SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
Całki krzywoliniowe
Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej)
" Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie : I R3 , gdzie I ozna-
r
cza przedział na prostej, co zapisujemy
= [x(t), y(t), z(t)] ,
r(t)
gdzie t " I.
" Jeżeli funkcje x, y, z mają ciągłe pochodne na przedziale I, to mówimy, że funkcja wek-
torowa jest różniczkowalna w sposób ciągły na I, a pochodna określona jest wzorem
r

(t) = [x (t), y (t), z (t)] .
r
Równania parametryczne ważniejszych łuków
" Odcinek w przestrzeni o końcach A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2) ma przedstawienie parame-
tryczne
ńł
�ł x(t) = x1 + (x2 - x1) t ,
�ł
� : y(t) = y1 + (y2 - y1) t , t "< 0, 1 > .
�ł
ół
z(t) = z1 + (z2 - z1) t ,
" Okrąg o środku S(x0, y0) i promieniu R ma przedstawienie parametryczne

x(t) = x0 + R cos t ,
� :
y(t) = y0 + R sin t , t "< 0, 2Ą > .
" Elipsa o środku S(x0, y0) i półosiach a, b ma przedstawienie parametryczne

x(t) = x0 + a cos t ,
� :
y(t) = y0 + b sin t , t "< 0, 2Ą > .
" Linia śrubowa o skoku h, nawinięta na walec (x-x0)2 +(y -y0)2 = R2 ma przedstawienie
parametryczne
ńł
�ł
x(t) = x0 + R cos t ,
�ł
�ł
�ł
y(t) = y0 + R sin t , t " R .
� :
�ł
h
�ł
�ł
ół
z(t) = t
2Ą
SNM - Elementy analizy wektorowej - 2
Twierdzenie (długość łuku)
Niech � = {(x(t), y(t), z(t)) : ą t �} będzie łukiem zwykłym, gładkim w przestrzeni.
Wtedy jego długość wyraża się wzorem
�

|�| = [x (t)]2 + [y (t)]2 + [z (t)]2 dt .
ą
Całka krzywoliniowa niezorientowana.
Definicja (całka krzywoliniowa niezorientowana)
Niech � = {(x(t), y(t)) : t "< ą, � >} będzie łukiem gładkim na płaszczyz
nie. Wprowadz
my
oznaczenia:
" P = {t0, t1, . . . , tn} - podział odcinka < ą, � > na n " N odcinków;
" �(P ) = max{"tk : 1 k n} - średnica podziału P ;
" "lk - długość łuku Ak-1Ak, gdzie 1 k n.
Niech f będzie funkcją ograniczoną na łuku gładkim �.
Całkę krzywoliniową niezorientowaną z funkcji f po łuku � definiujemy wzorem

n

def
"
f(x, y) dl = lim f(x", yk)"lk ,
k
�(P )0
k=1
�
o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje i nie zależy od sposobu podziału P
"
odcinka < ą, � > ani od sposobu wyboru zbioru punktów pośrednich (x", yk).
k
Uwaga
Całka krzywoliniowa nie zależy od parametryzacji łuku.
SNM - Elementy analizy wektorowej - 3
Zamiana całki krzywoliniowej niezorientowanej na całkę pojedynczą
Niech f będzie funkcją ciągłą na łuku gładkim �. Wtedy gdy
" � = {y = y(x) : a x b} mamy wzór
b

f(x, y) dl = f(x, y(x)) 1 + [y (x)]2 dx ;
a
�
" � = {(x(t), y(t)) : t "< ą, � >} mamy wzór
�

f(x, y) dl = f(x(t), y(t)) [x (t)]2 + [y (t)]2 dt ;
ą
�
" � = {(x(t), y(t), z(t)) : t "< ą, � >} mamy wzór
�

f(x, y, z) dl = f(x(t), y(t), z(t)) [x (t)]2 + [y (t)]2 + [z (t)]2 dt .
ą
�
Zastosowania
" Długość łuku.
" Pole płata powierzchni bocznej walca.
" Masa łuku.
" Momenty statyczne względem osi układu łuku materialnego.
" Momenty statyczne względem płaszczyzn układu łuku materialnego.
" Współrzędne środka masy łuku materialnego.
" Momenty bezwładności względem osi lub początku układu współrzędnych łuku material-
nego.
" Natężenie pola elektrycznego,
" Siła przyciągania grawitacyjnego,
" Energia kinetycznej łuku.
Całka krzywoliniowa zorientowana.
Definicja (łuk zorientowany)
A
uk zwykły niezamknięty, na którym ustalono początek i koniec (kierunek), nazywamy łukiem
zorientowanym.
SNM - Elementy analizy wektorowej - 4
A
uk zorientowany oznaczamy tym samym symbolem co łuk: �. A
uk o orientacji przeciwnej do
orientacji łuku � oznaczamy przez -�. Jeżeli wraz ze wzrostem parametru łuku zorientowanego
poruszamy się po nim w kierunku orientacji, to mówimy, że parametryzacja łuku jest zgodna z
jego orientacją.
Definicja (całka krzywoliniowa zorientowana)

Niech F = [P, Q] będzie polem wektorem na łuku zorientowanym � �" R2. Całkę krzywoliniową

zorientowaną z pola wektorowego F po łuku � definiujemy wzorem

n

def
" "
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = lim ( P (x", yk)"xk + Q(x", yk)"yk ) ,
k k
�(P )0
k=1
�
o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje oraz nie zależy od sposobu podziału P
"
przedziału < ą, � > ani od sposobu wyboru zbioru punktów pośrednich (x", yk).
k
Oznaczenia:
Ak - punkty podziału łuku � indukowane przez podział P ; - punkty pośrednie na łuku
rk "
Ak-1Ak; " = [ "xk, "yk ] dla 1 k n.
rk
Powyższą całkę oznaczamy

P dx + Q dy
�
lub

F ć% d ,
r
�
gdzie d = [ dx, dy ].
r

Całkę krzywoliniową z pola wektorowego F = [P, Q, R] po łuku � położonym w przestrzeni
definiujemy analogicznie i oznaczamy symbolem

P dx + Q dy + R dz
�
lub

F ć% d ,
r
�
gdzie d = [ dx, dy, dz ].
r
SNM - Elementy analizy wektorowej - 5
Zamiana całki krzywoliniowej zorientowanej na całkę pojedynczą
" Jeżeli na łuku gładkim � = {(x, y) : y = y(x), x "< a, b >}, którego orientacja jest

zgodna ze wzrostem zmiennej x, pole wektorowe F = [P, Q] jest ciągłe, to
b
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = [P (x, y(x)) + Q(x, y(x))y (x)] dx.
a
�
" Jeżeli na łuku gładkim � = {(x(t), y(t)) : t "< ą, � >}, którego orientacja jest zgodna z

parametryzacją, pole wektorowe F = [P, Q] jest ciągłe, to
�
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = [P (x(t), y(t))x (t) + Q(x(t), y(t))y (t)] dt.
ą
�
" Jeżeli na łuku gładkim � = {(x(t), y(t), z(t)) : t "< ą, � >}, którego orientacja jest

zgodna z parametryzacją, pole wektorowe F = [P, Q, R] jest ciągłe, to

P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz =
�
�
= [P (x(t), y(t), z(t))x (t) + Q(x(t), y(t), z(t))y (t) + R(x(t), y(t), z(t))z (t)]dt.
ą
W formie wektorowej powyższe dwa wzory mają postać:



F ( ) ć% d = [F ( ) ć% (t)] dt .
r r r r
� �
Wyrażenie P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz jest różniczką zupełną funkcji U(x, y, z) w
obszarze D, jeżeli w tym obszarze
Ux(x, y, z) = P (x, y, z), Uy(x, y, z) = Q(x, y, z), Uz(x, y, z) = R(x, y, z).
Równość
Py(x, y, z) = Qx(x, y, z), Qz(x, y, z) = Ry(x, y, z), Rx(x, y, z) = Pz(x, y, z)
jest warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby
I) wyrażenie P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz było różniczką zupełną;

II) całka krzywoliniowa P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz wzdłuż krzywej AB nie

AB
zależała od drogi całkowania, a tylko od położenia punktów A i B.
W tym przypadku

P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = dU(x, y, z) = U(B) - U(A).

AB AB
SNM - Elementy analizy wektorowej - 6
W formie wektorowej powyższe twierdzenie można zapisać następująco

grad U ć% d = U(B) - U(A) .
r

AB
Zastosowania całki krzywoliniowej zorientowanej
" Pole obszaru ograniczonego łukiem zamkniętym kawałkami gładkim.
" Praca w polu wektorowym wykonana wzdłuż łuku zorientowanego.