1 .) PODSTAWY TEORETYCZNE FILTRÓW AKTYWNYCH .

Filtry aktywne są stosowane we wszystkich dziedzinach elektrotechniki. Mają spełniać

zadanie podobne do zadań filtrów pasywnych. Użycie elementów aktywnych pozwala zrezygnować z cewek indukcyjnych,sprawiających wiele uciążliwości. Można w związku z tym budować układy lżejsze i o lepszych właściwościach elektrtcznych. Należy jednak zwrócić uwagę na ich stabilność,ponieważ mogą generować szkodliwe drgania. Przyczyną ich są zazwyczaj niewielkie zmiany pararametrów,spowodowane na przykład warunkami zewnętrznymi.

Filtry aktywne różnią się od filtrów pastwnych występowaniem źródeł sterowanych oraz pracą przy w miarę dowolnym obciążeniu.

Problem syntezy transmitancji filtrów aktywnych można rozwiązać za pomocą połączenia łańcuchowego uładu pierwszego i drugiego rzędu. W syntezie dowolnej impedancji,będącej funkcją wymierną,wystarczy rozłożyć ją na iloczyn funkcji wymiernych elemenyarnych i każdy czynnik zrealizować za pomocą czwórnika aktywnego. Zastosowanie czwórników aktywnych zapewni spełnienie warunku wzajemnego nieobciążania się sekcji połączenia łańcuchowego.

• AKTYWNY FILTR DOLNOPRZEPUSTOWY ;

Dla najprostrzego filtru charektystyka częstotliwościowa stosunku napięcia wyjściowego do wejściowego ma postać:

K(jω)==

Jeżeli jω zastąpimy przez jω+δ=s,otrzymamy funkcję przenoszenia (transmitancję)

Ku(s)= =

podaje ona stosunek transformat Laplace'a napięcia wyjściowego i wejściowego dla dowolnych sygnałów zależnych od czasu. Przejście odwrotne,od funkcji Ku(s) do charakterystyki częstotliwościowej K_U(jω) dla sinusoidalny sygnałów wejściowych,otrzymuje się przez przyjęcie δ=0.

W celu otrzymani postaci ogólnej jest celowe znormalizowanie częstotliwości zespolonej s przez podstawienie S=

Dla δ=0 wynika stąd S=

Dla najprostrzego filtru częstotliwość graniczna wynosi fg=1/(2πRC). Stąd otrzymuje się S=Src oraz K_U(S)=

Otrzymuje się stąd zależność na moduł funkcji przenoszenia,czyli stosunek amplitud przy sinusoidalnym sygnale wejściowym,w postaci

|K_U(jΩ)|²

Dla Ω>>0 ,tzn dla f>>f_g będzie |K_U|=1/Ω ; odpowiada to spadkowi 20dB na dekadę. Jeżeli wymaga się bardziej sromego spadku,można połączyć szeregowo n filtrów dolnoprzepustowych. Otrzymamy wtedy funkcję przenoszenia określoną wyrażeniem

K_U(S)=

z rzeczywistymi dodatnimi wspóczynnikami α1,α2,α3...Dla ω>>1 będzie |K_U|~1/Ω, a więc wzmocnienie maleję szybkością n*20 Db na dekadę. Można zauważyć,że funkcja przenoszenia ma n rzeczywistych,ujemnych biegunów. Jest to cecha charakterystyczna filtrów biernych RC n-tego rzędu.Jeżeli połączymy szeregowo nie obciążające się wzajemnie filtry dolnoprzepustowe o tej samej częstotliwości granicznej,otrzymamy

α1=α2=α3=...=α=

Jest to przypadek tłumienia krytycznego. Poszczególne filtry dolnoprzepustowe mają wtedy częstotliwość graniczną 1/α razy większą,niż cały filtr.

Funkcja przenoszenia filtru dolnoprzepustowego ma postać ogólną

K_U(S)=

Współczynniki c₁,c_2...c_n są rzeczywiste i dodatnie. Rząd filtru jest równy najwyższej potędze S. Ze względu na realizację filtru jest korzystne,aby wielomian mianownika był rozłożony na czynniki.

Jeżeli dopuszcza się również bieguny zespolone,rozkład na czynniki liniowe jest niemożliwe Otrzymuje się wówczas iloczyn wyrażeń kwadratowych

K_U(S)=

gdzie a_i,b_i są współczynnikami rzeczywistymi dodatnimi. Dla nieparzystego rzędu filtru wspóczynnik b₁ jest równy zeru.Charakterystykę częstotlwościową można optymalizować z różnych teoretycznych punktów widzenia.Z takich rozważań optymalizacyjnch wynikają ściśle określone wartości wspóczynników a_i i b_i.Możliwość otrzymania bigunów zespolonych sprzężonych istnieje w układach zawierających elementy RLC.

W zakresie wielkich częstotliwości realizacja indukcyjności o wymaganych wartościach nie nastręcza zwykle żadnych trudności.W zakresi małych częstotliwosci są jednak potrzebne najczęściej duże indukcyjności,które są niewygodne i mają złe właściwości elektryczne.Można jednak uniknąć stosowania indukcyjności w zakresie małych częstotliwości,jeżeli do układów RC doda się elementy aktywne,np.wzmacniacze operacyjne.Takie układy noszą nazwę filtrów aktywnych.

• AKTYWNE FILTRY DOLNOPRZEPUSTOWE CZEBYSZEWA

Na wstępie przeanalizujmy zoptymalizowną charakterystykę częstotliwościową.Filtry Czebyszewa mają charakterystykę o stromym spadku powyżej częstotliwości granicznej.W paśmie przepustowym przebieg nie jest płaski,lecz odznacza się falistością o stałej amplitudzie.Dla danego rzędu filtru spadek powyżej częstotliwości granicznj jest tym bardziej stromy im większa jest falistość.Jeżeli charakterystyka filtru nie ma wystarczająco ostrego spadku,musimy zastosować filtr wyższego rzędu.Charakterystyki częstotliwościowe poszczególnych sekcji filtru mnoży się przez siebie.Wspóczynniki poszczególnych sekcji filtru należy wybraćtak,by iloczyn charakterystyk częstotliwościowych dał pożądany,zoptymalizowany typ filtru .

Funkcja przenoszenia filtrów dolnoprzepustowych Czebyszewa przy małych częstotliwościach ma wartość k_u0,jednak jeszcze poniżej częstotliwości granicznej waha się z pewną falistością. Stałą falistość w określonym zakresie można opisać wielomianami Czebyszewa.

cos (n arccosx) dla 0≤ x ≤ 1

T_n(x)=cosh (n arcoshx) dla x >1

W zakresie 0 ≤ x ≤ 1T(x) oscyluje między 0 i 1 , a dla x>1 rośnie monotonicznie. Dla uzyskania równania filtru dolnoprzepustowy z wielomianów Czebyszewa,przejmujemy

K_u²=

Tablica:: Wielomiany Czebyszewa

n

1 T₁(x)=x

2 T₂(x)=2x²-1

3 T₃(x)=4x³-3x

4 T₄(x)=8x^4-8x²+1

Stałą k dobiera się tak, by dla x=0 kwadrat modułu funkcji przenoszeniaK_u² był równy k_u0²,tzn. Dla n nieparzystych k=1,a dla n nieparzystych k=1,a dla nparzystych k=1+ε².Współczynnik ε jest miarą falistości.Mamy więc

- dla rzędu parzystego

- dla rzędu nieparzystego

Falistość

0.5dB 1dB 2dB 3Db

k_umax/k_umi 1.059 1.122 1.259 1.413

k 1.122 1.259 1.585 1.995

• 0.349 0.509 0.765 0.998

• W zaszdzie z modułu wzmocnienia można by wyliczyć zespoloną funkcję przenoszenia i stąd wyznaczyć współczynniki równania filtru.Po zgrupowaniu biegunów zespolionych sprzężonych otrzymuje się następujące wartości współczynników a_i i b_i :

• -rząd n parzysty:

• >>dla i=1...

• -rząd n nieparzysty:

• >> dla i=2...

• Współczynnik γ=(1/n)arsin1/ε.

2.) REALIZACJA FILTRÓW DOLNO- I GÓRNOPRZEPUSTOWYCH PIERWSZEGO RZĘDU

0. Zgodnie z równaniem 1

0. 
   (1)

0. funkcja przenoszenia filtru dolnoprzepustowego pierwszego rzędu ma ogólną postać

0. 
   (2)

0. Można ją realizować za pomocą prostego układu RC pokazanego na rys. 1. Dla tego układu mamy

0. 
   

0. Wzmocnienie dla prądu stałego wynosi K_u(S)=k_u0=1. Parametr a₁ można wybrać dowolnie. Z porównania współczynników otrzymujemy

0. 
   

0. Jak widać w tabl. 1, w przypadku pierwszego rzędu wszystkie typy filtrów są identyczne i mają współczynnik a₁ = 1.

0. 
   

0. Rys. 1. Filtr dolnoprzepustowy pierwszego rzędu ze wzmacniaczem separującym

0. Tabl. 1. Filtry Czybyszewa o falistości 3dB

n	i	ai	bi	Fgi/fg	Qi
1	1	1,0000	0,0000	1,000	-
2	1	1,0650	1,9305	1,000	1,30
3	1	3,3496	0,0000	0,299	-
	2	0,3559	1,1923	1,396	3,07
4	1	2,1853	5,5339	0,557	1,08
	2	0,1964	1,2009	1,410	5,58
5	1	5,6334	0,0000	0,178	-
	2	0,7620	2,6530	0,917	2,14
	3	0,1172	1,0686	1,500	8,82

0. Prosty filtr RC ma tę wadę, że jego właściwości zmieniają się wraz z obciążeniem. Dlatego z reguły dołącza się do niego układ transformujący impedancję. Jeżeli układ ten ma wzmocnienie k_u0, otrzymujemy równocześnie możliwość swobodnego wyboru wzmocnienia dla prądu stałego.

0. Nieco prostrze filtry pierwszego rzędu otrzymuje się przez włączenie filtru do obwodu ujemnego sprzężenia zwrotnego wzmacniacza operacyjnego .Taki filtr pokazany jest na rys.1

0. 
   

0. Rys. 1Filtr dolnoprzepustowy pierwszego rzędu ze wzmacniaczem odwracającym

0. W celu doboru elementów filtru podaje się częstotliwość graniczną, wartść funkcji przenoszenia dla prądu stałego k_u0 oraz pojemność C₁. Wtedy z porównania ze współczynnikami równania (2)

0. 
   

0. Rysunek 2. przedstawia analogiczny układ filtru górnoprzepustowego.

0. Z porównania z równaniem

0. 
   

0. wynikają wartości elementów

0. 
   

0. 
   

• Rys.2. Filtr górnoprzepustowy pierwszego rzędu ze wzmacniaczem odwracającym

• Realizacja filtrów dolno- i górnoprzepustowych drugiego rzędu

Zgodnie z równaniem (1) funkcja przenoszenia filtru dolnoprzepustowego drugiego rzędu ma ogólną postać



(3)

Aktywny filtr dolnoprzepustowy 2-go rzędu przedstawiony jest na rys. 3

Z porównania z równaniem (3) otrzymujemy







RYS.3. Aktywny filtr dolnoprzepustowy drugiego rzędu z wielokrotnym ujemnym sprzężeniem zwrotnym

Przy doborze elementów układu możemy przyjąć np.wartości rezystancji R₁i R_{2 i} i z równań projektowych wyliczyć R₂, C₁ i C₂. Jak widać dobór jest możliwy dla wszystkich dodatnich Przy doborze elementów układu możemy przyjąć np. wartości rezystancji R₁ i R₂ i z równań współczynników a₁ i b₁. Można więc zrealizować każdy wymagany typ filtru. Wartość funkcji przenoszenia dla prądu stałego k_u0 jest ujemna. Zgodnie z tym dla małych częstotliwości filtr odwraca fazę sygnału.

Aby otrzymać wymaganą charakterystykę częstotliwościową, elementy nie mogą mieć zbyt dużych tolerancji. W przypadku rezystancji wymaganie to można spełnić z łatwością. Inaczej jest w przypadku kondensatorów, które z reguły mają tolerancję od 10% wzwyż. Dlatego przy projektowaniu filtrów jest korzystne przyjęcie zadanych wartości kondensatorów i obliczenie potrzebnej wartości rezystorów. W tym celu rozwiążemy równania projektowe względem rezystancji




Dla otrzymania rzeczywistej wartości R₂ musi być spełniony warunek




Najbardziej korzystne jest wówczas przyjęcie wartości C₁ i dobór C₂ jako następnej większej wartości ze znormalizowanego szeregu. Parametry takiego filtru są mało wrażliwe na tolerancje elementów układu. Dlatego ten układ nadaje się do realizacji filtrów o większej dobroci.

Aby wzmacniacz operacyjny można było uważać za idealny ,przy częstotliwości granicznej filtru musi on jeszcze mieć duże wzmocnienie różnicowe

• Realzacja filtrów dolno- i górnoprzepustowych wyższych rzędów

• Jeżeli charakterystyka filtru nie ma wystarczająco ostrego spadku , musimy zastosowć filtr wyższego rzędu.Charakterystyki częstotliwościowe mnoży się wówczas przez siebie.

• W celu ułatwienia doboru elementów poszczególnych sekcji filtru wielomiany różnych typów filtrów zostały rozłożone na czynniki.Współczynniki a_i, b_i poszczególnych filtru są podane w tabelce 1.Każdy czynnik z b_i≠0 można zrealizować za pomocą jednego z filtrów drugiego rzędu .Wymaga to jedynie zastąpienia współczynników a₁, b₁ współczynnikami a_i, b_i.W celu zaprojektowania układu do podanych wzorów podstawia się częstotliwość wypadkową całego filtru .Poszczególne sekcje filtru mają z reguły inne częstotliwości

graniczne , jak to widać w tablicy .

• Kolejność poszczególnych sekcji filtru,jest w zasadzie obojętna, gdyż wypadkowa charakterystyka częstotliwościowa jest zawsze taka sama .

• REALIZACJA ZADANEGO FILTRU CZEBYSZEWA

• Filtr szóstego rzędu można zrealizować za pomocą 3 filtrów dolnoprzepustowy ch.Zadany filtr ma następujące parametry:

• n=6;

• falistość 3 dB;

• f_g=800 ;

• k_uo=10;

• Temat zadania wymaga ;

• wykorzystania pakietów MathCADa oraz PSpice w celu wyznaczenia między innymi charakterystyki amplitudowej filtru i sprawdzeniu czy spełnia ona warunki zadania.Dodatkowo do zbadania wpływu zmiany temperatury na charakterystykę filtu oraz do określenia wrażliwości obwodu na tolerancję elementów.

OBLICZENIA;

-częśc praktyczna;

Parametry poszczególnych sekwencji zadanego filtru wyliczone na podstawie równań projektowych z uwzględnieniem współczynników (a_i,b_i) podanych w tabelce nr1.

k_UO=k_U1*k_U2*k_U3

C1=10*10^-9 F; C2=8.726*10^-8F;

---