Zestawy egzaminacyjne z ALGEBRY
Opracował �ł
�ł Andrzej Walendziak
�ł
�ł
Zestaw 1
1. Wykazać, że każda grupa, której rząd jest liczbą pierwszą jest cykliczna.
2. Podać definicję podgrupy i wyznaczyć wszystkie dwuelementowe podgrupy grupy
izometrii własnych kwadratu.
3. Podać definicję homomorfizmu pierścieni i wykazać, że złożenie dwóch homomorfizmów
jest homomorfizmem.
4. Podać definicję ideału pierścienia przemiennego i sprawdzić czy zbiór
A = {(X - 1) f + Y g : f, g " R[X, Y]} jest ideałem w pierścieniu R[X, Y].
5. Sprawdzić, czy pierścień ilorazowy Q[X]/(x2 + 2x + 5) jest ciałem.
6. Rozłożyć wielomian f = x4 + x2 +1 na czynniki możliwie najniższego stopnia w:
a) pierścieniu Z3[X], b) pierścieniu Z5[X].
Zestaw 2
1. Wykazać, że rząd elementu grupy skończonej jest dzielnikiem rzędu grupy.
2. Podać definicję grupy ilorazowej i opisać grupę Z/4Z, gdzie 4Z = {4m : m " Z}.
3. Podać definicję izomorfizmu pierścieni i wykazać, że przekształcenie odwrotne do
izomorfizmu jest izomorfizmem.
4. Podać definicję ideału pierwszego i wyznaczyć wszystkie ideały pierwsze w pierścieniu
Z24.
5. Sprawdzić, czy pierścień ilorazowy Q[X]/(x2 + x) ma dzielniki zera.
6. Rozłożyć wielomian f = x4 + 3x2 +4 na czynniki możliwie najniższego stopnia w:
a) pierścieniu Z5[X], b) pierścieniu Z7[X].
Zestaw 3
1. Niech Ć : G H będzie homomorfizmem grup. Wykazać, że jądro homomorfizmu Ć jest
dzielnikiem normalnym grupy G.
2. Podać definicję rzędu elementu grupy i wyznaczyć rzędy elementów grupy izometrii
własnych kwadratu.
3. Podać definicję ideału maksymalnego i udowodnić, że każdy ideał maksymalny jest
pierwszy.
4. Podać definicję podpierścienia pierścienia z 1 i sprawdzić czy zbiór
A = {X f + (X2 + 1) g : f , g " Z[X]} jest podpierścieniem pierścienia Z[X] (Z - zbiór
liczb całkowitych).
5. Sprawdzić, czy pierścień ilorazowy R[X]/(2x2 + x +1) jest ciałem (R - zbiór liczb
rzeczywistych).
6. Rozłożyć wielomian f = x4 + 4 na czynniki możliwie najniższego stopnia w:
a) pierścieniu Z5[X], b) pierścieniu Z7[X].
1
Zestaw 4
1. Wykazać, że część wspólna dwóch dzielników normalnych danej grupy jest jej
dzielnikiem normalnym.
2. Podać definicję homomorfizmu grup i sprawdzić, czy przekształcenie Ć : (C - {0}, �)
(C - {0}, �) dane wzorem Ć(z) = |z| jest homomorfizmem. Jeśli tak znalez
ć jego jądro.
3. Podać definicję ciała i wykazać, że w ciele nie ma właściwych dzielników zera.
4. Podać definicję ideału maksymalnego i wyznaczyć wszystkie ideały maksymalne w
pierścieniu Z18.
5. Sprawdzić, czy pierścień ilorazowy Z2[X]/(x2 + x +1) ma dzielniki zera.
6. Rozłożyć wielomian f = x4 - 2x2 + 9 na czynniki możliwie najniższego stopnia w:
a) pierścieniu R[X], b) pierścieniu C[X].
Zestaw 5
1a. Udowodnij, że dowolna nieskończona grupa cykliczna jest izomorficzna z
grupą liczb całkowitych Z+.
b. Sprawdz
, czy algebra < Z, ć% >, gdzie a ć% b = a + b - 7 dla a, b " Z przy
czym + oznacza dodawanie liczb całkowitych, jest grupą.
2a. Udowodnij, że iloczyn elementów odwracalnych pierścienia (także nieprzemiennego)
jest elementem odwracalnym.
b. Wyznacz dzielniki zera i elementy odwracalne w pierścieniu Z24/{0, 6, 12, 18}.
Sprawdz
, czy ideał I = {0, 6, 12, 18} jest pierwszy.
3a. Udowodnij, że przeciwobraz homomorficzny dzielnika normalnego grupy jest
dzielnikiem normalnym.
b. Wykaż, że funkcja Ć : Z[ 2 ] Z[ 2 ] określona wzorem Ć (a + b 2 ) =
a - b 2 jest homomorfizmem pierścieni. Sprawdz
, czy jest ona automorfizmem
pierścienia Z[ 2 ].
4a. Wskaż generator ideału I = (2805, 286) w pierścieniu liczb całkowitych Z.
b. Wykaż, że wielomian f = x3 + 7x2 + 14x + 7 jest nierozkładalny w Q[x]. Czy
jest on też nierozkładalny w Z[x] oraz w R[x]?
Zestaw 6
1a. Udowodnij, że grupa, której rząd jest liczbą pierwszą jest grupą cykliczną.
b. Sprawdz
, czy algebra < Z, ć% >, gdzie a ć% b = a + b - 3 dla a, b " Z przy
czym + oznacza dodawanie liczb całkowitych, jest grupą.
2a. Udowodnij, że pierścień P jest dziedziną całkowitości wtedy i tylko wtedy,
gdy {0} jest ideałem pierwszym w P .
b. Wyznacz warstwy ideału I = (x2 + x) w pierścieniu Z3[x] i sprawdz
, czy
pierścień Z3[x]/I jest dziedziną całkowitości.
3a. Udowodnij, że przeciwobraz homomorficzny podpierścienia jest podpierścieniem.
b. Wykaż, że jeśli G jest grupą abelową, to przekształcenie Ć : G G
określone wzorem Ć(a) = a-1 (dla a " G) jest homomorfizmem. Sprawdz
,
czy Ć jest automorfizmem grupy G.
2
4a. Wskaż generator ideału I = (f, g) w pierścieniu Q[x], gdzie
f = x5 + 2x3 + 3x2 + 6 , g = x6 + 2x4 + 2x3 + 4x.
b. Sprawdz
, czy 17 jest elementem rozkładalnym pierścienia Z[i].
Zestaw 7
1a. Udowodnij, że w dowolnej grupie G dla dowolnych a , b " G zachodzi
równość (a b)-1 = b-1 a-1.
b. Sprawdz
, czy algebra < Z, ć% >, gdzie a ć% b = a + b + 5 dla a, b " Z przy
czym + oznacza dodawanie liczb całkowitych, jest grupą .
2a. Udowodnij, że dowolny ideał maksymalny jest pierwszy.
b. Wyznacz wszystkie ideały pierwsze w pierścieniu Z30 i wszystkie dzielniki
zera w pierścieniu Z30/{0, 6, 12, 18, 24}.
3a. Niech Ć : G F będzie homomorfizmem grup. Udowodnij, że jeśli H jest
dzielnikiem normalnym grupy G, to Ć(H) jest dzielnikiem normalnym grupy Ć(G).
b. Wykaż, że przekształcenie Ć : Z[ -5 ] Z[ -5 ] określone wzorem
Ć(a + b -5 ) = a - b -5 jest homomorfizmem pierścieni. Sprawdz
, czy
Ć jest automorfizmem pierścienia Z[ -5 ].
4a. Wskaż generator ideału I = (2145 , 374) w pierścieniu liczb całkowitych Z.
b. Wykaż, że wielomian f = x3 + 25x2 + 5x + 5 jest nierozkładalny w Q[x].
Czy jest on też nierozkładalny w Z[x] oraz w R[x]?
Zestaw 8
1a. Sformułuj i udowodnij twierdzenie Lagrange'a o rzędzie grupy.
b. W zbiorze Q+ liczb wymiernych dodatnich określamy działanie ć% :
1
a ć% b = a b. Sprawdz
, czy algebra jest grupą.
2
2a. Udowodnij, że część wspólna dwóch podciał ciała K jest jego podciałem.
b. Wyznacz warstwy ideału I = (x2 + 2x) w pierścieniu Z3[x] i sprawdz
, czy
pierścień Z3[x]/I jest ciałem.
3a. Udowodnij, że dowolny ideał pierścienia jest jądrem pewnego homomorfizmu.
b. Wykaż, że jeśli jest grupą abelową, to przekształcenie Ć : G G
określone wzorem Ć(a) = a + a (dla a " G) jest homomorfizmem. Sprawdz
,
czy Ć jest automorfizmem grupy G.
4a. Wskaż generator ideału I = (f , g) w pierścieniu Q[x], gdzie
f = x5 + x3 + 3x2 + 3, g = x6 + x4 + 2x3 + 2x .
b. Sprawdz
, czy 13 jest elementem rozkładalnym pierścienia Z[i].
3
Zestaw 9
Część 1 (9 x 3p = 27 p)
1. Dzielnikami normalnymi w grupie Z6 są: ........................................................
2. Niech G będzie grupą niecykliczną rzędu 4. Wówczas G jest izomorficzna z grupą ........
3. Niech P będzie pierścieniem przemiennym z 1 i niech a " P*. Wówczas (a) =
4. Ideałami maksymalnymi w pierścieniu Z10 są: .................................................
5. Zasadnicze twierdzenie arytmetyki brzmi: ....................................
6. Niech K będzie ciałem. CharK = n �! .................................................
Jeśli 6 �" 1 = 0 i 2 �" 1 `" 0, to charK = ..........................
4. Homomorfizm f : R* R* dany jest wzorem f(x) = x2 dla x " R*. Wówczas kerf = .....
5. Spośród grup D7, Z/(6), Q*, S4 grupami cyklicznymi są: ....................
6. W pierścieniu Z[i] elementami stowarzyszonymi z elementem a = 1 - i są: ..................
Część 2 (6 x 6p = 36p)
1. Dana jest grupa (G, �" , 1) i element a " G - {1}. rza = k �! .........................................
Wykaż, że rząd elementu � = (1, 2, 3) grupy permutacji S3 wynosi 3.
2. Wykaż, że funkcja f(x) = x + 2 dla x " R jest dzielnikiem zera w pierścieniu RR.
3. Wyznacz krotność k pierwiastka a = 1 wielomianu f = x3 + x2 + 3 " Z5[X].
4. Sprawdz
, czy przekształcenie g : Q Q � Q dane wzorem g(a) = (a, a3) jest
homomorfizmem pierścieni.
5. Wykaż, że ideał (x2 + 4) jest maksymalny w pierścieniu R[X].
6. Wyznacz (z dokładnością do izomorfizmu) wszystkie grupy abelowe rzędu 120. Ile jest
takich grup?
Część 3 (10 + 12 + 15p)
1. Dany jest homomorfizm f : (A, +, �", 0) (B, +, �", 0). Wykaż, że jeśli C jest
podpierścieniem pierścienia A, to f(C) jest podpierścieniem pierścienia B.
2. Dany jest pierścień P = Z � Z. Sprawdz
, czy I jest ideałem pierścienia P:
a) I = {(5k, 8m) : k, m " Z}, b) I = {(5n, 8n) : n " Z}.
3. Niech G oznacza grupę wszystkich funkcji rzeczywistych ciągłych na przedziale 0;1 i
niech H = {f " G : f(0) = f(1) = 0}. Wykaż, że G/H E" R2.
4
Zestaw 10
Część 1 (9 x 3p = 27 p)
1. Działaniem w grupie macierzy GL(n, R) jest .............................., zaś działaniem w grupie
wzajemnie jednoznacznych przekształceń płaszczyzny jest ................................................
2. Dzielnikami normalnymi w grupie Z10 są: ........................................................
3. Spośród grup Z/(4), S6, R*, Z5, Q+ grupami cyklicznymi są:
4. Niech K będzie ciałem. CharK = 0 �! ..............................................
Jeśli w ciele K 15 �" 1 = 10 �" 1 = 0, to charK = ...................
5. Twierdzenie Gaussa brzmi: ....................................................................
6. W pierścieniu Z5[X] elementami stowarzyszonymi z elementem f = 2x3 + 3 są: .................
7. Spośród pierścieni Q(i), Z[X], C, Q[X] dziedzinami ideałów głównych są: .....................
8. Pierścień P przemienny z 1 jest ciałem �! jedynymi jego ideałami są: ................
9. Elementami odwracalnymi w pierścieniu Z8 są: ......................................
Część 2 (6 x 6p = 36p)
0 1
�ł łł
1. Wyznacz rz w grupie SL(2, Z2) (macierzy o wyznaczniku 1).
�ł1 1śł
�ł �ł
2. Wykaż, że funkcja f(x) = 3x +1 nie jest dzielnikiem zera w pierścieniu P = R(0;1).
1234567 1234567
�ł �ł �ł �ł
3. Niech ą= �ł
�ł2135674�ł, �= �ł �ł
�ł �ł5743216�ł " S7. Wyznacz permutację �ą-1 i przedstaw ją
�ł łł �ł łł
w postaci parami rozłącznych cykli.
4. Wykaż, że ideał (x2  4) nie jest pierwszy w pierścieniu R[X].
5. Sprawdz
, czy przekształcenie f : R R � R dane wzorem f(x) =(x2, x) jest
�
�
�
homomorfizmem pierścieni.
6. Wyznacz krotność k pierwiastka a = 3 wielomianu f = 2x4 + 3x3 +3x + 3 " Z5[X].
Część 3 (10 + 12 + 15p)
1. Dany jest homomorfizm f : (A, +, �", 0) (B, +, �", 0 ). Wykaż, że jeśli C jest
podpierścieniem pierścienia B, to f�!(C) jest podpierścieniem pierścienia A.
2. Dany jest pierścień P = Z � Z. Sprawdz
, czy I jest ideałem pierścienia P:
a) I = {(2k, 9k) : k " Z}, b) I = {(5n, 11t) : n, t " Z}.
3. Niech H={(x, y)"R2 : x=3y}. Udowodnij, że grupy R oraz R2/H są izomorficzne.
5
Zestaw 11
Część 1 (9 x 3p = 27 p)
1. Klasa grup cyklicznych jest zamknięta ze względu na .............................
2. Homomorfizm f : C* C* dany jest wzorem f(z) = ćłzćł. Wówczas kerf = ................
3. Indeks (S7 : A7) = . Stąd wynika, że A7 jest ........................................ grupy S7.
4. Niech K będzie ciałem nieskończonym prostym. Wówczas K E"
5. Elementami odwracalnymi w pierścieniu Z4 � Z3 są: ...................................
6. Pierścień ilorazowy Z3[X]/(2x + 1) ma następujące elementy ................................
7. Spośród ciał R, Q, Q(i), C, Z2 ciałami algebraicznie zamkniętymi są: ...................
8. Twierdzenie Lagrange a dla grup skończonych brzmi: ................................
9. Spośród pierścieni Z[ -5], Z, Q[X], Z[X] pierścieniami z jednoznacznością rozkładu
są: .............
Część 2 (6 x 6p = 36p)
1. Grupę G nazywamy prostą �! ..........................................................................
Wykaż, że S3 nie jest prosta.
2. Udowodnij, że grupy Z6 i D3 oraz R* i Q* nie są izomorficzne.
1
3. W ciele ułamków pierścienia Z7 wskaż elementy ułamka .
3
4. Wykaż, że pierścień Q[X]/(x2  3) jest ciałem.
5. Wielomian f = x3 + 3x + 1 " Z5[X] rozłóż na czynniki nierozkładalne.
6. Element a grupy (G, + , 0) ma rząd k �! ...................................................................
Wyznacz rząd elementu (2, 2) grupy Z4 � Z6.
Część 3 (10 + 12 + 15p)
1. Dany jest homomorfizm f : (A, + , 0) (B, +, 0 ). Wykaż, że jeśli C jest podgrupą grupy
B, to f�!(C) jest podgrupą grupy A.
2. Sprawdz
, czy I jest ideałem pierścienia funkcyjnego P = RR:
a) I = { f"P : f (1)=0}, b) I={ f"P : lim f (x)=0}.
x0-
3. Udowodnij, że pierścienie R[X]/(x2 + x) oraz R � R są izomorficzne.
6
Zestaw 12
Część 1 (9 x 3p = 27 p)
1. Twierdzenie Cayley a o reprezentacji dla grup brzmi: .............................
2. Homomorfizm f : Q* Q* dany jest wzorem f(x) = x4. Wówczas kerf = ........................
3. Spośród elementów (5, 1), (1, 5), (2, -1), (0, 1) pierścienia R � Z odwracalnymi są: ........
4. Ideał I pierścienia Z jest maksymalny �! (tw) ...................................
5. Indeks (S6 : A6) = . Stąd wynika, że A6 jest ........................................ grupy S6.
6. Dzielnikami zera w pierścieniu Z6 są: ...............................................
7. Pierścień ilorazowy Z3[X]/(x + 2) ma następujące elementy ..............................
8. Spośród pierścieni Z[i], R[X], Q, Z[X] dziedzinami ideałów głównych są:
9. W pierścieniu Z[i] elementami stowarzyszonymi z elementem a = 5 + i są: ....................
Część 2 (6 x 6p = 36p)
1. Udowodnij, że grupy D4 i Z8 oraz Z2 � Z2 i Z4 nie są izomorficzne.
2. Wykaż, że pierścień R[X]/(x2  4) nie jest ciałem.
2
3. W ciele ułamków pierścienia Z7 wskaż elementy ułamka .
5
4. Podgrupa H jest dzielnikiem normalnym grupy (G, �" , 1) �! .......................
Wykaż, że H = {id, (1, 2)} nie jest dzielnikiem normalnym grupy S3.
5. Wielomian f = x3 + 3x2 + 1 " Z5[X] rozłóż na czynniki nierozkładalne.
6. Niech f, g " P[X]. Wielomiany f i g są równe funkcyjnie �! ....................................
Sprawdz
, czy wielomiany f = x3 + 2x2 , g = 2x4 + x " Z3[X] są równe funkcyjnie.
Część 3 (10 + 12 + 15p)
1. Dane są pierścienie (A, + , �" , 0), (B, + , �" , 0), (C, + , �" , 0) oraz homomorfizmy f : A B i
g : B C. Wykaż, że złożenie g ć% f jest homomorfizmem pierścienia A w C.
2. Sprawdz
, czy I jest ideałem pierścienia funkcyjnego P = RR:
a) I={ f"P : lim f (x)=0}, b) I = { f"P : f (2)=0}.
x1+
3. Udowodnij, że grupy Q oraz Q2/{(x, 4x) : x " Q} są izomorficzne.
7
Zestaw 13 �ł
�ł test A
�ł
�ł
1. W grupie macierzy GL(n, K) działaniem jest , zaś
elementem wyróżnionym jest
2. Spośród grup S5, Z/(n), Z, R* grupami cyklicznymi są:
3. Niech G będzie grupą nieabelową rzędu 6. Wówczas G E"
4. Dana jest grupa liczb całkowitych Z i podzbiór A ą" Z. A jest podgrupą w Z �! (tw)
5. Warunkami wystarczającymi na to, aby grupa abelowa (G, �" , 1) była iloczynem
prostym swoich podgrup A i B są: 1) i 2)
6. Dany jest homomorfizm f: C* C*, f(z) = ćłzćł. Wówczas kerf =
7. Mamy pary grup: S3 i D3, Z15 i Z3 � Z5, R* i Q*. Wymień te z nich, które są
izomorficzne. Odp.:
8. Grupa An składa się z wszystkich należących do
grupy G = . An jest w G.
9. Dzielnikami zera pierścienia Z6 są:
10. Niech (P, + , �" , 0 , 1) będzie pierścieniem, A ą" P. A jest podpierścieniem
pierścienia P �! (df) 1) , 2) , 3)
11. W ciele K zachodzą równości 35 �" 1 = 0 i 21 �" 1 = 0. Zatem charK =
12. Ciałem prostym nazywamy
13. Ideał I pierścienia Z jest maksymalny �! (tw)
14. Tradycyjną postacią wielomianu f = (7, 2, 0, -1, 0, 2, 0, 0, ...) jest f =
15. Pierścień ilorazowy Z5/[X]/(X2) ma elementów.
16. Element p pierścienia P nazywamy pierwszym �! (df)
17. Spośród pierścieni Z[ -5], Z, Q[X], Z[X] pierścieniami z jednoznacznością
rozkładu są:
18. Sformułuj zasadnicze twierdzenie arytmetyki.
19. K jest ciałem algebraicznie zamkniętym �! (df)
20. Uzasadnij, że wielomian f = x3  2x2 + x + 3 jest rozkładalny w R[X].
Zestaw 14 �ł
�ł test B
�ł
�ł
1. Działaniem w grupie permutacji jest , zaś elementem wyróżnionym jest
2. Grupami abelowymi spośród GL(n, K), Q/Z, S7, Z5 są:
8
3. Niech G będzie grupą niecykliczną rzędu 4. Wówczas G jest izomorficzna z grupą
4. Indeks (S7 : A7) = . Stąd wynika, że A7 jest grupy S7.
5. Klasa grup cyklicznych jest zamknięta ze względu na
6. Homomorfizm f : R* R* , f(x) = x2. Wówczas kerf =
7. Grupa A5 jest prosta, ponieważ
8. Spośród par grup: (R, + 0) i (Q, + , 0), Z/(n) i Zn, Z21 i Z3 � Z7 wyznacz te, które są
izomorficzne. Odp.
9. Spośród elementów (5, 1), (1, 5), (2, -1), (0, 1) pierścienia R� Z odwracalnymi są:
10. Niech L będzie ciałem, K ą" L. K nazywamy podciałem ciała L �! 1) ,
2) , 3)
11. Spośród ciał C, R, Q, Q(i), Zp (p  liczba pierwsza) ciałami prostymi są:
12. Sprawdz
, czy wielomiany f = x3 + 2x2 i g = 2x4 + x z pierścienia Z3[X] są równe
funkcyjnie.
13. Ideałami w ciele K są:
14. Ideał I pierścienia Z jest pierwszy �! (tw)
15. Warstwami pierścienia Z2[X] względem ideału I = (X2 + 1) są
16. Element a pierścienia P nazywamy rozkładalnym �! (df)
17. Spośród pierścieni Z, R[X], Z[X], Q dziedzinami ideałów głównych są:
18. Spośród ciał R, Q, C, Z2 ciałami algebraicznie zamkniętymi są:
19. Sformułuj twierdzenie Bezout a.
20. Uzasadnij, że wielomian X3  3X2  6X + 3 jest nierozkładalny w Q[X].
Zestaw 15 �ł
�ł test C
�ł
�ł
1. W grupie dihedralnej Dn działaniem jest
2. Spośród grup S7, D5, Z, R* grupami cyklicznymi są:
3. An = {� " Sn :
4. Niech G będzie grupą abelową rzędu 5. Wówczas G E"
5. Indeks (Z6 : {0, 3}) =
6. Dany jest homomorfizm f: GL(n, R) R*, f(A) = detA. Wówczas kerf =
9
7. Mamy pary grup: S4 i D4, Z6 i Z2 � Z3, R* i Q*. Wymień te z nich, które są
izomorficzne. Odp.:
8. Element b " P nazywamy dzielnikiem zera pierścienia P �!
9. Elementami odwracalnymi w pierścieniu Z8 są:
10. Niech f = (f0, f1, ...) " P[X], g = (g0, g1, ...) " P[X]. Wtedy f + g =
11. Spośród pierścieni Z[i], Q[X]/(X2 - 2), Q(i), Z6 ciałami są:
12. Niech K będzie ciałem, " `" I ą" K[X]. I jest ideałem �! istnieje taki wielomian g
"K[X], że I =
13. Warstwami ideału I = (5) pierścienia Z są:
14. Spośród pierścieni Z, Z[X], Q[X], R dziedzinami ideałów głównych są:
15. Pierścień P jest dziedziną całkowitości �! jego ideał zerowy jest
16. Spośród elementów f1 = X + 1, f2 = X2 + X, f3 = X4 + 1, f4 = X2 + X +1 elementami
nierozkładalnymi w C[X] są:
Zestaw 16 �ł
�ł test D
�ł
�ł
1. Działaniem w grupie Zn.jest...................................
2. GL(n, K) = {A " Mn(K) :
3. Indeks (Z8 : {0, 4}) =
4. Spośród grup D5, S7, R*, SL(n, K) grupami abelowymi są:
5. Niech G będzie grupą niecykliczną rzędu 4. Wówczas G E"
6. Dany jest homomorfizm f: C* C*, f(z) = ćłzćł. Wówczas kerf =
7. Mamy pary grup: S3 i D3, Z9 i Z3 � Z3, R* i Q*. Wymień te z nich, które są
izomorficzne. Odp.:
8. Element b " P nazywamy odwracalnym w pierścieniu P �!
9. Właściwymi dzielnikami zera w pierścieniu Z8 są:
10. Pierścień Zn jest ciałem �! n jest
11. Niech K będzie ciałem. Char(K) = 0 �!
12. A ą" Z jest ideałem pierścienia Z �! (" m " Z) A = {
13. Wypisać warstwy ideału I = (X2 + 1) pierścienia Z2[X].
10
14. Pierścień P jest ciałem �! jego ideał zerowy jest
15. Spośród elementów f1 = X + 1, f2 = X2 + X, f3 = X4 + 1, f4 = X2 + X +1 elementami
nierozkładalnymi w R[X] są:
16. Spośród pierścieni Q( 2), Q[X]/(X2 - 1), R[X], Z7 ciałami są:
Zestaw 17 �ł
�ł test E
�ł
�ł
1. W grupie GL(n, K) działaniem jest
2. Indeks (S5 : A5) =
3. SL(n, K) = {A " GL(n, K) :
4. Spośród grup D7, S5, Z4, Q* grupami cyklicznymi są:
5. Dany jest homomorfizm f : R* R* , f(x) = x2. Wówczas kerf =
6. Niech G będzie grupą nieabelową rzędu 6. Wówczas G E"
7. Mamy pary grup:Z12 i Z4 � Z3, R* i C*, S5 i D5. Wymień te z nich, które są
izomorficzne. Odp.:
8. Elementami odwracalnymi w pierścieniu Z5 są:
9. Niezerowy pierścień przemienny P z 1 jest ciałem �!
10. Niech K będzie nieskończonym ciałem prostym. Wówczas K E"
11. Funkcją wielomianową wyznaczoną przez wielomian g " P[X] nazywamy funkcję
�g : P P daną dla a " P wzorem
12. Warstwami ideału I = (X + 1) pierścienia Z3[X] są:
13. Spośród ciał R, Q, C, Z2 ciałami algebraicznie zamkniętymi są:
14. Niech (P, + , �" , 0 , 1) będzie pierścieniem, A ą" P oraz 1 " A. A jest
podpierścieniem pierścienia P �! (df) 1) ("a, b " A) a �" b " A, 2)
15. Charakterystyką ciała liczb zespolonych jest
16. Spośród pierścieni Q[X]/(X2 + X), C[X], Q( 3), Z8 ciałami są:
11