FUNKCJA WYMIERNA
Poziom podstawowy
Zadanie 1
Wykonaj działania i podaj niezbędne założenia:
4 3 a +1
a) + - ; (3 pkt.)
a + 2 a - 2 a2 - 4
4x 4x
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
b) x +1- ÷Å‚ìÅ‚ -1+ ; (4 pkt.)
x
ìÅ‚ ÷Å‚
x +1Å‚Å‚íÅ‚ x -1Å‚Å‚
íÅ‚
m2 - 36 m2 - 6m
c) : . (3 pkt.)
m2 - 4 m + 2
Zadanie 2 (3 pkt.)
2
(x - 4y)(x - 2y)- (x - 2y) 1
Oblicz wartość liczbową wyrażenia dla x = 1,2 y = 1 .
2
2
(2x - y)(2x + y)- (2x + y)
Zadanie 3 (6 pkt.)
2x +1
Funkcja f określona jest wzorem: f (x) = .
x -1
a) Określ dziedzinę i zbiór wartości tej funkcji.
b) Wyznacz miejsce zerowe funkcji f.
c) Naszkicuj wykres funkcji f.
d) Określ przedziały monotoniczności funkcji f.
Zadanie 4 (5 pkt.)
Na rysunku został przedstawiony wykres pewnej proporcjonalności odwrotnej f.
a) Napisz wzór funkcji f.
1
b) Dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość - ?
3
c) Oblicz dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości mniejsze od 1?
y
8
7
6
5
4
3
2
1
x
0
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1
0 1 2 3 4 5 6 7
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
Zadanie 5 (4 pkt.)
ax + b
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f, której wzór ma postać f (x) = .
cx + d
Wyznacz współczynniki: a, b, c, d.
y
3
2
1
x
0
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Zadanie 6
Rozwiąż równania:
x2 - x - 2
a) = 0 , (3 pkt.)
x2 -1
2x -1 3
b) = . (3 pkt.)
x x +1
Zadanie 7 (5 pkt.)
2 5
Rozwiąż nierówność < i podaj najmniejszą liczbę naturalną należącą do zbioru
x 17
rozwiązań tej nierówności.
Zadanie 8 (3 pkt.)
Pole prostokąta jest równe 6m2 . Napisz wzór funkcji wyrażającej zależność między długością
i szerokością tego prostokąta. Sporządz
jej wykres.
Zadanie 9 (3 pkt.)
Chcemy sfotografować ropuchę z odległości x = 1,8 m. Ogniskowa soczewki w obiektywie
naszego aparatu jest równa 9 cm. Jak daleko musi być odsunięta soczewka obiektywu od
powierzchni filmu, jeśli chcemy otrzymać ostre zdjęcie? Do rozwiązania zadania skorzystaj
1 1 1
ze wzoru + = , gdzie x to odległość przedmiotu od środka soczewki, y odległość od
x y f
środka soczewki do obrazu, a f ogniskowa soczewki.
Zadanie 10 (4 pkt.)
Dwa samochody wyruszyły jednocześnie z miasta A. Po pewnym czasie pierwszy znajdował
się 320 km od tego miasta, a drugi 240 km. Średnia prędkość drugiego samochodu była
o 20 km/h mniejsza od prędkości pierwszego. Znajdz
średnie prędkości z jakimi poruszały się
samochody.
Zadanie 11 (6 pkt.)
Wiele wyrażeń wymiernych można przedstawić jako sumę ułamków zwanych prostymi.
3x +1
Np. wyrażenie , gdzie x " R \ {-1,0} przedstawiamy w innej równoważnej postaci
x2 + x
w następujący sposób:
1. Rozkładamy mianownik na czynniki: x2 + x = x(x +1).
3x +1 A B
2. Zapisujemy ułamek w postaci: = + . (*)
x(x +1) x x +1
3. Mnożymy obie strony przez x(x +1) i otrzymujemy 3x +1 = A(x +1)+ Bx , a po
uporzÄ…dkowaniu otrzymujemy 3x +1 = (A + B)x + A .
4. Przyrównujemy współczynniki przy jednakowych potęgach x w obu stronach otrzymanej
A + B = 3
Å„Å‚
tożsamości i otrzymujemy układ równań z niewiadomymi A, B: .
òÅ‚
A = 1
ół
5. Rozwiązanie układu: A = 1, B = 2 .
6. Podstawiamy wyznaczone wartości stałych A, B do wyrażenia (*) i otrzymujemy:
3x +1 1 2
= + .
x(x +1) x x +1
5 - 5x
Postępując analogicznie rozłóż na ułamki proste wyrażenie wymierne .
x2 - x - 6
Zadanie 12 (5 pkt.)
ax + b
SporzÄ…dz
wykres funkcji homograficznej f (x) = , wiedząc, że do wykresu tej funkcji
x - 2
należą punkty A = (0,3), B = (- 2,1).
Zadanie 13 (5 pkt.)
3
Wykres funkcji f (x) = przesunięto o dwie jednostki w prawo wzdłuż osi x i o jedną
x
jednostkę w dół wzdłuż osi y.
a) SporzÄ…dz
wykres tej funkcji.
ax + b
b) Podaj wzór tej funkcji w postaci g(x) = .
cx + d
c) Wyznacz miejsce zerowe tej funkcji.
Zadanie 14 (6 pkt.)
2
Sprawdz
, czy rozwiązania równania x +1 = należą do zbioru rozwiązań nierówności
x
3x - 5 1
< .
x + 2 2
Poziom rozszerzony
Zadanie 1 (10 pkt.)
x - 3
SporzÄ…dz
wykres funkcji: y = . Na podstawie wykresu odpowiedz:
x + 2
3
a) Dla jakiego argumentu funkcja ta przyjmuje wartość ?
2
b) Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości mniejsze od -1?
Zadanie 2 (4 pkt.)
n n +1
Rozwiąż nierówność - > 0 , dla n " N .
n +1 n + 2
Zadanie 3 (7 pkt.)
2x - 5
Rozwiąż nierówność: d" 1.
x -1
Zadanie 4 (8 pkt.)
4
a) SporzÄ…dz
wykres funkcji f (x) = - 2 , gdzie x " R \ {0}.
x
b) Określ liczbę rozwiązań równania f (x) = m w zależności od parametru m.
c) Narysuj wykres funkcji y = g(m) , podającej liczbę rozwiązań równania f (x) = m
w zależności od parametru m.
Zadanie 5 (8 pkt.)
ax - b
Funkcja f określona jest wzorem f (x) = , gdzie
x - 2
49
a = [tg2 30ż + (1- sin 45ż)(1+ sin 45ż)]Å" ctg2 125ż + , b jest wiÄ™kszym pierwiastkiem
18
równania x3 - 9x2 - x + 9 = 0 . Dla wyznaczonych wartości a i b sporządz
wykres
funkcji y = f (x ).
Zadanie 6 (5 pkt.)
x2 - mx +1
Dla jakiej wartości parametru m wartość ułamka jest większa od - 3 dla każdego
x2 + x +1
x " R ?
Zadanie 7 (6 pkt.)
a b x2 -13
Dla jakich a i b funkcje f (x) = 1+ + oraz g(x) = są równe?
x +1 x - 3 x2 - 2x - 3
Zadanie 8 (3 pkt.)
1
Wyznacz największą wartość funkcji g(x) = dla x " R .
x2 - 2x +15
Zadanie 9 (5 pkt.)
Gdy jest otwarty kran na ciepłą wodę, to napełnienie całej wanny trwa o 7 minut dłużej, niż
gdy jest otwarty kran na zimną wodę. Jeśli obydwa krany są otwarte, to napełnienie pustej
wanny odbywa się w czasie 12 minut. Ile czasu potrzeba na napełnienie pustej wanny, gdy
odkręcony jest tylko kran na zimną wodę?
Zadanie 10 (7 pkt.)
x3 + 2x2 - 9x -18
Funkcja F(x) = dla argumentu 1 przyjmuje wartość 3. Wyznacz:
x + 3a
a) wartość parametru a,
b) miejsca zerowe funkcji F,
c) zbiór tych argumentów, dla których funkcja osiąga wartości nieujemne.
SCHEMAT PUNKTOWANIA - FUNKCJA WYMIERNA
Poziom podstawowy
Zadanie Etapy rozwiÄ…zania zadania L. pkt.
Określenie założeń: a `" 2 i a `" -2
1
Sprowadzenie wyrażeń do wspólnego mianownika.
1
1 a
6a - 3
Doprowadzenie wyrażenia do postaci: .
1
a2 - 4
Określenie założeń: x `" 1 i x `" -1
1
1 b Doprowadzenie wyrażeń w każdym nawiasie do najprostszej postaci. 2
1
Wykonanie mnożenia dwóch ułamków i doprowadzenie do postaci: x2 -1.
Określenie założeń: m `" 2 i m `" -2 i m `" 0 i m `" 6 . 1
Doprowadzenie liczników i mianowników do postaci iloczynowych. 1
1 c
m + 6
Wykonanie określonego działania otrzymując wynik:
1
m(m - 2)
Doprowadzenie wyrażenia do najprostszej postaci z zastosowaniem wzorów
skróconego mnożenia lub wyciągnięcie wspólnego czynnika przed nawias:
2
x - 2y
Odp.
2
2x + y
6
Obliczenie wartości wyrażenia: - 1
13
3
Doprowadzenie funkcji do postaci: f (x) = + 2
1
x -1
Określenie dziedziny i zbioru wartości: D = R \ {1}, ZW = R \ {2} 2
1
Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji: -
3 1
2
Naszkicowanie wykresu funkcji y = f (x)
1
Wyznaczenie przedziałów monotoniczności funkcji: funkcja malejąca
1
w każdym z przedziałów: (- ";1), (1;+")
Odczytanie współrzędnych punktu należącego do wykresu np. (- 2;1)
1
Wyznaczenie wzoru funkcji korzystając z faktu, że
a - 2
1
f (x) = i f (-2) = 1 Ò! a = f (-2) Å"(- 2). Odp. f (x) =
4 x x
Zapisanie i rozwiązanie odpowiedniego równania. Odp: x = 6 1
Zapisanie i rozwiązanie odpowiedniej nierówności:
2
Odp: x "(- ";-2)*" (0;+")
Odczytanie współrzędnych punktu należącego do wykresu np. (5;-1) lub
1
(3;-3)
5
Odczytanie z wykresu równań asymptot i zapisanie wzoru funkcji w postaci
a
1
kanonicznej f (x) = - 2 .
x - 4
Zadanie Etapy rozwiÄ…zania zadania L. pkt.
Obliczenie a i utworzenie wzoru funkcji w postaci kanonicznej
1
1
f (x) = - 2 .
x - 4
Zapisanie wzoru funkcji w postaci ogólnej i odczytanie wartości
5
- 2x + 9
współczynników a, b, c, d. Odp. f (x) = ,
1
x - 4
a = -2,b = 9,c = 1, d = -4 .
Określenie dziedziny równania: x " R \ {-1,1} 1
Sprowadzenie równania do równania kwadratowego i wyznaczenie
1
pierwiastków trójmianu: x1 = -1, x2 = 2
Podanie rozwiązań równania z uwzględnieniem dziedziny: x = 2 1
6
Podpunkt b) ma taką samą punktację i czynności:
1- 3 1+ 3 3
Odp. x1 = , x2 =
2 2
Określenie dziedziny nierówności: x " R \ {0} 1
34 - 5x
Zapisanie nierówności w postaci równoważnej: < 0
1
17x
34
ëÅ‚
7
RozwiÄ…zanie nierównoÅ›ci. Odp: x "(- ";0)*" ;+"öÅ‚ . ( 1 pkt. za metodÄ™
ìÅ‚ ÷Å‚
2
5
íÅ‚ Å‚Å‚
i 1 pkt. za poprawność obliczeń)
Podanie najmniejszej liczby naturalnej należącej do zbioru rozwiązań tej
1
nierówności: 7
Wprowadzenie oznaczeń: x i y wymiary prostokąta, gdzie x, y " R+ 1
6
8 Utworzenie wzoru funkcji korzystajÄ…c ze wzoru na pole prostokÄ…ta: y =
1
x
SporzÄ…dzenie wykresu tak otrzymanej funkcji. 1
Ułożenie równania na podstawie podanego wzoru i danych z treści:
1 1 1
2
+ = (uwzględnienie zamiany jednostek)
180 y 9
9
180
Rozwiązanie równania: y = H" 9,47 cm
1
19
Analiza treści zadania polegająca na wprowadzeniu oznaczeń np. v średnia
1
prędkość pierwszego samochodu oraz v > 0
s 240 320
Ułożenie równania z zastosowaniem wzoru t = : =
1
10
v v - 20 v
Rozwiązanie równania: v = 80 km/h 1
Obliczenie prędkości drugiego samochodu v1 = 60 km/h.
1
Za każdy prawidłowo przeprowadzony krok w postępowaniu po punkcie.
5 - 5x - 3 - 2
6
11
Odp. = +
x2 - x - 6 x + 2 x - 3
Określenie dziedziny funkcji: D = R \ {2} 1
12 b
Z faktu, że f (0) = 3 otrzymanie związku = 3 i obliczenie b: b = -6
1
- 2
Zadanie Etapy rozwiÄ…zania zadania L. pkt.
- 2a - 6
Z faktu, że f (-2) = 1 otrzymanie związku = 1 i obliczenie a:
1
- 2 - 2
a = -1
- x - 6
Doprowadzenie wzoru funkcji f (x) = do postaci kanonicznej
12
x - 2
1
- 8
f (x) = -1
x - 2
Naszkicowanie wykresu funkcji y = f (x) .
1
3
Naszkicowanie wykresu funkcji najpierw y = a potem y = g(x) jako
2
x
odpowiednie przesunięcie.
3
Zapisanie wzoru funkcji w postaci kanonicznej g(x) = -1
1
13
x - 2
- x + 5
Doprowadzenie wzoru funkcji do postaci ogólnej g(x) = . 1
x - 2
Wyznaczenie miejsca zerowego funkcji: x = 5 1
Określenie dziedziny równania: D = R \ {0} i nierówności: D = R \ {- 2} 1
Rozwiązanie równania poprzez sprowadzenie do równania kwadratowego
1
i wyznaczenie jego pierwiastków: x1 = 1, x2 = -2
Podanie zbioru rozwiązań równania: x "{1;-2} 1
Rozwiązanie nierówności ( 1 pkt. za metodę i 1 pkt. za poprawność
14
ëÅ‚- 2
öÅ‚
2
obliczeń). Odp.: x " 2;2
ìÅ‚ ÷Å‚
5
íÅ‚ Å‚Å‚
Sprawdzenie, czy zbiór rozwiązań równania zawiera się w zbiorze
rozwiązań nierówności i sformułowanie odpowiedzi. Odp. Zbiór rozwiązań 1
równania nie zawiera się w zbiorze rozwiązań nierówności
Poziom rozszerzony
Zadanie Etapy rozwiÄ…zania zadania L. pkt.
Określenie dziedziny funkcji: D = R \ {- 2}. 1
x
Å„Å‚ - 3
dla x e" 3
ôÅ‚
Doprowadzenie funkcji do postaci: f (x) =
1
òÅ‚-x ++2
x 3
ôÅ‚
dla x < 3
ół x + 2
Doprowadzenie funkcji do postaci kanonicznej:
1
Å„Å‚ - 5
+1 dla x e" 3
ôÅ‚
2
x + 2
f (x) =
òÅ‚
5
ôÅ‚ -1 dla x < 3
ół x + 2
- 5
Naszkicowanie wykresu funkcji f1(x) = +1 dla x e" 3
2
x + 2
Zadanie Etapy rozwiÄ…zania zadania L. pkt.
Naszkicowanie wykresu funkcji :
5
2
f2 (x) = -1 dla x "(- ";-2)*" (- 2;3).
x + 2
3
1
Odczytanie z wykresu, że funkcja ta przyjmuje wartość dla x = 0 .
1
2
Odczytanie z wykresu, że funkcja ta przyjmuje wartości mniejsze od -1
1
dla x "(- ";-2)
Określenie dziedziny nierówności: n " N 1
-1
Zapisanie nierówności w postaci równoważnej: > 0
1
2 (n +1)(n + 2)
Sprowadzenie nierówności do równoważnej jej postaci: -1 > 0 1
Sformułowanie odpowiedzi: n " " 1
Określenie dziedziny nierówności: D = R \ {1}. 2
Doprowadzenie nierówności do postaci: 2x - 5 d" x -1 ponieważ x -1 > 0 .
1
Uwzględniając wartość bezwzględną doprowadzenie nierówności
3
1
do postaci: 2x - 5 d" x -1 dla x > 1 lub 2x - 5 d" -x +1 dla x < 1.
Rozwiązanie otrzymanych nierówności 2
Sformułowanie odpowiedzi uwzględniając dziedzinę: x "(- ";1)*"(1;4
1
4
SporzÄ…dzenie wykresu y = .
2
x
4
SporzÄ…dzenie wykresu y = - 2 .
1
x
4
SporzÄ…dzenie wykresu y = - 2 .
1
x
Odczytanie ze sporządzonego wykresu, że równanie f (x) = m :
4
nie ma rozwiązań dla m "(- ";0),
3
ma dwa rozwiÄ…zania dla m "{0}*" 2;+ "),
ma cztery rozwiÄ…zania dla m "(0;2)
Zapisanie wzoru funkcji y = g(m) :
0 dla m "(- ";0)
Å„Å‚
ôÅ‚2 1
g(m) = dla m "{0}*" 2;+ ") i wykonanie wykresu y = g(m)
òÅ‚
ôÅ‚4 dla m "(0;2)
ół
Obliczenie wartości a (w tym 1 pkt. za wzór redukcyjny i 1 pkt. za wartości
3
funkcji trygonometrycznych). Odp. a = 3 .
Wyznaczenie wartości b w wyniku rozwiązania równania metodą
2
grupowania. Odp. b = 9 .
5
3x - 9
Zapisanie wzoru funkcji: f (x) = w postaci kanonicznej
x - 2 2
i sporzÄ…dzenie jej wykresu
Zadanie Etapy rozwiÄ…zania zadania L. pkt.
3 x - 9
Wykonanie wykresu funkcji: f (x) = korzystając z własności
x - 2
1
5
y = f (x )
x2 - mx +1
Zapisanie nierówności > -3 i określenie jej dziedziny: x " R 1
x2 + x +1
Skoro x2 + x +1 > 0 dla x " R , to nierówność przyjmuje najpierw postać
1
x2 - mx +1 > -3(x2 + x +1) a potem 4x2 + (3 - m)x + 4 > 0
6
Zapisanie warunku, że rozwiązaniem ostatniej nierówności są x " R , gdy
1
" < 0 .
Obliczenie " = m2 - 6m - 55 i rozwiązanie nierówności " < 0 .
2
Odp.: Dla m "(- 5;11) wartość ułamka jest większa od  3.
Określenie dziedzin funkcji f i g: D = R \ {-1,3}, Dg = R \ {-1;3}
2
f
Zapisanie funkcji f w postaci jednego ułamka:
a b x2 + (a + b - 2)x + b - 3a - 3
1
f (x) = 1+ + =
x +1 x - 3 (x +1)(x - 3)
Skoro we wzorach funkcji f i g mianowniki sÄ… takie same, to i postaci
7
liczników muszą być sobie równe co prowadzi do ułożenia układu równań:
1
a + b
Å„Å‚ - 2 = 0
òÅ‚
ółb - 3a - 3 = -13
Rozwiązanie układu równań i podanie odpowiedzi: dla a = 3, b = -1
2
funkcje te są równe.
Spostrzeżenie, że funkcja ta posiada wartość największą kiedy mianownik
1
jest najmniejszy.
- "
Wyznaczenie najmniejszej wartości wyrażenia x2 - 2x +15 : yw = = 14 1
8
4a
1
Wyznaczenie największej wartości funkcji g: gMax (x) =
1
14
Wprowadzenie oznaczeń: t  czas w minutach potrzebny na napełnienie
1
wanny zimną wodą, t + 7 to czas napełnienia wanny ciepłą wodą.
1 1 1
Ułożenie równania + = i określenie jego dziedziny t "(12,+")
1
t t + 7 12
2
9
Sprowadzenie do równania kwadratowego t -17t - 84 = 0 i jego
2
rozwiÄ…zanie: t1 = 21, t2 = -4
Wybranie rozwiązania uwzględniając wszystkie warunki zadania i podanie
odpowiedzi: 21 minut potrzeba na napełnienie pustej wanny, gdy odkręcony 1
jest tylko kran na zimnÄ… wodÄ™
Wyznaczenie parametru a korzystając z faktu, że F(1) = 3 . Odp. a = -3
1
Wyznaczenie dziedziny funkcji: x " R \ {9} 1
Wyznaczenie miejsc zerowych rozwiązując równanie
2
x3 + 2x2 - 9x -18 = 0 metodÄ… grupowania. Odp. x0 "{- 3;-2;3}
10
x3 + 2x2 - 9x -18
Utworzenie nierówności postaci e" 0 i jej rozwiązanie.
x - 9 3
Odp. x "(- ";- 3 *" - 2;3 *"(9;+")