Działanie momentu skręcajacego

Część 2 12. DZIAAANIE MOMENTU SKRCAJCEGO 1
12
DZIAAANIE MOMENTU SKRCAJCEGO
12.1. ZALEśNOŚCI PODSTAWOWE
12.1.1. Podstawy teorii skręcania swobodnego prętów sprę\ystych
Rozwa\my jednorodny, izotropowy, liniowo-sprę\ysty pręt pryzmatyczny poddany czystemu
skręcaniu (rys. 12.1). Problem skręcania rozwią\emy w sposób wskazany w 1855 roku przez de Saint-
Venanta. Przyjmujemy mianowicie, \e przekroje pręta nie ulegają odkształceniom postaciowym, tzn. w
procesie deformacji zachowują swój pierwotny kształt. Zgodnie z powy\szą hipotezą kinematyczną dwa
przekroje oddalone od siebie o x1 obracają się względem siebie wokół podłu\nej osi pręta o kąt skręcenia
�. Uwzględnimy jednak mo\liwość deplanacji (spaczenia) przekrojów, które przed odkształceniem były
płaskie. Dopuszczamy więc mo\liwość wystąpienia przemieszczeń u1 wzdłu\ osi pręta x1. Okazuje się, \e
przy powy\szych zało\eniach uzyskuje się ścisłe rozwiązanie problemu skręcania na gruncie teorii
sprę\ystości.
Rys. 12.1
Zasadnicze rozwa\ania przeprowadzimy w zapisie wskaznikowym. Z podanych wy\ej zało\eń kine-
matycznych dla bardzo małych wartości kąta skręcenia wynikają następujące związki:
u1 = � �" t x2 , x3 ,
( )
u2 = -� �" x3 = -� �" x1x3, (12.1)
u3 =� �" x2 = � �" x1x2.
� = d� / dx1 i nazywa się jednostkowym kątem skręcenia.
gdzie t(x2, x3) jest tzw. funkcją deplanacji, kąt
Poniewa\ pręt jest jednorodny i pryzmatyczny, więc podczas czystego skręcania (M = const) jed-
� =�(l) /l
nostkowy kat skręcenia ma wartość stałą , gdzie l jest długością pręta.
Rozwa\any problem nosi nazwę skręcania swobodnego. Określenie to wią\e się z zało\eniem, \e
wszystkie przekroje pręta mają swobodę deplanacji. Dlatego rozwiązanie tak sformułowanego zagad-
nienia ma charakter przybli\ony. W praktyce istnieje wiele takich przypadków, w których skręcanie swo-
bodne nie występuje. Mamy tu na myśli np. pełne utwierdzenie pręta na podporze, gdzie przekrój musi
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 2 12. DZIAAANIE MOMENTU SKRCAJCEGO 2
pozostać płaski, tzn. u = 0. Podobna sytuacja występuje w środkowym przekroju pręta, który jest obci-
1
ą\ony skupionym momentem skręcającym w połowie długości. W tych przypadkach powinno się
stosować teorię skręcania nieswobodnego.
W praktyce efekty skręcania nieswobodnego trzeba uwzględniać tylko w przekrojach cienkościennych.
Problematykę tę omówimy w rozdziale 13. (por. równie\ p. 12.1.6).
Wzory (12.1) pozwalają obliczyć odkształcenia ze związków geometrycznych (por. wzór (2.6)):
�ł
�11 = �22 = �33 = �23 = 0, �ł
�ł
1
�ł
�12 = � �" t,2 -x3 ,
( ) (12.2)
żł
2
�ł
1
�ł
�13 = � �" t,3 +x2 .
( )
�ł
2 �ł
Stan odkształcenia obrazuje macierz:
0 �12 �13łł
�ł
�ł� 0 0 śł
e =
. (12.2a)
21
�ł śł
�ł�31 0 0 śł
�ł �ł
Z kolei ze związków fizycznych (wzory (5.4)) otrzymujemy naprę\enia:
�11 = �22 = �33 = �23 = 0,�ł
�ł
�12 = G� �" (t,2 -x3),
(12.3)
żł
�ł
�13 = G� �" (t ,3 -x2),
�ł
a macierz naprę\eń przyjmuje postać:
0 �12 �13łł
�ł
�ł� 0 0 śł
s =
. (12.3a)
21
�ł śł
�ł�31 0 0 śł
�ł �ł
Wykorzystamy jeszcze równania ró\niczkowe równowagi naprę\eń (wzór (1.9)) dla pręta niewa-
\kiego (G = 0):
i
ńł �11,1 +�21,2 +�31,3 = 0,
�ł
� = 0: �ł �12,1 + �22,2 +�32,3 = 0,
ji, j
�ł � +�23,2 +�33,3 = 0,
13,1
ół
które po uwzględnieniu równań (12.3) prowadzą do zale\ności:
�21,2 +�31,3 = 0, �ł
�ł
�12,1 = 0,
(12.4)
żł
�ł
�13,1 = 0.
�ł
Równania (12.4)2 i (12.4)3 są spełnione to\samościowo. Pozostaje więc tylko równanie (12.4)1. Po pod-
stawieniu wzoru (12.3) do (12.4)1 otrzymujemy równanie ró\niczkowe Laplace'a na funkcję deplanacji:
t,22 + t,33 = 0
lub
2
"2 "
"2t = 0, gdzie "2 = + .
(12.5)
2 2
"x2 "x3
Funkcja deplanacji t(x , x ) jest więc funkcją harmoniczną.
2 3
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 2 12. DZIAAANIE MOMENTU SKRCAJCEGO 3
Aby wyznaczyć naprę\enia, wygodnie jest wprowadzić pewną funkcję F(x , x ), zwaną funkcją na-
2 3
prę\eń. Je\eli przyjmiemy, \e
�12 = F,3 ,�ł
�ł
(12.6)
�13 = -F,2 .żł
�ł
�ł
to funkcja naprę\eń F(x2, x3) spełnia to\samościowo równanie równowagi (12.4)1.
Równanie problemu skręcania otrzymujemy na podstawie wzorów (12.6). Po zró\niczkowaniu rów-
nania (12.6)1 względem x3, a równania (12.6)2 względem x2 mamy:
�12,3 = F,33 = G� �" t,23 -1 ,
( )
�13,2 = F,22 = -G� �" t,32 +1 .
( )
t,23 = t,32 i po dodaniu
Jeśli funkcja deplanacji t(x2, x3) jest ciągła wraz z drugimi pochodnymi, to
stronami uzyskujemy poszukiwane równanie skręcania, wyra\one przez funkcję naprę\eń:
(12.7)
"2F = -2G�.
Jest to równanie ró\niczkowe Poissona.
Nale\y jeszcze przeanalizować warunki brzegowe odpowiadające temu równaniu. Warunki te są okre-
ślone przez warunki na powierzchniach bocznych ograniczających pręt (wzór (1.7b)):
pi(n) = � n .
ji j
( ( (
Pobocznica pręta jest wolna od naprę\eń, więc Zatem
p1n) = p2n) = p3n) = 0.
(
p1n) =�11n1 +�21n2 +�31n3 = 0,
(
p2n) =�12n1 + �22n2 +�32n3 = 0,
(
p3n) =�13n1 + �23n2 +�33n3 = 0.
n2 = "x3 / "c i n3 = -"x2 / "c
Poniewa\ w pręcie pryzmatycznym n1 = 0, a (por. rys. 12.2), pozostaje tyl-
ko pierwsze z równań:
� n2 +� n3 = 0 . (12.8)
21 31
Rys. 12.2
Z zale\ności (12.8) wynika, \e naprę\enia �12 i �13 muszą przybierać takie wartości, by wypadkowe
naprę\enie �1 było styczne do konturu przekroju. Warto przypomnieć, \e w identyczny sposób ustalili-
) w punktach konturu przekroju przy omawianiu działa-
*
śmy kierunek wypadkowego naprę\enia t = t
1 x
nia siły poprzecznej (por. wzór (11.7)).
Po wprowadzeniu funkcji naprę\eń do warunku (12.8) mamy:
*)
tx a" t1 = t + t .
xy xz
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 2 12. DZIAAANIE MOMENTU SKRCAJCEGO 4
- F,3n2 + F,2n3 = 0
lub
"F "x3 "F "x2
�" + �" = 0.
"x3 "c "x2 "c
x2(c), x3(c)
Lewa strona powy\szego równania jest pochodną funkcji F = F względem zmiennej c,
[ ]
mierzonej wzdłu\ linii tworzącej kontur przekroju:
dF "F "x3 "F "x2
= �" + �" .
dc "x3 "c "x2 "c
Warunek ten mo\na zapisać krócej:
dFc
= 0,
dc
gdzie F oznacza wartości funkcji F na konturze przekroju pręta. Wynika stąd, \e
c
F = const.
c
Funkcja naprę\eń musi na konturze przekroju przyjmować jednakową wartość. Najwygodniej jest
przyjąć, \e brzegowa wartość funkcji F jest równa zeru:
c
F = 0. (12.9)
c
Rys. 12.3
Warunek (12.9) jest poszukiwanym warunkiem brzegowym funkcji naprę\eń, spełniającej równanie
ró\niczkowe skręcania (12.7). Przebieg funkcji naprę\eń obrazuje rys. 12.3a. Na rysunku 12.3b przedsta-
wiono plan warstwicowy powierzchni F(x2, x3). Rozwa\my jeszcze pewien punkt warstwicy F(x2, x3) =
const. Na krzywej tej przyrost funkcji F jest równy zeru, tzn.
dF "F "x2 "F "x3
= �" + �" = 0,
dc1 "x2 "c1 "x3 "c1
ale
"F "F
= -�13, = �12 ,
"x2 "x3
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 2 12. DZIAAANIE MOMENTU SKRCAJCEGO 5
skąd
�12 dx2
= .
� dx3
13
Z ostatniej zale\ności (por. rys. 12.3c) wynikają następujące wnioski:
- wektor naprę\enia t1 = �12�e2 + �13�e3 jest w ka\dym punkcie styczny do warstwicy F(x2,x3) =
const; warstwice funkcji F są więc trajektoriami naprę\eń stycznych,
- wartość wypadkowego naprę\enia stycznego obliczona z zale\ności
2 2
�1 = �12 +� = F ,3 + F ,2
( )2 ( )2
13
pozwala traktować to naprę\enie jako moduł gradientu funkcji naprę\eń F,
�1 = grad(F)
.
Jeśli uda się nam wyznaczyć funkcję naprę\eń, mo\emy obliczyć jednostkowy kąt skręcenia
z definicji momentu skręcającego:
M = �" x2 -�12 �" x3 dA = F,2�"x2 - F ,3�"x3 dA =
) )
13
+"(� +"(-
A A
= - F,2 x2dx2dx3 - F,3 x3dx2dx3.
+" +"
A A
Po wykonaniu całkowania przez części oraz uwzględnieniu, \e F = 0 otrzymujemy:
c
M = 2 F x2 , x3 dA
( )
+" . (12.10)
A
Moment skręcający równa się więc podwójnej objętości ograniczonej powierzchnią F(x2, x3) oraz płasz-
czyzną przekroju.
Je\eli do rozwiązania stosujemy funkcję deplanacji t(x2, x3), a nie funkcję naprę\eń F(x2, x3), to waru-
nek brzegowy (12.8) po wykorzystaniu równań (12.3) prowadzi do zale\ności:
(12.11)
(t - x3)n +(t + x2)n = 0.
,2 2 ,3 3
Funkcja t(x2,x3) musi być tak obrana, by na konturze przekroju spełniała warunek (12.11). Drugi sposób
rozwiązania problemu skręcania polega więc na wyznaczeniu funkcji deplanacji t(x2, x3), która spełnia
równanie Laplace'a (12.5) i warunek brzegowy (12.11) w ka\dym punkcie konturu przekroju.
12.1.2. Skręcanie pręta o przekroju eliptycznym
Kontur przekroju pręta jest opisany równaniem:
y2 z2
(a) + -1= 0,
a2 b2
gdzie a i b (a e" b) są głównymi osiami sprzę\onymi elipsy (por. rys. 12.4).
Rys. 12.4
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 2 12. DZIAAANIE MOMENTU SKRCAJCEGO 6
Zastosujemy funkcję naprę\eń o następującej postaci:
�ł
y2 z2 �ł
�ł �ł
F y, z = m�" + - 1�ł ,
(b) ( )
�ł
a2 b2
�ł łł
gdzie m jest pewną stałą. Z budowy wzoru (b) wynika, \e warunek brzegowy na konturze przekroju jest
spełniony (F = 0). Stałą m obliczymy przez podstawienie funkcji F(y, z) do równania ró\niczkowego
c
(12.7):
�ł 1 1 �ł
"2F = 2m�ł + = -2G�,
�ł
�ł
a2 b2 łł
skąd
a2b2
m = -G� �" .
a2 + b2
Wobec tego
a2b2 �ł y2 z2 �ł
�ł
(c) F( y,z) = -G� �" �" + -1�ł.
a2 +b2 �ł a2 b2 �ł
�ł łł
Na podstawie wzoru (12.10) otrzymujemy:
łł
a2b2 �ł 1 1
2
�ł
M = 2 FdA = 2G� y2dA - dAśł =
+" +"dA - +" +"z
a2 + b2 �ł a2 b2 śł
A A A A
�ł �ł
a2b2 �ł 1 1
(d) = 2G� A - Jz - Jy�ł.
�ł �ł
a2 + b2 �ł a2 b2 łł
Dla elipsy momenty bezwładności J i J oraz pole przekroju wynoszą:
y z
1 1
Jy = Ąb3a, Jz = Ąba3, A = Ąab,
4 4
co po podstawieniu do równania (d) prowadzi do zale\ności:
Ąa3b3
(e) .
M = �"G�
a2 + b2
Gdy uwzględnimy wartość iloczynu G1 obliczoną ze wzoru (e), to na podstawie wzoru (c) otrzymamy
ostateczną postać funkcji naprę\eń F(y, z) :
�ł
M y2 z2 �ł
F( y, z) = - �ł �ł
+ -1�ł.
(f)
�ł
Ąab
a2 b2
�ł łł
Naprę\enia styczne zmieniają się liniowo. Wynika to z zale\ności (12.6):
"F
ńł � = = - 2M
�" z,
xy
�ł
"z
�ł
Ąab3
(g)
�ł
�ł � xz = - "F = 2M y.
�"
�ł
"y
Ąa3b
ół
Dosyć istotne dla dalszych rozwa\ań jest to, \e moment skręcający przenoszony przez naprę\enia �
xy
M/2
jest równy . Taką samą część momentu przenoszą oczywiście naprę\enia � . Wniosek ten wynika z
xz
następującego obliczenia:
2M 2M 1
ńłM �xz = �" y dA = y2dA = �" Jz = M,
(z)
( )
xz
�ł
+"� +"
2
Ąa3b Ąa3b
�ł
A A
(h)
�ł
�łM( y) xy - xy �" z dA = 2M z2dA = 2M Jy = 1 M.
�"
(� )=
+"� +"
�ł
Ąa3b Ąab3 2
ół A A
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 2 12. DZIAAANIE MOMENTU SKRCAJCEGO 7
�x
Warto równie\ zwrócić uwagę, \e pola ka\dego z wykresów naprę\eń wypadkowych są zawsze jed-
nakowe
2M a 2M b M
A� x = �" = �" = .
2
Ąa2b Ąab2 2 Ąab
Największe naprę\enia występują więc w punktach konturu le\ących najbli\ej środka cię\kości przekroju
(tzn. w punktach B i D na rys. 12.5). Poniewa\ a e" b, więc
2M M
� = = ,
(i) x
max
Ąab2 Ws
gdzie i oznacza tutaj tzw. wskaznik wytrzymałości na skręcanie.
Ws = Ąab2 /2
Aby wyznaczyć przemieszczenia, trzeba określić funkcję deplanacji t(y, z). Funkcję tę najwygodniej
obliczymy z jednego z równań (12.3):
�xy
" t 2M a2 -b2
= + z = - �" z + z = - �" z.
"y G�
G�Ąab3 a2 +b2
Po scałkowaniu tego równania otrzymamy:
a2 - b2
t( y, z) = - �" yz + C.
a2 + b2
Stałą C wyznaczymy z uwzględnieniem wymagania, by punkty le\ące na osi pręta nie doznawały prze-
mieszczeń. Inaczej mówiąc przyjmujemy, \e oś pręta nie wydłu\a się i nie skraca. Mamy więc t(0,0) = 0,
skąd C = 0.
a2 - b2
(j) t( y, z) = - �" yz .
a2 + b2
Z równania (e) mo\na obliczyć jednostkowy kąt skręcenia:
M
� = ,
(k)
G�łĄa3b3 / a2 +b2 łł
( )
�ł śł
�ł �ł
a ze wzorów (12.1) współrzędne wektora przemieszczenia:
ńł
�ł M
�" yz,
�łu1 = u = � �" t = -
G�łĄa3b3 / a2 -b2 łł
�ł ( )
�ł śł
�ł �ł
�ł
�ł M
�" xz,
�łu = v = -� �" x1x3 = -
(l) 2
G�łĄa3b3 / a2 + b2 łł
�ł
( )
�ł śł
�ł �ł
�ł
�ł
M
�" xy.
3
�łu = w = � �" x1x2 =
G�łĄa3b3 / a2 + b2 łł
�ł
( )
�ł śł
�ł �ł
ół
Rys. 12.5
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 2 12. DZIAAANIE MOMENTU SKRCAJCEGO 8
Warstwice funkcji u(y, z) są hiperbolami. Na rysunku 12.5b warstwice oznaczone liniami ciągłymi od-
powiadają wartościom dodatnim, natomiast linie przerywane - ujemnym wartościom przemieszczeń u
(y, z).
Stosownie do wzoru (k) jednostkowy kąt skręcenia mo\na zapisać jeszcze inaczej:
M
� = ,
(12.12)
GJs
gdzie GJ jest sztywnością skręcania przekroju, a J - tzw. momentem bezwładności na skręcanie:
s s
Ąa3b3 A4 A4
Js = = H" ;
(12.12a)
a2 + b2 4Ą2 Jb 40Jb
przy czym J = J + J i oznacza tu biegunowy moment bezwładności. De Saint--Venant doszedł do
b y z
wniosku, \e wzór (12.12a) dla innych kształtów przekroju daje równie\ bardzo dokładne wyniki. Mo\na
więc przyjąć, \e sztywność na skręcanie jest równa są sztywności na skręcanie prętów o przekroju elip-
tycznym o tej samej powierzchni A i tym samym biegunowym momencie bezwładności J . Sztywność na
b
skręcanie jest więc odwrotnie proporcjonalna do biegunowego momentu bezwładności, a nie wprost
proporcjonalna, jak przyjmowali poprzednicy de Saint-Venanta.
12.1.3. Skręcanie prętów o przekrojach kołowych
i pierścieniowych
Zwróćmy uwagę na to, \e dla przekroju kołowego (a = b = r) przemieszczenia u(y, z) = 0. Oznacza
to, \e podczas skręcania przekrój kołowy nie ulega deplanacji. Wzory na naprę\enia i kąt skręcania są na-
stępujące (rys. 12.6a):
M M Ąr3 �ł
�x = �"�, �x max = , Ws = ,
�ł
Jb Ws 2
�ł
(12.13)
żł
M A4 Ąr4
�ł
� = , Js = = = Jb.
�ł
GJs
4Ą2 Jb 2
�ł
Wzory (12.13) obowiązują równie\ dla przekrojów pierścieniowych, przy czym:
Ą
Js = Jb = R4 - r4 oraz Ws = Js / R . (12.14)
( )
2
Dla przekrojów kołowych i pierścieniowych moment bezwładności na skręcanie J jest liczbowo rów-
s
ny momentowi biegunowemu J . Było to zródłem błędnego zało\enia w dawniej stosowanych teoriach
b
skręcania. W przekrojach pierścieniowych - podobnie jak w przekrojach kołowych - nie występuje
deplanacja przekroju.
Rys. 12.6
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 2 12. DZIAAANIE MOMENTU SKRCAJCEGO 9
12.1.4. Skręcanie pręta o przekroju w kształcie trójkąta
równobocznego
Ścisłe rozwiązania zamknięte mo\na uzyskać jeszcze dla przypadku, gdy przekrój pręta pryzmatycz-
nego jest trójkątem równobocznym. Funkcja naprę\eń jest iloczynem równań opisujących boki trójkąta
(rys. 12.7):
F ( y, z) = m 3x - a 3y - 3z + 2a 3y + 3z + 2a .
(m)
( )( )( )
Rys. 12.7
W ten sposób - podobnie jak dla przekroju eliptycznego - funkcja naprę\eń zgodnie
z warunkiem brzegowym (12.9) przyjmuje wartości zerowe na konturze przekroju. Stałą m dobieramy
tak, by było spełnione równanie skręcania (12.6):
"2 F �ł a �ł
= 18 3m�ł y + ,
�ł
�ł
3łł
"y2
"2 F �ł a �ł
= -18 3m�ł y -
�ł.
�ł
3łł
"z2
Wobec tego
"2F "2F
"2F = + = 36am = -2G�,
"y2 "z2
skąd
G�
(n) m = - .
18a
Z zale\ności (12.10) otrzymujemy:
2
łł 18a5m 3 3
M = 2 F dA = 2m 3y -a 3y + 2a - 9z2 śł dA = - = G�a4 ,
( )�ł( )
�ł
+" +"
5 5
�ł �ł
A A
więc
M
� = ,
(o)
GJs
gdzie
a4 3
(12.15)
Js = .
5
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 2 12. DZIAAANIE MOMENTU SKRCAJCEGO 10
Naprę\enia obliczymy z zale\ności (12.6):
ńł "F G�
( ) ( )
�ł � xy = = -18m 3y - a z = + �" 3y - a z,
"z a
�ł
(p) �ł
�ł �ł
�ł � xz = - "F 3m�ł y2 + 2a y - z2�ł = 3G� �ł y2 + 2a z2 �ł
= -9 �" -
�ł �ł.
�ł
"y �ł łł 2a �ł łł
3 3
ół
Po podstawieniu zale\ności (o) naprę\enia określają są wzory:
M M
ńł
3y - a z,
( )
�ł � xy = 3y - a z =
aJs
a5 3 / 5
( )( )
�ł
�ł
(q) �ł
�ł �ł
�ł � = 3 M �ł y2 + 2a y - z2�ł = M �ł y2 + 2a y - z2�ł.
�" �"
�ł �ł
xz
�ł
2a Js �ł łł �ł łł
3 3
2a5 /5
( )
�ł
ół
Wykresy naprę\eń stycznych przedstawia rys. 12.7b. Maksymalne naprę\enia styczne występują w punk-
tach le\ących najbli\ej środka cię\kości (punkty A, B, C):
�ł a �ł M 2a3
(r) � =� ,0�ł = , Ws = .
�ł
x max xz
�ł łł Ws 5
3
Naprę\enia w naro\ach są równe zeru. Pola wykresów wypadkowego naprę\enia stycznego � , od-
x
niesionych do dowolnej linii wychodzącej ze środka cię\kości przekroju, są takie same. Dla przykładu
wzdłu\ linii z = 0 pole dodatnich naprę\eń
� = � odło\one na odcinku OA jest równe polu ujemnych naprę\eń odło\onych na odcinku OD.
x xz
Deplanację wyznacza się identycznie jak dla przekroju eliptycznego, a odpowiednie równanie funkcji
t(y, z) jest następujące:
�ł
3 z2 �ł
�ł
t( y, z) = y2 - �ł
�" z.
(s)
�ł �ł
2a 3
�ł łł
Warstwice funkcji u(y, z) = ��"t(y, z) podano na rys. 12.7a.
12.1.5. Obliczanie naprę\eń i kąta skręcania dla prętów
o dowolnym przekroju. Przekrój prostokątny
Dla prętów o dowolnym przekroju rozwiązanie ścisłe uzyskuje się za pomocą szeregów Fouriera.
Istnieją równie\ przybli\one metody wyznaczania funkcji naprę\eń lub funkcji deplanacji. Na uwagę za-
sługuje równie\ metoda ró\nic skończonych omówiona w dodatku. Bardzo dobre rezultaty daje przybli-
\ona teoria skręcania swobodnego zbudowana na podstawie teorii płyt grubych [12,36]. Poza tym infor-
macji o charakterze rozkładu naprę\eń dostarczają analogie błonowa i hydrodynamiczna. Omówimy je w
p. 12.2.
Z punktu widzenia projektanta istotne jest wyznaczenie największego naprę\enia stycznego |� |
x max
oraz jednostkowego kąta skręcania. Ogólnie biorąc, wartości te oblicza się według wzorów:
M
�x max = ,
(12.16)
Ws
M
� = .
(12.17)
GJs
Wskazniki wytrzymałości na skręcanie W oraz momenty bezwładności na skręcanie J dla ró\nych
s s
przekrojów zawierają poradniki i tablice do projektowania konstrukcji. Warunek wytrzymałościowy po-
lega na spełnieniu nierówności:
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 2 12. DZIAAANIE MOMENTU SKRCAJCEGO 11
�red = 3�x max d" �dop,
skąd
� d" �dop,
x
max
gdzie
1
�dop = �dop H" 0,6�"�dop ,
(12.18)
3
przy czym � oznacza naprę\enie dopuszczalne przy rozciąganiu (ściskaniu),
dop
a �dop - dopuszczalne naprę\enia przy ścinaniu. Warunek sztywnościowy polega na ograniczeniu mak-
symalnego całkowitego kąta skręcenia � :
� =
+"�(s)ds d" �dop . (12.19)
s
W praktyce poza przekrojami kołowym i pierścieniowym najczęściej stosujemy prostokątny przekrój
pręta, dla którego obowiązują następujące zale\ności przybli\one:
ńł
1 �ł 0,052 �ł
s
�łJ = b4 �łn - 0,63 + �ł,
�ł
3
n4 łł
�ł
(t) �ł
�łW = 1+ n3 Js , przy czym n = h > 1.
�"
s
�ł
b
0,35 + n3 b
ół
Rys. 12.8
Rozkłady naprę\eń ilustruje rys. 12.8, a deformacje pręta skręcanego o przekroju prostokątnym -
rys. 12.9. Największe naprę\enie styczne występuje na konturze przekroju w punkcie A, usytuowanym
1d" h / b <1,4513
najbli\ej środka przekroju, tzn. w połowie dłu\szego boku. Interesujące jest, \e dla
funkcja deplanacji t(y, z) wykazuje cztery obszary wartości dodatnich i cztery obszary wartości ujem-
h / b > 1,451
nych, natomiast dla występują - podobnie jak w elipsie - po dwa takie obszary.
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 2 12. DZIAAANIE MOMENTU SKRCAJCEGO 12
Rys. 12.9
12.1.6. Uwagi o skręcaniu nieswobodnym
Je\eli choć jeden przekrój pręta niekołowego pozostaje płaski, to stan naprę\enia w pręcie skręcanym
ró\ni się od podanego w poprzednich punktach i odpowiada skręcaniu nieswobodnemu. Dla ilustracji
omówimy przykład pręta prostokątnego, w którym z warunku symetrii przekrój x = 0 pozostaje płaski
(rys. 12.10).
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 2 12. DZIAAANIE MOMENTU SKRCAJCEGO 13
Rys. 12.10
Aby zapobiec deplanacji, w obrębie przekroju poprzecznego nale\y rozmieścić naprę\enia normalne
� . W obszarach, w których wystąpiłyby wypukłości, trzeba wprowadzić naprę\enia ściskające, a w po-
x
zostałym obszarze - naprę\enia rozciągające. Bli\sza analiza tego problemu prowadzi do wniosku, \e
macierz naprę\eń ma wówczas postać:
�ł łł
� � �
x xy xz
�ł śł
s =
,
yx yz
�ł� 0 � śł
�ł�zx �zy 0 śł
�ł �ł
czyli oprócz naprę\eń normalnych � pojawiają się naprę\enia styczne � . Zaburzenia stanu naprę\enia,
x yz
gdy jeden przekrój pręta pozostaje płaski, są największe dla x = 0 i szybko zanikają w miarę wzrostu
współrzędnej x. Sztywność takiego pręta na skręcanie jest większa ni\ podczas skręcania swobodnego.
Wpływ skręcania nieswobodnego jest bardzo istotny w przekrojach cienkościennych. Problematyka ta
jest przedmiotem punktu 13.2.
12.1.7. Zale\ności energetyczne dla skręcania swobodnego
Do określenia zale\ności energetycznych wykorzystamy równania równowagi
i hipotezę kinematyczną o nieodkształcalności konturu przekroju pręta. W przypadku skręcania swobod-
nego mamy:
ij 12
+"� �ij dV =+"(� �12 +�21�21 +�13�13 +�31�31)dV.
V V
Stan odkształcenia wyra\ają wzory (12.2) wynikające z przyjętej hipotezy kinematycznej i związków
geometrycznych. Po ich podstawieniu do powy\szej zale\ności otrzymujemy:
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 2 12. DZIAAANIE MOMENTU SKRCAJCEGO 14
�ł łł
ij [�12 ,2 ,3 ]dV �ł 12
+"� �ijdV = +"� (t - x3) +�13(t + x2) = +"��ł+"(-� x3 +�13x2)dAśłds +
śł
V V s �ł A �ł
�ł łł
+
12
+"� �ł+"(� t,2 +�13t,3)dAśłds.
�ł śł
s �łA �ł
Wyra\enie w nawiasie kwadratowym w pierwszej całce jest momentem skręcającym, więc
�ł łł
(u)
+"��ł+"(- �12 �" x3 +�13 �" x2)dAśłds = +"� �"Mds.
�ł śł
s A s
�ł �ł
Wyka\emy teraz, \e
12
(w) +"(� �" t,2 +�13 �"t,3)dA = 0.
A
W tym celu naprę\enia �12 i �13 wyrazimy przez funkcję naprę\eń F(x2, x3) spełniającą warunek
brzegowy F = 0 na konturze przekroju. Wówczas
c
F,3 �"t,2dA - F,2 �"t,3dA.
12 ,3
+"(� t,2 + �13t,3)dA = +"(F �" t,2 - F,2 �"t,3)dA =+" +"
A A A A
Po scałkowaniu przez części pierwszej z całek otrzymujemy:
+
x3
F�" t,23dA,
,3 ,3
-
�ł śł
+"F t,2dA =+"�ł+"F �"t,2dx3łłdx2 =+"�łF �"t,2 - +"F �"t,23dx3łłdx2 = -+"
�ł śł
x3
�ł �ł
�ł �ł
A A
bo na konturze przekroju
- +
F x2, x3 = F x2, x3 = Fc = 0.
( ) ( )
Podobnie wykazuje się, \e
- F,2 �" t,3dA = F �"t,32dA = F �"t,23dA.
+" +" +"
A A A
Wynika stąd, \e zale\ność (w) jest prawdziwa.
W podsumowaniu stwierdzamy, \e
ij
+"� �"�ij dV =+"M(s)�"�(s)ds. (12.20)
V s
Wzór (12.20) jest słuszny dla pręta wykonanego z materiału o dowolnej charakterystyce fizycznej. Dla
pręta liniowo-sprę\ystego energię sprę\ystą U mo\na wyrazić następującymi wzorami:
1
U =
(12.21)
+"M(s) �"�(s)ds,
2
s
1 M2 M
UM = �"ds, bo � = ,
(12.22)
+"
2 GJs GJs
s
1
2
U� =
s
(12.23)
+"GJ �"� ds.
2
s
Składniki wewnętrznych prac wirtualnych określają zale\ności:
ij
+"� �ijdV = +"M �"� ds,�ł
�ł
�ł
V s
żł (12.24)
ij
+"� �ijdV = +"M �"� ds.�ł
�ł
V s �ł
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 2 12. DZIAAANIE MOMENTU SKRCAJCEGO 15
12.2. ANALOGIE BAONOWA I HYDRODYNAMICZNA
Wyobrazmy sobie płaską jednorodną błonę (np. bańkę mydlaną) rozpiętą na brzegu o tym samym ob-
rysie co przekrój poprzeczny pręta, poddaną równomiernemu rozciąganiu R na brzegu i równomiernemu
ciśnieniu p na powierzchni (rys. 12.11). Z równowagi rzutów sił pionowych działających na błonę otrzy-
mujemy:
"2 f "2 f
p dy dz + R�" dy dz + R �" dy dz = 0,
"y2 "z2
skąd
2 2
" f " f p
+ = - .
(a)
"y2 "z2 R
W powy\szym równaniu ró\niczkowym f(y,z) oznacza rzędne powierzchni wygiętej błony. Na brzegu
ugięcia te są równe zeru:
(b) f = 0.
c
Rys. 12.11
Porównując równanie (a) i warunek brzegowy (b) z równaniem (12.7) i warunkiem (12.9) na funkcję
p / R = 2G�
naprę\eń F(y, z) widzimy, \e zale\ności te są identyczne, je\eli przyjmiemy, i\ f = F oraz .
Analogię tę zauwa\ył Prandtl w 1903 roku. Z powy\szego wypływa wniosek, \e kształt powierzchni wy-
giętej błony jest podobny do kształtu funkcji naprę\eń. Konsekwencją tego są następujące stwierdzenia:
- warstwice funkcji f(y, z) są trajektoriami naprę\eń stycznych t ,
x
- moduł naprę\enia t w danym punkcie jest proporcjonalny do największego spadku (gradientu) po-
x
wierzchni błony,
- moment skręcający M jest proporcjonalny do objętości zawartej między płaszczyzna przekroju
a powierzchnią błony.
Zastosowanie błony mydlanej rozpiętej na ramce z drutu o kształcie odpowiadającym przekrojowi po-
przecznemu pręta pozwala uzyskać w sposób doświadczalny wszystkie niezbędne informacje dotyczące
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 2 12. DZIAAANIE MOMENTU SKRCAJCEGO 16
problemu skręcania swobodnego. Metodę tę stosuje się do wyznaczania stanu naprę\enia i sztywności
skręcania prętów o ró\nych skomplikowanych kształtach przekroju poprzecznego. W prętach wydrą\o-
nych kształt błony ilustruje rys. 2.11d. W obszarze wydrą\enia powierzchnia błony jest płaszczyzną
(f = const).
Rys. 12.12
Bardzo sugestywne są analogie hydrodynamiczne. Przedstawimy sens jednej
z nich - analogii Greenhilla (1910 rok). Je\eli ciecz idealna krą\y ze stałym natę\eniem wiru w rurze
o tym samym przekroju co skręcany pręt (rys. 12.12), to z warunku nieściśliwości otrzymujemy:
"v "w
+ = 0,
(c)
"y "z
natomiast warunek stałości natę\enia wiru przyjmuje postać:
"w "v
- = const,
(d)
"y "z
przy czym v i w oznaczają tutaj składowe prędkości w danym punkcie*).
Wprowadzając funkcję prądu:
"Ś "Ś
v = , w = - ,
(e)
"z "y
spełniamy równanie (c), a z równania (d) znajdujemy:
2 2
" Ś " Ś
+ = const.
(f)
2
"y2 "z
Prędkości v i w odpowiadają naprę\eniom � i � . Na brzegu prędkość krą\ącej cieczy ma kierunek
xy xz
styczny do brzegu, tzn. odpowiada warunkowi brzegowemu w postaci (12.9)*). Linie prądu pokrywają się
z trajektoriami naprę\eń stycznych � .
x
Za pomocą analogii Greenhilla bardzo łatwo mo\na ocenić jakościowy wpływ ró\nych czynników na
rozkład naprę\eń stycznych. Wpływ otworu kołowego na rozkład naprę\eń stycznych jest taki sam jak
wprowadzenie do strumienia cieczy nieruchomego walca o tej samej średnicy co średnica otworu (rys.
12.12b). Naprę\enia (tj. prędkości) w punktach C i D są równe zeru, natomiast w punktach A i B są bar-
dzo du\e. Podobny wpływ ma półkolisty rowek wycięty równolegle do osi wału. Największe naprę\enie
styczne występuje w punkcie E. Analogia hydrodynamiczna pokazuje, jak niebezpieczne dla pręta
skręcanego są szczeliny promieniowe, uniemo\liwiające przepływ naprę\eń. Z analogii hydrody-
namicznej wynika wprost, \e naprę\enia styczne we wszystkich wypukłych naro\ach są równe zeru, na-
*)
Wielkości v i w mo\na traktować odpowiednio jako przemieszczenia u i u w jednostce czasu. Wzór (c)
2 3
oznacza zatem, \e dylatacja w płaskim stanie odkształcenia jest równa zeru (� = 0, por. wzór (2.13)). Ze wzoru (d)
kk
wynika, \e tensor obrotu � = u ma wartość stałą.
23 2,3 - u
3,2
*)
Poniewa\ wydajność wiru jest stała, więc w jednostce czasu przez ró\ne przekroje przepływa ta sama ilość
cieczy. Tłumaczy to stwierdzoną wcześniej dla elipsy i trójkąta równość pól wykresów naprę\eń � .
x
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 2 12. DZIAAANIE MOMENTU SKRCAJCEGO 17
tomiast w ostrych wklęsłych naro\ach są nieskończenie du\e (por. punkty F i G). Znaczy to, \e nawet
niewielki moment skręcający spowoduje uplastycznienie bądz pęknięcie pręta. Naprę\enia te mo\na wy-
datnie zmniejszyć przez zaokrąglenie krawędzi (rys. 12.12d). Stosuje się to powszechnie w kształtow-
nikach walcowych.
12.3. SKRCANIE SWOBODNE PRTÓW CIENKOŚCIENNYCH
12.3.1. Profile zamknięte
Profile cienkościenne dzielą się na dwie zasadnicze grupy: profile zamknięte
(rys. 12.13a) i otwarte (rys. 12.13b). Cechą charakterystyczną tych prętów jest to, \e grubość ścianki jest
niewielka w stosunku do pozostałych wymiarów przekroju. Podział na profile zamknięte i otwarte wynika
z istotnych ró\nic w rozkładzie naprę\eń i charakterze deformacji.
Rys. 12.13
W profilach zamkniętych przyjmuje się w przybli\eniu, \e naprę\enia styczne � na grubości ścianki
x
się nie zmieniają. Zało\enie to w sposób naturalny wynika z rozwiązania, uzyskanego dla przekroju
pierścieniowego o bardzo małej grubości ścianki, g = R -Ź r (por. p. 12.1.3 i rys. 12.14).
Rys. 12.14
Rozwa\my dowolny przekrój cienkościenny przedstawiony na rys. 12.15. Z sumy sił równoległych do
osi x, działających na element pokazany na rysunku 12.15c wynika, \e
�x1 �" g1 = �x2 �" g2 = �x (c) �" g(c) = const.
(12.25)
Zwróćmy uwagę, \e zale\ność ta w analogii hydrodynamicznej wyra\a stałą wydajność przepływu nieści-
śliwej cieczy.
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 2 12. DZIAAANIE MOMENTU SKRCAJCEGO 18
Obliczymy teraz moment skręcający z uwzględnieniem zale\ności (12.25):
M = (c)�" g(c)�" h(c) dc =�x �" g h(c) dc,
x
(a) +"� +"
c c
gdzie h(c) jest wysokością elementarnego trójkąta o podstawie dc (por. rys. 12.15). Pole tego trójkąta
dAc = h(c) dc / 2. Uwzględniwszy ten fakt otrzymujemy:
M = 2� gAc,
x
skąd
M
�x = ,
(12.26)
2Acg
przy czym A oznacza pole ograniczone linią środkową konturu przekroju (rys. 12.15d). Maksymalne na-
c
prę\enie styczne � występuje tam, gdzie g = gmin. Wobec tego
x
M
�ł
�x max = ,
Ws �ł
żł (12.27)
Ws = 2Ac �" gmin .�ł
�ł
Rys. 12.15
Pozostaje jeszcze określenie sztywności przekroju na skręcanie. Wykorzystamy tu twierdzenie Cla-
peyrona uło\one dla pręta o długości dx, obcią\onego zewnętrznym momentem skręcającym M (por. rys.
12.15c):
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 2 12. DZIAAANIE MOMENTU SKRCAJCEGO 19
�ł łł
1 1
2
�ł
(b) M �"�dx = �x / G dAśł dx.
( )
+"
�ł śł
2 2
�łA �ł
Po uwzględnieniu, \e dA = g dc oraz wzór (12.26) na naprę\enie � otrzymujemy:
x
1 M2 �" g dc M dc
� = = �" ,
(c)
+" 2 2 +"
M
4Ac g2G 4GAc c g(c)
c
skąd
�ł łł
M dc
2
� = , gdzie Js = 4Ac :�ł śł .
(12.28)
+"
�ł śł
GJs g(c)
c
�ł �ł
12.3.2. Profile otwarte
Dowolny profil otwarty mo\na traktować jako przekrój zło\ony z n elementów
o kształcie wydłu\onego prostokąta.
Rys. 12.16
Spróbujemy znalezć rozwiązanie przybli\one dla takiego prostokąta. Zastosujemy funkcję naprę\eń
dla elipsy, w której b ", przy czym b = h/2 oraz a = g/2 << b (por. p. 12.1.2 i rys. 12.16):
�ł
a2b2 �ł y2 z2 �ł łł �ł g2 �ł
�ł �ł.
F( y, z) = - lim�łG� + -1�ł śł = -G��ł y2 -
(d)
�ł �ł
4
b"
�ł a2 + b2 �ł a2 b2 �ł śł �ł łł
�ł łł
�ł �ł
ą g / 2. Dla z = ąh /2 funkcja
Tak przyjęta funkcja naprę\eń spełnia warunek brzegowy tylko dla y =
F jest ró\na od zera (rys. 12.16a). Niemniej jednak okazuje się, \e dla odpowiednio du\ego stosunku h/g
błąd w naprę\eniach jest znikomy. Ilustruje to wykres na rys. 12.17 (por. Mutermilch, Kociołek [29],
str. 18).
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 2 12. DZIAAANIE MOMENTU SKRCAJCEGO 20
Rys. 12.17
Obliczymy teraz moment bezwładności na skręcanie J :
s
�ł
�ł
g2 łł g2 �ł
(e) M = 2 F dA = -2G��ł y2dA -
z
+" +" +"dAśł = -2G��ł J - �" A�ł =
�ł �ł
�ł śł
4 4
�ł łł
�ł A A �ł
�ł
hg3 g2 �ł hg3
�ł �ł
= -2G� �" - h�" g�ł = G� ,
�ł
12 4 3
�ł łł
skąd
1
Js = �"h �" g3. (12.29)
3
Wobec tego
�ł �ł
g2 �ł M g2 �ł
�ł
F = F( y) = -G��ł y2 - �ł - �ł - �ł
= y2 �ł.
(f)
�ł �ł
4 J 4
�ł łł s �ł łł
Naprę\enia styczne wynoszą:
"F "F 2M
�xy = = 0, �xz = - = �x = �" y,
(12.30)
"z "y Js
a maksymalne naprę\enia styczne określa wzór:
2M g M
�x max = �" = �" g.
(12.31)
Js 2 Js
Przybli\ony rozkład naprę\eń stycznych w wydłu\onym prostokącie obrazuje rys. 12.16b. Nawiązując
do wzorów (h) z p. 12.1, zwracamy uwagę na to, \e moment skręcający przenoszony przez naprę\enia �
xz
jest równy tylko M/2. Drugą połowę momentu przenoszą naprę\enia � , które w rzeczywistości
xy
pojawiają się tylko w pobli\u krótszych boków przekroju. Naprę\enia te, stosownie do przybli\onego
kształtu funkcji naprę\eń, przyjmują wartości nieskończenie du\e, ale działają na nieskończenie małym
polu. W efekcie odpowiadające im wypadkowe tworzą nieskończenie małą parę sił o nieskończenie
du\ym ramieniu. Moment tej pary sił jest jednak skończony, co wynika z badania symbolu nieoznaczone-
go. Wartość tego momentu jest równa połowie momentu skręcającego, tzn.
1
xy
+"� �" z dA = M.
2
A
Trzeba dodać, \e przyjęte przybli\enia nie wprowadzają jednak du\ych błędów, je\eli chodzi o sztyw-
ność skręcania wynikającą ze wzoru (e).
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 2 12. DZIAAANIE MOMENTU SKRCAJCEGO 21
Rys. 12.18
Dla przekroju składającego się z większej liczby wydłu\onych prostokątów naprę\enia maksymalne w
poszczególnych elementach obliczamy według wzoru:
Mi
�xi = �" gi, i = 1, 2, ..., n,
(g)
Jsi
gdzie M oznacza moment skręcający przenoszony przez i-ty prostokąt (rys. 12.18).
i
Wykorzystamy teraz fakt, \e jednostkowy kąt skręcania dla ka\dego z prostokątów tworzących prze-
krój jest taki sam i równa się jednostkowemu kątowi skręcania całego przekroju zło\onego. Mamy więc:
M1 M2 Mi Mn M
� = = = ... = = ... = = ,
(h)
GJs1 GJs2 GJsi GJsn GJs
przy czym
n
(i) M = M1 + M2 + ... + Mi + ... + Mn = .
i
"M
i=1
Z zale\ności (h) otrzymujemy:
(j) Mi = G1J ,
si
skąd
n n
M =
(k)
i si
"M = G�"J = G�Js.
i=1 i =1
Wnioskujemy zatem, \e
n n
Js = = (12.32)
si i
"J 1"h �" gi3,
3
i=1 i=1
natomiast z zale\ności (h) wynika, i\
Mi M
= = G� = const.
(l)
Jsi J
s
Poniewa\ wzór (12.32) jest przybli\ony, w zale\ności od kształtu przekroju stosuje się niekiedy mno\nik
poprawkowy ą bliski jedności. Wtedy
n
1
Js = ą �" gi3. (12.32a)
i
"h
3
i=1
Uwzględniwszy zale\ność (l) we wzorze (g) otrzymujemy ogólny wzór na obliczenie naprę\enia mak-
symalnego w "i-tym" prostokącie
M
�xi = �" gi.
(12.33)
Js
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 2 12. DZIAAANIE MOMENTU SKRCAJCEGO 22
Maksymalne naprę\enie styczne w całym przekroju
M
�x max = �" gmax .
(12.34)
Js
Ze wzoru (12.34) wynika, \e
Js
Ws = .
(12.35)
gmax
Oznacza to, \e największe naprę\enia styczne w profilu otwartym występują tam, gdzie grubość ścianki g
jest największa.
Rys. 12.19
Na uwagę zasługuje fakt, \e podczas skręcania swobodnego przekroju otwartego deplanacja jest bar-
dzo wyraznie widoczna. Ilustruje to rys. 12.19. W trakcie monta\u konstrukcji zło\onej z prętów
cienkościennych trudno jest stworzyć takie warunki, by była swoboda deplanacji. Dlatego te\ wyprowa-
dzone wy\ej wzory tylko w pewnych szczególnych przypadkach słu\ą do oceny wytrzymałości otwar-
tych prętów cienkościennych.
12.3.3. Porównanie skręcania swobodnego prętów cienkościennych zamkniętych i otwar-
tych
Bardzo sugestywnym przykładem ilustrującym ró\nice między skręcaniem swobodnym przekrojów
zamkniętych i otwartych jest rura cienkościenna. Rysunek 12.20a przedstawia profil zamknięty, a
rys. 12.20b - profil otwarty, uzyskany przez rozcięcie rury wzdłu\ tworzącej. Na obu rysunkach podano
odpowiedni kształt funkcji naprę\eń F(y, z). Zasadnicze ró\nice polegają na:
- charakterze rozkładu naprę\eń stycznych na grubości ścianki,
- wartości naprę\eń maksymalnych,
- sztywności skręcania przekroju.
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna
Część 2 12. DZIAAANIE MOMENTU SKRCAJCEGO 23
Rys. 12.20
Rozkłady naprę\eń ró\nią się jakościowo: w profilach zamkniętych naprę\enia na grubości ścianki są
stałe, a w profilach otwartych zmieniają się liniowo przyjmując, wartości zerowe w punktach linii środ-
kowej konturu. W przekrojach zamkniętych największe naprę\enia styczne występują tam, gdzie
g = gmin, a w przekrojach otwartych tam, gdzie g = gmax.
Rozwa\my dwa pręty wykonane z rur kolistych o takich samych grubościach ścianek, przy czym je-
den z prętów ma przekrój zamknięty a drugi otwarty (rurę przecięto wzdłu\ tworzącej). Jeśli oba pręty
skręcane są takim samym momentem, to stosunki jednostkowych kątów skręcania wynoszą:
(
�(o) Jsz)
= ,
(
�(z) Jso)
a stosunki maksymalnych naprę\eń stycznych:
(
�xo) Ws(z)
= .
(
�xz) Ws(o)
Moment bezwładności na skręcanie dla rury o profilu zamkniętym wynosi:
�ł 1
( 2
Jsz) = 4 Ac / =
�ł �ł
+"dc�ł 4Ą2r4g = 2Ąr3 �" g,
g 2Ąr
�ł łł
a rury rozciętej (profil otwarty)
1
(
Jso) =
i i
"h �" gi3 = 1 g3"h = 1 g32Ąr = 2 Ąr �" g3.
3 3 3 3
Odpowiednie wartości wskazników wytrzymałości są następujące:
(
Jso) 2
Ws(z) = 2Ac �" g = 2Ąr2g, Ws(o) = = Ąrg2 .
g 3
Wobec tego
2
(
�xo) �ł r �ł �(o) �ł r �ł
= 3 oraz = 3 .
�ł �ł �ł �ł
(
�xz) �ł głł �( z) �ł głł
(z)
(o) (z)
Jeśli na przykład r/g = 15, to i (!).Widzimy więc, \e naprę\enia w prze-
�(o):� = 45
� :� = 675
x x
kroju otwartym są kilkadziesiąt razy większe, a kąt skręcenia jest a\ kilkaset razy większy od odpowied-
nich wartości dla przekroju zamkniętego.
Andrzej Gawęcki - Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych 2003r. Politechnika Poznańska biblioteka elektroniczna

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Działanie momentu skręcającego Andrzej Gawęcki
Tensometryczne pomiary momentu skręcającego
działanie momentu zginajacego
Analiza?N Ocena dzialan na rzecz?zpieczenstwa energetycznego dostawy gazu listopad 09
Analizowanie działania układów mikroprocesorowych
Kontrola momentu obciążenia
Podstawy dzialania routerow i routingu
Heat of the Moment
Dzialalnosc dobroczynna Les 1
punto de cruz Cross Stitch precious moment puntotek Indios en canoa
Działalnosc lodowców
6 Zapytania i działania na tabelach
budowa i działanie układów rozrządu silników spalinowych

więcej podobnych podstron