ZESTAWY EGZAMINY


1
ZARZDZANIE, EKONOMIA  STUDIA STACJONARNE
Zestaw 1 (zarządzanie, ekonomia, studia stacjonarne, 28.06.2010)
1. Wyznacz macierz jeżeli (2 - ) = . gdzie = 0 -2 , = -4 2 .
6 -4 -6 4
-3 + 2 + - 3 = 7
5 + 4 + - 2 = 3
2. Rozwiązać układ równań metodą eliminacji Gaussa: - 6 - 3 + 8 = -1
2 + 5 + 2 - 5 = 2
3. Zbadać liniową niezależność układu wektorów: = (-2,0,3, -4), = (3, -1, -2,6), = (0, -2,5,0).
( )
4. Wyznaczyć przedziały wklęsłości funkcji = (1 - 2 ) .

5. Obliczyć a) , b) .
+" +"
"

6. Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji ( ) = - 2 - 2 i ( ) = + - 2.

( )
7. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji , = - + 4 - 2 + .
Odpowiedzi:

Ad 1. = (2 - ( ) ) , = - 4 -2 , = -13 12 .

6 -4 -10 -7
Ad 2. Przykładowe rozwiązanie: = 8, = -69 - 21 , = -20 - 8 , .
Ad 3. Wektory zależne, na przykład: = 3 + 2 .

( ) ( )
Ad 4. = , = -4 , = (-8 - 4) . Funkcja jest wklęsła na przedziale (- , ").




Ad 5. a) = - = 1 - . b) = = 2 + 1 = = "2 + 1 + .
+" +" +"
"
= 6

( ( ) )
Ad 6. Pole szukanego obszaru wynosi = - ( ) = .
+"


( ) ( )
Ad 7. , = -2 + 2 , , = -3 + 8 - 2 . Punkty stacjonarne: = (0,0), = (2,2).
2 -2
= -2 -6 + 8 . Minimum w punkcie = (0,0) i brak ekstremum w punkcie = (2,2).
Zestaw 2 (zarządzanie, ekonomia, studia stacjonarne)
3x - 2y + z - 4t = 7

4x - 3y + 2y + 3t = 2

1. Rozwiązać układ równań metodą eliminacji Gaussa:

-5x + 3y - z +15t = -19
x - y + z + 7t = -5

2. Zbadać liniową niezależność układu wektorów x = (2,1,0,3) , y = (4, -1,0,2) , z = (0, -3,0,-4) .
2x - 3y + z = 5

4x + 3y - z = 7
3. Stosując wzory Cramera wyznaczyć z układu równań:

3x - 2z = 4

3x2 - 4x +1
4. Wyznaczyć asymptotę ukośną prawostronną funkcji f (x) = .
x + 4
5. Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji f (x) = x4 - 2x2 .
2
ln x 4
4
6. Obliczyć całki nieoznaczone: a) dx b) - cos x + )dx .
(3x
x3 x
7. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych f (x, y) = 3x2 y + 6xy + y3 .
Odpowiedzi:
Ad 1.
3 -2 1 -4 7 -1 0 1 18 -17
ć ć I + 2II ć
II - 2I
3 -2 1 -4 7

III + I
4 -3 2 3 2 -2 1 0 11 -12 -2 1 0 11 -12


III - II
-5 3 -1 15 -19 -2 1 0 11 -12 0 0 0 0 0


IV - I IV - II
1 -1 1 7 -5 -2 1 0 11 -12 0 0 0 0 0
Ł ł Ł ł Ł ł
-x + z +18t = -17

, y = -12 + 2x -11t , z = -17 + x -18t , x R , t R .

-2x + y +11t = -12

Ad 2. Wektory x , y , z są liniowo zależne. Ad 3. det(A) = det(A ) = -36 , z = 1.
z
( ) ( ) ( )
Ad 4. y = 3x -16 . Ad 5. = 4 - 4 = 4 - 1 = 4 - 1 ( + 1).
Funkcja f (x) jest rosnąca na przedziałach (-1,0) i (1, "), malejąca na przedziałach (-", -1) i (0,1);
osiąga lokalne minima w punktach = -1 i = 1 oraz lokalne maksimum w punkcie = 0.
Ad 6. a) Wyznaczamy całkę stosując wzór na całkowanie przez części.
1

I
f (x) = x-3 f (x) = - x-2 ł
ę ś
ln x 1 1 1
2
dx = x-3 ln xdx = = - x-2 ln x - x-2) dx =
ę ś
(-
x3 1 2 2 x
ę ś
g(x) = ln x gI (x) =
ę ś
x
1 1 1 1 4 3
4
= - x-2 ln x + x-3dx = - x-2 ln x - x-2 + C . b) - cos x + )dx = x5 + sin x + 4ln x + C .
(3x
2 2 2 4 x 5
6xy + 6y = 0

Ad 7. , = (0,0), = (-2,0). = (-1,1), = (-1, -1),

2
=
3x + 6x + 3y2 0
0 6
6 6 + 6 ć
II II
( )
, = 6 + 6 6 , f (M1) = , det f (M1) = -36 , w punkcie M1 nie ma ekstremum

6 0
Ł ł
0 -6
ć
II II
f (M2) = , det f (M ) = -36 więc w punkcie M2 nie ma ekstremum
2
-6 0
Ł ł
6 0
ć
II II II
f (M3) = , det f (M3) = 36 > 0 i fxx (M3) = 6 > 0 więc mamy lokalne minimum

0 6
Ł ł
-6 0
ć
II II II
f (M4) = , det f (M ) = 36 > 0 i fxx (M4) = -6 < 0 więc mamy lokalne maksimum.
4
0 -6
Ł ł
Zestaw 3 (zarządzanie, ekonomia, studia stacjonarne)
7x + y - z + t = -5

3x + 2y - 3y + 4z = 2

1. Rozwiązać układ równań metodą eliminacji Gaussa:
15x - y + 3z - 5 = -19

-4x + y - 2z + 3t = 7

3
4x - 2y + z = 0

5x - y + 3z = 3
2. Stosując wzory Cramera wyznaczyć z układu równań:

2x + y + 5z = 4

x2 - 6x + 5
3.Wyznaczyć asymptoty pionowe funkcji f (x) = .
x2 - 4x + 3
4.Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji f (x) = x5 + 2x3 - 3.
5. Wyznaczyć przedziały wypukłości, wklęsłości i punkty przegięcia funkcji f (x) = x5 + 2x3 - 3.
2
6. Obliczyć całki nieoznaczone a) x7 ln xdx , b) + 5)3 x2dx .
(3x
7. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 3xy2 + 6xy + x3 .
Odpowiedzi:
Ad 1 Przykładowe rozwiązanie: y = -17 -18x + t , z = -12 -11x + 2t , x R , t R .
4 -2 1 4 0 1
ć ć

Ad 2. A = 5 -1 3 , det(A) =13 Ay = 5 3 3 det(A ) = 26 , y = 2 .
y


2 1 5 2 4 5
Ł ł Ł ł
Ad 3. Funkcja f (x) posiada jedną asymptotę pionową (dwustronną) o równaniu x = 3.
I
Ad 4. f (x) = 5x4 + 6x2 . Funkcja jest rosnąca na przedziale (-Ą,Ą) i nie osiąga ekstremów lokalnych.
I I
Ad 5. f (x) = 5x4 + 6x2 , f (x) = 20x3 +12x = 4x(5x2 + 3) . Funkcja jest wklęsła na przedziale (-Ą,0) wypu-
kła na przedziale (0,Ą) , x = 0 jest punktem przegięcia jej wykresu.
1 1 1
2
Ad 6. a) x7 ln xdx = x8(ln x - ) + C , b) + 5)3 x2dx = (3x2 + 5)4 + C .
(3x
8 8 36
Ad 7. fxI (x, y) = 3y2 + 6 y + 3x2 , fyI (x, y) = 6xy + 6x . Punkty stacjonarne: M1 = (0,0) , M2 = (0, -2) ,
6x 6y + 6
ć
II
M3 = (-1,1) , M4 = (-1,-1) . f (x, y) = . Funkcja f (x, y) osiąga maksimum w punkcie
6y + 6 6x
Ł ł
M3 = (-1,1) , minimum w punkcie M4 = (-1,-1) oraz nie osiąga ekstremów w punktach M1 i M2 ,
Zestaw 4 (zarządzanie, ekonomia, studia stacjonarne)
6 + + 3 + 3 = 6

2 + 2 - 4 + 7 = 9
1. Rozwiązać układ równań metodą eliminacji Gaussa:
2 - 3 + 11 - 11 = -12
1 1 -1
2. Dana jest macierz = . Wykonać działanie ( + 2 ).
2 1 0
2 1 -2

3. Dany jest ciąg = . Wyznaczyć trzeci wyraz ciągu, zbadać monotoniczność oraz obliczyć granicę


( )
4. Dana jest funkcja = . Sprawdzić czy punkt = 1 należy do przedziału, w którym funkcja ( )

jest rosnąca czy malejąca. Podać precyzyjne uzasadnienie.
( ) ( )
5. Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji = - 4 i = 5.

6. Obliczyć całki nieoznaczone a) " + 3 , b) (3 - + ) .
+" +"

4
Ą
3
7. Obliczyć całkę niewłaściwą dx .

x
2
Odpowiedzi:
Ad 1. Przykładowe rozwiązanie: = 15 - 36 - 33 , = -3 + 10 + 10 , , .
3 2 2
( )
Ad 2. + 2 = + 2 = .
8 7 -4
0 2 5

Ad 3. Trzeci wyraz ciągu wynosi = , jest to ciąg rosnący o granicy równej 2.


( ) ( )
Ad 4. = 2 , 1 = -6, punkt = 1 należy do przedziału, w którym funkcja jest malejąca.
( )

( ) ( )
Ad 5. ole obszaru zawartego między wykresami tych funkcji wynosi = - = 36.
+"


| |
Ad 6. a) " + 3 = ( + 3) + ; b) (3 - + ) = - + 5 + .
+" +"

Ą T
3 3
6 łT
Ad 7. dx = lim dx = lim x = lim(6 T - 6 2) = Ą .


T Ą T Ą T Ą
2
x x
2 2
Zestaw 5 (zarządzanie, ekonomia, studia stacjonarne)
3 + - 2 + 3 = 2
4 + 2 - 3 + 7 = 3

1. Rozwiązać układ równań metodą eliminacji Gaussa:
2 + 2 - 2 + 8 = 2
7 + 3 - 5 + 10 = 5
3 +2 - = 3
+ 3 - = 1
2. Stosując wzory Cramera wyznaczyć z układu równań: 3 + - = 6

2 + 3 = 2
3 -2 1 4 = 0 3 .
3. Rozwiązać równanie macierzowe
-6 5 2 9 -1 1
4. Wyznaczyć przedziały, na których funkcja f (x) = 2x3 - 3x2 - 36x + 4 jest:
a) Rosnąca, b) Wypukła; c) Rosnąca i wypukła jednocześnie.
5. Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = (x2 - 3) x w punkcie x0 = 1.
( )
6. Wyznaczyć całki nieoznaczone a) 3 - 4 + - , b) cos 3 - 2 .
+" " +"

( )
7. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji , = + + 4 .
Odpowiedzi:
Ad 1. Przykładowe rozwiązanie: = - 5 , = -1 + 2 - , , .
3 2 0 -1 3 2 3 -1
ć ć
1 3 0 -1
1 3 1 -1

( ) ( )
Ad 2. A = det = 23, A3 = det = 69, = 3.

3 0 1 -1 3 0 6 -1

2 0 0 3 2 0 2 3
Ł ł Ł ł
9 -4 , = -64 31 .

Ad 3. = . = 5 2 , =

6 3 -2 1 -69 33
5
( )
Ad 4. ( ) = 6( - 6 - 6) = 6 - 3 ( + 2). ( ) = 12 - 6, ( ) jest rosnąca na przedziałach
(-", -2 i 3, " , wypukła na przedziale , " , rosnąca i wypukła jednocześnie na przedziale 3, " .
) ( ) ( )


( ) ( ) ( )
Ad 5. 1 = -2, = 2 + ( - 3) , 1 = 1, styczna: = - 3.
"

"



| | ( )
Ad 6. a) - + 2 - + , b) sin 3 - 2 + .


( ) ( )
Ad 7. , = 3 + 2 + 4 , , = + 4 . Punkty stacjonarne: = (0,0),
( )
= (-4,12). , = 6 + 2 2 + 4 . Funkcja ( , ) nie osiąga ekstremów lokalnych.
2 + 4 0
ZARZDZANIE, EKONOMIA  STUDIA NIESTACJONARNE
Zestaw 6 (zarządzanie, ekonomia, studia niestacjonarne, 19.01.2011)
3x - 4y + z - 2t = 5


-3x + 2z - 3t = 2
1. Rozwiązać układ równań liniowych metodą eliminacji Gaussa:

-4y + 3z - 5t = 7
3x - 8y + 4z - 7t =12

2x + 3z = 3


2. Stosując wzory Cramera obliczyć niewiadomą y z układu równań + 2y + z = 7
-3x
x + y - 3z = 0

0 -1
ć
1 a 0 4 7a -1
ć ć
3. Wyznaczyć wszystkie wartości a dla których zachodzi równość
2 7 =
a 1 a 1 7
Ł ł a 1 Ł ł
Ł ł
x -x2 + 2x +1
4. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x) = . 5. Obliczyć granicę funkcji lim .
x3
x2 - x + 4 x2 - 2x - 3
1
6. Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = w punkcie x0 = 3.
x2 - 8
7. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = x4 -8x2 y +17y2 - 2y +1.
Odpowiedzi:
3 -4 1 -2 5
ć ć -15 12 1 0 -11
3 -4 1 -2 5 II -2 I I +2 II ć
III -3I III -II


IV -4 I
-9 8 0 1 -8
-3 0 2 -3 2 -9 8 0 1 -8 IV -II



Ad 1.


0 0 0 0 0
0 -4 3 -5 7 -9 8 0 1 -8



0 0 0 0 0
3 -8 4 -7 12 -9 8 0 1 -8 Ł
ł
Ł ł Ł ł
-15x +12y + z = -11

, z =15x -12y -11, t = 9x -8y -8 , x R , y R .


-9x + 8y + t = -8
2 0 3 2 0
Ad 2. det(A) = -3 2 1 -3 2 = (-12 - 8 + 0) - (6 + 2 + 0) = -21- 8 = -29 ,
1 1 -3 1 1
6
2 3 3 2 3
det(A )
-87
y
det(Ay) = -3 7 1 -3 7 = (-42 + 3+ 0) - (21+ 0 + 27) = -39 - 48 = -87 , y = = = 3.
det(A) -29
1 0 -3 1 0
Ad 3. Mnożąc macierze po lewej stronie równania macierzowego otrzymujemy:
0 -1
ć
1 a 0 2a 7a -1
ć ć
. Przyrównując wynik do prawej strony równania macierzowego ma-
2 7 =
a 1 a a2 + 2 7
Ł ł a 1 Ł ł
Ł ł
2a 7a -1 2a 7a -1
ć ć
my: = . Otrzymujemy równanie a2 + 2 =1 (wszystkie pozostałe elementy oby-

a2 + 2 7 1 7
Ł ł Ł ł
dwu macierzy są równe), które jest sprzeczne. Zatem nie istnieje parametr a dla którego zachodzi równość.
(x)I (x2 - x + 4) - x(x2 - x + 4)I x2 - x + 4 - 2x2 + x 4 - x2
I
Ad 4. Df = R , f (x) = = = .
(x2 - x + 4)2 (x2 - x + 4)2 (x2 - x + 4)2
Funkcja f (x) osiąga lokalne minimum w punkcie x = -2 i lokalne maksimum w punkcie x = 2 .
I
wyrażenie
-x2 + 2x +1
( )
-x2 + 2x +1 -2x + 2x ln 2 -6 + 8ln 2 -3 + 4ln 2
Ad 5. lim = nieoznaczone = lim = lim = = .
I
x3 x3 x3
x2 - 2x - 3 2x - 2 4 2
x2 - 2x - 3
( )
0
typu
0
I
I
I
1 x2 - 8 -1 x2 -8
( )
( ) ( )
1 -2x
ć
I I I
Ad 6. f (x0) = f (3) = 1. f (x) = = = , f (x0) = f (3) = -6 .
2 2
x2 - 8
Ł ł
x2 -8 x2 - 8
( ) ( )
Równanie stycznej: y = -6x +19 .
3
fxI (x, y) = 0
4x -16xy = 0 1
Ad 7. , , M1 = (0, ) , M2 = (-2,1) , M3 = (2,1) .

2
17
fyI (x, y) = 0


-8x + 34y - 2 = 0

f (x, y) osiąga minimum w punktach M2 = (-2,1) , M3 = (2,1) i nie osiąga ekstremum w punkcie M1 .
Zestaw 7 (zarządzanie, ekonomia, studia niestacjonarne)
3x + y - z + t = 5

7x + 2y - 3z + 4t = 2

1. Rozwiązać układ równań metodą eliminacji Gaussa:
10x + 3y - 4z + 5t = 7

4x + y - 2z + 3t = -3

3 1 0 -2 2 0
ć ć ć
2. Rozwiązać równanie macierzowe A(X - B) = C , gdzie A = , B =
C =
0 1 .
4 2 3 1
Ł ł Ł ł Ł ł
7 x
3x - 5 x3 - x2 - 4
ć
3. Obliczyć granice funkcji: a) lim b) lim .

xĄ x2
3x 3x - x3 -1
Ł ł
4. Dla jakich wartości parametru punkt = 3 jest punktem przegięcia funkcji f (x) = x4 + ax3 - 3x2 ?
5. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x) = x2 ln x . 6. Obliczyć całkę nieoznaczone xe3x+1dx .

7. Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji f (x) = x2 - 2x +1 i g(x) =1 .
7
Odpowiedzi:
3 1 -1 1 5
ć II - 2I ć
3 1 -1 1 5

III - 3I I - 3II 0 1 2 -5 29
7 2 -3 4 2 1 0 -1 2 -8 ć

Ad 1. .

10 3 -4 5 7
1 0 -1 2 -8
1 0 -1 2 -8 Ł
ł


IV - I
4 1 -2 3 -3 1 0 -1 2 -8
Ł ł Ł ł

y + 2z - 5t = 29

, x = -8 + z - 2t , y = 29 - 2z + 5t , z R , t R .

x - z + 2t = -8

Ad 2. Macierz A jest nieosobliwa (ponieważ det(A) = 2 ą 0 ) więc możemy przekształcić równanie wykorzy-
stując macierz odwrotną do A : A(X - B) = C X - B = A-1C X = A-1C + B .
2 -1
1 ć 2 -1 2 0 0 -2 4 -1 0 -2 4 -5
1 ć ć ć 1 ć ć 1 ć
A-1 = i X = A-1C + B = + = + =

.
2 -4 3 2 -4 3 0 1 3 1 2 -8 3 3 1 2 -2 5
Ł ł Ł łŁ ł Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł
7 x
5
ć
7 x 7 x
- 35
-
3x - 5 3x -5
ć ć
3
3
Ad 3. a) lim = lim - = lim = e .
1+

xĄ xĄ xĄ
3x 3x 3x x
Ł ł Ł ł

Ł ł
ł
ęwyrażenie ś
I
x3 - x2 - 4
x3 - x2 - 4 ę ś ( )
3x2 - 2x 8
b) lim = = lim = lim = .
ęnieoznaczoneś I
x2 x2 x2
3x - x3 -1 3x ln 3 - 3x2 9ln 3-12
3x - x3 -1
( )
ę ś
0
ę ś
0
Ad 4. Druga pochodna funkcji f (x) musi zmieniać znak w punkcie x = 3.
I I
I II
f (x) = x4 + ax3 - 3x2 = 4x3 + 3ax2 - 6x , f (x) = 4x3 + 3ax2 - 6x = 12x2 + 6ax - 6.
( ) ( )
Druga pochodna jest funkcją kwadratową więc zmieni znak w punkcie x = 3 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 3
II
będzie jednym z jej dwóch pierwiastków. Muszą więc być spełnione dwa warunki: f (1) = 0 i wyróżnik
funkcji kwadratowej y = 12x2 + 6ax - 6 musi być dodatni.
17 17
II II
f (3) = 0 108 +18a - 6 = 0 18a = -102 a = - . Dla a = - mamy f (x) = 12x2 - 34x - 6 i
3 3
17
D > 0 . Zatem dla a = - punkt x = 3 jest punktem przegięcia wykresu funkcji f (x) .
3
I I
I 1
I
Ad 5. Df = (0,Ą) , f (x) = x2 ln x = x2 ln x + x2 ln x = 2x ln x + x2 = 2x ln x + x = x(2ln x +1) .
( )
( ) ( )
x
1
-
I
2
f (x) = 0 x(2ln x +1) = 0 (x = 0 2ln x +1 = 0) (x = 0 x = e ) . Punkt x = 0 nie należy do dziedzi-
1
-
2
ny funkcji f (x) . Funkcja f (x) osiąga w punkcie x = e lokalne minimum.
Ad 6. Wykorzystamy wzór na całkowanie przez części
1

I
f (x) = e3x+1 f (x) = e3x+1ł 1
1 1 1
ę ś
xe3x+1dx = 3 = e3x+1x - e3x+1 1dx = e3x+1x - e3x+1 + C .

ę ś
3 3 3 9
I
ę ś
g(x) = x g (x) = 1
2 2
2
1 8 4

2
Ad 7. P = f (x) - g(x) dx = - 2x)dx = x3 - x2 ł = ( - 4) - 0 = .
]
[ (x ę3 ś
0 3 3

0 0
8
Zestaw 8 (zarządzanie, ekonomia, studia niestacjonarne)
3 + - - = -3
4 + 2 - - 2 = 0

1. Rozwiązać układ równań metodą eliminacji Gaussa:
+ - = 3
7 + 3 - 2 - 2 = -4
- + 4 = 12

2
2. Rozwiązać układ równań metodą macierzy odwrotnej: - + = 2
- + 3 + 2 = 9
3 -5 , = 3 1 .
3. Obliczyć ( ) ( ) , gdzie =
-2 4 2 2
( )
4. Wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości wykresu funkcji = - 8 + 22 - 24 .


5. Obliczyć całki nieoznaczone a) , b) (3 - ) .
+" +"
( )
x2
6. Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji f (x) = .
x2 - x + 2
( )
7. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji , = - 2 + 5 .
Odpowiedzi:
Ad 1. = 2 + 2 , = 6 + 2 , = -1, .
-1 0 4 -5 12 4

, = -5 2 9
, = 0, = 1, = 3.
Ad 2. = -1 1
2

-1 3 2 5 3 1
Ad 3. ( ) ( ) = ( ) = = 3 2 .
1 2
( ) ( )
Ad 4. = 4 - 24 + 44 - 24, = 12 - 48 + 44. Funkcja ( ) jest wypukła na prze-

" "
działach (-", ) i ( " , "), wklęsła na przedziale ( " , ).



| |
Ad 5.a) = + 6 + , b) (3 - ) = - " + .
+" +"
( )
-x2 + 4x
I
Ad 6. Dziedziną funkcji f (x) jest zbiór liczb rzeczywistych. f (x) = . Funkcja f (x) jest male-
2
x2 - x + 2
( )
jąca na przedziałach (-Ą,0) i (4,Ą) oraz rosnąca na przedziale (0, 4) .


( ) ( )
Ad 7. , = 3 - 2 , , = - 4 + 5. Punkty stacjonarne: = (- 5, 0), = (1, ).
"

6 3 - 4
( )
, = . Funkcja ( , ) nie osiąga ekstremów lokalnych.
3 - 4 -4
Zestaw 9 (zarządzanie, ekonomia, studia niestacjonarne, Opole 17.07.2010 A)
"
1.a) Obliczyć (3 - 10) .

b) Zapisać w postaci skróconej (z użyciem symbolu Ł) sumę: 8+15+22+& +78.
c) Niech oznacza liczbę studentów -go roku Ekonomii studiów niestacjonarnych pierwszego stopnia w
WSB w Opolu (rozważamy wyłącznie studentów pierwszego stopnia, czyli studentów pierwszego, drugiego i
trzeciego roku). Zapisz symbolicznie (z użyciem symbolu Ł) liczbę wszystkich studentów studiujących w
WSB w Opolu Ekonomię na studiach niestacjonarnych pierwszego stopnia.
1 -1 0 1 0 2
= .
2. Rozwiązać równanie macierzowe: -2 1 3 1 1
3
2 1 4 0 2 0
9
+ + - = 1

+ 3 - 3 = 1
3. Rozwiązać układ równań metodą eliminacji Gaussa:
2 + - + = 1
+ 2 - = -1

3 + + = 2
4. Stosując wzory Cramera wyznaczyć z układu równań:
- 5 = 0

( )
5. Wyznaczyć przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji = .

( )
6. Wyznaczyć przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji = - 5 + 3 - 7.


7. Obliczyć całki nieoznaczone: a) ( 2 - + ) , b) cos (2 - 3) , c) .
+" " +" +"

( )
8. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji , = + + 6 .
Odpowiedzi:
" (-7 +
) (-4 +
) (-1 + 2 + 5 + 8 = 159.
)
Ad1. a) (3 - 10) =

" "
b) 8+15+22+& +78= (7 + 1). c) .

1 -1 0 1 0 2
( )
, = . Wówczas = ł' = . det = 1.
Ad 2. Niech = -2 1 3 1 1
3
2 1 4 0 2 0
-9 4 -1 1 0 2 -9 4 -1 5 -2 1
. = -10 4 -1
= -30 13 -3
.
= -10 4 -1 3 1 1
7 -3 1 0 2 0 7 -3 1 -20 8 -2
Ad 3. = 2 - 2 , = 1 - 3 + 3 , , .
1 2 -1 1 1 -1

( ) ( )
Ad 4. . = , = det = 28, det = 8, = .
3 1 1 3 2 1

1 0 -5 1 0 -5

( ) (-",
) ( )
Ad 5. = , = , Funkcja ( ) jest malejąca na przedziałach 0 i 2, " , rosnąca na prze-

( )
dziale 0,2 ; osiąga lokalne minimum w punkcie = 0 i lokalne maksimum w punkcie = 2.

( ) ( )
Ad 6. = , = 3 - 10 + 3, = 6 - 10. Funkcja ( ) jest wklęsła na przedziale -", ,


wypukła na przedziale , " ; jej wykres ma punkt przegięcia = .




| | ( )
Ad 7. a) ( 2 - + ) = 2 - + + , b) cos (2 - 3) = sin 2 - 3 + ,
+" " +"


c) = - + .
+"


( ) ( )
Ad 8. , = 2 + 6 , , = 3 + 6 . Punkty stacjonarne: = (0,0), = (-18,6).
2 6
( )
, = 6 6 . Funkcja ( , ) osiąga lokalne minimum w punkcie = (-18,6).
Zestaw 10 (zarządzanie, ekonomia, studia niestacjonarne, Opole 17.07.2010 B)
"
1.a) Obliczyć (5 - 2 ) .

b) Zapisać w postaci skróconej (z użyciem symbolu Ł) sumę: 16+11+16+& +56.
c) Niech oznacza liczbę studentów -go roku Ekonomii studiów stacjonarnych pierwszego stopnia w WSB
w Opolu (rozważamy wyłącznie studentów pierwszego stopnia, czyli studentów pierwszego, drugiego i trze-
ciego roku). Zapisz symbolicznie (z użyciem symbolu Ł) liczbę wszystkich studentów studiujących w WSB w
Opolu Ekonomię na studiach stacjonarnych pierwszego stopnia.
0 1 1 3 0 1
2. Rozwiązać równanie macierzowe = .
1 2 3 3 1 1
4 -1 2 1 0 2
10
+ 2 + - = 1


3. Rozwiązać układ równań metodą eliminacji Gaussa: - 3 + 3 = 1
+ - + = 1
+ + = 5
2 + 2 + = 3
4. Stosując wzory Cramera wyznaczyć z układu równań:
3 + 2 + = 1

( )
5. Wyznaczyć przedziały monotoniczności oraz ekstrema lokalne funkcji = .

( )
6. Wyznaczyć przedziały wypukłości, wklęsłości oraz punkty przegięcia funkcji = + 3 - 9 - 2.

( )
7. Obliczyć całki nieoznaczone: a) ( + - 3) , b) sin 5 + 2 , c) .
+" " +" +"

( )
8. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji , = 4 + + 12 .
Odpowiedzi:
" (-1 +
) (-3 +
) (-5 +
) (-7 = 94.
)
Ad1. a) (5 - 2 ) = 3 + 1 +

" "
b) 16+11+16+& +56= (5 + 1). c) .

0 1 1 3 0 1
( )
Ad 2. Niech = , = . Wówczas = ł' = . det = 1.
1 2 3 3 1 1
4 -1 2 1 0 2
7 -3 1 7 -3 1 3 0 1 13 -3 6
. = -4 1 3 1 1 19 -4 8
= .
= -4 1 10
10
-9 4 -1 -9 4 -1 1 0 2 -16 4 -7
Ad 3. = 1 + 3 - 3 , = -2 + 2 , , .
1 1 1 1 1 5
( ) ( )
Ad 4. . = , = det = -1, det = -7, = 7.
2 2 1 2 2 3
3 2 1 3 2 1
( )
( ) (-",
) ( )
Ad 5. : `" 0, = , Funkcja ( ) jest rosnąca na przedziałach 0 i 2, " , malejąca na

( )
przedziale 0,2 ; osiąga lokalne minimum w punkcie = 2.
( ) ( ) (-",
)
Ad 6. = , = 3 + 6 - 9, = 6 + 6. Funkcja ( ) jest wklęsła na przedziale -1 ,
(-1,
)
wypukła na przedziale " ; jej wykres ma punkt przegięcia = -1.


| | ( ) ( )
Ad 7. a) ( + - 3) = + - 3 + , b) sin 5 + 2 = - cos 5 + 2 + ,
+" " +"

c) = - + .
+"

( ) ( )
Ad 8. , = 12 + 12 , , = 2 + 12 . Punkty stacjonarne: = (0,0), = (6, -36).
( )
, = 24 12 . Funkcja ( , ) osiąga lokalne minimum w punkcie = (6, -36) i nie osiąga
12 2
ekstremum w punkcie = (0,0).
LOGISTYKA STUDIA STACJONARNE
Zestaw 11 (logistyka, studia stacjonarne)
1. Przypisać wartość logiczną poniższym zdaniom. W każdym przypadku podać precyzyjne uzasadnienie:

a) " , (1 + ) d" 2.5; b) " , + 2 + 7 d" 5; c) " " , " , < .

-4 + + 2 + 3 = -3
-9 + 2 + 3 + 7 = -9
2. Rozwiązać układ równań metodą eliminacji Gaussa:
3 - + 3 - 2 = 12
-5 + + + 4 = -6
11
( )
3. Wyznaczyć przedziały, na których funkcja = (2 - 1) jest rosnąca i wypukła jednocześnie.
-1
4. Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego h = f o g , jeżeli f :R3 R3 i g :R2 R3 oraz
( ) ( ) ( )
, , = 2 + + , 7 + + 4 , 9 + + 5 i , = (2 , - , ).




5. Obliczyć granice ciągów a) = , b) = , c) = .


6. Obliczyć całki nieoznaczone: a) , b) + .
+" +"

( )
"
( )
7. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji , = + 3 - - 3 .
Odpowiedzi:
Ad. 1. a) zdanie nieprawdziwe; b) zdanie nieprawdziwe; c) zdanie nieprawdziwe.
Ad. 2. Przykładowe rozwiązanie: = 1 + , = -4 + , = 2, .
( ) ( ) ( )
Ad 3. = 4 , = (8 + 4) . Funkcja jest rosnąca i wypukła na przedziale (0, ").
1 -4 3 2 0 -2 7
Ad 4. = = = .
1 1 -1 1 -1 3 -2
-2 7 -5 0 1 3 -12
Ad 5. a) ; b) "; c) 0.

Ad 6. a) = + ; b) + = + 6 + .
+" +" "

( ) ( )
"


( ) ( )
Ad 7. , = 2 - 2 , , = 6 - 3 - 3. Punkty stacjonarne: = (0, ), = (-1,1),

2 - 2 -6
( )
= (1,1), , = . Funkcja ( , ) osiąga lokalne minimum w punkcie
-6 6 - 6

= (0, ) i nie osiąga lokalnych ekstremów w pozostałych punktach.

Zestaw 12 (logistyka, studia stacjonarne)
( )
1. Sprawdzić, czy zdanie logiczne [ ł' '" ( ł' )] ś' ( ł' ) jest tautologią.
3 + 2 + - 2 + = 2
7 + 4 + 2 - + 3 = 5
2. Rozwiązać układ równań liniowych metodą eliminacji Gaussa:
-2 - 2 - + 5 = -1
3. Wyznaczyć przekształcenie odwrotne do przekształcenia liniowego : ' danego wzorem
( )
, , = ( - 2 + 4 , 3 + 3 - , 2 + 3 ).

( )
4. Wyznaczyć wartości , dla których funkcja = + + - 1 jest wypukła w całej dziedzinie.

5. Obliczyć całkę nieoznaczoną .
+"
( )
6. Obliczyć pochodną kierunkową funkcji , = 3 - 2 w punkcie = (1,2) w kierunku = (-1,3)
( ) ( )
7. Sprawdzić, czy punkt (2,0) jest punktem stacjonarnym funkcji , = + .
12
Odpowiedzi:
Ad 1. Zdanie nie jest tautologią.
Ad 2. Przykładowe rozwiązanie: = 1 - 3 - , = -1 - 2 + 11 + 2 , , , .

( )
Ad 3. , , = (9 + 6 - 10 , -11 - 5 + 13 , -6 - 4 + 9 ).

( )
Ad 4. = 18 + 6 + 2. ( ) e" 0 dla każdego dla < -2,2 >.

( ) ( )
Ad 5. = - - + .
+"


( ) ( ) ( ) ( )
Ad 6. , = 6 - 2, , = 3 , 1,2 = (10,3), ( 1,2 = -1.
, )

( ) ( )
Ad 7. , = (- - + 2 ) , , = 2 . Punkt (2,0) jest punktem stacjonarnym funkcji

( ) ( ) ( )
, ponieważ 2,0 = 2,0 = 0
Zestaw 13 (logistyka, studia stacjonarne)
( ) ( ) ( )
1. Sprawdzić, czy zdanie logiczne '" ! ś' ( ł' '" ! ) jest tautologią.
2 - 3 + - 2 = 7
4 + - 3 = 2

2. Sprawdzić, czy układ równań liniowych: jest układem oznaczonym.
2 + 4 - 4 + 2 = -5
3 - 5 = 0
y - z + 2t = 2

2x + z + t = 1

3. Stosując wzory Cramera wyznaczyć niewiadomą y z układu równań: .

-x + 2z + t = 2
x + y + 2t = 3

4. Obliczyć granicę funkcji lim x3e-x .
xĄ

( )
5. Wyznaczyć punkty podejrzane o ekstremum funkcji = - .


6. Obliczyć całkę niewłaściwą .
+" ( )
( )
7. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji , = 10 - 6 - 6 + .
Odpowiedzi:
det(A )
12
y
Ad 1. Zdanie nie jest tautologią. Ad 2. Nie jest to układ oznaczony. Ad 3 y = = = 3 .
det(A) 4
( )
Ad 4. lim x3e- x = 0 . Ad 5. = - 4 . Punkty stacjonarne: = -2, = 0, = 2.
xĄ

Ad 6. = .
+" ( )


( ) ( )
Ad 7. , = 20 - 6 - 6, , = -12 + 4 . Punkty stacjonarne: = ( , 0), =
20 -12
( ) ( )
(3, -3), = (3,3). , = . Funkcja , osiąga lokalne minimum w
-12 -12 + 12

punktach = (3, -3) i = (3,3) i nie osiąga lokalnego ekstremum w punkcie = ( , 0).
13
Zestaw 14 (logistyka, studia stacjonarne, 29.06.2010)
+ 3 - + 2 = 6
2 + 7 - 2 + 4 = 14
1. Rozwiązać układ równań liniowych metodą eliminacji Gaussa:
+ 4 - + 2 = 8

( )
2. Sprawdzić, czy prawdziwe jest zdanie logiczne " , < 3 ł' < 8 . Podać precyzyjne
+"
uzasadnienie odpowiedzi i wykonać odpowiednie obliczenia.
( )
3. Rozwiązać równanie macierzowe 2 - = , gdzie = 0 -2 , = 5 2 .
3 4 8 3
1 3
, gdzie jest parametrem. Ocenić prawdziwość poniższych zdań:
4. Dana jest macierz = -2 4
0
1 0 4

a) Dla = 3 istnieje macierz odwrotna do . b) Dla = istnieje macierz odwrotna do .

c) Dla = 3 istnieje macierz odwrotna do .
"
7 x
3x + 2 e2x-4 + x2 - 5
5. Obliczyć granice funkcji: a) limć b) lim

; .
xĄ x2
3x - 5 x3 - 8
Ł ł
6. Wyznaczyć ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji:
( ) ( ) ( )
a) = - 27 + 2; b) = - 3 .
( )
7. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji , = + 2 + - 4 - 7.
Odpowiedzi:
Ad 1. = - 2 , = , , .


Ad 2. = = ; < 8 ś' < 32 ś' - 32, 32 . Zdanie jest fałszywe.
+" " "


0 3 , = -3 2
( ) ( )
Ad 3. 2 - = ś' = + . = , = 24 -15 ,

-2 4 8 -5 38 -24

+ = 24 -17 , = 24 -17 .

41 -20 41 -20
Ad 4.Macierz odwrotna do macierzy istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy det ( ) `" 0,
1 3

( ) = 4 - 2; det `" 0 ś' `" . Prawdziwe są zdania z punktów a) i c).
( )
det = -2 4
0

1 0 4
14
7 x
49
3
3x + 2 e e2x-4 + x2 - 5 1
3
Ad 5. a) limć = = e ; b) lim = .

35
xĄ x2
3x - 5 - x3 - 8 2
Ł ł
3
e
( ) ( )
Ad 6. a) = , = 3 - 27, = 0 ś' ( = -3 lub = 3). Funkcja ( ) jest rosnąca na prze-
(-",
) ( ) (-3,3
)
działach -3 i 3, " , malejąca na przedziale ; osiąga lokalne maksimum w punkcie = -3 i
lokalne minimum w punkcie = 3.
( ) ( )
b) = , = (- + 2 + 3), = 0 ś' ( = -1 lub = 3). Funkcja ( ) jest malejąca na
(-",
) ( ) (-1,3
)
przedziałach -1 i 3, " , rosnąca na przedziale ; osiąga lokalne maksimum w punkcie = -1
i lokalne minimum w punkcie = 3.
14

( ) ( )
Ad 7. , = 4 + 4 - 4 , , = 2 - 4 . Punkty stacjonarne: = (0,0), = (-1, -2),

( ) )
= (1,2). , = 12 + 4 -4 . Funkcja ( , osiąga lokalne minimum w punktach =
-4 2
(-1, -2) i = (1,2) i nie osiąga ekstremum w punkcie = (0,0).
Zestaw 15 (logistyka, studia stacjonarne)
x + 2y - 3z = -3


-x - z = -3
1. Rozwiązać układ równań liniowych metodą eliminacji Gaussa:

-y + 2z = 3
3x + y + z = 6

2. Podać 3 różne kombinacje liniowe wektorów a = (1, -1,0,3) , b = (2,0, -1,1) , c = (-3, -1, 2,1) dające wektor
d = (-3,-3,3,6) .
1 0 3 0
ć

-2 1 0 -1

3. Dana jest macierz A = . Wiedząc, że det(A3) = 8 wyznaczyć element macierzy odwrot-

3 -2 0 1

0 1 2 1
Ł ł
nej do macierzy A stojący w drugim wierszu i trzeciej kolumnie.
x3 +1 - 3
4. Obliczyć granicę funkcji lim .
x2
x2 - 3x + 2
x
5. Wyznaczyć różnicę największej i najmniejszej wartości funkcji f (x) = na przedziale -1, 4 . Wynik
x2 + 4
podać w postaci nieskracalnego ułamka.
2
6. Wyznaczyć punkty przegięcia wykresu funkcji f (x) = xe-2x .
7. Wyznaczyć pochodną kierunkową funkcji f (x, y) = 3x2 y + xy w punkcie p = (-1,0) w kierunku a = (2,3)
Odpowiedzi:
ć 1 0 1 3
1 2 -3 -3 ć1 2 -3 -3 ć1 2 -3 -3 ć


0 0 0 0
-1 0 -1 -3 0 2 -4 -6 0 0 0 0



Ad 1.


0 1 -2 -3
0 -1 2 3 0 -1 2 3 0 1 -2 -3



0 0 0 0
3 1 1 6 0 -5 10 15 0 0 0 0
Ł ł
Ł ł Ł ł Ł ł
x + z = 3

, x = 3- z , y = -3 + 2z , z R
.
y - 2z = -3


Ad 2. Bierzemy kombinację liniową wektorów a , b i c i przyrównujemy ją do wektora d :
aa + bb + g c = d , a(1, -1,0,3) + b (2,0, -1,1) + g (-3, -1, 2,1) = (-3, -3,3,6)
Dalej mamy (a + 2b - 3g , -a -g , -b + 2g ,3a + b + g ) = (-3, -3,3,6)
a + 2b - 3g = -3


-a -g = -3
Porównując wektory po obydwu stronach równości dostajemy układ równań

-b + 2g = 3
3a + b + g = 6

15
1 2 -3 -3
ć

-1 0 -1 -3

Zapisujemy układ w postaci macierzowej

0 -1 2 3

3 1 1 6
Ł ł
Macierz uzupełniona układu równań jest taka sama jak w zadaniu 1. Mamy więc (korzystając z rozwiązania
zadania 1 i wstawiając w miejsce x , y , i z odpowiednio a , b i g ) rozwiązanie układu
a = 3-g , b = -3 + 2g , g R . Biorąc w kolejności g = 0 , g = 1, g = 2 otrzymujemy szukane kombina-
cje d = 3a - 3b , d = 2a - b + c , d = a + b + 2c .
Ad 3. Z równości det(A3) = 8 otrzymujemy det(A) = 2 . Element macierzy odwrotnej stojący w drugim wier-
szu i trzeciej kolumnie jest dopełnieniem algebraicznym elementu a3,2 macierzy A (oznaczmy go symbolem
D3,2 ) podzielonym przez wyznacznik macierzy A . Zatem szukany element jest równy
1 3+2
D3,2 = -1 det(A3.2) , gdzie A3.2 jest macierzą powstałą z macierzy A przez wykreślenie jej trzecie-
( )
det(A)
go wiersza i drugiej kolumny.
1 3 0 1 3
1 3+2 1
det(A3.2) = -2 0 -1 -2 0 = (0 + 0 + 0) - (0 - 2 - 6) = 8 , więc D3,2 = -1 det(A3.2) = - 8 = -4 .
( )
det(A) 2
0 2 1 0 2
ł
I 3x2
12
ęwyrażenie ś
x3 +1 - 3
( )
x3 +1 - 3 ę ś
2 x3 +1
2
Ad 4. lim = = lim = lim = = 6 .
ęnieoznaczoneś I
x2 x2 x2
x2 - 3x + 2 2x - 3 1
x2 - 3x + 2
( )
ę ś
0
typu
ę ś
0
4 - x2 4 - x2
I I
Ad 5. f (x) = , f (x) = 0 = 0 4 - x2 = 0 x2 = 4 (x = 2 x = -2) .
(x2 + 4)2 (x2 + 4)2
Punkt x = -2 nie należy do przedziału -1, 4 , więc nie obliczamy w nim wartości funkcji f (x) .
-1 8 2 10 4 8
Mamy: f (-1) = = - , f (2) = = , f (4) = = . Różnica wartości największej i najmniejszej jest
5 40 8 40 20 40
18 9
równa f (2) - f (-1) = = .
40 20
3 3
I II
Ad 6. f (x) = e-2 x2 (1- 4x2) , f (x) = e-2 x2 (16x3 -12x) . Punkty przegięcia: x = 0 , x = i x = - .
2 2
Ad 7. Szukaną pochodną kierunkową można wyznaczyć z zależności faI ( p) = gradf ( p) oa . Obliczamy po-
I I
chodne cząstkowe funkcji f (x, y) : fxI (x, y) = 3x2 y + xy = 6xy + y , fyI (x, y) = 3x2 y + xy = 3x2 + x . Da-
( ) ( )
x y
lej mamy fxI ( p) = fxI (-1,0) = 0 , fyI ( p) = fyI (-1,0) = 2 , faI ( p) = gradf ( p)o a = (0, 2)o(2,3) = 6 .
LOGISTYKA STUDIA NIESTACJONARNE
Zestaw 16 (logistyka, studia niestacjonarne)
16
4 + 3 + - 2 = 4

3 + 7 + 2 = 1
1. Rozwiązać układ równań metodą eliminacji Gaussa:
-5 + + 3 = -3
2. Podać przykład macierzy która spełnia równanie macierzowe 1 0 -2 = 4 -1 .
3 2 0 2 3
3. Wyznaczyć wszystkie kombinacje liniowe wektorów = (1,0, -2), = (0,1,4) dające wektor =
(2,3,8).

"
( )
4. Obliczyć granicę funkcji = przy dążącym do 2.

( )
5. Wyznaczyć przedziały, na których funkcja = (2 - 1) jest rosnąca i wypukła jednocześnie.

6. Obliczyć całkę nieoznaczoną .
+"

7. Wyznaczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi = , = 2 i = 2.Wykonać rysunek.
Odpowiedzi:
Ad 1. = 9 + 5 , = -31 - 19 , = -4, .
4 + 2 -1 + 2
Ad 2.Jest nieskończenie wiele takich macierzy. Są one postaci = -5 - 3 3 - 3 , gdzie i są

0 1
parametrami. Jednym z rozwiązań (dla = -2 i = 1) jest = .
1 0
-2 1
Ad 3. = 3 + 2 . Ad 4. Granica jest równa .


( ) ( )
Ad 5. = (2 + 1) , = (2 + 3) . ( ) jest rosnąca i wypukła na przedziale (- , ").


| |
Ad 6. = + 1 - 5 + . Ad 7. = = .
+" +"

Zestaw 17 (logistyka, studia niestacjonarne)
7 + - 2 = 1

4 + 2 + = 7
1. Rozwiązać układ równań metodą macierzy odwrotnej:
-3 + 3 + 7 = 18
2 -1 , = 3 4 , = 0 2 .
( )
2. Rozwiązać równanie macierzowe + 2 = , gdzie =
-7 4 1 2 1 0
3. Dany jest ciąg arytmetyczny o tej własności, że suma jego pierwszych wyrazów (dla każdej liczby
naturalnej ) jest równa 2 + . Wyznaczyć: a) ; b) różnicę ciągu .
( )
4. Dla jakiej wartości parametru funkcja = + + 7 ma w punkcie = 1 lokalne ekstremum?
Jakie jest to ekstremum?

5. Obliczyć całkę nieoznaczoną +" .

6. Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami krzywych danych równaniami = 10 i + = 7.
7. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 4x3 + y2 +12xy .
Odpowiedzi:

7 1 -2 1

Ad 1. Mamy  = , gdzie: = ,  = , = .
4 2 1 7

-3 3 7 18
17
7 1 -2 7 1
( ) ( )
det = det = 98 - 3 - 24 - ( )
4 2 1 4 2 12 + 21 + 28 = 71 - 61 = 10.
-3 3 7 -3 3
4 1 4 2
2 1 -
3 7 -3 7 -3 3
11
#
7 -2 - 7 1 ś# -13 -31 18 .
= ( ) . = 1 -2 = 43 -24
ś#- ź#
ś# ź#
( )
3 7 -3 7 -3 3
5 -15 10
1 -2 - 7 -2 7 1 #
#
2 1 4 1 4 2
11 -13 5 11 -13 5 1 11 - 91 + 90 1

.  = -31 43 -15 7
= -31 + 301 - 270 0
= .
= -31 43 -15

18 -24 10 18 -24 10 18 18 - 168 + 180 3
Rozwiązaniem układu jest: = 1, = 0, = 3.
( )
Ad 2. + 2 = ś' + 2 = ś' = - 2 .
-4 . = - 2 = 2 -4 0 2 - 2 2 -1 .
2
=

-1 3 -1 3 1 0 -7 4
4 -2 = -12 8

= -4 4 - .

3 -2 -14 8 31 -18
( ) )
Ad 3. a) = - = 210 - 171 = 39; b) = - = 2 + - (2 - 1 - ( - 1 )

( ) ( )
= 4 - 1; = - = 4 - 1 - (4 - 1 - 1)) = 4.
( ) ( )
Ad 4. = 3 + 2 + 7; 1 = 0 ś' 3 + 2 + 7 = 0 ś' = -5. Dla = -5 pochodna funkcji
( )
( ) jest w punkcie = 1 równa 0. Wtedy = 3 - 10 + 7.
7
I
f (x) = 0 (x =1 x = ) . Funkcja ( ) osiąga w punkcie = 1 lokalne maksimum.
3
ln2 x - 3 1
Ad 5. dx = ln3 x - 3ln x + C .

x 3


Ad 6. = 7 - - = 7 - - 10 = + 10ln ( ).
+"


fxI (x, y) = 0
24x 12
12x2 +12y = 0 ć

II
Ad 7 , , M1 = (0,0) , M2 = (6, -36) . f (x.y) = .


12 2
fyI (x, y) = 0
2y +12x = 0 Ł ł

0 12
ć
II II II
f (M1) = f (0,0) = , det f (0,0) = -144 < 0 - brak ekstremum
12 2
Ł ł
144 12
ć
II II II II
f (M2) = f (6,-36) = , det f (6, -36) = 144 > 0 i fxx (6, -36) > 0 - lokalne minimum

12 2
Ł ł
Zestaw 18 (logistyka, studia niestacjonarne. 03.07.2010. ZESTAW A)
+ 3 - + 2 = 6
2 + 7 - 2 + 4 = 14
1. Rozwiązać układ równań liniowych metodą eliminacji Gaussa:
+ 4 - + 2 = 8
( )
2. Rozwiązać równanie macierzowe - 2 = , gdzie = 2 -1 , = 4 5 .
0 3 2 3
1 2
?
3. Dla jakich wartości parametru istnieje macierz odwrotna do macierzy = -2 4
0
3 0 4

( ) ( )
4. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji: a) = ; b) = .

7 x
5x + 3 4x - 7x - 2
5. Obliczyć granice funkcji: a) limć lim

; b) .
xĄ x2
5x x3 - 8
Ł ł
18

6. Wyznaczyć wartość parametru , dla którego zachodzi równość = " + 5 + .
+"
"
( )
7. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji , = - 4 + - 4 + 3.
Odpowiedzi:
1 3 -1 2 6
ć ć
1 3 -1 2 6 1 0 -1 2 0
ć

0
Ad 1. 2 7 -2 4 14 1 0 0 2 1 0 0 2
0


1 4 -1 2 8 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0
Ł ł
Ł ł Ł ł
= - 2 , = 2, , parametry.
-5 , = 4 -7 , = 2 -7
3
)
Ad 2. = - ( - , = -


-2 4 -3 6 -2 3

= -2 7 .

2 -3

( )
Ad 3. det = 16 + 6 . Macierz odwrotna do macierzy istnieje dla `" - .


( )
Ad 4. a) = , minimum w punkcie = -2, maksimum w punkcie = 2.
( )
( )
b) = 2 ( + ), minimum w punkcie x = 0 , maksimum w punkcie x =1.
7 x
3
ć
7 x
21
5x + 3 4x - 7x - 2 0 4x ln 4 - 7 16ln 4 - 7
ł
5
5

Ad 5. a) limć = lim1+ = e . b) lim = = lim = .

ę0ś
xĄ xĄ x2 x2
5x x x3 - 8 3x2 12
Ł ł

Ł ł


Ad 6. + 5 = , = .
"
"

Ad 7. = 4 - 8 - 4 , = 2 - 4 . Punkty stacjonarne: = (0,0), = (-2, -4), = (2,4).

( , ) = 12 - 8 -4 . Funkcja ( , ) osiąga lokalne minimum w punktach = (-2, -4) i
-4 2
= (2,4) i nie osiąga ekstremum w punkcie = (0,0).
Zestaw 19 (logistyka, studia niestacjonarne. 03.07.2010. ZESTAW B)
- + 3 + + 2 = 6

1. Rozwiązać układ równań liniowych metodą eliminacji Gaussa: - + 4 + + 2 = 8
-2 + 7 + 2 + 4 = 14
1 0 , = 3 2 .
( )
2. Rozwiązać równanie macierzowe 2 + = , gdzie =
-2 3 4 5
1 2 2
?
3. Dla jakich wartości parametru istnieje macierz odwrotna do macierzy = -2 4
3
0 5

( ) ( )
4. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji: a) = ; b) = .

4 x
7x - 2 2x - 3x +1
5. Obliczyć granice funkcji: a) limć lim

; b) .
xĄ x3
7x x3 - 27
Ł ł

6. Wyznaczyć wartość parametru , dla którego zachodzi równość = " - 4 + .
+"

( )
7. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji , = + 7 + - 6 - 7.
19
Odpowiedzi:
-1 3 1 2 6
ć ć
-1 3 1 2 6 -1 0 1 2 0
ć


Ad 1. -1 4 1 2 8 0 1 0 0 2 0 1 0 0 2 , = 2, = - 2 , x R , t R .



-2 7 2 4 14 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0
Ł ł
Ł ł Ł ł
-2 , = 13 -8 , = 6 -8

5
Ad 2. = ( - ), = - ,

-4 3 -12 9 2 -12

= 6 -8 .

2 -12

( )
Ad 3. det = 10 - 8 . Macierz odwrotna do macierzy istnieje dla `" .


( )
Ad 4. Ad 4. a) = , minimum w punkcie x = -3, maksimum w punkcie x = 3.
( )
1
( )
b) = 2 ( + ), maksimum w punkcie x = - , minimum w punkcie x = 0 .
2
4 x
- 2
ć
4 x
8

-
7x - 2 2x - 3x +1 0 2x ln 2 - 3 8ln 2 - 3
ł
7
7

Ad 5. a) limć = lim1+ = e b) lim = = lim = .

.
ę0ś
xĄ xĄ x3 x2
7x x x3 - 27 3x2 12
Ł ł

Ł ł


Ad 6. " - 4 = , = .


Ad 7. = 4 + 14 - 6 , = 2 - 6 . = (0,0), = (-1, -3), = (1,3).

( , ) = 12 + 14 -6 , Funkcja ( , ) osiąga lokalne minimum w punktach = (-1, -3) i
-6 2
= (1,3) i nie osiąga ekstremum w punkcie = (0,0).
Zestaw 20 (logistyka, studia niestacjonarne
5 2 -1 2
ć ć
1. Wyznaczyć macierz X = A8B9 jeżeli A = .
3 1 , B =
3 -5
Ł ł Ł ł
x + y = 0


2. Rozwiązać układ równań metodą macierzy odwrotnej:
y + z = -1
x + z = 1

3. Sprawdzić czy wektory a = (-1,0,2) , b = (3,1,0) , c = (1,1, 4) tworzą bazę przestrzeni liniowej R3 .
3n+1
2n
7n - 3 ć 5n2 - 3 2n-3
ć
4. Obliczyć granice ciągów: a) an = , b) bn = .

7n +1 7n2 +1
Ł ł
Ł ł
3
5. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x) = (x2 + )ex .
4
x
6. Wyznaczyć największą wartość funkcji f (x) = na przedziale < -1, 4 > .
x2 + 9
7. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 5x2 + y2 - 4xy - 2x .
20
Odpowiedzi :
Ad 1. Zadanie jest nieskomplikowane, gdy nieco przekształcimy wyrażenie A8B9 ; okaże się wówczas, że
macierze A i B są swoimi odwrotnościami.
8
8
5 2 -1 2 ł 1 0 1 0 -1 2
ć ć ć ć ć
8
X = A8B9 = AB B = B = B =
( )
ę
3 1 3 -5ś B = 0 1 B =
0 1 3 -5 .
Ł łŁ ł Ł ł Ł ł Ł ł

1 1 0 0 1 1 0 1 1
ć ć
0
Ad 2. A = 1 1 , b = -1 det(A) = 0 1 1 0 1 = (1+1+ 0) - (0 + 0 + 0) = 2 .

1 0 1
1 1 0 1 1 0
Ł ł Ł ł
Wyznaczamy macierz dopełnień algebraicznych macierzy A :
ć 1 1 0 1 0 1
-

0 1 1 1 1 0

1 1 -1
ć

1 0 1 0 1 1


Ad = - - = -1 1 1

0 1 1 1 1 0


1 -1 1
Ł ł

1 0 1 0 1 1

-

1 1 0 1 0 1
Ł ł
1 -1 1
ć
T
1 1

Korzystając ze wzoru A-1 = Ad mamy A-1 = 1 1 -1 ,
( )

det(A) 2

-1 1 1
Ł ł
x 1 -1 1 0 2 1
ć ć ć ć ć
1 1

y = A-1b = 1 1 -1 -1 = -2 = -1 ,

2 2

z -1 1 1 1 0 0
Ł ł Ł łŁ ł Ł ł Ł ł
Rozwiązanie układu: x =1, y = -1, z = 0 .
Ad 3. Bazę przestrzeni liniowej R3 tworzą każde 3 wektory liniowo niezależne. Wystarczy zatem sprawdzić
liniową niezależność wektorów a c . Możemy to zrobić na kilka sposobów. Jedna z możliwości to obli-
, b ,
czenie wyznacznika macierzy , której wiersze są zbudowane z tych wektorów. Niezależność jest wówczas
równoważna różnej od zera wartości wyznacznika.
2
8
-
5
ć 3
7
Ad 4. a) lim an = e , b) lim an = .

7
Ł ł
3 3
I
Ad 5. f (x) = ex (x2 + 2x + ) . Funkcja f (x) osiąga lokalne maksimum w punkcie x = - i lokalne maksi-
4 2
1
mum w punkcie x = - .
2
9 - x2 1 1
I
Ad 6. f (x) = , wartość najmniejsza f (-1) = - , wartość największa f (3) = .
2
10 6
x2 + 9
( )
Ad 7. fxI (x, y) = 10x - 4y - 2 , fyI (x, y) = 2y - 4x ; punkt stacjonarny M = (1, 2) .
10 -4
ć
II II
f = = f (M ) . W punkcie M = (1, 2) funkcja f (x, y) osiąga lokalne minimum.

-4 2
Ł ł


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
zestawy egzaminacyjne IMIR 2009
MarcinChuc com Zestawy egzaminacyjne dla 6 roku
zestawy z egzaminów z biochemii
ZiIP przykladowy zestaw egzaminacyjny
Zestawy egzaminacyjne z algebry
zestawy egzaminacyjne IMIc 2010
p 2009 czerwiec strop fert45 zestaw egzaminacyjny
8 Pytania z zestawow egzaminu ustnego

więcej podobnych podstron