RACHUNEK WEKTOROWY

1. Korzystając z rozkładu wektorów na składowe skierowane wzdłuż osi układu prostokątnego wykazać, że iloczyn skalarny
   .

2. Jakie są wartości liczbowe iloczynów
   i
   ?

3. W układzie prostokątnym xyz znajdują się dwa wektory:
   zgodny z kierunkiem osi x, równy 20 jednostkom oraz wektor
   , leżący w płaszczyźnie xy, tworzący z osią x kąt 30°, równy 10 jednostkom. Znaleźć iloczyny skalarne
   i
   oraz iloczyny wektorowe
   i
   

4. Pokazać, że algebraiczna definicja iloczynu skalarnego wektorów
   i
   w postaci

jest równoważna definicji geometrycznej

5. Dla wektorów
   oraz
   znaleźć:

1. 
   

2. kąt pomiędzy
   i
   

6. Obliczyć kąt pomiędzy wektorami:

1. 
   

2. 
   

7. Jeżeli
   to, jaki kąt tworzą wektory
   i
   ?

8. *Pewien student twierdzi, że znalazł wektor
   taki, że
   .

Czy można mu wierzyć?

KINEMATYKA PUNKTU MATRIALNEGO I DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

9. Przyspieszenie punktu poruszającego się po linii prostej wynosi a=12kt, gdzie k jest stałą. Obliczyć:

1. v(t)

2. x(t) jeżeli dla t=0: v=0, x=0

10. Cząstka rozpoczyna ruch w chwili t₀=0 i porusza się w płaszczyźnie ze stałym przyspieszeniem
    . Obliczyć prędkość, wartość prędkości i wektor położenia po upływie czasu t>t₀.

11. Końce pręta AB o długości l=50cm ślizgają się po osiach x i y prostokątnego układu współrzędnych. Koniec A pręta porusza się po osi y ku początkowi układu współrzędnych ruchem jednostajnym, z prędkością v=4cm/s. Jakim ruchem porusza się drugi koniec pręta? Jaka będzie prędkość końca B w chwili, gdy koniec A znajduje się w odległości 30cm od początku układu?

12. Środek pręta o długości 2L porusza się wzdłuż osi y ze stałą prędkością v₀, natomiast jeden z jego końców ślizga się po osi x. Znaleźć równanie toru drugiego końca pręta, określić wartość jego prędkości i przyspieszenia. W chwili początkowej pręt był ustawiony pionowo.

13. Kula wylatuje z lufy z prędkością v=800m/s i z powodu gwintu wykonuje jeden pełny obrót w lufie. Określić czas przelotu kuli wewnątrz lufy, przyspieszenie kątowe, końcową prędkość kątową oraz częstotliwość obrotów kuli, jeżeli długość lufy wynosi l=1m.

14. Pociąg porusza się po łuku o promieniu krzywizny r=400m, przy czym jego przyspieszenie styczne wynosi a_t=0,2m/s². Określić przyspieszenie normalne a_n i całkowite przyspieszenie a pociągu w chwili, gdy jego prędkość wynosi v=10m/s.

15. Samolot leci na wysokości h po linii poziomej z prędkością v. Lotnik ma rzucić bombę na cel znajdujący się na Ziemi przed samolotem. Pod jakim kątem do pionu powinien widzieć lotnik swój cel w momencie wyrzucania bomby? Jaka jest w tym momencie jego odległość do celu liczona w kierunku poziomym?

16. Pojazd przebył pewna drogę s od A do B z prędkością v. Z jaka prędkością v₁ powinien poruszać się pojazd w drodze powrotnej, aby średnia prędkość tam i z powrotem wynosiła 2v?

17. Krople deszczu poruszając się wskutek oporu powietrza ruchem jednostajnym padają pionowo na dół z prędkością v₁=70m/s. Opisać ten ruch względem pociągu, który porusza się ruchem jednostajnym po płaszczyźnie poziomej z prędkością v₂=30m/s.

18. Dwa okręty wyruszyły równocześnie w drogę w kierunkach do siebie prostopadłych, jeden z prędkością v₁=20km/h, drugi z prędkością v₂=30km/h. Obliczyć prędkość wzajemnego oddalania się okrętów oraz ich odległość po upływie czasu t=4h.

19. Łódź przepływa rzekę o szerokości l=100m z prędkością v₁=2,5m/s w kierunku poprzecznym do brzegu rzeki płynącej z prędkością v₂=2m/s. O ile metrów zostanie zniesiona łódź w dół rzeki w chwili lądowania?

20. Obserwator, stojący w chwili ruszania pociągu obok początku pierwszego wagonu, stwierdził, że wagon ten mija go w ciągu t=3s. W jakim czasie będzie go mijał n-ty wagon (np. 6), jeżeli ruch pociągu jest jednostajnie przyspieszony?

21. Pojazd zaczyna poruszać się na prostym odcinku ze stałym przyspieszeniem a=1m/s². Jaką prędkość uzyska po przejechaniu odcinka drogi długości l=200m? Jaka będzie jego prędkość średnia na takim odcinku drogi?

22. Samochód zaczyna jechać po łuku drogi o promieniu krzywizny r=50m ze stałym przyspieszeniem a=1m/s². Określić, jak zmienia się prędkość obracania się samochodu.

23. Określić, jak różnią się drogi hamowania samochodu w przypadku hamowania ze stałym opóźnieniem a i hamowania z opóźnieniem liniowo rosnącym od zera do wartości a_max=2a. Jak różnią się przy tym czasy hamowania?

24. Jak zmieni się przyspieszenie obiektu poruszającego się z prędkością v wzdłuż równika Ziemi na wschód, gdy obiekt ten zmieni kierunek ruchu na przeciwny, nie zmieniając wartości prędkości?

25. Z jaką prędkością kątową porusza się koło, jeżeli fotografując je przy czasie ekspozycji t=0,02s każda szprycha koła pokrywa na zdjęciu połowę sektora między sąsiednimi szprychami, a koło ma n=18 szprych?

26. Udowodnij, że w ruchu jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej droga przebyta przez ciało w ciągu pierwszych trzech sekund ruchu jest równa drodze przebytej przez to ciało w piątej sekundzie tego ruchu, niezależnie od wartości przyspieszenia.

27. Dwa ciała ruszają z miejsca z różnymi, stałymi przyspieszeniami. Udowodnij, że stosunek dróg przebywanych przez te ciała w tym samym czasie jest równy stosunkowi ich prędkości chwilowych po przebyciu tych dróg.

28. Oblicz przyspieszenie dośrodkowe punktów powierzchni kuli ziemskiej leżących na szerokości geograficznej =60^o.

29. W ciągu pierwszych t=20s ruchu jednostajnie przyspieszonego bez prędkości początkowej samochód osiągnął prędkość v=5m/s. Jakie było przyspieszenie kątowe kół samochodu jeśli ich promienie były r=0,4m?

30. Koło obraca się z częstotliwością f=150Hz. Po rozpoczęciu jednostajnego hamowania zatrzymało się ono po czasie t=10min. Jakie było opóźnienie kątowe koła? Ile obrotów wykonało ono w czasie hamowania?

31. Na gładkim stole znajdują się dwa ciała o masach m₁ i m₂ połączone nitką. Trzecie ciało o masie m₃ jest zawieszone na nitce przerzuconej przez lekki krążek i przyczepionej do masy m₂. Wszystkie trzy ciała mają różne masy m₁≠m₂≠m₃. Które z tych trzech ciał można zamienić miejscami, tak aby przy tym nie uległa zmianie siła napinająca nitkę łączącą ciała znajdujące się na stole? Tarcie zaniedbać.

32. 
    Znajdź przyspieszenie mas m₁=2kg i m₂=4kg oraz napięcie nici je łączącej, jeśli układ tych dwu ciał porusza się po idealnie gładkiej, poziomej powierzchni pod wpływem poziomej siły o wartości F=30N ciągnącej masę m₂.

33. 
    Na idealnie gładkim, poziomym stole leży sześć jednakowych sześcianów o masie m=1kg każdy. Stała, poziomo skierowana siła o wartości F=12N, działa na pierwszy sześcian w sposób jak na rysunku obok. Oblicz wartość wypadkowej siły działającej na każdy sześcian.

34. 
    Znajdź przyspieszenie układu i napięcie nici łączącej masy m₁=3kg oraz m₂=1kg, gdy brak jest tarcia masy m₁ o

podłoże, a masy bloczka nie uwzględniamy.

35. Znajdź przyspieszenie układu i napięcia nici łączących masy m₁=2kg, m₂=4kg i m₃=1kg gdy brak jest tarcia mas o podłoże a masy bloczka nie uwzględniamy.

36. Znajdź przyspieszenie układu i napięcia nici łączących mas m₁=5kg, m₂=4kg, m₃=3kg, m₄=2kg i m₅=1kg, gdy brak jest tarcia mas o podłoże, a masy bloczka nie uwzględniamy.

37. 
    Wyprostowany, jednorodny sznur o długości d leży na stole tak, że jego część zwisa. Jak zmienia się przyspieszenie sznura w zależności od długości jego części zwisającej, jeśli brak jest tarcia?

38. Z jakim przyspieszeniem porusza się po idealnie gładkim, poziomym stole ciało o masie m=10kg pod działaniem siły F=50N tworzącej z poziomem kąt =30^O? Jaką siłą naciska to ciało na podłoże?

39. Znajdź przyspieszenie mas m₁=4kg i m₂=5kg oraz napięcie nici je łączącej,

gdy jest ona przerzucona przez dwa nieważkie bloczki: ruchomy nieruchomy jak na rysunku:

40. Na stole leży deska o masie m₁, z kolei na niej znajduje się ciężarek o masie m₂ (rys. poniżej). Do tego ciężarka jest przyczepiona nitka, która przerzucona przez lekki krążek jest obciążona ciężarkiem o masie M. Współczynnik tarcia między deską a stołem wynosi f₁, natomiast pomiędzy ciężarkiem i deską f₂. Z jakimi przyspieszeniami będą poruszać się ciężarek i deska?

41. W kabinie windy zawieszono lekki bloczek, przez który przewieszono nitkę. Na końcach tej nitki są zaczepione obciążniki o masach m₁=2kg i m₂=1kg. Z jakim przyspieszeniem względem windy będą poruszać się te ciężarki, jeżeli:

1. winda stoi nieruchomo

2. winda startuje ku górze

3. winda jadąca ku górze hamuje

4. winda startuje w dół

5. winda jadąca w dół hamuje

Przyjmujemy, że we wszystkich przypadkach wartość przyspieszenia windy jest taka sama i wynosi a_w=1/2g. Wszystkie opory ruchu zaniedbać.

42. W kabinie windy znajduje się naczynie z wodą. Po powierzchni pływa drewniany klocek i jest do połowy zanurzony w wodzie. Jaka będzie głębokość zanurzenia, jeżeli winda zacznie poruszać się z przyspieszeniem a?

43. Na płaskim podłożu spoczywa klin o masie m₂ i kącie nachylenia  Na ten klin położono ciężarek o masie m₁=1/2m₂. Obliczyć przyspieszenia tych ciał. Wpływ tarcia pomijamy.

44. Ze szczytu równi pochyłej o kształcie trójkąta prostokątnego, po jej zboczach, zsuwają się dwa identyczne klocki. Z jakim przyspieszeniem powinna poruszać się ta równia, aby oba klocki startując ze szczytu bez prędkości początkowej względem równi zsunęły się w takim samym czasie? W jakim przedziale powinna być zawarta wartość współczynnika tarcia f, aby mogły być spełnione warunki zadania? Kąty przy podstawie równi są =60° oraz =30°.

45. Z jakim przyspieszeniem zsuwa się po idealnie gładkiej równi, o kącie nachylenia do poziomu =30^o, ciało o masie m=1kg? Jaką siłą naciska to ciało na równię? Jakie będą przyspieszenie i siła nacisku tego ciała na równię, gdy pchniemy je w górę tej równi?

46. 
    Znajdź przyspieszenie układu i napięcie
    

nici łączącej masy m₁=1kg i m₂=2 kg,

gdy kąt nachylenia równi do poziomu

jest 30^o, tarcie nie występuje, a

bloczek jest nieważki.

47. 
    Znajdź przyspieszenie mas m₁=2kg i

m₂=4kg oraz napięcie nici je łączącej,

gdy kąty nachylenia równi są 30^o

i =60^o , brak jest tarcia, a masy

bloczka nie uwzględniamy.

48. 
    Znajdź przyspieszenie mas m₁=1kg

i m₂=2kg, gdy kąt nachylenia równi

jest =30^o, tarcie nie występuje a

masy bloczka nie uwzględniamy.

49. Z jakim przyspieszeniem zsuwa się z równi o kącie nachylenia do poziomu =30^o ciało o masie m=6kg, gdy współczynnik tarcia o równię jest =0,2? Z jaką siłą naciska to ciało na równię?

50. Z jakim opóźnieniem porusza się ciało o masie m=6kg, pchnięte ku górze równi o kącie nachylenia do poziomu =30^o, jeśli współczynnik tarcia ciała o równię jest =0,2? Z jaką siłą naciska to ciało na równię?

51. Tarcza kołowa o promieniu R i masie m wiruje z prędkością kątową o wartości ₀, w pewnej chwili t=0 obie powierzchnie tarczy ściśnięto płytami siłą F. Obliczyć czas, potrzebny do zahamowania tarczy. Współczynnik tarcia między powierzchniami tarczy i płyt wnosi f.

52. Obliczyć energię kinetyczną ruchu obrotowego łożyska kulkowego. Wewnętrzny wałek o promieniu R i długości h obraca się z prędkością kątową o wartości ₁ a n kulek o promieniu r toczy się bez poślizgu. Gęstość materiału, z którego wykonano łożysko wynosi ρ

53. Tarcza o masie m₁ i promieniu R obraca się z prędkością o wartości ₀ wokół swojej osi zorientowanej pionowo. Wzdłuż promienia tarczy jest wyżłobiony rowek , do którego, w pobliżu osi obrotu włożono ciężarek o masie m₂ i pomijalnie małych rozmiarach. Obliczyć wartość prędkości, z jaką wyleci z rowka tej tarczy (pominąć tarcie ciężarka podczas ruchu w tym rowku).

54. Jednym z elementów gimnastyki artystycznej są ćwiczenia z obręczą. W czasie takich ćwiczeń często można oglądać obręcz, która rzucona przez zawodniczkę tocząc się wraca do niej. Jest to możliwe, jeżeli w czasie rzutu obręcz zostanie wprawiona w ruch obrotowy o odpowiednim kierunku. Jaki warunek powinny spełniać warunki początkowe wartości ruchu postępowego v₀ prędkości kątowej _, aby po pewnym czasie ruchu z poślizgiem, obręcz potoczyła się do tyłu?

55. Koło zamachowe o momencie bezwładności I = 0,2 kgm² obraca się wokół poziomej osi przechodzącej przez jego środek, wykonując n = 600 obr/min. Przy hamowaniu koło zatrzymuje się po upływie czasu Δt = 20 s. Znajdź moment siły hamującej i liczbę obrotów do chwili zatrzymania.

56. Dane są dwie pełne kule A i B wykonane z tego samego materiału. Masa kuli A jest 8 razy większa od masy kuli B. Ile razy moment bezwładności kuli A jest większy od momentu bezwładności kuli B ? Moment bezwładności kuli I = 0,4mr².

57. Wykaż, że moment bezwładności układu składającego się z dwóch mas m₁ i m₂ odległych o r od siebie względem osi prostopadłej do odcinka łączącego m₁ i m₂ i przechodzącej przez środek masy układu wynosi μr². μ jest masą zredukowaną układu i wynosi Otrzymany wynik zastosuj do molekuły, CO, dla której r = 1,13 Ǻ i do molekuły HCl gdzie r = 1,27 Ǻ.

58. Oblicz moment bezwładności molekuły, CO₂ względem osi przechodzącej przez środek masy i prostopadłej do osi molekuły. Molekuła jest liniowa z atomem C znajdującym się w jej środku. Długość wiązania C─O wynosi 1,13∙10^-10 m.

59. Z równi pochyłej o kącie nachylenia α stacza się bez poślizgu ciało o momencie bezwładności I, masie m i promieniu r. Wyznacz jego przyspieszenie liniowe, kątowe i siłę tarcia.

60. Pełne, jednorodne ciała: walec i kula staczają się bez poślizgu z równi pochyłej o kącie nachylenia α i wysokości h. Masy i promienie tych ciał są jednakowe. Które z nich stoczy się wcześniej?

61. Kula o początkowej prędkości w ruchu postępowym v₀=10m/s wtacza się bez poślizgu na równię pochyłą o kącie nachylenia 45^°. Jaką drogę przebędzie kula po równi do chwili zatrzymania się i po jakim czasie wróci do podstawy równi?

62. Środek masy kuli bilardowej posiada początkową prędkość v₀. Promień kuli wynosi R, jej masa M, a współczynnik tarcia pomiędzy kulą i stołem jest równy μ. Jak daleko przesunie się kula po stole, zanim przestanie się ślizgać?

63. Kołowrót o masie m, momencie bezwładności I₀ i promieniach zewnętrznym R oraz wewnętrznym r leży na płaszczyźnie poziomej. Na kołowrót nawinięta jest nić, do której przyłożono siłę F. Opisz ruch kołowrotu w zależności od kąta α jaki tworzy nić z kierunkiem poziomym.

64. Na krześle mogącym obracać się swobodnie wokół osi pionowej siedzi student i trzyma w wyprostowanych rękach odważniki po m=5kg każdy. Odległość każdego odważnika od osi obrotu wynosi l₁=80cm. Krzesło wiruje wykonując n₁=1obr/sek. Jak zmieni się szybkość wirowania studenta, jeśli zegnie on ręce tak, że odważniki będą w odległości l₂=20cm od osi obrotu? Moment bezwładności studenta i krzesła (całkowity) względem osi obrotu wynosi I₀= 3kgm².

65. Belka o długości l i masie M może swobodnie obracać się wokół poziomej osi przechodzącej przez jeden z jej końców. W drugi koniec belki uderza kula o masie m mająca poziomą prędkość v₀. Kula grzęźnie w belce. Znajdź prędkość kątową belki tuż po uderzeniu kuli. W jakie miejsce belki powinna uderzyć kula, aby składowa pozioma siły reakcji osi w chwili uderzenia wynosiła zero?

66. Na brzegu poziomej, okrągłej platformy o masie M i promieniu R stoi student o masie m. Platforma może obracać się bez tarcia wokół pionowej osi. Jaka będzie prędkość kątowa platformy ω, jeżeli student zacznie chodzić wzdłuż jej brzegu ze stałą względem niej prędkością v. Jaką drogę przebędzie student względem platformy w czasie jej jednego pełnego obrotu?

m₁

m₂

F

F

m₁

m₂

m₃

m₄

m₅

m₆

m₁

m₂

m₁

m₂

m₃

m₄

m₅

m₁

m₂



m₁

m₂

m₁

m₂





m₁



m₂

---