora schematy zastępcze równoległe.

Załóżmy, że do dwójnika równoległego RLC doprowadzono napięcie sinusoidalne o wartości skutecznej zespolonej U i o pulsacji ω=2πf . Dla rozpatrywanego obwodu są słuszne następujące zależności:

I_R= GU

I_L=-jB_LU

I_C=jB_CU

a prąd dopływający do dwójnika

I=I_R + I_L+I_C =[G + j(B_C- B_L)] U = Y U

Zgodnie z podana definicją, rezonans prądów wystąpi wówczas, gdy B=0, tzn.

lub

Częstotliwość przy której jest spełniony ten warunek , jest zwana częstotliwością rezonansową równoległego obwodu rezonansowego;

W stanie rezonansu równoległego zachodzącego w obwodzie z rys. a) są słuszne następujące zależności:

Y=G

I=I_R

I_L+I_C=0

I_L=I_C

W wyniku powyższych rozważań stwierdzamy, że w stanie rezonansów prądów:

• susceptancja pojemnościowa jest równa susceptancji indukcyjnej

• admitancja obwodu jest równa konduktancji, a zatem argument admitancji zespolonej jest równy zeru , czyli cos

• prąd w gałęzi indukcyjnej jest równy co do modułu prądowi w gałęzi pojemnościowej, a suma geometryczna tych prądów jest równa zeru

• wobec B=0, prąd całkowity ma bardzo małą wartość, a przy bardzo małej konduktancji jest prawie równy zeru i źródło pracuje w warunkach zbliżonych do stanu jałowego.

Impedancję falowa ρ dla obwodu rezonansu prądów definiuje się tak samo jak dla obwodu rezonansu napięć.

Wprowadzimy teraz pojęcie dobroci obwodu rezonansowego

czyli

Jeżeli uwzględnimy zależność na ρ oraz G=1/R, to otrzymamy ostatecznie

Jak już wykazaliśmy, w stanie rezonansu prądów, prąd dopływający do dwójnika jest równy prądowi płynącemu w gałęzi z rezystancją tzn. I=I_R.

Wobec tego z zależności określającej dobroć obwodu rezonansowego wynika, że dobroć obwodu Q określa , ile razy prąd w gałęzi z indukcyjnością lub w gałęzi z pojemnością jest większy od prądu dopływającego do obwodu rezonansowego.

Jeżeli rezystancja obwodu R jest duża (konduktancja G mała), to dobroć obwodu jest duża i prądy w gałęziach reaktancyjnych znacznie przekraczają wartość prądu dopływającego do obwodu . Należy więc się liczyć ze zjawiskiem przetężenia.

Podobnie jak dla obwodu rezonansu napięć, można wprowadzić pojęcia rozstrojenia bezwzględnego i rozstrojenia względnego charakteryzującego obwód w warunkach bliskich rezonansu.

Rozstrojenie bezwzględne

Rozstrojenie względne

Rys. 2.3 Charakterystyki częstotliwościowe B_L, B_C Y

Rys. 2.4 Rezonans prądów w dwójniku czteroelementowym :

1. schemat obwodu

2. wykres wektorowy dla obwodu w stanie rezonansu

Zbadamy jeszcze zjawisko rezonansu prądów w obwodzie przedstawionym na Rys.2.4 b) Obwód taki otrzymamy wówczas, gdy zarówno dla kondensatora, jak i dla cewki posłużymy się ich schematami zastępczymi szeregowymi. Analiza tego obwodu jest nieco bardziej złożona.

Oznaczmy impedancje zespolone poszczególnych gałęzi przez:

Admitancje zespolone tych gałęzi :

przy czym:

Prądy w poszczególnych gałęziach:

I₁=Y₁U = G₁U + jB_CU

I₂=Y₂U = G₂U - jB_LU

a prąd dopływający do obwodu

I = I₁ + I₂ = (G₁ + G₂)U + j(B_C - B_L)U = Y U

Zgodnie z podaną definicją , rezonans prądów wystąpi wtedy, gdy B=0 tzn.

czyli

Wyznaczymy częstotliwość rezonansową obwodu. W tym celu do wzoru tego podstawimy

Zatem

Stąd po przekształceniach

Równanie te ma trzy rozwiązania, które kolejno rozpatrzymy:

1) Jeśli

to równanie 156 może być spełnione tylko wówczas , gdy również

W tym przypadku rezonans wystąpi przy każdej częstotliwości. Można udowodnić że wówczas impedancja obwodu Z=ρ tzn. niezależnie od częstotliwości napięcia źródła, impedancja jest liczbą rzeczywistą; kąt fazowy obwodu φ=0 a więc obwód spełnia warunek podstawowy rezonansu.

2. Jeśli R₁ ≠ ρ oraz R₂ ≠ ρ to w wyniku rozwiązania równania otrzymamy częstotliwość rezonansową

Ze wzoru tego wynika, że częstotliwość rezonansowa jest liczbą rzeczywistą, jeśli

R₁ > ρ, R₂ > ρ

lub

R₁ < ρ, R₂ < ρ

Wykres wektorowy dla stanu rezonansu przedstawiony na rysunku 2.4 b)

3. W trzecim przypadku szczególnym rezystancje R₁ i R₂ mogą być równe sobie, lecz nie równe impedancji falowej

Ze wzoru określającego f_r z punktu 2) wynika, że przy R₁ = R₂ = ρ , częstotliwość rezonansowa obwodu czteroelementowego

Ma ona taką samą wartość jak częstotliwość rezonansowa obwodu przedstawionego na

Rys2.4 a) z działu „Rezonans prądów ” z wzoru (163)

Rezonans może wystąpić również w układach o połączeniu mieszanym elementów RLC. Poniżej przedstawiono kilka wybranych obwodów rezonansowych, podano wzory określające częstotliwość rezonansową i impedancje obwodu dla częstotliwości rezonansowej.

Jest oczywiste, że impedancja obwodu dostrojonego do rezonansu jest liczbą rzeczywistą; natomiast argument impedancji zespolonej musi być równe zeru.

Zjawiska rezonansu ma duże znaczenie praktyczne zarówno w technice wielkich częstotliwości, jak i w układach elektroenergetycznych. Z układami rezonansowymi spotykamy się zarówno w urządzeniach nadawczych stacji radiowo telewizyjnych, jak i w urządzeniach odbiorczych. W urządzeniach teletransmisyjnych dzięki stosowaniu układów rezonansowych, jest możliwe przekazywanie wielu informacji za pomocą jednej linii przesyłowej. Układy rezonansowe są stosowane również w wielu urządzeniach pomiarowych i w filtrach częstotliwościowych. W urządzeniach elektroenergetycznych kompensacja mocy biernej polega w istocie na tworzeniu układu rezonansowego.

W wielu urządzeniach układy rezonansowe mogą powstać w sposób przypadkowy, a z tym są związane zarówno dodatnie, jak i ujemne skutki zjawiska rezonansu. W układach rezonansu szeregowego mogą powstać znaczne przepięcia, zwane przepięciami rezonansowymi, natomiast w układach rezonansu równoległego w gałęziach obwodu mogą płynąć znaczne prądy, zwane przetężeniami rezonansowymi .

1

- 1/13 -

96

97

98

99

a)

U_R U_L U_C

U

b)

Im

U_C=-jX_CI

U_L=jX_LI

U_R=U=RI

Re

I

100

101

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

I

a)

I₂

R₂

L

I₁

R₁

C

U

Im

b)

I₁

φ <0

I

0

φ >0

Re

U

I₂

138

139

140

141

144

142

145

143

146

147

148

149

150

151

152

153

154

155

156

157

czyli

158

czyli

159

160

161

162

163

---